条件平差中必要观测数的确定
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网平差中确定必要观测数的统一公式
从该网确定不了任何一待定点的绝对高程 , 只能确定点间
的高差 , 即点间相对关系 。此时假设其中一点为已知点 , 然后确定其它四点的高程 , 所以必要观测数为 4。
以上是直观的分析 , 下面总结了适用于水准网确定必
要观测数的式子 , 公式如下 :
t = 1 ×m - 1 - c
(1)
其中 , m 为网中所有点数 (包括已知点和待定点 ) 。
模大且复杂时略显繁琐 , 所以总结了适用于确定测角网必
要观测数的公式 , 式子如下 :
t = 2 ×m - 4 - c
(2)
根据式 (2) 求图 2中各网的必要观测数 。图 2a中 , m
= 6 , μ = 4 , 由于 4个起算数据全是必要的起算数据 , 所
以
μ 1
=4,
得
c
=μ
-
μ 1
=0,
所以该网必要观测数为
则
μ 1
<μ≤ b , c
=μ
-
μ 1
;
④网中总起算数据数大于必要起算数据数 , 即
μ
>
b, 若 μ个起算数据中包含了
b个必要起算数据 ,
则
μ 1
=
b
<μ,
c
=μ -
b
=μ
-
μ 1
;
⑤当 μ > b时 , 若 μ个起算
数据中没有完全包含
b个必要起算数据 ,
则
μ 1
< b <μ,
c
=μ
-
μ 1
。
尽管以上五类情况各不相同 , 其计算多余起算数据数
下必要观测数 t确定的一些公式 。本文则对几种常见控制 网 (水准网 、测角网 、测边网 /边角网和 GPS网 ) 中确定必 要观测数进行分析 , 针对每种网分别总结出一个公式 , 然 后将这四类网的公式进行概括 , 最后得到各类网平差中确 定必要观测数的统一公式 。
高程控制网平差
i
i
i
h h V 改厕厕短的改正数， 代入上式，得：
i
i
i
V1 V2 V3 V4 W 0
W H A h1 h2 h3 h4 H B
1.附合水准路线的条件数和条件方程式组成
观测值5个，待定水准点2 个，所以条件有3个，可 以列出3个条件方程：
h1
H B h1 h2 H A 0
V 1 V 3 V 2 W a 0 V 2 V 4 V 6 W b 0 V 4 V 5 V 3 W c 0
(二)观测值权的确定：
1.各水准路线都进行了往返观测，每公里水准路线的观测中误差为 ，
则m：i
R mi2
1 4n
n i
2 i
i
式中，为测往返测高程不符值，以mm为单位；R为测段长度，以km为单位；n
H A h2 h3 h5 H D 0
H B h1 h3 h4 H C 0
一般以1个已知点为起点，其它已知点为终点，所构成的附合 水准路线为已知点数减1，这样可以列出的条件方程式为已知 水准点个数减1.
2.闭合水准路线的条件数和条件方程式的组成
从一个水准点出发，经过若干水准测段，又回到该 水准点，这样的水准路线称为闭合水准路线。
V 1 V 7 V 8 W b 0
V 2 V 8 V 7 W c 0
V 3 V 5 V 8 W d 0
V 4 V 6 V 5 W e 0
2.闭合水准路线的条件数和条件方程式的组 成
图(c)是四边形状水准网，网中有4个待定点，没有已知点， 在平差计算时，只能确定个待定水准点之间的相互关系，如 果确定一个水准点的高程，就可以确定其他点的高程。因此， 该网的必要观测是3个，观测值总数是6个，又3个多余观测， 可以列出3个条件方程。为了让所列立的条件方程式互相独 立，没个条件方程都要求有一个其他方程没有用到的观测值， 即：
1-2条件平差原理--条件平差的计算步骤
得： 3ka 9 0
3.步骤三
依据
K
N
W 1
aa
计算出联系数K。
解法方程得： ka 3
C
L3
L1
A
L2
B
三角形示例图
条件平差的计算步骤
4.步骤四
由式 V P 1 AT K 计算出观测值改正数，并依据式 Lˆ L V
出观测值的平差值。
计算
1 0 0 1
Lˆ3
L3
v3
731234
条件平差的计算步骤
5.步骤五
为了检查平差计算的正确性，将平差值待入平差值条件方程式 ALˆ A0 0 ，
看是否满足方程式关系。
583115 481611 731234 180 0
3
V P1AT K 0 1 0 1 3 3
0 0 1 1
3
Lˆ1 Lˆ2
L1
L2
v1 v2
583115 481611
条件平差的计算步骤
1.步骤一
根据实际问题，确定几何模型的总观测值的个数 n，必要观测值的个数 t 及
多余观测值的个数 r=n-t，进一步列出平差值条件方程 ALˆ A0 0 或改正数条 件方程 AV W 0 。
C
L3
L1
A
L2
B
三角形示例图
以确定三角形的形状为例，对三角形中的三个 内角等精度观测，得观测值如下： L1=58°31′12″，L2=48°16′08″，L3=73°12′31″，试用条 件平差法，计算三角形各内角的平差值。
测量平差问题中必要观测数的确定
分析 :示例 6 为一测角网 ,包含 2 个起算数据 ( α～ 1 , α～ 2 ) ,虽然起算数据个数不够 ,但仍然有多余 起算数据 ( α～ 1 , α～ 2 中只有 1 个是必要起算数据) , 属表中的 J 22 情形 ,此时需要额外假定 3 个起算数 据 (1 个点的坐标和 1 条边长) ,这样 ,全部起算数据 数 Q = 5 ,必要观测数为 t = 2 p - Q = 2 ×5 - 5 = 5 。
图 9 图 10
要额外假定 3 个起算数据 (1 个点的坐标和 1 个方 位角) ,属表中的 B 21 情形 ,必要观测数为 t = 2 p - 3 = 2 ×6 - 3 = 9 。
从以上示例分析可知 ,本文根据实际教学的经 验 ,总结出测量平差问题中不同观测条件 、不同图形 条件下的必要观测数确定的通用公式具有普遍适用 性 ,图表简洁清晰 。这对于更好地掌握测量平差的 基本理论和方法 ,正确应用平差模型具有很好的价 值 ,可以推广应用 。
推算定位 ,可以确保运动轨迹的完整性 。 5. GPSΠINS 惯性组合导航系统虽然精度高 ,但
由于价格昂贵而难以普及 ,而 GPSΠDR 组合系统中 可采用低成本的陀螺仪 ,一个在 1 000 元左右 ,里程 计可采用车辆自带车速传感器 ,所以 GPSΠDR 组合 系统具有成本低 、体积小的特点[1] , 容易大批量装 备。
参考文献 :
[1 ] 董绪荣. 一种低成本 GPS 组合导航定位系统 [J ] . 指挥 技术学院学报 ,2000 , (10) :728.
[2 ] 张相芬 ,袁 信. 自适应卡尔曼滤波在组合导航中的应 用[J ] . 舰船导航 ,2003 , (3) :34235.
(上接第 15 页) 已知方位角 , P1 , P2 为待定点 , S1 ～ S5 为观测边 。
图 9 图 10
要额外假定 3 个起算数据 (1 个点的坐标和 1 个方 位角) ,属表中的 B 21 情形 ,必要观测数为 t = 2 p - 3 = 2 ×6 - 3 = 9 。
从以上示例分析可知 ,本文根据实际教学的经 验 ,总结出测量平差问题中不同观测条件 、不同图形 条件下的必要观测数确定的通用公式具有普遍适用 性 ,图表简洁清晰 。这对于更好地掌握测量平差的 基本理论和方法 ,正确应用平差模型具有很好的价 值 ,可以推广应用 。
推算定位 ,可以确保运动轨迹的完整性 。 5. GPSΠINS 惯性组合导航系统虽然精度高 ,但
由于价格昂贵而难以普及 ,而 GPSΠDR 组合系统中 可采用低成本的陀螺仪 ,一个在 1 000 元左右 ,里程 计可采用车辆自带车速传感器 ,所以 GPSΠDR 组合 系统具有成本低 、体积小的特点[1] , 容易大批量装 备。
参考文献 :
[1 ] 董绪荣. 一种低成本 GPS 组合导航定位系统 [J ] . 指挥 技术学院学报 ,2000 , (10) :728.
[2 ] 张相芬 ,袁 信. 自适应卡尔曼滤波在组合导航中的应 用[J ] . 舰船导航 ,2003 , (3) :34235.
(上接第 15 页) 已知方位角 , P1 , P2 为待定点 , S1 ～ S5 为观测边 。
测量平差问题中必要观测数的确定
3 2 1 4 5 6 7 4
n=15 t=3p-3=9
n=33 t=3p-3-3=15
1 3
2
P3
S0 为已知边, P1 , P2 ,P3 , P4 , P5 , P6 为待定点, ∠1～ ∠16 为观测角。 n=16 t = 2 p - 4 = 2 ×6 - 4 = 8
（2）当存在多余起算数据时
t=2p-4-q
A , B , C 为已知点, P1 ,P2 , P3 为 待定点, ∠1～ ∠12 为观测角。
n=12; t=2p-4-2=6。
~ 为已知方位角,P1 , P2 , P3 , P4 , P5 为待定点, ~ 2 1 ∠1～ ∠13 为观测角。
n=13; t=2p-4-1=5。
~ 为已知方位角, P1 , P2 , P3 , P4 , A , B 为已知点, 0 P5 , P6 为待定点, ∠1～∠21 为观测角。
n=5 t=2p-3-q=2×4-5=3
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6为待定点, S1～ S3 为观测边。
t = 2 p - 3= 2 ×6 - 3 = 9。
GPS网
a=3,b=3。
（1）当起算数据<=必要起算数据，且无多余起算 数据时 t=3p-3 （2）当存在多余起算数据时 t=3p-3-q
必要观测
为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的 最少观测数，称为必要观测。在测量中必要观测 是指为确定模型中所有待定点值（高程值或坐标 值）所需要的最少观测数。 必要观测数对参数个数的选择、多余观测数的确 定具有重要的意义。
必要观测数的确定
观测值个数：n； 必要观测数：t； 多余观测数：r； 所有点个数：p； 多余的起算数据：q； 确定每一个待定点值所需观测数：a； 必要起算数据个数（必要的起算基准）：b。
n=15 t=3p-3=9
n=33 t=3p-3-3=15
1 3
2
P3
S0 为已知边, P1 , P2 ,P3 , P4 , P5 , P6 为待定点, ∠1～ ∠16 为观测角。 n=16 t = 2 p - 4 = 2 ×6 - 4 = 8
（2）当存在多余起算数据时
t=2p-4-q
A , B , C 为已知点, P1 ,P2 , P3 为 待定点, ∠1～ ∠12 为观测角。
n=12; t=2p-4-2=6。
~ 为已知方位角,P1 , P2 , P3 , P4 , P5 为待定点, ~ 2 1 ∠1～ ∠13 为观测角。
n=13; t=2p-4-1=5。
~ 为已知方位角, P1 , P2 , P3 , P4 , A , B 为已知点, 0 P5 , P6 为待定点, ∠1～∠21 为观测角。
n=5 t=2p-3-q=2×4-5=3
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6为待定点, S1～ S3 为观测边。
t = 2 p - 3= 2 ×6 - 3 = 9。
GPS网
a=3,b=3。
（1）当起算数据<=必要起算数据，且无多余起算 数据时 t=3p-3 （2）当存在多余起算数据时 t=3p-3-q
必要观测
为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的 最少观测数，称为必要观测。在测量中必要观测 是指为确定模型中所有待定点值（高程值或坐标 值）所需要的最少观测数。 必要观测数对参数个数的选择、多余观测数的确 定具有重要的意义。
必要观测数的确定
观测值个数：n； 必要观测数：t； 多余观测数：r； 所有点个数：p； 多余的起算数据：q； 确定每一个待定点值所需观测数：a； 必要起算数据个数（必要的起算基准）：b。
测量平差问题中必要观测数的确定
A ,B 为已知点, 为已~知0 方位角, P1 , P2 为待定点, S1～ S5 为观测边。
n=5
t=2p-3-q=2×4-5=3
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6为待定点, S1～ S3 为观测边。 t = 2 p - 3= 2 ×6 - 3 = 9。
GPS网
a = 3, b = 3 。
必要观测
为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最少观测数，称 为必要观测。在测量中必要观测是指为确定模型中所有待定点值 （高程值或坐标值）所需要的最少观测数。
必要观测数对参数个数的选择、多余观测数的确定具有重要的意义 。
必要观测数的确定
观测值个数：n； 必要观测数：t； 多余观测数：r； 所有点个数：p； 多余的起算数据：q； 确定每一个待定点值所需观测数：a； 必要起算数据个数（必要的起算基准）：b。
A , B 为已知点, 为已~知0 方位角, P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 为待定点, ∠1～∠21 为观测角。
n=21
t = 2 p - 4-1 = 2 ×7 - 5 = 9
边角网/测边网
a=2；b=3
（1）当起算数据<=必要起算数据，且无多余起算数据时
t=2p-3
（2）当存在多余起算数据时 t=2p-3-q
测量平差问题中必要观测数的确定
基本概念
必要元素
起算数据 必要观测
必要元素
能够唯一确定一个几何模型所必要的元素
起算数据
必要的起算数据
பைடு நூலகம்
水准网
1
测角网
4
测边网/边角网
3
GPS网
3
说明
必要观测个数
由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。
因此，问题的关键是判定必要观测数t。
1.网中有2个或2个以上已知点的情况三角网中有2个或2 个以上已知三角点，就一定具备了4个必要起算数据。
无论是测角网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定一个未知点的坐标，需要观测两个观测值（2个角，或者1条边和1个角，或者2条边）。
也就是说，确定1个未知点要有2个必要观测值；那么如果网中有p个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍。
t = 2 ·p(3-4-1)(1) 测角网图3-9所示，三角网中有2个已知点，待定点个数为p =6。
如果三角网中观测量全部是角度时。
总观测值个数：n = 23必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 11(2) 测边网在图3-9中，如果三角网中观测量全部是边的长度时：总观测值个数：n = 14必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 2(3) 边角同测网在图3-9中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时：总观测值个数：n = 37必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 252. 网中已知点少于2个的情况有些情况下，三角网中已知点可能少于2个，只有1个已知点、1个已知边和1个已知方位角，或者没有已知点和已知方位角只有1个已知边。
但是，不管怎样说，1条已知边是必须已知的，或者需要进行观测的。
如果没有已知点，可以假定网中的1个未知点；如果没有已知方位角，可以取网中的1个方向的方位角为某一假定值。
这样也就间接地等价于网中有2个相邻点的坐标是已知的。
(1) 测角网三角网中共有p个三角点、1个已知方位角（也可以没有）、1个已知点（也可以没有已知点）和1个已知边长S（或者也是观测得到的），并观测了所有的角度。
高程控制网平差
1.单位权中误差的计算公式：
m0 ˆ0
PVV
r
2.每km高差中误差：
m m0
C
3.最弱点的高程中误差
最弱点是指误差最大的待定水准点，一般为离开已知水准点 最远的点。首先要列出最弱点的权函数式：
V F f 1V1 f 2V 2 f nV n
利用m f
1
m0式P计f 算最弱点高程中误差。
V 1 V 7 V 8 W b 0
V 2 V 8 V 7 W c 0
V 3 V 5 V 8 W d 0
V 4 V 6 V 5 W e 0
2.闭合水准路线的条件数和条件方程式的组 成
图(c)是四边形状水准网，网中有4个待定点，没有已知点， 在平差计算时，只能确定个待定水准点之间的相互关系，如 果确定一个水准点的高程，就可以确定其他点的高程。因此， 该网的必要观测是3个，观测值总数是6个，又3个多余观测， 可以列出3个条件方程。为了让所列立的条件方程式互相独 立，没个条件方程都要求有一个其他方程没有用到的观测值， 即：
在水准网中，把3条或3条以 上水准路线的交点称为结点。 两条水准路线的交点称为节点。
（一）按间接平差法对结点进行平差
1.误差方程式的列立
不考虑水准路线中的节点，将水准路线的高差作为独立观测 值，取结点的近似高程改正数为未知数，列立每条水准路线 高差观测值的误差方程。
如图，路线高差观测值以表示，已知
（一）按间接平差法对结点进行平差
3.法方程式的解算 法方程式系数阵的逆阵为：
Q
N Q QQ 1
11
XX
21
31
Q 12
Q 22
Q 32
Q
13
Q Q23
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图3 图 3 中，有两个已知点以及一个已知方位角，给定起算数据为 5 个，大于 必要起算数据 4 个，所以 q=5-4=1。而总观测角数目为 21 个，总点数为 7 个 点，所以 p=7，po=5，总边数为 14 条边，So=13。所以： t=2p-4-q=2*7-4-1=9； r=n-t=21-9=12； r 图=n-So=21-13=8;
在知道必要起算数据后，我们根据图形中提供的起算数据就可以分类讨论必 要起算数了。具体见下表：
必要观测数的确定就看上表。让我们先来看一个例题：
图1 上图中，是一个测角网，其中没有起算数据。总共观测了 16 个角度值，其 中这个几何图形中，一共有 6 个点，那么它的必要观测数 t=2p-4=12-4=8，多于 观测数 r=n-t=16-8=8 个。也就是说这个图形一共应该列出 8 个条件方程式。那 么这些条件方程式中，有几个图形条件，有几个极条件呢？ 回答上面的问题，也就是我们接下来要讲的，如何确定独立测角网和独立测 边网，以及独立测边角网中，条件方程式的不同种类。请注意，我用了三个独立， 什么是独立呢？独立就是该网的起算数据小于或等于该网的必要起算数据。例如 测角网的给定的起算数据小于或等于 4。测边网和测边角网给定起算数据小于或 等于 3。
在确定必要观测数之前，我们先要了解必要起算数据。在测角网，测边网， 测边角网中，以及水准网中都需要一定的起算数据，也就是已知数据。有这些已 知数据后就可以推算出其它待测点的在已知控制网下的数据。当起算数据不足的 时候虽然也能解算出各个观测值的平差值，但不能求得该网型中待测点在一定控 制网下的数据。例如，水准网中我们没有控制点，一个已知控制点了，我们就可 以推算出所有待求点的高程。
不同网型必要起算数据不同，见下表：
其中，水准网必要起算数据是 1 个，有一个点高程就可以推算出所有点的高 程。测角网，必要起算数据为 4，起算数据为 2 点坐标，即 2 对点的 x、y 就有 4 个起算数据了。或者一个点的坐标 x、y，以及一条边的边长 s，还有一个方位角 α。测边网和边角网相同，需要 3 个必要起算数据，就是 1 个点坐标 x、y，以及 一个方位角。
图2 图 2 中，题目给定了 3 个控制点，也就是有 6 个起算数据，大于测角网 4 个的必要起算数据，多于的起算数据为 2，所以 q=2。 图形中，观测数有 12 个，总点数有 6 个点，p=6，po=4，总边数有 11 条 边，所以 So=10。 必要观测数： t=2p-4-q=2*6-4-2 总条件方程个数： r=n-t=12-6=6； 图形条件： r 图=n-So=12-10=2;
极条件： r 极=So- 2Po=10-2*4=2； 多余条件方程个数： r 余=r- r 图- r 极=6-2-2=2； 这余下的 2 个条件是什么条件呢？其实我们看见多出了一个坐标，多的这 坐标就可以列出两个坐标条件。即是 B 点 x 与 y 坐标构成的坐标方程。 我们还看见这个图形中 P2 点构成了一个圆周条件，所以 2 个图形条件中有 一个是圆周条件。余下的图形条件为 2-1=1 个。 让我们再看一个例题：
上表中，n 为总观测数，t 为必要观测数，u 为所设参数个数，r 为多余观测 数，s 为约束条件方程个数。
从上表中可以看出，条件方程式的个数等于多于观测数的个数，而多于观测 数等于总观测数减去必要观测数。其中必要观测数是这样定义的：能够唯一确定 一个集合模型所必要的元素，除可以任意或必须给定的元素之外，其余的必要元 素必须通过观察求得，通过观测得到的必要元素称之为必要观测量。
r 极=So- 2Po=13-2*5=3； r 余=r- r 图- r 极=12-8-3=1； 这多余出来的一个条件方程，就是多余的方位角条件。且我们看见在该图 形中间 17，18，19，20，21 这几个观测值构成了一个圆周角条件，因此图形条 件中一个是 8-1=7 个图形条件。 今天就到此为止，希望对大家有帮助。
在条件平差函数模型的学习过程中，必要观测数的确定十分重要，必要观测 数是确定方程个数的基础，而知道方程个数是列条件方程式的前提。往往有很多 同学不能很好理解和掌握必要观测数的确定，在这里我将我所学习和收集的资料 进行汇总，供大家学习参考。
不同观测模型其必要观测数与所设参数以及方程个数之间关系，请见下表：
上表中 n 是总观测数，这里的 Po 是总点数减去 2，So 是总边数减去 1。 让我们继续看图 1，Po=6,So=10,n=16 其中我们知道有 8 个条件方程，那么 图形条件有 n-s=16-10=6 个图形条件，r-r 图=8-6=2，余下的就是极条件。 这里讨论了在独立网下的情况，若是给定的起算数据大于必要起算数据呢？ 我们看 2 个例题，大家请注意下列两个例题给定的起算数据均大于必要起算 数据，所以上表不能完全套用。
在知道必要起算数据后，我们根据图形中提供的起算数据就可以分类讨论必 要起算数了。具体见下表：
必要观测数的确定就看上表。让我们先来看一个例题：
图1 上图中，是一个测角网，其中没有起算数据。总共观测了 16 个角度值，其 中这个几何图形中，一共有 6 个点，那么它的必要观测数 t=2p-4=12-4=8，多于 观测数 r=n-t=16-8=8 个。也就是说这个图形一共应该列出 8 个条件方程式。那 么这些条件方程式中，有几个图形条件，有几个极条件呢？ 回答上面的问题，也就是我们接下来要讲的，如何确定独立测角网和独立测 边网，以及独立测边角网中，条件方程式的不同种类。请注意，我用了三个独立， 什么是独立呢？独立就是该网的起算数据小于或等于该网的必要起算数据。例如 测角网的给定的起算数据小于或等于 4。测边网和测边角网给定起算数据小于或 等于 3。
在确定必要观测数之前，我们先要了解必要起算数据。在测角网，测边网， 测边角网中，以及水准网中都需要一定的起算数据，也就是已知数据。有这些已 知数据后就可以推算出其它待测点的在已知控制网下的数据。当起算数据不足的 时候虽然也能解算出各个观测值的平差值，但不能求得该网型中待测点在一定控 制网下的数据。例如，水准网中我们没有控制点，一个已知控制点了，我们就可 以推算出所有待求点的高程。
不同网型必要起算数据不同，见下表：
其中，水准网必要起算数据是 1 个，有一个点高程就可以推算出所有点的高 程。测角网，必要起算数据为 4，起算数据为 2 点坐标，即 2 对点的 x、y 就有 4 个起算数据了。或者一个点的坐标 x、y，以及一条边的边长 s，还有一个方位角 α。测边网和边角网相同，需要 3 个必要起算数据，就是 1 个点坐标 x、y，以及 一个方位角。
图2 图 2 中，题目给定了 3 个控制点，也就是有 6 个起算数据，大于测角网 4 个的必要起算数据，多于的起算数据为 2，所以 q=2。 图形中，观测数有 12 个，总点数有 6 个点，p=6，po=4，总边数有 11 条 边，所以 So=10。 必要观测数： t=2p-4-q=2*6-4-2 总条件方程个数： r=n-t=12-6=6； 图形条件： r 图=n-So=12-10=2;
极条件： r 极=So- 2Po=10-2*4=2； 多余条件方程个数： r 余=r- r 图- r 极=6-2-2=2； 这余下的 2 个条件是什么条件呢？其实我们看见多出了一个坐标，多的这 坐标就可以列出两个坐标条件。即是 B 点 x 与 y 坐标构成的坐标方程。 我们还看见这个图形中 P2 点构成了一个圆周条件，所以 2 个图形条件中有 一个是圆周条件。余下的图形条件为 2-1=1 个。 让我们再看一个例题：
上表中，n 为总观测数，t 为必要观测数，u 为所设参数个数，r 为多余观测 数，s 为约束条件方程个数。
从上表中可以看出，条件方程式的个数等于多于观测数的个数，而多于观测 数等于总观测数减去必要观测数。其中必要观测数是这样定义的：能够唯一确定 一个集合模型所必要的元素，除可以任意或必须给定的元素之外，其余的必要元 素必须通过观察求得，通过观测得到的必要元素称之为必要观测量。
r 极=So- 2Po=13-2*5=3； r 余=r- r 图- r 极=12-8-3=1； 这多余出来的一个条件方程，就是多余的方位角条件。且我们看见在该图 形中间 17，18，19，20，21 这几个观测值构成了一个圆周角条件，因此图形条 件中一个是 8-1=7 个图形条件。 今天就到此为止，希望对大家有帮助。
在条件平差函数模型的学习过程中，必要观测数的确定十分重要，必要观测 数是确定方程个数的基础，而知道方程个数是列条件方程式的前提。往往有很多 同学不能很好理解和掌握必要观测数的确定，在这里我将我所学习和收集的资料 进行汇总，供大家学习参考。
不同观测模型其必要观测数与所设参数以及方程个数之间关系，请见下表：
上表中 n 是总观测数，这里的 Po 是总点数减去 2，So 是总边数减去 1。 让我们继续看图 1，Po=6,So=10,n=16 其中我们知道有 8 个条件方程，那么 图形条件有 n-s=16-10=6 个图形条件，r-r 图=8-6=2，余下的就是极条件。 这里讨论了在独立网下的情况，若是给定的起算数据大于必要起算数据呢？ 我们看 2 个例题，大家请注意下列两个例题给定的起算数据均大于必要起算 数据，所以上表不能完全套用。