附有参数的条件平差法方程法方程法方程华北科技学院习题附
条件平差习题
条件平差习题一、重点内容及难点1. 水准网条件平差● 条件方程列法 ● 权的确定方法2. 边角网条件平差● 条件方程个数确定方法● 条件方程类型：图形条件 极条件 边条件 方位角条件 基线条件3. 条件方程线性化11112ˆ()()()()()()()ˆˆˆˆnn i i ni f f f f f Lf L V V V f L V L L L L =∂∂∂∂=++++=+∂∂∂∂∑● 极条件方程及线性化● 符合三角网条件方程4. 理解条件平差的函数模型和随机模型● 明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据的概念； ● 条件平差的出发点：观测值的平差值之间应该存在的函数关系式； ● 随机模型的含义和作用二、公式汇编及条件平差计算步骤1. 根据实际问题，确定出总观测值的个数n 、必要观测值的个数t及多余观测个数r = n – t ，2. 列出条件平差值方程，对其线性化进一步列出改正数条件方程平差值条件方程 ˆ()0F L=改正数条件方程 0=+W AV3. 据具体情况确定观测值的权阵；)(21n p p p diag P =4. 组成法方程式，求出联系数；W NK =1K N W -=-5. 算出观测值改正数和观测值的平差值Lˆ； 1T V P A K -= V L L+=ˆ 6. 检查平差计算的正确性，将平差值L ˆ代入平差值条件方程式，检验平差值是否满足应有的条件关系式；0)ˆ(=LF 7. 计算单位权方差和单位权中误差；rPV V T =20ˆσ8. 列出平差值函数关系式，计算平差值函数及其精度。
对平差值函数全微分，应用广义传播律计算平差值函数的协因数，进一步计算出平差值函数的方差、协方差。
12ˆˆˆˆ(,,,)nf L L L ϕ= ˆˆˆˆTLL Q fQ f ϕϕ= 2ˆˆˆˆ0ˆD Q ϕϕϕϕσ=三、思考题：1.发现误差的必要条件是什么？2. 几何模型的必要元素与什么有关？为什么？3. 测量平差的函数模型和随机模型分别表示哪些量之间的什么关系？4. 什么叫必要起算数据？各类控制网的必要起算数据是如何确定的？5. 条件平差中求解的未知量是什么？能否由条件方程直接求得改正数？6.设某一平差问题的观测个数为n ，必要观测数为t ，若按条件平差法进行平差，其条件方程，法方程及改正数方程的个数各为多少？7. 通常用什么公式将非线性函数模型转化为线性函数模型？ 8. 在条件平差中，能否根据已列出的法方程计算单位权方差？ 9. 条件平差中的精度评定主要是解决哪些方面的问题？四、计算题5.1 有水准网如下图P1点位已知点Hp1=50.002米，P2、P3、P4,为待定点，观测六条线路的线路长度和高差为：S1= 1.0km h1=1.576m，S2=1.5 km h2=2.215m,S3=1.5 km h3=-3.800m,S4=1.0 km h4=0.871m,S5=2.0 km h5=-2.438m,S6= 2.0 km h6=-1.350m。
大地测量学基础-10-2
2
ff
( SctgA) 2
( SctgB) 2
1
0
1
3
0
S(ctgActgB)
0
S 2 (ctgA) 2 (ctgB) 2
控 制 测 量 学
华 北 科 技 学 院
1 1 2 2 2 2 S (ctgA) (ctgB) S (ctgA ctgB) 2 PS 3 2 2 S (ctgA) 2 (ctgB) 2 ctgActgB 3
i
b v
wb 0
rv w
i i 1 n r
0
第二组条件式
控 制 测 量 学
华 北 科 技 学 院
v
1
n
i i
w 0
v
1
n
i i
w 0
推算元素F是观测元素平差值的函数，其一般形 式：
F (l1 v1 , l 2 v2 ,, l n vn )
(2-35)
式中：n—边数，L—导线全长，S—平均边长，— 测边中误差，λ —测边系统误差，—测角中误 差，—AB边长的中误差，—起始方位角的中误差。 华 由公式得出结论：P43 北 科 技 学 院
控 制 测 量 学
华 北 科 技 学 院
2 附合导线平差后的各边方位角中误差 任意一条附合导线应满足三个条件,即坐标方 位角条件、纵横坐标条件。采用两组平差，坐标方 位角条件为第一组，将方位角闭合差分配至各转折 角上，即完成第一组平差，然后改化第二组纵横坐 标条件，有：
2
2
Af Bf P P 1 AA BB P P 1
误差理论与测量平差基础
《误差理论与测量平差基础》授课教案2006～2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。
本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。
◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。
课程性质为必修课、考试课。
本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。
◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。
测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。
平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。
计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。
平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
附有参数的条件平差
4）按式（8）和式（9）计算参数近似值的改正
数 xˆ 和观测值L的改正数V。
xˆ
N
1 bb
B
T
N aa1W
V
P
1
AT
N
1 aa
(
Bxˆ
W
)
5）计算观测值和参数的平差值。
Lˆ L V , Xˆ X 0 xˆ
6）用平差值重新列平差值条件方程，检核整个 计算的正确性。
QLK QWK Q XˆK QKK QVK QLˆK
QLV QWV Q XˆV QKV QVV QLˆV
QLLˆ QWLˆ
Q XˆLˆ QKLˆ
QVLˆ
QLˆLˆ
Q
L
W
Xˆ
K
V
Lˆ
L
Q
QAT QAT Naa1BQXˆXˆ QA T QKK
QVV
Q QVV
W
AQ
N aa
BQXˆXˆ
解 : 本题n=3 ，t=2,r=n-t=1,又设u=1 ，故条件方
程的总数等于2。 两个平差值条件方程为
lˆ1lˆ2 lˆ3 0 lˆ3 Xˆ 0
将 Lˆi Li vi Xˆ X 0 xˆ,X 0 l3 ， 代入以上条件方程，
并将它们线性化，可得
l2v1 l1v 2 v3 l1l2 l3 0 v3 xˆ 0
误差理论与测量平差
附有参数的条件平差
1.平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
（1） A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
式中V为观测值L的改正数，xˆ 为参数近似值 X 0 的
改正数。其系数矩阵的秩分别为 rk(A) c, rk(B) u
平差总结(sy)
一、填空1.误差来源：测量仪器、观测者、外界条件。
2.误差分类：偶然误差、系统误差、粗差。
3.测量平差的基本任务：是处理一系列带有偶然误差的观测值，求取未知量的最佳估值，评定测量成果的精度。
4.偶然误差的四个特性：有限性、单峰性、对称性、有偿性。
5.水准测量中，观测值权的大小主要取决于或的大小。
6.独立观测值Li(i=1,2,3...n)的权均为p，则算术平均值x=L/n的权为np 。
7.间接平差法是以为函数模型的平差方法。
8.衡量精度的指标：中误差、平均误差、然误差。
9.相对中误差的概念为（中误差与观测值之比）其表示为（1/N）二、名词解释1.偶然误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差来看该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
系统误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出系统性，或者在观测过程中按照一定的规律变化，或者为某一常数，这种误差称为系统误差。
2.测量平差：依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。
3.数学期望：随机变量取值的概率平均值协方差：是描述两随机变量的相关度偶然误差的特性：在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大绝对值相等的正负值出现的概率相同偶然误差数学期望为04.精度：就是指误差分布的密度或离散程度。
✓协方差传播定律：由观测值中误差求取观测值函数的中误差或方差，解决精度问题✓协因数传播定律：由观测值协因数求取观测值函数的协因数阵权：表示各观测值方差之间比例关系的数字特征水准测量定权的方法1.根据测站的观测高差定权2.根据距离的观测高差定权2.测量上确定权的常用方法？水准测量的权、同精度观测值的算术平均值的权5.单位权中误差：权为1的观测值的中误差（与单位权对应的观测值的中误差）必要元素：能够唯一确定一个几何模型所必要的元素6.条件方程：一个几何模型的独立量个数最多为t个，除此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，这种函数关系式在测量平差中称为条件方程。
平差习题集
1. 误差来源，测量平差的任务，多余观测的目的。
2. 试用公式说明方差协方差阵与协因数阵之间的关系？协因数阵与权阵之间的关系？在什么情况下它们为对角矩阵？若协因数阵为单位阵表示什么意思？ 3. 已知随机变量y 、z 都是观测值L=[L1、L2、L3]T 的函数，函数关系如下：3162101733241L L L z L L L y +-=++=，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=420231012LLQ ，证明y 、z 间互不相关。
4. 已知间接平差的模型为V=BX-L ，已知观测值的中误差为Q LL ，试推导Q VV 。
5. 已知独立观测值L 1,L 2的中误差为σ1和σ2，试求下列函数的中误差： （1）122X L L =- （2）211212Y L L L =+6. 某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数为8，现选取8个参数，且参数之间有2个限制条件。
若按附有限制条件的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？由其组成的法方程有几个？7. 在相同条件下，观测两个角度∠A=30︒00'00"，∠B=75︒00'00"，设对∠A 观测6个测回的权为1，问观测∠B 9个测回的权为多少？8. 在相同观测条件下，应用水准测量测定点A —B —C —D 之间的高差，设路线长度分别为S 1=2km ，S 2=4km ，S 3=6km ，令12km 的高差观测值权为单位权观测，设每公里观测高差中误差为σ，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
9. 取一长度为d 的直线之丈量结果的权为1，则长度为D 的直线之丈量结果的权为多少？若长度为D 的直线丈量了n 次，则其算术平均值的权为多少？。
10. 已知一水准网如下图，其中A 、B 为已知点，观测了8段高差，若设E 点高程的平差值与B 、E 之间高差的平差值为未知参数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法（概括平差法）进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为C11. 在已知水准点A 、B （其搞成无误差）间布设设水准线路，如图所示。
中国矿业大学测量平差习题参考答案备分(z
第一章 习题参考答案 1题.略2题.解 (1)222194σσ+（2）2221212219)3(σσL L L +-(3) 222212211************")(cos )sin(sin ")(cos )sin(sin )cos(cos σρσρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++L L L L L L L L L L L L L 3题. 解T T TLL XY LL YL LL XL B A AD D BAD D AD D ===,,4题.解 设路线总长S 公里，按照测量学上的附合路线计算步骤，则路线闭合差B A h H h h H f -++=21由于是路线中点，故()B A h H h h H f v v -++-===21212121 则线路中点高程()()B A B A B A A A H H h h H H h h H h h H h H v h H H ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=-++-+=-+=2121212121212121ˆ212121111中点设每公里高差观测中误差为0σ，则021)2/(σσσs h h ==按误差传播定律)(16,10425)52/(41)52/(41)2/(41)2/(414141212100212122220202222ˆ21121km S S s s s s h h h h H ≤≤=⋅⨯+⋅⨯=⨯+⨯=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=σσσσσσσ中点5.解 设每个测回的中误差为0σ，需要再增加n 个测回，则)2(2028.0,28.020)1(2042.0,42.0200000+±=±=+±=±=n n σσσσ由上式可解出n.即252023202028.042.020222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=n 再增加25个测回6题.解[][][][][][][][][]][][][,100010001...,...)...(2121211212122111⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎥⎦⎤=+++==p p p p p p p p p P p P p P p Q L L L P p P p P p L p L p L p x n n n p xx n n n n p p pL x][][][][][][p p p p p p p p p p p p p p p nnn⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=1 (1)12221117题。
附有参数的条件平差法方程法方程法方程华北科技学院习题附
1
法方程：1
2
2
x2
8
0
\
3 2 0Ks 5
华北科技学院
第9章习题
5、
v1 v2
v1
v3 v4 v4 v5
5 0 6 0 3 0
v1
xˆ
0
试问： (1)以上函数模型为何种平差方法的模型？ (2)本题中，n,t,r,c,u,s分别是多少？
A V B xˆ W 0
cn n1 cu cu c1
C
su
xˆ
u1
Wx
s1
0
法方程
NBaaTKK
Bxˆ CT
W 0 Ks 0
Cxˆ Wx 0
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第9章习题
某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t
= 6，现选取2个独立的参数参与平差，应列出多 少个条件方程？
HA X1 X2 X3 - HB 0
间接平差：
h1 X1
h2 X1 HB - HA
h3 X3 HB - HA
华北科技学院 h4 X3 ，h5 X2
第9章习题
（2）u=2.不独立 附有限制条件的条件平差 r+u=5
h1 X1 0
h2 X2 0
h1 h5 h3 0
h2 h5 h4 0
HA X1 X2 HB 0
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第9章习题
2、A，B为已知点，C为
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h1=2.500m,h2=2.000m,h3=1.352m,h4=1.851m,S1=S2= S4=1km, S3=2km
分别按条件平差法及间接平差法求高差的平差值及
P2点的权。
A
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h1
h3
h4
P1
P2
C
h2
B
第9章习题
2：AB为已知水准点，高程HA、HB，P1， P2为未知点，各观测值的路线 长度分别为 S1=10KM,S2=10KM ,
HA X1 X2 X3 - HB 0
间接平差：
h1 X1
h2 X1 HB - HA
h3 X3 HB - HA
华北科技学院 h4 X3 ，h5 X2
第9章习题
（2）u=2.不独立 附有限制条件的条件平差 r+u=5
h1 X1 0
四种平差模型
条件平差：
A L
rn n1
A0
r1
0
r1
法方程 Naa K W 0
AV W 0
间接平差：
L B Xd
n1
nt t1
n1 法方程 NBB xˆ W＝0
V BXl
附有参数的条件平差：
AL B X
cn n1 cu u1
A0
c1
0
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x1
1
法方程：1
2
2
x2
8
0
\
3 2 0Ks 5
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第9章习题
5、
v1 v2
v1
v3 v4 v4 v5
5 0 6 0 3 0
v1
xˆ
0
试问： (1)以上函数模型为何种平差方法的模型？ (2)本题中，n,t,r,c,u,s分别是多少？
4 2
NBB 2
5
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第9章习题
P 1 xˆxˆ
Qxˆxˆ
N
1 BB
1 16
5 2
2 4
5
41
1/
px1
Q11
,1/ 16
px2
Q22
16
4
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第9章习题
（2）P1至P2点高差平差值的权倒数
解析：实际求 h2 的权倒数（协因数）
AV B xW 0
NaaK Bxˆ W 0
法方程
BT K 0
第9章习题
附有限制条件的 间接平差：
L B Xd V
n1 nu u1 n1
C XW x 0
B
x法l 方程N
BB xˆ Cxˆ
C
T
K
S
W Wx
0 0
su u1 s1
附有限制条件的条件平差（概括 平差模型）：
S3=20Km ,S4=10Km, (1)P1,P2点高程平差值的权倒数 （2）P1至P2点高差平差值的权倒数
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第9章习题
解析：权倒数=Q（协因数） 对于间接平差而言，
P 1 xˆxˆ
Qxˆxˆ
NBB1
(BT PB)1
因此，设
HP1 X1, HP2 X 2
h2 x1 x2 1
1
x1
根据协因数传播率： x2
1/ P 1 h2 5 16
1 1
16
5 2
2 1
4
1
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第9章习题
3、
N=6,t=2,r=4
2图形，1个边长，
1个方位角
1 2 3180 0
h2 X2 0
h1 h5 h3 0
h2 h5 h4 0
ห้องสมุดไป่ตู้
HA X1 X2 HB 0
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第9章习题
2、A，B为已知点，C为
未知点
C
XA=1.0km,YA=1.0km, XB=1.0km,YB=6.0km
X1
X2
X3
T
h1
h5
h1
hD4 T
h2
（2）设参数
X
X1
X2
T
h1
h2
T
A
列误差方程。
h3
h5
B
C
h4
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第9章习题
解：（1）n=5,t=2,u=3,r=2,s=1,
附有限制条件的间接平差
限制条件
取各高差的权为
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pi
20 Si
第9章习题
按照间接平差列误差方程：
v1 1
v2
1
vv43
0
0
0
H A h1
1
1
1
x1
x2
h2
HHABhh3 4
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第9章习题
解：附有参数的条件平差 N=5,u=1,t=2,c=4,s=0
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第9章习题
6、A，B已知点，C，D待定点，
HA=1.00m,HB=10.00m,h1=3.58m,h2=5.4m,h3=4.11m,h 4=4.85m,h5=0.50m
（1）设参数
X 列误差方程。
4 5 6180 0
SBA SBC
sin 3
sin 1
sin 6
sin 4
1 0
华北B科A 技 学2院 6 BC 0
第9章习题
习题4
V1 x1 4
V2 x11
V3 x2 2
V4 x1 x2 6
A V B xˆ W 0
cn n1 cu cu c1
C
su
xˆ
u1
Wx
s1
0
法方程
NBaaTKK
Bxˆ CT
W 0 Ks 0
Cxˆ Wx 0
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第9章习题
某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t
= 6，现选取2个独立的参数参与平差，应列出多 少个条件方程？
3 x1 2 x2 5 0
判断属于那种平差模型，n/t/r/u/c/s 分别是多少？
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第9章习题
解：附有限制条件的间接平差
1 0
B 1 0，C 3
0 1
11
4
2，l
1
,Ws
5
2
6
3
1
3
某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t
= 6，现选取6个独立的参数参与平差，应列出多 少个条件方程？
某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t
= 6，现选取8个的参数参与平差，其中包含6个 独立参数，应列出多少个条件方程？
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第9章习题
1、已知HA=12.000m,HB=12.500m,HC=14.000m，