7-条件平差
条件平差习题
条件平差习题一、重点内容及难点1. 水准网条件平差● 条件方程列法 ● 权的确定方法2. 边角网条件平差● 条件方程个数确定方法● 条件方程类型：图形条件 极条件 边条件 方位角条件 基线条件3. 条件方程线性化11112ˆ()()()()()()()ˆˆˆˆnn i i ni f f f f f Lf L V V V f L V L L L L =∂∂∂∂=++++=+∂∂∂∂∑● 极条件方程及线性化● 符合三角网条件方程4. 理解条件平差的函数模型和随机模型● 明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据的概念； ● 条件平差的出发点：观测值的平差值之间应该存在的函数关系式； ● 随机模型的含义和作用二、公式汇编及条件平差计算步骤1. 根据实际问题，确定出总观测值的个数n 、必要观测值的个数t及多余观测个数r = n – t ，2. 列出条件平差值方程，对其线性化进一步列出改正数条件方程平差值条件方程 ˆ()0F L=改正数条件方程 0=+W AV3. 据具体情况确定观测值的权阵；)(21n p p p diag P =4. 组成法方程式，求出联系数；W NK =1K N W -=-5. 算出观测值改正数和观测值的平差值Lˆ； 1T V P A K -= V L L+=ˆ 6. 检查平差计算的正确性，将平差值L ˆ代入平差值条件方程式，检验平差值是否满足应有的条件关系式；0)ˆ(=LF 7. 计算单位权方差和单位权中误差；rPV V T =20ˆσ8. 列出平差值函数关系式，计算平差值函数及其精度。
对平差值函数全微分，应用广义传播律计算平差值函数的协因数，进一步计算出平差值函数的方差、协方差。
12ˆˆˆˆ(,,,)nf L L L ϕ= ˆˆˆˆTLL Q fQ f ϕϕ= 2ˆˆˆˆ0ˆD Q ϕϕϕϕσ=三、思考题：1.发现误差的必要条件是什么？2. 几何模型的必要元素与什么有关？为什么？3. 测量平差的函数模型和随机模型分别表示哪些量之间的什么关系？4. 什么叫必要起算数据？各类控制网的必要起算数据是如何确定的？5. 条件平差中求解的未知量是什么？能否由条件方程直接求得改正数？6.设某一平差问题的观测个数为n ，必要观测数为t ，若按条件平差法进行平差，其条件方程，法方程及改正数方程的个数各为多少？7. 通常用什么公式将非线性函数模型转化为线性函数模型？ 8. 在条件平差中，能否根据已列出的法方程计算单位权方差？ 9. 条件平差中的精度评定主要是解决哪些方面的问题？四、计算题5.1 有水准网如下图P1点位已知点Hp1=50.002米，P2、P3、P4,为待定点，观测六条线路的线路长度和高差为：S1= 1.0km h1=1.576m，S2=1.5 km h2=2.215m,S3=1.5 km h3=-3.800m,S4=1.0 km h4=0.871m,S5=2.0 km h5=-2.438m,S6= 2.0 km h6=-1.350m。
附有参数的条件平差
4）按式（8）和式（9）计算参数近似值的改正
数 xˆ 和观测值L的改正数V。
xˆ
N
1 bb
B
T
N aa1W
V
P
1
AT
N
1 aa
(
Bxˆ
W
)
5）计算观测值和参数的平差值。
Lˆ L V , Xˆ X 0 xˆ
6）用平差值重新列平差值条件方程，检核整个 计算的正确性。
QLK QWK Q XˆK QKK QVK QLˆK
QLV QWV Q XˆV QKV QVV QLˆV
QLLˆ QWLˆ
Q XˆLˆ QKLˆ
QVLˆ
QLˆLˆ
Q
L
W
Xˆ
K
V
Lˆ
L
Q
QAT QAT Naa1BQXˆXˆ QA T QKK
QVV
Q QVV
W
AQ
N aa
BQXˆXˆ
解 : 本题n=3 ，t=2,r=n-t=1,又设u=1 ，故条件方
程的总数等于2。 两个平差值条件方程为
lˆ1lˆ2 lˆ3 0 lˆ3 Xˆ 0
将 Lˆi Li vi Xˆ X 0 xˆ,X 0 l3 ， 代入以上条件方程，
并将它们线性化，可得
l2v1 l1v 2 v3 l1l2 l3 0 v3 xˆ 0
误差理论与测量平差
附有参数的条件平差
1.平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
（1） A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
式中V为观测值L的改正数，xˆ 为参数近似值 X 0 的
改正数。其系数矩阵的秩分别为 rk(A) c, rk(B) u
条件平差原理
§9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。
9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。
当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程（9-2）式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即（9-3） 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ2111⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA （9-4） 0=+W AV （9-5）上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。
平差知识点总结
平差知识点总结(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanY One 1-CAL-本页仅作为文档封面，使甬请直接删除测量平差知识点观测误差包括：粗差、系统误差、偶然误差。
粗差：即粗大误差，或者说是一种大量级的误观测差，是由观测过程中的差错造成的。
发现粗差的方法：进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。
系统误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差称为系统误差。
消除或削弱的方法:采取合理的操作程序（正、倒镜,中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正裁（如钢尺量距时的尺长误差等）。
偶然误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出偶然性，即就单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，或者随机误差。
采臥措施：处理带仔偶然误差的观测值，就是木课程的内容，也叫做测量平差。
偶然谋差又称随机误差，有以I、•四个特性：1）一定观测条件下，误差绝对值有一泄限值（有限性）；2）绝对•值较小的课差比绝对值较人的课差出现概率人（渐降性）：3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）；4）偶然谋差的数学期望为零（抵偿性）。
衡量精度的指标有五个，分别眉中矗、平均矗、或然i灵差、极限i灵差以及相对中谋差。
其中中矗和极限误差以及相对中保差是工程測量中常用的指标。
5、相对谋差颠差、屮促差、极限促差等指标，对于菜些观测结果，有时还•侮全表达观测结果的好坏，例如，分别丈1000m及500⑴的两段距离，它们的中课差均为±2cn】，虽然两者■的中误差相同，但就M位长度而言，两者精度并彳、相同。
显然询耆的郴对蒂度比后者耍高。
一般:而言，一些与长度有关的观测俺或其函数值，单纯用中误苣还不能区分出蒂度的高低，所以常用相对课差。
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
条件平差的基本原理
v1
V
n ,1
v2
vn
wa F1L1, L2 ,, Ln
wb F2 L1, L2 ,, Ln
wr Fr L1, L2 ,, Ln
则相应方程的矩阵表达式分别为
F Lˆ 0
AV W 0 W FL
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数
5）求观测值的平差值； Lˆ L V
6）检核。 F (Lˆ) 0
7）检核。
3. 实例分析 例6-1水准网如右图：观测值及其权矩阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
P diag1 1 1 2.5 2.5 2.5
求各水准路线的最或然值。
解： 1）列出条件方程
或
v1 v2 v3 v2
0 0 v4 4 0
v1
1 0
1 1
1 0
0 1
v2 vv43
0 4
0 0
令c=1，则由定权公式
，有 pi
C Si
1 Si
P 1
1 p1
0
0
0
0
1 p2
0
0
0
0
1 p3
0
0 s1 0 0 0 2 0 0 0
0 0
0 0
1 p4
0
K
r ,1
ka
kb
kr T
，称为联系数向量。组成函数
V T PV 2K T AV W
将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得
d dV
2V T P
2KT
A
0
两边转置，得
条件平差
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
目标函数：f x min n1 x a h x min F a , x f 1k 约束条件： h x 0 k 1 n1 F a, x
0 a F a, x 0 x
L2
L4 L1 L3 L2
A
B
C
§6-2 条件方程
条件方程的个数等于多余观测数r。条件方程之间 不能线性相关,在一个平差问题中，条件方程的个 数是固定不变的.
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形式简单，易 于列立
控制网常见几何模型
水准网 三角网(测角网) 三边网(测边网) GPS基线向量网 单一附合导线
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
测量平差知识大全
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
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t 2*5 4 6 r 11 6 5 k 1
条件观测平差
角度条件 （1）图形条件
n边形的内角估值之和应 满足(n 2) 180
v
i
w图 0
w图 i (n 2) 180
条件观测平差
角度条件 （2）水平闭合（圆周）条件 若在某点上观测了按相邻两个方向组成的全部角，则可 组成水平闭合条件。 A C D
§5-4 间接平差算法与算例
间接平差的函数模型和随机模型是:
误差方程为:
ˆ L V BX ˆ d L 2 1 D 2Q 0 P
V Bx ˆ l
T T
l L BX 0 d
ˆ B Pl 0 B PBx 法方程为: 参数的改正数解为： 1 T T 1 ˆ B PB B PBl N bb x W
条件平差的概念与平差模型：
条件平差法是在满足r个条件方程要求下， 根据最小二乘原理VTPV=min，按求函数的 条件极值的方法，求出观测量的改正数V， 进而求出观测的最或然值（平差值）。
条件方程个数等于多余观测数r＝n-t，n为 观测值总数，t为要观测数。
ˆ L V L
建立条件方程：
a11V1 a12V2 a1nVn W1 0 a21V1 a22V2 a2 nVn W2 0 ar1V1 ar 2V2 arnVn Wr 0
h5
B h8
h4
C
条件观测平差 二）测角网：
p 网点数 t 2 p 4 q q 多余的独立起算数据 C r nt
4个必要的起算数据为： 一个已知点（2个坐标） 一个方位（1个） 一个尺度（1个 两已知点（4个坐标）
列条件的原则： 条件观测平差 将复杂图形分解成典型图形。
n2=4
2 h3=+4.256m n3=12
3
§6-2 条件方程
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形 式简单，易于列立
一）水准网：t=p 或t=p-1 独立闭合环、附合水准路线 ----包含的线路数最少为原则
条件观测平差
A
h1
C E
h6
h2
h5
h3
检核平差值满足条件方程
ˆ h ˆ 12.5257 HD H A h m 1 4
例：一条闭合水准路线，已知A点的高程为16.330m, 水准路线上有三个固定点1， 2， 3，高差与测站数如图示, 采用条件平差求各点高程的平差值。
h1=+1.596m n1=3
A
1 h2=-0.231m
h4=-5.642m n4=6
例：图中, A, B为已知水准点，其高程 为：H A 12 .013 m, H B 10 .013 m。 为了确定 C , D点的高程，观测了四段 高差 高差观测值与水准路线 的距离如下：
h1 1.004 m, S1 2km, h2 1.516 m, S 2 1km h3 2.512 m, S 3 2km, h4 1.520 m, S1 1.5km 求C和D点高程的平差值。
F
列条件的原则：将复杂图形分解成典型图形。
类型：图形条件、圆周条件 、极条件、固定方位 条件、固定边长条件、固定坐标条件
三角形
t 2*3 4 2 r 3 2 1
大地四边形
中心多边形
扇形
t 2*4 4 4 r 84 4
t 2 * 7 4 10 r 18 10 8 k 2
h7
F
B
D
条件观测平差
A h6 h7 h1 h3 h2 D O
t 5 1 4 C r n t 84 4
h 6 h5 h 7 0 h1 h 3 h 6 0 h 3 h 2 h 4 0 h 4 h8 h 5 0
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
A
h1
h4
C
D
h2
h3
B
解: n=4,t=2,r=2 列两个条件方程式：
ˆ h ˆ h ˆ H 0 HA h 1 2 3 B ˆ h ˆ 0 h
2 4
v1 v 0 1 1 1 0 2 0 1 0 1 v 4 0 3 v4
B
ˆ 1.0047 h 1 ˆ h2 1.5174 ˆ L L V ( m) ˆ h3 2.5127 h ˆ 1 . 5174 4
ˆ 11.0083 HC H A h m 1
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
N aa
2 0 P 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 2 0 0 1.5
2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 5 1 1 T AP A 0 1 0 1 2 1 0 1 2.5 1.5 0 1
ˆ L V L i i i
L1
N aa
1 AQAT 1 1 11 3 1
1 K Naa W 3
检核
4201217 ˆ L V 780 0906 L 590 3837
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
r ,1
r .nn.1 T r .1
r ,1
V PV min
根据最小二乘原理，按求函数极值的拉格朗日乘 数法，设其乘数为 k=(k1,k2,…,kr)T，称为联系数 向量，组成函数
V T PV 2K T ( AV W )
将Ф对V求一阶导数，并令其为零，得
d 2V T p 2 K T A 0 dV
2 0
T 1 Qˆˆ F T QX F N ˆX ˆ bb F
第六章
条件平差
§6-1 条件平差原理
一、引例：按条件平差法求观测内角的平差值。
L1=42°12´20"
L2=78°09´09
L3=59°38´40
" "
L2
条件观测平差
L3
ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 1 2 3
间接平差的最小二乘解为:
0 ˆ ˆ ˆ L L V, X X x
精度评定：
单位权中误差：
V T PV V T PV ˆ0 r nt
ˆ 平差参数 的协方差阵 : X
函数的方差：
D Q ( B PB)
2 2 T ˆX ˆ X 0 ˆX ˆ X 0
1
Dˆˆ Qˆˆ
两边转置：PV=ATK， 得改正数V的计算公式为 V=P-1ATK=QATK 改正数方程 条件平差的基础方程： AV W 0
r .nn.1 r .1 r ,1
V Q AT K
n ,1
n , n n , r r ,1
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
G
h4
t 7 1 3 3 C r nt 73 4
h1 h 2 h3 ( H C H A ) 0 h1 h6 h7 ( H B H A ) 0 h7 h5 h 4 ( H D H B ) 0 h 2 h5 h6 0
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
W1 V1 W2 V2 W , V W V r r
a10 a20 A0 a ro
ˆ A 0 A L 有： → 0 AV W 0 r , n n ,1 r ,1
引例2：按间接平差法求观测内角的平差值。
L1=42°12´20"
L2=78°09´09
L3=59°38´40
" "
几个概念：
t个必要观测元素间不存在函数关系；
当存在多余观测，且n个观测值中包含t 个必要观测元素时，观测值间可建立函 数关系。 一个几何模型中有r个多余观测，则在n个 观测值间可产生r个条件方程。
W1 a 11L1 a 12 L 2 a 1n L n a 10 W2 a 21L1 a 22 L 2 a 2n L n a 20 Wr a r1L1 a r2 L 2 a rn L n a r0
3 V QAT K 3 3
ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 1 2 3
二、条件平差原理
对某一平差问题，有n个观测量L，t个必要观测 值，多余观测量为r。 在Li间建立 r 个平差值线性条件方程：