椭圆的性质
椭圆和抛物线认识椭圆和抛物线的性质
椭圆和抛物线认识椭圆和抛物线的性质椭圆和抛物线的性质椭圆和抛物线是数学中重要的曲线。
它们具有独特的性质和特点，对于数学和其他学科的研究都有着重要的影响。
本文将从几何的角度来认识椭圆和抛物线的性质。
一、椭圆的性质1. 定义和基本特点：椭圆是平面上到两个定点之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点被称为焦点，连结两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
椭圆还具有对称性，对于任意一点P在椭圆上，关于椭圆的中心O对称的点P'也在椭圆上。
椭圆的性质主要包括离心率、焦距、直径等。
2. 离心率和焦距：离心率是椭圆的一个重要参数，它反映了椭圆的扁平程度。
定义离心率为e，焦距为2ae，那么椭圆的离心率等于焦距除以主轴的长度。
当离心率小于1时，椭圆更加圆形；当离心率等于1时，椭圆为特殊的形状，称为圆；当离心率大于1时，椭圆更加扁平。
3. 弦和焦准线性质：在椭圆上取两点A和B，将线段AB延长到焦准线上，设焦准线与AB的交点分别为C和D，则有AC+CB=AD+DB。
这个性质可以用于椭圆方程的证明和相关问题的解答。
二、抛物线的性质1. 定义和基本特点：抛物线是平面上到一个定点距离等于到一直线距离的点的轨迹。
这个定点被称为焦点，这条直线被称为准线。
抛物线还具有对称性，点P 关于焦点的对称点P'也在抛物线上。
2. 焦距和焦点：焦距是抛物线的一个重要参数，表示焦点到准线的垂直距离。
由于抛物线的对称性，焦点到顶点的距离等于焦距的绝对值。
3. 切线和切点性质：过抛物线上一点P画一条直线与抛物线相切，该直线与准线交于点M，过点P和点M分别作抛物线的切线，设切线与抛物线的交点为Q，则PM=MQ。
这个性质可以用于抛物线方程的证明和相关问题的解答。
三、椭圆和抛物线的共同性质1. 轴和焦点：椭圆和抛物线都有轴和焦点。
对于椭圆，轴是主轴，焦点是两个定点；对于抛物线，轴是准线，焦点是一个定点。
2. 对称性：椭圆和抛物线都具有对称性。
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是在平面上的一个几何图形，它的形状类似于一个椭圆形的椭圆。
椭圆由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。
椭圆的定义可以通过以下方式来描述：给定两个不重合的点F1和F2，以及一个正常数a，椭圆是平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于2a的所有点P的集合。
椭圆有许多有趣的性质。
首先，椭圆是一个闭合图形，它的形状在两个焦点F1和F2之间变化。
其次，椭圆的中点O是焦点F1和F2之间的中点，并且椭圆的长轴是连接这两个焦点的线段。
长轴的长度为2a，其中a为椭圆的半长径。
椭圆的短轴是与长轴垂直且通过中点O的线段，其长度为2b，其中b为椭圆的半短径。
椭圆的长轴和短轴之间的关系可以通过以下公式表示：长轴的长度的平方等于短轴的长度的平方加上焦距的长度的平方。
椭圆的形状也可以由离心率来描述。
离心率是一个衡量椭圆形状的参数，表示焦点之间的距离与半长径之间的比值。
离心率小于1的椭圆形状更加圆形，而离心率等于1的椭圆是一个特殊的圆，离心率大于1的椭圆形状更加扁平。
除了这些基本的定义和性质之外，椭圆还有许多其他的性质。
例如，椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这被称为椭圆的焦点性质。
椭圆还具有对称性，即关于长轴和短轴都有对称性。
椭圆还可以通过旋转的方式来得到新的椭圆，这被称为椭圆的旋转性质。
总结起来，椭圆是平面上的一个几何图形，由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。
椭圆具有闭合性、中点、长轴和短轴、离心率等基本性质。
此外，椭圆还有焦点性质、对称性和旋转性质等其他有趣的性质。
通过研究椭圆的定义和性质，我们可以更深入地理解和应用椭圆在数学和物理等领域中的重要性。
数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)_知识点总结
数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）_知识点总结
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。
椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。
2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。
4、焦距：。
5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。
椭圆的性质大总结
椭圆的性质大总结椭圆是在平面上由一个固定点（焦点）和到这个焦点的距离之比为常数的点的集合。
椭圆具有多种性质和特点，在几何学和数学中有广泛的应用。
在本文中，我们将对椭圆的性质进行大总结。
定义椭圆可以通过以下定义来描述：给定一个焦点F和一个固定数值e（0<e<1），椭圆是到焦点与到该焦点距离之比等于e的点的集合。
焦点到椭圆上任意点的距离之和等于2a，其中a是椭圆的半长轴。
方程椭圆的方程可以通过以下形式来表示：(x-h)*(x-h)/a^2 + (y-k)*(y-k)/b^2 = 1其中，(h,k)是椭圆的中心点，a是半长轴的长度，b是半短轴的长度。
几何性质焦点和定位线椭圆有两个焦点F1和F2，焦点到椭圆上任意点的距离之和等于2a。
与焦点相关的是定位线，这是指通过焦点的直线，它与椭圆的切线在焦点上相交。
主轴和短轴椭圆有两条轴，分别是主轴和短轴。
主轴是椭圆的长轴，它通过椭圆的中心，并且与椭圆的两个焦点相交。
短轴是与主轴垂直的轴，也通过椭圆的中心。
离心率椭圆的离心率定义为焦距与短轴之比，即e=c/a，其中c是焦距，a是半长轴。
直径椭圆的直径是通过椭圆两个焦点的线段。
相对应的，椭圆的半径是从椭圆的中心到椭圆上的点的距离。
弦和弦长椭圆的弦是椭圆上的两点之间的线段。
弦的长度取决于它与椭圆上的两个点的位置。
数学性质参数方程椭圆可以使用参数方程来表示：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中，(h,k)是椭圆的中心点，a是半长轴的长度，b是半短轴的长度，t是参数。
单位圆椭圆可以通过一个单位圆转换得到。
如果我们将椭圆的半长轴和半短轴长度分别除以半径，就可以得到一个单位圆。
椭圆的对称性椭圆具有两种对称性：关于x轴对称和关于y轴对称。
这意味着椭圆关于x轴和y轴对称的两个点具有相同的性质，如距离焦点的距离等。
弧长公式椭圆的弧长可以使用以下公式计算：s = a * ∫[0,t] sqrt(1 - e^2 * sin^2(u)) du其中，s是弧长，a是半长轴的长度，e是椭圆的离心率，t是参数。
3.2.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的离心率 e= ．
范围： 0<e<1
e越接近1，c越接近a， = 2 − 2 越小，因
此椭圆越扁平；
e越接近0，c越接近0， = 2 − 2 越大，因
此椭圆越接近于圆；
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，
图形变为圆，方程为 2 + 2 = 2 .
典型例题
典型例题
例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=
4
比是常数 ，求动点M的轨迹．
5
25
的距离的
4
轨迹方程
轨迹上任意的点 M 的坐标(x , y)所满足的条件
点M所满足的条件
点M与定点F(4,0)的距离和M到定
25
4
直线l:x= 的距离的比是常数
4
转化
5
两点间距离和点到直线的距离
6 − 91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
圆 2 + 2 + 6 + 5 = 0
圆心1 (− 3,0),半径r1=2
椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，
经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知 ⊥ 1 2 ， 1 = 2.8cm，
1 2 = 4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
椭圆的方程
求a,b
建立关于a,b的方程
典型例题
2
4.12
+
2
3⋅4 2
= 1．
方
程
思
想
典型例题
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
椭圆与双曲线的基本概念与性质
椭圆与双曲线的基本概念与性质椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，它们具有不同的特点和性质。
在本文中，我们将介绍椭圆和双曲线的基本概念以及它们的性质。
一、椭圆的基本概念与性质椭圆是平面上的一条曲线，定义为到两个定点 F1 和 F2 的距离之和等于常数 2a 的点的集合。
这两个定点称为焦点，而常数 2a 称为椭圆的长轴长度。
椭圆的性质如下：1. 椭圆的离心率是一个小于1的正数，可以表示为 e = c/a，其中 c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的中心在原点(0,0) 处，长轴与x 轴平行，短轴与y 轴平行。
3. 椭圆关于 x 轴和 y 轴对称，且关于原点对称。
4. 椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于常数 2a。
5. 椭圆的周长可以通过长度公式C = 2πa(1 - e^2) 计算。
二、双曲线的基本概念与性质双曲线是平面上的一条曲线，定义为到两个定点 F1 和 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a 的点的集合。
这两个定点也称为焦点，常数 2a 称为双曲线的距离。
双曲线的性质如下：1. 双曲线的离心率是大于1的正数，可以表示为 e = c/a，其中 c 是焦点之间的距离。
2. 双曲线的中心在原点 (0,0) 处，与椭圆不同，双曲线的两个分支分布在 x 轴的两侧。
3. 双曲线关于原点对称。
4. 双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数 2a。
5. 双曲线的周长可以通过长度公式C = 2πa(1 + e^2) 计算。
三、椭圆与双曲线在实际中的应用椭圆和双曲线在实际中具有广泛的应用。
下面是两个常见的例子：1. 卫星轨道：卫星在地球上空的轨道通常是椭圆或双曲线，这是因为椭圆和双曲线都能够提供稳定的轨道。
2. 反射面：抛物线是由椭圆和双曲线扩展而来的，抛物面具有反射的特性，因此经常被用于望远镜、碟形天线等设备的设计中。
总结：椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，通过定义、性质以及实际应用来理解它们。
椭圆和双曲线具有不同的形态特点，对应不同的数学模型以及实际应用场景。
椭圆的几何性质(简单性质)
3
则 C 的离心率为 3
.
y
BF 2FD
B
(c, b) 2( x c, y)
x
3 2
c,
y
b 2
.
OF
x
D
(
3 2
c
a2
)2
(
b 2
)2
b2
1,
c2 a2
1 3
,
e
3 3
.
主页
【4】(09·江苏)如图，在平面直角坐标系
xOy中, A1, A2, B1, B2为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的四
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
y
P
解：当点 P 在椭圆短轴端点时， F1PF2 最大．
F1
o
F2
x
≥ 45 sin ≥
2 2
c a
sin
≥
2 2
又0e1
2 2
≤
e
1
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
(Ⅱ)设 PF1 m, PF2 n ， 构造方程、不等式
解解解解:::易:易易易知知知知aaa＝a解＝＝＝2:22，易，2，，b知bb＝＝＝ba1＝1＝1，，，12cc，＝c，＝＝cb＝＝333，，，1，3，c＝ 3， 所所所所以以以以FFFF11(1(1－(－(－所－3以33，，3，F0，00)1)，()，0－，)FF，F22(23(F(，3233，(，0，)03，00)，)．)．F．02()．3，0)． 设设设设PPP((x((xx，x，，，yy)y设)y，)，，)，P(x，y)，
有关椭圆的所有知识点
有关椭圆的所有知识点
1. 椭圆的定义：椭圆是一种特殊的抛物线，它是二维平面上的曲线，其中两条轴的长度不相等，椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
2. 椭圆的性质：
（1）椭圆的对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的中心点是两个对称轴的交点；
（3）椭圆的长轴和短轴的长度分别为a和b，椭圆的面积为S=πab；
（4）椭圆的边界是一个抛物线，称为椭圆弧，可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，
y=b\sin t$$
3. 椭圆的标准方程：
（1）椭圆的标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（2）椭圆的中心在原点时，标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（3）椭圆的中心在(h,k)处时，标准方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$$
4. 椭圆的对称性：
（1）椭圆是一种具有对称性的曲线，其对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，y=b\sin t$$
（3）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
5. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是椭圆的一个重要参数，它可以表示椭圆的形状，它的定义是：椭圆的离心率等于椭圆的长轴与短轴之比，即：$$e=\frac{a-b}{a}$$。
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椭圆的简单几何性质
学习目标：
1、掌握椭圆的范围、顶点、对称性、离心率这四个几何性质；
2、掌握标准方程中a 、b 、c 、e 的几何意义及其相互关系；
重点：掌握标准方程中a 、b 、c 、e 的几何意义及其相互关系
难点：掌握椭圆的范围、顶点、对称性、离心率这四个几何性质；
教学过程： 利用椭圆的标准方程122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)来研究椭圆的性质： （1）范围：|x|≤a,|y|≤b
椭圆位于直线x ＝±a,y ＝±b 所围成的矩形内
（2）对称性：
坐标轴是椭圆的对称轴；坐标原点是椭圆的对称中心
注意：标准方程表示的椭圆，它的对称轴是坐标轴，对称中心是坐标原点，那么能不能说椭圆的对称轴是坐标轴，对称中心是坐标原点呢？
不能。
（3）顶点：
A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0,－b)、B2(0, b)
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴与短轴。
它们的长分别是2a 、2b ，其中a 和b 分别叫做椭圆的长半长轴长与短半轴长。
（4）a 、b 、c 的几何意义是什么？
它们分别是长半长轴长、短半轴长、半焦距
（5）离心率
椭圆的焦距与长轴长的比2c/2a ＝c/a ＝e 。
椭圆离心率e 的范围是怎样的？
∵a ＞c ＞0,∴0＜e ＜1
例1、求椭圆40025162
2=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形。
解：把已知方程化为标准方程得：________________________
这里a ＝5，b ＝4，所以c ＝3。
因此长轴长2a ＝10,短轴长2b ＝8,
离心率e ＝c/a ＝3/5,
焦点F1(－3,0)和F2(3,0),
椭圆的四个顶点是A1(－5,0)、A2(5,0)、B1(0,－4)、B2(0,4)
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑴分析一：设方程为mx2＋ny2＝1，将点的坐标代入方程，求出m ＝1/9,n ＝1/4。
二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x 轴上，且点P 、Q 分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a ＝3，b ＝2，所以椭圆的
标准方程为_________________
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
随堂练习
⑴在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是（ ）
A 、x2＝y
B 、x2＋2xy ＋y ＝0
C 、x2－4y2＝5x
D 、9x2＋y2＝4
⑵求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 ①x2＋4y2＝16；
长轴长2a=8,短轴长2b=4,
顶点A1(－4,0),A2(4,0),B1(0,－2),B2(0,2)
②9x2＋y2＝81
长轴长2a=18,短轴长2b=6,
顶点：A1(0,－9),A2(0，9),、B1(－3,0),B2(3,0)
⑶在下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆？
①9x2＋y2＝36与x2/16＋y2/12＝1；
x2/16＋y2/12＝1
②x2＋9y2＝36与x2/6＋y2/10＝1
x2/6＋y2/10＝1
⑷已知椭圆mx2＋5y2＝5m 的离心率，求m 的值。
分析：椭圆的标准方程是x2/5＋y2/m ＝1(m ＞0，m ≠5) 当焦点在x 轴上，即0＜m ＜5时，
解得m ＝3
当焦点在x 轴上，即m ＞5时，
解得m ＝25/3
⑸若椭圆1552
2=++m
y x 的离心率是1/2，求m 的值。
m ＝－5/4，m ＝5/3
作业 P103 习题8.2 1、4。