椭圆的几何性质

3.椭圆的几何性质
①椭圆的范围
由椭圆标准方程知，椭圆上点的坐标满足不等式，
∴，，∴，，得，。

这表明椭圆位于直线，所围成的矩形框里。

②椭圆的对称性
在椭圆标准方程里，以代替方程不变，所以若点在曲线上时，
则点也在曲线上，所以曲线关于轴对称；
同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称；同时以代替，
代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，
原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。

③椭圆的顶点
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则是椭圆
与轴的两个交点。

同理令得，即是椭圆与
轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为
和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

④椭圆的定型三角形
由椭圆的对称性知，椭圆的短轴端点到焦点的距离为，那么短轴端点、焦点和椭圆中心三点构成椭圆的定型的直角三角形，称之为椭圆的定型三角形。

即在中，，即。

⑤椭圆的离心率：
椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

特殊地，当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

⑥椭圆的焦半径
若是椭圆上任一点，是椭圆的
左焦点和右焦点，则椭圆的焦半径为
；
若是椭圆上任一点，是椭圆
的下焦点和上焦点，则椭圆的焦半径为。

在求过椭圆焦点的弦长时，利用焦半径公式非常方便，设弦AB，其中若AB过焦点，则
.
⑦准线方程
当点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，同样
得到椭圆的标准方程（其中）。

这条定直线叫椭圆的准线。

根据图形的对称性，椭圆有两条准线，对于中心在原点，焦点在轴上的椭圆，与焦点对应的准线方程分别为；
对于中心在原点，焦点在轴上的椭圆，与焦点对应的准线方程分别为。

5.椭圆与直线的位置关系
Ⅰ、椭圆与直线的位置关系：
Ⅱ、椭圆与直线位置关系的判断：
已知椭圆：，直线，联立得
，
，则
当时，椭圆与直线相交于两点；当时，椭圆与直线相切于一点；当时，椭圆与直线不相交，即相离。

Ⅲ、椭圆与直线位置关系的特点研究：
1o椭圆与直线相交于两点，若直线的斜率为
，则弦长为。

2o椭圆与直线相切于点，若椭圆方程是，
则过切点的椭圆切线方程为。

此外，求椭圆切线方程的一般方法是：“联立—消元—”。

3o椭圆与直线相离，则可求椭圆与直线距离最近与最远的点，或求直线与椭圆最短与最长的距离。

设椭圆：，直线。

方法1：如图，是椭圆上任意一点，求点到直线的距
离的最值，这个最值就是直线与椭圆的最短与最远的距离。

即求
的最值。

方法2：如图，平行于直线的动直线：
与椭圆相切时，平行线与之间的最短或最远距离就是直
线与椭圆最短或最远的距离。

6.椭圆与圆的位置关系
Ⅰ、只限于椭圆与圆有共同对称轴时，研究椭圆与圆上点的最大
或最小距离。

由于圆的半径是不变的，椭圆与圆上点的最大或最小距离就转化
为定圆的圆心与椭圆上点的最大或最小距离。

Ⅱ、如图，设椭圆：的点，圆：
，与圆交于点，则
求的最值转化为求二次函数在区间上的最值。

于是
, 。

Ⅲ、若椭圆用参数方程表示，则
令，则
求的最值转化为求二次函数在
区间上的最值。

于是
, 。

Ⅳ、如图，设椭圆：的点，圆：，与圆交于点，则
求的最值转化为求二次函数在
区间上的最值，于是
, 。

高三数学备课组
椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的
两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是
002
2
1x x y y a
b
+
=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆
222
2
1x y a
b
+
=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程
是
002
2
1x x y y a
b
+
=.
7. 椭圆
222
2
1x y a
b
+
= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦
点角形的面积为1
2
2
tan
2
F P F S b γ
∆=.
8. 椭圆
2
2
221x
y
a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于
焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P
和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆
222
2
1x y a
b
+
=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22
OM AB b k k a
⋅=-
，即
2
02
y a x b K
AB
-
=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆
222
2
1x y a b +
=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
2
2
00002
2
2
2
x x y y x y a
b a b
+
=
+
.
13. 若000(,)P x y 在椭圆222
2
1x y a
b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002
2
2
2
x x y y x y a
b
a
b
+
=
+
.。