几何中的最值问题
几何中的最值问题
几何中的最值问题一、知识点睛几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”。
求面积的最值，需要将面积表达成函数,借助函数性质结合取值范围求解;求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理。
常用定理：1、两点之间，线段最短（已知两个定点时）2、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）3、三角形三边关系(已知两边长固定或其和、差固定时）二、精讲精练1. 如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm ，底面周长为18cm ,在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图2. 如图，点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动,若∠AOB =45°,OP =32,则△PMN 周长的最小值为 。
3. 如图,正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ,Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ +PQ的最小值为 。
4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2,∠A =120°,点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点,则PK +QK 的最小值为 。
5. 如图,当四边形P ABN 的周长最小时,a = ．6、在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的 正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点,且EF =2， 当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 。
7、如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧,A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB 的最大值等于 ．P A +PB 最小， 需转化， 使点在线异侧 |P A -PB |最大， 需转化，使点在线同侧 l B'ABP lB'B A PMOP蜂蜜蚂蚁C QP ED CBA QPKDCBAF DCBA xy O E N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)OyxABMN8、点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点,则OP OQ ⋅＝ ．第8题图 第9题图 第10题图 第11题图9、如图,在△ABC 中，AB =6，AC =8,BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________．10、如图，已知AB =10,P 是线段AB 上任意一点,在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．11、如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动,运动过程中，点P 到原点的最大距离是________。
初中数学几何最值问题综合题
知识板块几何最值问题专项考点一：几何图形中的最小值问题方法：1.找对称点求线段的最小值；步骤：①找点的对称点,动点在哪条线上动,就是对称轴；②连接对称点与另一个点；③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边：3.转化成其他线段,间接求线段的最小值：例如：用点到直线的距离最短,通过作垂线求最值;4.用二次函数中开口向上的函数有最小值：考点二：几何图形中的最大值问题方法：1.当两点位于直线的同侧时,与动点所在的直线的交点,这三点在同一直线时,线段差有最大值:2.当两点位于直线的异侧时,先找对称点,同样三点位于同一直线时,线段差有最大值；3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；4.用二次函数中开口向下的函数有最大值：例题板块考点一：几何图形中的最小值问题例1.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2, AE=3BE, P是AC上一动点,那么PB+PE的最小值是 .例2.如图2,在锐角二ABC中,AB=4V2» LBAC=45°,匚BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD 和AB 上的动点,那么BM+MN的最小值是.例3.如图3,点P是RtiZABC斜边AB上的一点,PE二AC于E, PF二BC于F, BC=6, AC=8,那么线段EF 长的最小值为：例4,如图,在Rt/kABC 中,AB=BC=6,点E, F 分别在边AB, BC 上,AE=3, CF=1, P 是斜边AC 上的 一个动点,那么aPEF 周长的最小值为.例5,如图,在平面直角坐标系中,RtA OAB 的顶点A 的坐标为(9, 0),点C 的坐标为(2, 0) , tanZBOA= —,点P 为斜边OB 上的一个动点,那么PA+PC 的最小值为( ) 3C.6D. 3 + V19例6.如图6,等腰RS ABC 中,NACB=90.,AC=BC=4, 0c 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切OO 于点Q,那么切线长PQ 长度的最小值为( )考点二：几何图形中的最大值问题例1,点A (1, 2)、B (4, 4) , P 为x 轴上一动点. (1)假设IPAI+IPBI 有最小值时,求点P 的坐标； (2)假设IPBUPAI 有最大值时,求点P 的坐标.例2 .如图8所示,A (!,yJ, B(2,yJ 为反比例函数y =,图像上的两点,动点P(x,O)在x 正半轴 2 ~ x上运动,当线段AP 与线段BP 之差到达最大时,点P 的坐标是 L A. V67 例7.如图7,矩形ABCD 中,AB=4, BC=8, E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 上两个动点,且PQ=3,当 CQ= 时,四边形APQE 的周长最小.例3,如图,在平面直角坐标系中,0M过原点O,与x轴交于A 〔4, 0〕,与y轴交于B 〔0, 3〕,点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.〔1〕求匚M的半径：〔2〕证实：BD为二M的切线：〔3〕在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.练习板块1.如图1,正方形ABCD的面积为18, △ ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一动点P,那么PD+PE的最小值为 .2. 〔2021•徐州一模〕如图2,在矩形ABCD中,AB=2, AD=4. E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最小值为.3. 〔2021•萧山区模拟〕如图3,直角三角形ABC中,ZC=90% AC=h BC=2, P为斜边AB上一动点.PE1BC, PF±CA,那么线段EF长的最小值为.4. 〔2021•武汉〕如图4, NAOB=30.,点M、N 分别在边OA、OB 上,且OM=1, ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,那么MP+PQ+QN的最小值是:5.如下列图1,反比例函数y = ' (x>0)图象上的两点A、B的横坐标分别为1, 3,点P为x轴x正半轴上一点,假设PA-PB的最大值为2及,贝ijk=x图36.如图2,在△ ABC中,ZC=90°> AC=4, BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )A.、疗+ 2B. 2屈C. 275D. 272 + 27.如图3,直线1与半径为4的二0相切于点A, P是二0上的一个动点(不与点A重合),过点P 作PB」垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y,那么(x-y)的最大值是.如图,四边形ABCD是正方形,△ ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60.得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证：△ AMB^AENB：(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小；②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由：(3)当AM+BM+CM的最小值为6 + 1时,求正方形的边长.8.己知：如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,0C=3, BC=2,取AB的中点M,连接MC, 把^MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到△ DAO.〔1〕试直接写出点D的坐标：〔2〕点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ_Lx 轴干点Q,连接0P.①假设△ OQP S^DAO,试求出点P的坐标：②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得ITO-TBI的值最大？作业板块1.如图1,在△ ABC中,AB=1O, AC=8, BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB, CA分别相交于点E, F,那么线段EF长度的最小值是.2.如图2,在RtA ABC 中,ZBAC=90% AB=3, AC=4,点P 为BC 边上一动点,PE1AB 于点E,PFLAC于点F,连结EF,点M为EF的中点,那么AM的最小值为A3.如图3,在△ ABC中,ZACB=90°, AC=8, BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x 轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为.4.如图4,在边长为2的菱形ABCD中,NA=60.,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点, 将△ AMN沿MN所在直线翻折得到△ ANIN,连接AC,那么AC长度的最小值是 .5..如图1,抛物线y=ax2+bx+c 〔a对〕的顶点为C 〔1, 4〕,交x轴于A、B两点,交y轴于点D, 其中点B的坐标为〔3, 0〕.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,假设直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,那么x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？假设存在,求出这个最小值及点G、H的坐标：假设不存在,请说明理由：。
几何中的最值问题
几何中的最值问题作为一门重要的数学学科，几何中有许多重要的概念和方法，其中最值问题是一个广泛研究的内容。
在几何中，最值问题是指在某些条件下，某个几何量（如长度、面积、体积等）的最大值或最小值问题。
本文将从不同角度介绍几何中的最值问题及其应用。
一、最值问题的基础概念在几何问题中，最值问题最常见的便是一些面积、长度和体积的最值问题。
最常见的方法是使用微积分的极值定理，通过计算导数为0的点来找到函数的最大值和最小值。
此外，还有最大和最小的边界问题。
这些问题需要考虑的是给定条件下的最大可行解或最小可行解。
例如，给定一个面积固定的矩形，我们需要求出其长度和宽度的最大或最小值。
这些问题与微积分密切相关，但在解决这些问题时需要更多的几何知识和直觉。
二、平面几何中的最值问题在平面几何中，最值问题通常涉及三角形、四边形和圆形等形状。
这些形状的特性可以用来求解最值问题，通常需要使用各种几何知识和技巧。
例如，对于一个给定面积的三角形，在其周长恒定的情况下，需要求出该三角形的最大或最小长度。
为解决这类问题，我们可以利用三角形的海涅定理或余弦定理，通过微积分的极值定理得到最优解。
对于圆形，最值问题可能涉及到面积和周长问题，这些需要用到圆相关的特点和公式，如半径、直径、周长和面积等，通常需要通过微积分的方法求解。
另一方面，对于四边形最值问题，我们需要利用它们的对角线和相邻边的关系来解决，这通常需要将四边形划分为三角形或矩形来计算。
三、空间几何中的最值问题在空间几何中，最值问题通常涉及立体体积，包括长方体、正方体、棱锥和棱柱等。
这些问题需要利用空间几何的特点和公式来求解，常用的方法包括微积分的极值定理和立体几何的体积计算公式。
例如，对于一个矩形长方体，在其表面积固定的情况下，需要求出其有最大或最小的体积。
如果我们设该矩形长方体的长、宽和高分别为x、y和z，那么该矩形长方体的体积可以表示为V(x,y,z)=xyz。
通过微积分的方法，可以证明只有当x=y=z时，该方体的体积最大。
几何图形中的最值问题
几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题:1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2.不等式: ①如x ≤7，最大值是7；②如x ≥5，最小值是5.3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M 在DC 上，且DM=2，N 为线段AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值。
解: 作点D 关于AC 的对称点D /，则点D /与点B 重合，连BM,交AC 于N ，连DN ，则DN+MN 最短,且DN+MN=BM 。
∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6, 在Rt △BCM 中,BM=6822 =10,∴DN+MN 的最小值是10。
例2，已知，MN 是⊙O 直径上，MN=2,点A 在⊙O 上，∠AMN=300,B 是弧AN 的中点，P 是MN 上的一动点，则PA+PB 的最小值是解:作A 点关于MN 的对称点A /,连A /B,交MN 于P ，则PA+PB 最短。
连OB ，OA /,∵∠AMN=300,B 是弧AN 的中点， ∴∠BOA /=300, 根据对称性可知 ∴∠NOA /=600, ∴∠MOA /=900, 在Rt △A /BO 中，OA /=OB=1, ∴A /B=2 即PA+PB=2图4CDMNMMNB例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x 上确定一点P ，使点P 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出最小值。
解:作点E 关于直线y=x 的对称点M ， 连MD 交直线y=x 于P ，连PE ， 则PE+PD 最短；即PE+PD=MD 。
∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),过M 作MN ∥x 轴的直线交过D 作DN ∥y 轴的直线于N ， 则MN ⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1),在Rt △MND 中,MN=5,ND=2, ∴MD=2522+=29。
初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
几何中的最值问题的解决策略
几何中的最值问题的解决策略
在几何中，最值问题通常是要找到一个几何对象的最大值或最小值。
以下是几何中解决最值问题的一些常用策略：
1. 利用性质或定理：利用已知的几何性质或定理来推导出最值问题的解。
例如，利用三角形的角度和性质来证明某个角度或边长的最大值或最小值。
2. 利用几何画图法：通过绘制几何图形，并观察图形的性质来解决最值问题。
例如，通过绘制直角三角形来找到两条边长之和固定时，两条边长的乘积的最大值。
3. 利用代数方法：将几何问题转化为代数问题，并通过求导、求解方程等代数方法来求解最值问题。
例如，通过代数方法来证明一个函数的极值点是函数的最大值或最小值。
4. 利用不等式：通过建立合适的不等式关系来限制几何对象的取值范围，并通过求解不等式来解决最值问题。
例如，通过利用三角不等式来推导出三角函数的最值问题。
5. 利用等式的极值性质：利用等式的极值性质来解决最值问题。
例如，通过证明函数的取值范围，并找到函数在取值范围边界处的最大值或最小值。
综上所述，解决几何中的最值问题需要运用几何性质和定理，绘制几何图形观察性质，以及运用代数方法、不等式关系和极
值性质等。
同时，解决最值问题还需要对几何对象的性质有深刻的理解和运用。
初中几何最值问题类型
初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。
求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。
2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。
求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。
3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。
4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。
5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。
这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。
对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。
通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。
精彩初中几何最值问题全总结
一、基本图形余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定。
例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB 边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。
例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与最小值的差。
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几何中的最值问题
在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：
（1）应用几何性质：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：
①运用配方法求二次三项式的最值；
②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。
变式1：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使P A－PB最大。
A
L
B
例2、如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边的△BCP是等边三角形，求AP的最大值、最小值。
A'
例3、已知：如图⊙O1与⊙O2相交于C、D,A是⊙O1上一点，直线AD交⊙O2于点B。
⑴当点A在弧CAD上运动到A’点时，作直线A’D交⊙O2于点B’，连结A’C、B’C。
证明：△A’B’C ∽△ABC。
(2)问点A’在弧CAD上什么位置时，S△A’B’C最大，说明理由。
（3）当O1 O2＝11，CD＝9时，求S△A’B’C的最大值。
B
B
图1 图2
例4、已知：如图△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120mm，高AD＝80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设矩形的长QM＝y mm ，宽MN＝x mm
（1）求证：y=120- x
(2)当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？。