自动控制原理总结之判断系统稳定性方法

判断系稳定性的方法
一、 稳定性判据（时域）
1、 赫尔维茨判据
系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正； 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；
21
2
31
4253
10
000000000000000a a a a a a a a a a a a a n n
n n n n n n n n n
--------=∆
当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即
00
03
1425
3132
3
1211>∆>=∆>=
∆>=∆-----------n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a
则方程无正根，系统稳定。

赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。

例；若已知系统的特征方程为05161882
34=++++s s s s
试判断系统是否稳定。

解：系统特征方程的各项系数均为正数。

根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。

5181
016800
5
18100168=
∆
由△得各阶子行列式；
86900172816
8
518
10
168012818
11680884321>=∆=∆>==∆>==
∆>==∆
各阶子行列式都大于零，故系统稳定。

2、 劳思判据
（1）劳思判据充要条件：
A 、系统特征方程的各项系数均大于零，即a i >0；
B 、劳思计算表第一列各项符号皆相同。

满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。

（2）劳思计算表的求法：
A 、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：
1
112
124
32134321275311642w s v s u u s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s n n n n n n n n n n n n
----------
B 、计算劳思表
1
7
61315
41213
211-------------=-=-=n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b
系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。

用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c ，d ，e 等各行的系数。

1
2
121114
171313
151212
1311c c b b c d b b a a b c b b a a b c b b a a b c n n n n n n -=-=-=-=------
（3）劳思判据的两种特殊情况
A 、劳思计算表第一列出现零的情况
因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。

为解决该问题，其办法是用一个小的正数ε代替0进行计算，再令ε→0求极限来判别第一列系数的符号。

B 、劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况
此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方程式
对s 求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。

例1：已知系统特征方程为0126322345=+++++s s s s s
判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。

解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。

列写劳思计算表并计算得：
()1
3
6231
362301622
310
2
1
2345s s
s s s s --
-εεε
εε
当ε →0时，
23
3623，3
62→
---∞→-εεε
ε
故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。

例2：已知控制系统的特征方程为
016162012822
3456=++++++s s s s s s
试判定系统的稳定性。

解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。

列写劳思计算表并计算得：0
0861)16122(8
61)16122(162081344556s s s s s s
因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如
下：
()862
4++=s s s A 将A(s)对s 求导，得：
()s
s s A ds d
1243+=
再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表：
8
318331)124(86186116
20810
1233456s s s s s s s s
从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。

但是因s 3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在。

共轭虚根可通过辅助方程求得 0862
4=++s s
其共轭虚根为 j s j s 2；24，32，
1±=±= ，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。

二、 根轨迹法（复域）
系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S 平面的左半平面。

例：已知系统的开环传递函数为G (S )=k
s (s+1)(0.5s+1)，试应用根轨
迹法分析系统的稳定性。

解：G(S)=2k
s(s+1)(s+2)=K∗
S(S+1)(S+2)
(K*=2k)
做根轨迹：
（a）有三条根轨迹（n=3 m=0 n-m=3）（b）实轴上（0,−1）(−2,−∞)为根轨迹段（c）渐近线的夹角与坐标：
φa=(2k+1)π
n−m ={±60°,180°},σa=(−1)+(−2)
3
=−1
（d）分离点坐标d：
1
+1
+
1
=0
解得 d1= -0.423
d2= -1.58 （舍去）因为d2不在根轨迹上（e）与虚轴的交点坐标：
D(S)=S3+3S2+2S+K∗
令S=jw 代入到式中得：
D(jw)=(jw)3+3(jw)2+2(jw)+K∗
解得：{−w3+2w=0−3w2+K∗=0
故W1=0,W2=±1.414,W3=±1.414,K∗=6,K=3根轨迹图如下所示：
三、频率特性
1、奈氏判据（奈奎斯特判据）
Z=P-2N 系统稳定时Z=0
由开环传递函数在S平面的极点个数P，奈氏曲线绕
（-1，j0）的圈数N，得到闭环传递函数在S平面的极点的个数Z
P通过G(S)可知 N：顺时针为负，逆时针为正
当V≠0时，需要做增补线 W:0→0+
从幅相曲线W=0+位置开始沿逆时针方向画 V×90°的圆弧
增补线（理论半径为∞）计算圈数时要包括所画圆弧的增补
线在内。

例：某单位负反馈系统的开环传递函数为G(S)=K
S2(TS+1)试用奈氏判据判别闭环稳定性。

解: W：0+→∞
幅值趋于0，相角趋于-270°。

N=-1，P=0，Z=P-2N=2
故闭环系统不稳定。

2、对数频率判定系统稳定性
P
N=N+−N−=
在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)＞0.对应的频率范围对应的相角是否穿越 -180°
在V≠0时，也需要做增补线，从对数相频特性曲线上W=0+处开始，用虚线向上补90°角（补到0°或180°）
例：已知系统的开环传递函数为G(s)=10
试用对数频率稳
s(0.1s+1)
定判据判别系统闭环的稳定性。

解：N+=0，N−=0，P=0
N=(N+)-(N-)=0-0=P/2。