专题25平面几何的最值问题
平面几何的最值问题及求法
数 学教 学
２１ 年第 ５ ００ 期
平 面几何 的最值 问题 及 求法
５５ ２１ ３ ０广东 省东莞市常 学（ 部 平中 高中 ）陈 洪波
一
、
利用三角形的性质
利用三 角形 “ 两边之和大 于第三边， 两边之
设正 △ＡＢ 的边长为 ２ Ｍ 是 Ｊ 边上的中点， ， Ｅ ； ｊ是边Ｂ ［ ） 上的任意一点， ＋Ｐ 的最大值 Ｐ Ｍ 和最小值分别记为ｓ ， 和ｔ 则求 ｓ 一ｔ的值． 解： 如图 ２ ． Ｐ ≤ ，’ ，Ｆ ≤ Ｍ， ’ Ｊ ） ＰＡ＋ ＰＭ ≤ ＣＡ＋ ＣＭ ＝ ２＋ 、３ ／． ／
所 以Ｐ Ｐ ＝ ｘＯｐ ２ ／ ＇ ＋Ｏ ＂ Ｐ
例２ （ ０ 年全国初中数学联合竞赛试题） ２ ０ ０
２１ 年第 ５ ００ 期
＝ ￣ ＯＰ２＋ ＯＰ２＝ １ ｖ － ／ ０ ／ ２
．
数 学教 学
５２ —５
解： 以点 为旋转 中心， ＡＢＣ 将 Ｅ按顺时针 方向旋转 ６ 。 ＡＢＧ 连结 ＥＦ， ＡＢ ０到 Ｆ， 则 ＥＦ为
Ａ１
、
‘ ＼ ，
‘
、 ＼＼ Ｍ 、１ ＾
＝
３ 。 ０ ．
ｊ、 、 ‘ ， Ｎ
图４
设 正方 形 边 长 为 ， ＢＧ ＝ ， 则 ＧＨ ＝ － ， ４ ｘ
Ｂ 日 ： 日 ：
（ ） ＋ ．
由Ｇ Ｈ 十 日 ＝ＡＧ ， 得
１ ２ ＋
分析： 因河宽一定的， 以桥 Ｍ Ⅳ 的长度一 所 定， 只须使 Ｍ ＋ＢⅣ 最短即可． 可平移 Ｍ （ 或
于 Ｂ． ’Ｒｃ ． △ＤＤ Ｇ中， ＤＧ． 。ＤＤ ． ＤＤ ＞ ． ．
＞
Ｍ 连结 ＣＭ 则 ． ， Ｍ ＝ ９ 。 所以 ０， Ｍ ｘＡ ＋Ｃ ＝ ／ Ｃ２ ＝ 、７ ． ＝ 、 ． ／，’ ／ ．￡ ／ ／ ７ 从而 ８ 一ｔ ＝（ 十 ） 一７ ４ ． 。 。 ２ 。 ＝４ ５ 二、 利用对称变换 例３ （００ ２０ 年黄 冈初 中数学竞赛试题） 如图 ３ ， （Ｂ ＝ ４ 。 二 ） ５ 角内有一 点Ｐ， ＰＯ ＝ １， ０ 在 角的两条 边上有两点 Ｑ 均不 同于点 Ｄ， 、 求 ＡＰ Ｒ的周长的最小值． Ｑ
2018中考数学压轴题探究专题 ：几何最值的存在性问题
∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小； ②当等边△ABቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的边长为 1 时，OA+OB+OC 的最小值 A′B= ．
3．已知：在直角坐标系中，点 A（0，6），B（8，0），点 C 是线段 AB 的中点， CD⊥OB 交 OB 于点 D，Rt△EFH 的斜边 EH 在射线 AB 上，顶点 F 在射线 AB 的左 侧，EF∥OA．点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向点 B 运动，到点 B 停 止．AE=EF，运动时间为 t（秒）． （1）在 Rt△EFH 中，EF= t ，EH= t ；F（ t ， 6﹣ t ）（用含有 t 的代数式表示） （2）当点 H 与点 C 重合时，求 t 的值． （3）设△EFH 与△CDB 重叠部分图形的面积为 S（S＞0），求 S 与 t 的关系式； （4）求在整个运动过程中 Rt△EFH 扫过的面积．
由旋转的性质可知，∠OCD=60°，∠ADC=∠BOC=120°， ∴∠DAO=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°， 故答案为：90°； ②线段 OA，OB，OC 之间的数量关系是 OA2+OB2=OC2． 如图 1，连接 OD． ∵△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△ADC， ∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°． ∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB． ∴△OCD 是等边三角形， ∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°， ∵∠AOB=150°，∠BOC=120°， ∴∠AOC=90°， ∴∠AOD=30°，∠ADO=60°． ∴∠DAO=90°． 在 Rt△ADO 中，∠DAO=90°， ∴OA2+AD2=OD2． ∴OA2+OB2=OC2． （2）①如图 2，当 α=β=120°时，OA+OB+OC 有最小值． 作图如图 2， 如图 2，将△AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△A′O′C，连接 OO′． ∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°． ∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC， ∠A′O′C=∠AOC． ∴△OC O′是等边三角形． ∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°． ∵∠AOB=∠BOC=120°， ∴∠AOC=∠A′O′C=120°． ∴∠BOO′=∠OO′A′=180°． ∴四点 B，O，O′，A′共线．
例析平面向量的最值问题的几种解法
ʏ刘长柏平面向量融合了代数㊁几何及三角函数等知识,在求其最值时,解题方法呈现出多样性㊂下面对平面向量的最值问题的几种解法进行归纳,意在抛砖引玉㊂一㊁基底法例1 已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且A B ʅB C ,若点P 的坐标为(2,0),则|P A ң+P B ң+P C ң|的最大值为㊂解:设原点为O ㊂因为A B ʅB C ,所以A C 是圆O 的直径,所以|P A ң+P B ң+P C ң|=|2P O ң+P B ң|=|3P O ң+O B ң|ɤ3|P O ң|+|O B ң|=7,当且仅当P O ң,O B ң同向时等号成立㊂故所求的最大值为7㊂本题通过选择合适的基底向量,把三个动向量转化为只有一个动向量(O B ң),从而使问题得到解决㊂利用基底法解决问题时,首先需要考虑的是如何选择基底㊂二㊁坐标系法例2 已知矩形A B C D 的边长A B =2,A D =1,点P ,Q 分别在B C ,C D 上,且øP A Q =45ʎ,则A P ң㊃A Q ң的最小值是㊂解:以矩形A B C D 的顶点A 为原点,A B ,A D 所在的直线分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系x A y (图略)㊂易得A (0,0),B (2,0),C (2,1),D (0,1)㊂设P (2,y ),Q (x ,1)(0ɤx ɤ2,0ɤy ɤ1)㊂因为øP A Q =45ʎ,所以t a n 45ʎ=1x -y21+1x ㊃y 2,即y =2-2x 1+x ㊂因为A P ң㊃A Q ң=2x +y =2x +2-2x 1+x =2(1+x )+41+x -4ȡ42-4,当且仅当2(1+x )=41+x ,即x =2-1时等号成立㊂故A P ң㊃A Q ң的最小值为42-4㊂ 合理建立坐标系,由点的坐标转化为向量坐标的代数运算是坐标法解决向量问题的关键㊂三㊁构造函数法例3 等边三角形A B C 的边长为2,点P 为线段A B 上一点,且A P ң=λA B ң(0ɤλɤ1),则A P ң㊃C P 的最小值是,最大值是㊂解:A P ң㊃C P ң=A P ң㊃(A P ң-A C ң)=λA B ң㊃(λA B ң-A C ң)=4λ2-2λ=4λ-14()2-14㊂因为0ɤλɤ1,所以A P ң㊃C P ң的最小值为-14,最大值为2㊂本题主要是借助边长,将数量积转化为二次函数,利用二次函数的最值求解的㊂四㊁利用平面几何知识例4 已知向量a ,b ,c 满足|a |=4,|b |=22,a 与b 的夹角为π4,(c -a )㊃(c -b )=-1,则|c -a |的最大值为㊂解:设O A ң=a ,O B ң=b ,O C ң=c ㊂以O A所在的直线为x 轴,O 为坐标原点,建立平面直角坐标系x O y (图略)㊂由|a |=4,|b |=22,a 与b 的夹角为π4,可得A (4,0),B (2,2)㊂设C (x ,y ),由(c -a )㊃(c -b )=-1,可得(x -3)2+(y -1)2=1,此方程表示以(3,1)为圆心,1为半径的圆㊂|c -a |表示点A 与点C 的距离,即圆上的点与点A (4,0)的距离㊂因为圆心(3,1)到点A (4,0)的距离为2,所以|c -a |的最大值为2+1㊂解答这类问题,要熟练掌握与平面向量有关的三角形㊁平行四边形㊁圆㊁直线等平面几何知识㊂作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑 郭正华)3数学部分㊃知识结构与拓展高一使用 2022年2月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
中考数学几何模型专题25函数与正方形存在性问题(老师版)知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题25函数与正方形存在性问题【例1】（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，AB＝4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？（2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？（3）当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值；（4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．【分析】（1）可得出C点是BP的中点，从而求得t＝2；（2）证明DEF≌△BEQ，从而得出DF＝BQ＝4﹣t，进而CF＝CD﹣DF＝t，证明△PCF∽△PBQ，从而得出，进而求得t；（3）作OG⊥BP于G，可根据OG＝CG，进一步求得结果；（4）根据△PCF∽△PBQ，△DOF∽△BOG，分别列出比例式表示出CF，DF及EH，进一步求得结果．【解答】解：由题意得，CP＝2t，AQ＝t，BQ＝4﹣t，（1）四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴＝1，∴PC＝BC＝4，∴t＝＝2s；（2）∵AB∥CD，∴∠QBE＝∠EDF，∠BQE＝∠DFE，△PCF∽△PBQ，∴，∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∴△DEF≌△BEQ（AAS），∴DF＝BQ＝4﹣t，∴CF＝CD﹣DF＝t，∴t1＝1，t2＝0（舍去），（3）如图1，点O是PQ的中点，CO平分∠DCP，作OG⊥BP于G，同理得：OG＝，PG＝，∴CG＝PC﹣PG＝2t﹣（2+t）＝t﹣2，∵∠COG＝∠OCG＝＝45°，∴OG＝CG，∴，∴t＝；（4）如图2，过点E作GH∥BC，交AB于G，交CD于H，∵CF∥EG∥AB，∴△PCF∽△PBQ，△DEF∽△BEG，∴，＝，∴，＝，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝，∴＝，∴EH＝，∴S＝S△BCD﹣S△DEF＝﹣＝8﹣．【例2】（2022春•孟村县期末）如图，在平面直角坐标系中．直线l：y＝﹣2x+10（k≠0）经过点C（3，4），与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（8，4），连接OD，交直线l于点M，连接OC，CD，AD．（1）填空：点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（4，2）；（2）求证：四边形OADC是菱形；（3）直线AP：y＝﹣x+5与y轴交于点P．①连接MP，则MP的长为5；②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A的坐标，又点D的坐标，利用待定系数法可求出直线OD的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M的坐标；（2）过点C作CQ⊥x轴于点Q，利用勾股定理可得出OC＝5，又点C，D的坐标可得出CD＝5，CD ∥x轴，结合点A的坐标，可得出CD＝OA，进而可得出四边形OADC为平行四边形，再结合OC＝OA，即可证出四边形OADC是菱形；（3）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标，结合点M。
初中几何最值问题类型
初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。
求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。
2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。
求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。
3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。
4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。
5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。
这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。
对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。
通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
数学竞赛中平面几何最值问题的解法
（９８ 武 汉 市 中学 数 学 竞 赛 ） １５ ，
解 ： 图 ３ 如 ，
Ｏ
设 Ｏ Ｂ为扇形 ， Ａ 有 Ａ Ｂ＝１０ ， Ｏ ２￣
ＯＡ ＝ １． Ｃ ＤＥＦ
．
为 其 内 接矩 形 ．
设 Ｃ ＝ ， Ｄ
图 ３
Ｏ ＝Ｙ 过 ０ 作 Ｄ ，
即 Ａ＋Ｏ 的最小值为 Ｏ Ｃ
．
４ 二 次 函数 法
３ 判 别 式 法
利 用 二 次 函数 的性 质 求 得 结 果 ．
例 ４ 已知 △ Ａ Ｃ 是 边 长 为 １的 正 三 角 Ｂ
根据 问 题 的 条 件 ， 欲 求 最 值 的 几 何 对 将
象 变 为 某 实 二 次 方 程 的 系 数 ， 方 程 的 根 为 由
１ 综 合 法
又 Ｏ ：１ 故 ０ ≥√ Ｍ ， ， ２—１ ．
即 Ｄ ，的最 小 值 为 √ ２—１ ．
２ 猜 测 法
根 据 已 知 条 件 ， 接 利 用 平 面 几 何 中 的 直
有关知识求得结 果 ． 例 １ 在 Ｒ △ Ａ ｔ ＢＣ 中 ， 边 Ａ ：２ ０ 斜 Ｃ ， 为Ａ Ｃ的 中点 ， 是 △ Ａ ， ＢＣ的 内心 ． Ｄ 求 ，的最 小值 ． 解 ： 图 １ 以 ０ 为 如 ， 圆心、 Ａ为半径 作 圆， Ｏ 连 延 长 交 ｏ 于 Ｍ ． ｃ ０
ＡＣ ： ２． ＭＡ ： ． ＭＩ： ＭＡ ： ．
平 面几 何 问 题 是 数 学 竞 赛 的 重 要 内 容 ，
而其 中的最 值 问题 更 是 数学 竞 赛 中的难 点 ， 且 题 目均 具 有 较 大 难 度 ． 文 将 结 合 具 体 实 本 例 ， 其解法作一介 绍 ． 对
高中数学：几何最值问题求法
高中数学：几何最值问题求法最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题．求最值常见的方法有两种：代数法和几何法．若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目条件和结论能明显体现某种函数关系，则可先建立目标函数，再求函数的最值，这就是代数法．一、几何法利用平面几何性质求解最值问题，这种解法若运用得当，往往显得非常简洁明快．例1、已知P（x,y）是圆上的一点，求的最大值与最小值。
分析：，于是问题就可以转化为在以A（2，0）为圆心，以为半径的圆上求点P，使它与原点连线的斜率为最大或最小。
由示意图可知，当OP与此圆相切时，其斜率达到最大值或最小值。
由OA=2，AP1=AP2=，且AP1⊥OP1，AP2⊥OP2，OP1=OP2=1，且∠AOP1=∠AOP2=60°，得。
二、代数法用代数法求最值常用的方法有以下几种：1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0所指的是在（）范围内方程有解，这一点应切记．例2、（同例1）分析：设，将y=kx代入圆方程得。
x为实数，方程有解，，解得，故。
即。
2、利用二次函数性质求最值．用此法求最值时，必须注意变量的取值范围．例3、已知椭圆及点P（0，5），求点P到椭圆上点的距离的最大值与最小值．分析：以（0，5）为圆心，若内切于椭圆的圆半径为r1，则r1为点P到椭圆上点的距离的最小值；若外切于椭圆的圆半径为r2，则r2为点P到椭圆上点的距离的最大值．因，故点P（0，5）在椭圆内部．设以（0，5）为圆心的圆方程为，与椭圆方程联立消去x2，得。
当时，，即；当y=7时，，即。
注：这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r的函数，利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值．值得注意的是因为r的定义域的限制，这里不适合利用判别式法．3、利用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，必须注意应用基本不等式的条件，特别要注意等号的条件以及“和”（或“积”）是不是常数，若连续应用不等式，那么要特别注意同时取等号的条件是否存在．若存在，有最值；若不存在，无最值．例4、过点A（1，4）作一直线，它在两坐标轴上的截距都为正数，且其和为最小，求这条直线的方程．分析：可用截距式设所求直线方程为。
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专题25 平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短． （衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）NME DAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． （广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题）DD 1第1题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A ．42B ．4.75C ．5D ．4.85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NNMOBBA BA E第6题图 第7题图 第8题图8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）．Q是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1) 求证：△APE∽△ADQ；(2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）FEB Q11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）MNB CB级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）yxr COFE EDF O BC A OBCAABP D GAB第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3．如图⊙O 的半径为2，⊙O 内的一点P 到圆心的距离为1，过点P 的弦与劣弧⌒AB 组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为 ．4．如图，△ABC 的面积为1，点D ，G ，E 和F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是 ．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图 第7题图 第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值． （河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标． （河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值． （“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB 相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）MNExCB第6题图 第7题图 第8题图 第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G，H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．(1) 求y关于x的函数解析式；(2) 当x为何值时，y取得最大值？求出y的最大值．（上海市竞赛试题）。