梯形及多边形的性质及证明

梯形及多边形的性质及证明（导学案）一、知识过关1. 梯形的定义：________________________________________．2. 等腰梯形的性质边：________________________________________________；角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________． 3. 梯形的中位线：______________________________________．4. 梯形中位线定理：________________________________________________________________________________________． 5. 四边形中的中点6. 中心对称图形：__________________________________________________________________________________________． 7. 中心对称图形上的______________都被___________平分． 8. n 边形的内角和等于_________________；外角和等于_____． 9. 平面图形的镶嵌：___________________________________________________ ___________________________________________________．二、精讲精练1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列结论不一定正确的是（ ） A ．AC =BDB ．∠OBC =∠OCB C ．S △AOB =S △DOCD ．∠BCD =∠BDC等腰梯形A CDB 直角梯形DAC BCADBFEDC BA2. 若等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）A ．120°B ．60°C ．45°D ．135°3. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =30°，∠BCD =60°，若AD =4，AB=BC的长为____________．第3题图 第4题图4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC ⊥BD ．若AD =3，BC =7，则梯形ABCD 的面积为____________．5. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若AC =BC +AD ，则∠ACB =____________．第5题图 第6题图6. 如图，DE 是△ABC 的中位线，M ，N 分别是BD ，CE 的中点．若MN =6，则BC =____________．7. 如图，在梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于点P ，且点P 恰好在梯形的中位线EF上．若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ） A ．9B ．10.5C ．12D ．15第7题图 第9题图8. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是矩形；顺次连接对角线____________的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线______________的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．ODCBA60°30°D CB ADC BADBA NME D C BA PFE D CBA D 1C 1B 1A 1D C BA9. 如图，已知四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，四边形A 1B 1C 1D 1是中点四边形．若AC =3，BD =4，则四边形A 1B 1C 1D 1的面积为_______________．10. 下列图形：①等腰梯形；②菱形；③平行四边形；④正方形；⑤直角梯形；⑥矩形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______________．（填写序号） 11. 下列说法正确的是（ ）A ．各边相等的多边形是正多边形B ．各角相等的多边形是正多边形C ．正多边形边数增加时，每个内角度数随着增加D ．正五边形既是中心对称图形，又是轴对称图形12. 如图，在一个足够大的操场上的点M 处，小明沿直线向前走10米后，向左转30°，再沿直线向前走10米，又向左转30°，……，如此继续下去．则小明第一次回到出发点M 处时，一共走了_________米．13. 多边形的内角中，锐角最多有（ ）A ．1个B ．2个 ．3个 D ．4个14. 如图，以正六边形ABCDEF 的边AB 为边，在六边形内作正方形ABMN ，连接MC ，则∠BCM 的度数为___________．第14题图 第15题图15. 如图是由3个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种多边形是_____边形．16. 如果要用正三角形和正方形两种图案进行镶嵌，那么至少需要（ ）A ．3个正三角形，2个正方形B ．2个正三角形，3个正方形C ．2个正三角形，2个正方形D ．3个正三角形，3个正方形三、回顾与思考【参考答案】一、知识过关N MFE DBA1.一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形2.等腰梯形两腰相等等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形的两条对角线相等3.连接梯形两腰中点的线段4.梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半6.把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形7.每一对对应点所连成的线段，对称中心8.(2)180n-⋅︒，360°9.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌二、精讲精练1.D2.B3.124.255.60°6.87.C8.平行四边形，互相垂直，相等，互相垂直且相等9.310.②④⑥11.C12.12013.C14.75°15.正六16.A梯形及多边形（当堂过关）1.已知等腰梯形的周长为80cm，中位线长与腰长相等，则该等腰梯形的中位线的长度为____________．【思路分析】①读题标注：②梳理思路：设该等腰梯形中位线的长度为x cm，由中位线定理可得，________________________________________________由题意得，___________________ 解得，____________即该等腰梯形中位线的长度为___________2. 如图，顺次连接任意四边形ABCD 各边的中点，所得四边形EFGH 是中点四边形．下列四个说法： ①中点四边形EFGH 一定是平行四边形；②当四边形ABCD 是矩形时，中点四边形EFGH 也是矩形；③当中点四边形EFGH 是菱形时，四边形ABCD 是矩形； ④当四边形A B C D是正方形时，中点四边形E F G H也是正方形．其中正确的是_______________．（填写序号）【参考答案】1. 20cm2. ①④梯形及多边形（习题）例1：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高．若梯形ABCD的面积为49，则高AF 的长为____________．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路： 由AC ⊥BD ，考虑平移一条对角线，所以过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形ACED 是平行四边形．因为△ABD 与△CDE 等底等高，所以ABD CDE S S △△， 则等腰梯形ABCD 的面积可转为△BDE 的面积．在等腰梯形ABCD 中，AC =BD ，所以DE =BD ，即△BDE 是等腰直角三角形． 过点D 作DG ⊥BC 于点G ，则AF =DG ，HFA BCDE GFD CBA G E F DCBA所以21124922BDE S BE DG DG DG DG =⋅=⋅⋅==△， 则AF =DG =7．例2：如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形BCED 的中位线，若DE =4cm ，则FG 的长为____________．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：因为DE 是△ABC 的中位线，DE =4 cm ，所以BC =8 cm ．因为FG 是梯形BCED 的中位线，所以FG =2BC DE+=6 cm ．【过程书写】∵DE 是△ABC 的中位线，DE =4， ∴BC =8．∵FG 是梯形BCED 的中位线，∴FG =2BC DE +842+=6=， 即FG 的长为6 cm ． 例3：如图，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AD ，BD ，BC ，CA 的中点．要使四边形EFGH 是菱形，则应满足的条件是（ ） A ．AC ⊥BD B ．AC =BD C ．AB =CDD ．AD =BC【思路分析】题目中出现多个中点，考虑中点四边形．EF 是△ABD 的中位线，EF ∥AB ，EF 12AB =；HG 是△ABC 的中位线，HG ∥AB ，HG 12AB =；所以EF ∥HG ，EF =HG ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形EFGH 是平行四边形.当AB =CD 时，EF =EH ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形EFGH 是菱形． 故选C ．1. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．若AB =2，AD =4，则图中阴影部分的面积为（ ）G F E D C B A G F E D CBAH GF EO DBAA ．8B ．6C ．4D ．32. 下列图形：①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④直角梯形；⑤角；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 下列美丽的图案，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 下列正多边形：①正六边形；②正五边形；③正方形；④正三角形．其中能够铺满地面的正多边形有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种5. 已知等腰梯形的上底为6cm ，下底为8cm ，则其腰长为_____________． 【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路：要求腰长，由已知条件考虑放在直角三角形中利用勾股定理，所以辅助线为______________________________________；利用勾股定理可得腰长为_____cm ．6. 若直角梯形的一腰长为18cm ，这条腰和一个底所成的角是30°，则其另一条腰长为____________． 【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路：已知腰长，底角是特殊角30°，考虑辅助线为____________；利用勾股定理可得另一腰长为_______cm ．7. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥CD 于点D ．若AB =1，AD =2，DC =4，则BC 的长为____________．8. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°．若AD =2，BC =5，则CD 的长为________．7E D CBA9. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AC =6cm ，BD =8cm ，则该梯形的面积为_____________．【思路分析】①读题标注：②梳理思路：由__________，考虑辅助线为_________________________，所以_______________________________________________，则四边形______是平行四边形； 因为_______与_______等底等高，所以_____=_______，故等腰梯形ABCD 的面积可转为_____________的面积．10. 如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形BCED 的中位线，若BC =10cm ，则FG 的长为____________．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：因为_____是________的中位线，BC =10，所以___________．因为_____是________的中位线，所以FG =__________．11. 若梯形中位线的长是梯形高的2倍，且梯形的面积为18cm 2，则这个梯形的高为（ ）A．B ．6cmC．D ．3cm12. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC =BD 时，四边形EFGH 是_________形；当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是___________形；当四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 满足的关系是_____________________．由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．13. 若一个n边形的各内角都相等，且内角的度数与跟它相邻的外角的度数之比为3:1，则这个多边形的边数为_______．14. 如图，小陈从点O 出发，沿直线向前走5米后，向右转20°，再沿直线向前走5米，又向右转20°，……，这样一直走下去．则他第一次回到出发点O 处时，一共走了_________米．GF E DB A ODC B A H DGFB E A第14题 第15题15. 如图，在正六边形ABCDEF中，已知阴影部分的面积为cm 2，则此正六边形的边长为____________．16. 用正六边形的地砖平面镶嵌，则围绕一点拼在一起的正六边形地砖的块数为____________．【参考答案】1. C2. B3. B4. C5.2cm ，作双高6. 9cm ，作高7.8. 39. 24cm 2AC ⊥BD ，平移一条对角线过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ACED△ABD ，△DCE ；S △ABD ，S △DCE △BDE10.152cm DE ，△ABC ，DE =5FG ，梯形BCED ，152cm11. D12. 菱，矩，AC =BD 且AC ⊥BD 13. 8 14. 90 15. 4cm 16. 3块F。