山东省临沂市第四中学2021届高三上学期第三次调研检测数学试题

临沂四中高三第三次调研检测数学试题2020、10一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z ＝(2＋i)(3－2i)，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为( ) A.(4，1) B.(8，1) C.(4，－1)D.(8，－1)2.已知集合{}4321，，，=A ,{}A x y yB x ∈==-,21,则A B =( ) {}2,1.A {}4,2.B {}4,2,1.C φ.D3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是( )A.甲是律师，乙是医生，丙是记者B.甲是医生，乙是记者，丙是律师C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师 4.已知O,A,B,C 为平面α内的四点,其中A,B,C 三点共线,点O 在直线AB 外,且满足12.OA OB OC x y=+其中x>0.y>0,则+8x y 的最小值为( )A.21B.25C.27D.345.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中 2.71828e =为自然对数的底数)与所给图象最契合的是（ ）A. ()sin x x y e e -=+B. ()sin x xy e e -=-C. ()tan x xy e e -=- D. ()cos x x y e e -=+6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二士岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A.94 B.95 C.96 D.987.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为( ) A. (),1-∞B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞8.已知函数()2ln x f x x =，若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是（ ）A. m e >B. 2em > C. 1m D. m e >二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程, 右图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中错误．．的是( )A.消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多。

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油。

D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油。

10.设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ）A. ()222log log ab b > B. 22ac bc >C. 1b a a b <<D. 1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.已知等比数列{a n }的公比为q ，前4项的和为a 1＋14，且a 2，a 3＋1，a 4成等差数列，则q 的值可能为( )A.12 B.1 C.2 D.3 12.已知函数()()12f x asinx cosx cosx =+-的图象的一条对称轴为,6x π=则下列结论中正确的是( )().A f x 是最小正周期为π的奇函数7.,012B π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心().33C f x ππ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦在上单调递增D. 先将函数y=2sin2x 图象上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图象再向左平移12π个单位长度,即可得到函数f(x )的图象。

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______14.已知0sin tan 24ππααα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，__________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 的中点，则AB→·(AC →＋AE →)＝ .16.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n .在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2a n ·a n 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos C ，2b －3c )，n ＝(cos A ，3a )，m ∥n . (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为332，且b 2－a 2＝12c 2，求b 的值.19.（12分）已知函数()ln x f x x =(1)求函数()f x 的单调区间[]()()1122,2,3,f x x x m f x m ∈-(2)若对于任意的都有＜恒成立，求实数的取值范围.20.(12分)在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ，C 的对边，满足cos2cos sin a C a C c A =-． (1)求角C ；(2)若ABC ∆为锐角三角形，12c =，求ABC ∆面积S 最大值.21.(12分)将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多二项的规则排成如下数表： 1a2a 3a4a5a 6a 7a 8a9a10a 11a 12a 13a 14a 15a 16a记表中的第一列数1a ，2a ，5a ，10a ， 构成的数列为{}n b ，111==a b .n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足)2(132≥=-n S S b b nn n n(1)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；(2)上表中，若从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当448186-=a 时，求上表中第)2(≥k k 行所有项的和.22.(12分)已知函数()22xa f x e x =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）有两个极值点1x ,2x ．（1）求a 的取值范围；（2）求证：122ln x x a +<．的临沂四中高三第三次调研检测数学试题参考答案1.D,2.C,3.C,4.B,5.D,6.B,7.D,8.B9.ABC, 10.AC, 11.AC, 12.BD三、填空题：13.[]22-，，14.3，15.20，16.-4，⎪⎭⎫⎝⎛410，四、解答题17. (1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①：b n ＝42n ·2（n ＋1）＝1n （n ＋1），S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 选条件②：∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)na n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n ，当n 为偶数时， S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]＝n2×2＝n ；当n 为奇数时，n －1为偶数，S n ＝(n －1)－2n ＝－n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数.选条件③：∵a n ＝2n ，b n ＝2a n ·a n ，∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ×4n，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)×4n ＋2n ×4n ＋1，②由①－②得，－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n ×4n ＋1＝8（1－4n）1－4－2n ×4n ＋1＝8（1－4n）－3－2n ×4n ＋1，∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.18. (1)法一 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ， 由正弦定理得3sin A cos C ＝2sin B cos A －3cos A sin C ， 得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，所以3sin B ＝2sin B cos A ，因为sin B >0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.由(1)得3bc ＝b 2＋c 2－a 2，又b 2－a 2＝12c 2，所以c ＝23b ，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12b ×23b ×12＝332，得b 2＝9，所以b ＝3.1920.解：（1）因为A c C a C a sin cos 2cos -=,所以由正弦定理可得：A C C A C A sin sin cos sin 2cos sin -=, 因为0sin 0≠∈A A ），，（π,所以C C C sin cos 2cos -=, 所以C C C C sin cos sin cos 22-=-,即0)1sin (cos sin cos =-+-C C C C ）（, 所以01sin cos 0sin cos =-+=-C C C C 或.①若C C sin cos =，则4π=C ，②若01sin cos =-+C C ，则22)4sin(=+πC ，因为4544πππ<+<C ，所以434ππ=+C ，即2π=C .综上，24ππ或=C .(2)因为ABC ∆为锐角三角形，所以4π=C .因为4cos 2144222πab b a c -+===ab ab ab ab b a )22(22222-=-≥-+，即),22(7222144+=-≤ab 当且仅当b a =时等号成立， 所以4sin 21sin 21πab C ab S ==）（）（1236227242+=+⨯≤, 即ABC ∆面积的最大值是）（1236+.21.(1)证明：2≥n 时，132=-nn n nS S b b ，1--=n n n S S b , 211n )(3n n n n n S S S S S S --=-∴--）（,即1n 1-n -3-=n n S S S S ）（, 31111n =-∴-n S S 又11111==b S , ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n 1S 是以1为首项，以31为公差的等差数列.3231)1(11+=⨯-+=∴n n S n 23+=∴n S n . 2≥n ，1--=n n n S S b =)2)(1(31323++-=+-+n n n n , 又11=b 不满足上式,⎪⎩⎪⎨⎧≥++-==∴2,)2)(1(31,1n n n n b n . (2)解：已知表中前n 行中各项和为 212531n n =-++++）（ ,又221086819<<=86a ∴位于表中第10行第5列.设公比为q 且0>q ，则41086q b a ⨯=, 又12113,44811086⨯-=-=b a ,3,814==∴q q 设第)2(≥k k 行所有项的和为k T ，则)2)(1(23331)31(212++-=--=-k k b T kk k k .故第)2(≥k k 行所有项的和为)2)(1(23-32++k k k.22.(1)解：ax e x f x-=')(，函数)(x f 有两个极值点21,x x ，∴方程0)(='x f 有两个不等的实数根21,x x ，设ax e x g x -=)(，则a e x g x -=')(.①当0≤a 时，a e x g x-=')(>0,∴)(x g 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；②当0>a 时，由0)(='x g 得a x ln =，()a x ln ,∞-∈时，0)(<'x g ，函数)(x g 单调递减，当()+∞∈,ln a x 时，0)(>'x g ，函数)(x g 单调递增，∴0ln )(ln )(min <-==a a a a g x g ，即e a >.令)0(ln 2)(>-=a a a a h ,aa a x h 221)(-=-=', 当()2,0∈a 时，0)(<'a h ，)(a h 为减函数，当()+∞∈,2a 时，0)(>'a h ，)(a h 为增函数，∴02ln 22)2()(min >-==h a h ，∴,0)(>a h 即2,2ln ,ln 2a e a aa a a a ><<>， ∴0)(2>-=a e a g a ，又01)0(>=g ，∴)(x g 在()a ln 0，和()a a ,ln 上各有一个零点，符合题意.综上，实数a 的取值范围为()+∞,e .(2)证明：不妨设21x x <，则()()+∞∈∞-∈,ln ,ln ,21a x a x ，则21ln x a x <<. 设)ln 2()()(x a g x g x p --=[])ln 2(ln 2x a a eax e xa x----=-a a ax e a e xxln 222+--=-，则0222)(22=-≥-+='a a a e a e x p x x，当且仅当a x ea e x xln ,2==时等号成立，)(x p ∴在R 上为增函数.a x ln 2> 故,0)(ln )(2=>a P x p 即0)ln 2()(22>--x a g x g ，又21,x x 为函数)(x g 的两个零点，)()(21x g x g =，)ln 2()(21x a g x g ->∴，又a x ln 2>，故a x a ln ln 22<-，又函数)(x g 在()a ln -，∞上单调递减， a x x x a x ln 2,ln 22121<+∴-<∴.。