2_配方法_课件2
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人教版九年级数学课件《配方法(第2课时)》
巩固练习
（4 ）x( x 4) 8x 12
解：去括号，得
x2+4x=8x+12
移项，得 x2-4x=12
配方，得 x2-4x+2²=12+2²
整理，得
(x-2)2=16
由此可得 2=±4
因此
xx1=6 , x2=-2
探究新知
素养考点 3 利用配方法确定多项式或字母的值（或取值范围）
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2 －4k＋5 的值必定大于零.
x (1)二数都次2 为项11系.0x ___ (x _5_2 )2
5
2• x•5
(2)x2 12x ___ (x_62_)2
6
x (x__) (3)
2
5x
2• x•6
____
( 5 )2 2
2
5
x (x__) (4)
2• x•
2 2 x ___ 2
(1)2 3
2
3
2• x• 1
x (x __) (5) 2 bx ___ 3
由此可得x 2, y 3, z 2.
因此 xy z 2 32 62 36.
课堂检测
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样 宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩 余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850，
4+9
二次项系数为1的完 全平方式：常数项 等于一次项系数一 半的平方.
探究新知
（2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他
数行吗？ 提示：不行，只有在方程两边加上一次项系数
人教版九年级数学上册《配方法》一元二次方程PPT课件(第2课时)
解：设AD=xm，
∴S=
1
2
1
2+1250，
x（100﹣x）=﹣（x﹣50）
2
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；
1 2
当x=a时，S的最大值为50a﹣ a ，
2
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；
1 2
当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣2 a ．
∴当6 ≤ ≤ 10时，S随x的增大而减小，
∴当 = 6时，S有最大值，最大值为1176，
答：活动区域面积S的最大值为11762 ．
5
，
2
巩固练习
3.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形
，制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为16m.
(1)求出y与x的关系式;
(2)当x等于多少时窗户通过的光线最多?此时窗户的面积S是多少?
当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,
则BD=(10-x).
1
1
25
2
y x(10 x ) ( x 5) .
2
2
2
25
当x＝5时, y有最大值 .
2
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
巩固练习
4.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四
速度移动，如果PQ两点分别到达B、C两点停止移动.
(1)设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积为Scm2，写.出S与t
的函数关系式，并指出自变量t的取值范围;
∴S=
1
2
1
2+1250，
x（100﹣x）=﹣（x﹣50）
2
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；
1 2
当x=a时，S的最大值为50a﹣ a ，
2
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；
1 2
当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣2 a ．
∴当6 ≤ ≤ 10时，S随x的增大而减小，
∴当 = 6时，S有最大值，最大值为1176，
答：活动区域面积S的最大值为11762 ．
5
，
2
巩固练习
3.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形
，制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为16m.
(1)求出y与x的关系式;
(2)当x等于多少时窗户通过的光线最多?此时窗户的面积S是多少?
当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,
则BD=(10-x).
1
1
25
2
y x(10 x ) ( x 5) .
2
2
2
25
当x＝5时, y有最大值 .
2
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
巩固练习
4.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四
速度移动，如果PQ两点分别到达B、C两点停止移动.
(1)设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积为Scm2，写.出S与t
的函数关系式，并指出自变量t的取值范围;
2 配方法 公式法PPT课件(人教版)
+c=0(a≠0)的左边是(或可以写成)完全平方式, 则该方程有两个
相等的实数根； ②若方程中a, c异号或b≠0且c=0, 则该方程有
两个不相等的实数根.
21.2 解一元二次方程
题型三 利用方程根的情况确定系数中字母 的值或取值范围
例题3 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0 有两个不相等的实数
即(x-5)2=1,
由此可得x-5=±1,
∴x1=6, x2=4.
21.2 解一元二次方程
(3)原方程可化为3x2-5x-2=0.
∵a=3, b=-5, c=-2,
∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=25+24=49>0,
∴ =
−(−)±
×
∴x1=2, x2=-.
±
实数根两种情况, 此时 b2-4ac≥0,切勿丢掉等号.
根据题意, 得Δ=b2-4ac=22+4(m-3)=4+4m-12=4m-8≥0, 解得m≥2. 故选C.
21.2 解一元二次方程
锦囊妙计
利用根的判别式确定系数中 字母的值或取值范围
(1)若一元二次方程有两个不等的实数根, 则Δ＞0；若一元
二次方程有两个相等的实数根, 则Δ=0；若一元二次方程没有
∴方程总有两个实数根.
(2)∵
=
− ±
++−
∴x1=
−
=
+ ± ( − )
+−+
=1, x2=
= .
∵方程的两个实数根都是整数,
∴是整数, ∴m=±1或m=±2.
又∵m是正整数, ∴m=1或m=2.
相等的实数根； ②若方程中a, c异号或b≠0且c=0, 则该方程有
两个不相等的实数根.
21.2 解一元二次方程
题型三 利用方程根的情况确定系数中字母 的值或取值范围
例题3 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0 有两个不相等的实数
即(x-5)2=1,
由此可得x-5=±1,
∴x1=6, x2=4.
21.2 解一元二次方程
(3)原方程可化为3x2-5x-2=0.
∵a=3, b=-5, c=-2,
∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=25+24=49>0,
∴ =
−(−)±
×
∴x1=2, x2=-.
±
实数根两种情况, 此时 b2-4ac≥0,切勿丢掉等号.
根据题意, 得Δ=b2-4ac=22+4(m-3)=4+4m-12=4m-8≥0, 解得m≥2. 故选C.
21.2 解一元二次方程
锦囊妙计
利用根的判别式确定系数中 字母的值或取值范围
(1)若一元二次方程有两个不等的实数根, 则Δ＞0；若一元
二次方程有两个相等的实数根, 则Δ=0；若一元二次方程没有
∴方程总有两个实数根.
(2)∵
=
− ±
++−
∴x1=
−
=
+ ± ( − )
+−+
=1, x2=
= .
∵方程的两个实数根都是整数,
∴是整数, ∴m=±1或m=±2.
又∵m是正整数, ∴m=1或m=2.
配方法(第2课时) 优秀课件
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究二：利用配方法解一元二次方程重点、难点知
活 动1
配方法的练习
识★▲
例1.已知2x2 12x a bx c2
，求a，
【解b，题c过的程值】。
解：∵2x2 12x a
2x2 6x9
2x 32
【思路点a拨】2将9 二18，次b项 2系，c数 3不为1的二次三项式
x2 4x4
x 22。
a 4，b 1，c 2。
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究二：利用配方法解一元二次方程重点、难点知
识★▲
活
动1 例2.二次三项2x式2 4x 3
C 的值
（）
【解题A.过小程于】1 B.大于1 C.大于等于1 D.不解大：于∵2x12 4x 3
有实数解，但方程两边同时加上的数不是4； 有实数解，且方程两边同时加上的数是4；
方法二3：x2 6x 12 0 x2 2x4 0
x 12 5 0 x 12 5
x1 5 x1 1 5，x2 1 5
两种方法哪种更简单？
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究一：配方法解一元二次方程的规律 难点知
识▲
活 动3
集思广益，归纳方法
先将二次项的系数提出 来，将括号内的二次三项式 的二次项系数化为1。
再按照二次项系数为1的 二次三项式的配方法进行配
3x2 6x 12
3x2 2x4
3 x 12 5 3 x 12 15
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究一：配方法解一元二次方程的规律 难点知
用 配 方 法 解ax2 一bx元c 0二a 0次 方 程
_配方法_课件2
即 x1 5，x2 5
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
解下列一元二次方程
(1)x2 4 (2) y2 16 (3)2x2 32
把此方程两边直接 开方
怎样解方程(2x1)2 5及 方程 x2 6x 9 2?
方程 x2 6x 9 2的左边是完全平方形式，
元二次方程的方法, 叫做配方法.
例1 解下列方程
（1）x2 8x 9 0
(2)x2 2x 3 0 (3)x2 12x 25 0
堂上练习 50页 随堂练习
谢谢合作！
P50.1题2题
两边都加上 32 （一次项系数6的一半的平方），得
x2 6x 32 16 32
即
(x 3)2 25
开平方，得
x+3=+5 即
x+3=5或x+3=-5 所以
x1 2, x2 8
以上解法中,为什么在方程 x 2 6 x 16
两边加9?加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一
(4)
y2
1 2
y
（__14_）_2
(
y__14 _)2
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500d m2 ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
列方程10 6x2 1500
由此可得x2 25
x 5，
这种解法叫做什么? 直接开平方法
移项
x 2 6x 16
两边加上32,使左边配成
x2 2bx b2的形式
x2 6x 32 16 32
左边写成完全平方形式
《配方法(2)》课件
3 2
m
3 4
2
1 2
3 4
2
m
3 4
2
1 16
【思路点拨】将二次项系数 不为1的一元二次方程两边
m3 1 44
m 31 44
m
1 1, m2
1 2
同除以二次项系数，化成二 次项系数为1的一元二次方
程，再将方程化成 x m2 n
的形式，直接开方法求解. 9
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
11
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：利用配方法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
活动2 练习4.下列配方有错误的是（ D ）
A.x2 4x 1 0化为 x 22 5
B.x2 6x 8 0化为 x 32 1
C.2 x 2
7x
6
0化为
x
7 4
2
97 16
D.3x2 4x 2 0化为3x 22 2
重点、难点知识★▲
活动2 例4.在方程的两边同时加上4，用配方法可求得实数解的方程
是（ C ）
A. x2 4x 6 B. 2x2 4x 5
C. x2 4x 5
D. x2 2x 2
【解题过程】
CAB...xx222x2 44xx4x5,56,,x2xx224x24xx4524,5x422,,2xxx122225291,2，无x 实1数2 解72；
用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0a 0 的一般步骤：
（1）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数； （2）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的 右边； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
（4）将原方程变成 x m2 n 的形式；
华师大版九年级数学上册《一元二次方程的解法 第2课时 配方法》课件
A．x，－34
B．2x，－12
C．2x，－32
D．x，－32
11．若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－24b＋
c－13＋169＝0，则此三角形是( B )
A．锐角三5
5
12．(1)y2＋5y＋(___2__)2＝(y＋__2___)2；
(2)x2－52x＋(___54___)2＝(x－___54___)2；
p
p
(3)x2＋px＋(___2___)2＝(x＋___2___)2.
13．(1)当m＝__2_5__时，x2＋10x＋m是完全平方式；
(2)当k＝_±___6__时，x2＋kx＋9是完全平方式．
14．(12分)用配方法解下列方程：
(1)x2＋1＝3x；
3＋ 5
3－ 5
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
(2)3y2－3y－6＝0；
解：y1＝2，y2＝－1
(3)(x＋1)(2x－3)＝1；
1＋ 33
1－ 33
解：x1＝ 4 ，x2＝ 4
(4)3(x－1)(x＋2)＝x－7.
解：原方程无实数解
15．(8分)若要用一根长20厘米的铁丝，折成一个面积为16平方厘 米的矩形方框，则应该怎样折呢？ 解：设折成的矩形的长为x厘米，则宽为(10－x)厘米，由题意， 得x(10－x)＝16，解之，得x1＝2，x2＝8，∴矩形的长为8厘米， 宽为2厘米 16．(9分)王红在计算某数的平方时，将这个数的平方误写成它的 2倍，使答案少了63，请你帮王红求出这个数的平方． 解：设这个数为x，根据题意，得x2－2x＝63.解得x1＝9，x2＝－7. 所以这个数的平方是81或49
谢谢观赏
You made my day!
第2课时 配方法初中数学原创课件
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
温故知新
1.解下列方程:
直接开平方法
(1)2x²=8 ;
x=±2;
(2)(x+3)²=25;
x+3=±5，x1=2，x2=-8;
(3)9x²+6x+1=4.
(3x+1)²=4,3x+1=±2，x1=-1，x2= .
2.你会解下面这个方程吗？
7．如果关于x的方程x²+kx+3=0有一个根是-1，
4
-3
那么k=____，另一根为____．
3
-1
8. 若a²+2a+b²-6b+10=0,则a= ____，b=
____.
(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
(3)开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
(4)求解:解一元一次方程;
(5)定解:写出原方程的解.
总结
x²=a(a≥0)
1.一般地,对于形如___________的方程,根据平方根的
x1= ，x2=-
定义,可解得_______________.
A.(a-2)2+1
B.(a+2)2-1
C.(a+2)2+1
D.(a-2)2-1
自我检测
5．用配方法解方程x²+4x=10的根为( B )
A.2±
B. -2±
C. -2±
D. 2-
6．若x²+6x+m²是一个完全平方式，则m的值是( C )
A．3
B．-3
C．±3
D．以上都不对
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
温故知新
1.解下列方程:
直接开平方法
(1)2x²=8 ;
x=±2;
(2)(x+3)²=25;
x+3=±5，x1=2，x2=-8;
(3)9x²+6x+1=4.
(3x+1)²=4,3x+1=±2，x1=-1，x2= .
2.你会解下面这个方程吗？
7．如果关于x的方程x²+kx+3=0有一个根是-1，
4
-3
那么k=____，另一根为____．
3
-1
8. 若a²+2a+b²-6b+10=0,则a= ____，b=
____.
(2)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
(3)开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
(4)求解:解一元一次方程;
(5)定解:写出原方程的解.
总结
x²=a(a≥0)
1.一般地,对于形如___________的方程,根据平方根的
x1= ，x2=-
定义,可解得_______________.
A.(a-2)2+1
B.(a+2)2-1
C.(a+2)2+1
D.(a-2)2-1
自我检测
5．用配方法解方程x²+4x=10的根为( B )
A.2±
B. -2±
C. -2±
D. 2-
6．若x²+6x+m²是一个完全平方式，则m的值是( C )
A．3
B．-3
C．±3
D．以上都不对
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元二次方程的方法, 叫做配方法.
例1 解下列方程
（1）x2 8x 9 0
(2)x2 2x 3 0 (3)x2 12x 25 0
堂上练习 50页 随堂练习
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***题2题
移项
x2 6x 16
两边加上32,使左边配成
x2 2bx b2的形式
x2 6x 32 16 32
左边写成完全平方形式
( x 3)2 25
两边直接开方
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得x=2或x=-8
x2 6x 16 0
解：把常数项移到方程的右边，得
x2 6x 16
(1)x2 2x 1 0 (2)x2 6x 9 4
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且 面积为16 m2 , 场地的长和宽应各是多少?
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积
为16m2 ,列方程 X(x+6)=16
即x2 6x 16 0
怎样解?
想一想解方x程2 x 26x6x16 160 0的流程怎样 ?
即 x1 5，x2 5
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
解下列一元二次方程
(1)x2 4 (2) y2 16 (3)2x2 32
把此方程两边直接 开方
怎样解方程(2x1)2 5及 方程 x2 6x 9 2?
方程 x2 6x 9 2的左边是完全平方形式，
*** 配方法
完全平方公式：
a2 2ab b2 (ab)2; a2 2ab b2 (ab)2.
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x __1_)2
(2) x2 8x _4__2__ (x__4_)2 (3) y2 5y （__52_）_2 _ ( y __52 _)2
这个方程可以化成（x3）2 2，
得 _x___3______2_______,
x x 方程的根为 __3___2_, ___3___2____.
1
2
如果方程能化成x2 p或（mxn）2 p的形式，
当p 0时，两边开平方可得x p或mx n p.
化成两个一 元一次方程
解下列一元二次方程
(4)
y2
1 2
y
（__14_）_2
(
y__14 _)2
Байду номын сангаас
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500d m2 ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
列方程10 6x2 1500
由此可得x2 25
x 5，
这种解法叫做什么? 直接开平方法
两边都加上 32 （一次项系数6的一半的平方），得
x2 6x 32 16 32
即
(x 3)2 25
开平方，得
x+3=+5 即
x+3=5或x+3=-5 所以
x1 2, x2 8
以上解法中,为什么在方程 x2 6x 16
两边加9?加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一
例1 解下列方程
（1）x2 8x 9 0
(2)x2 2x 3 0 (3)x2 12x 25 0
堂上练习 50页 随堂练习
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***题2题
移项
x2 6x 16
两边加上32,使左边配成
x2 2bx b2的形式
x2 6x 32 16 32
左边写成完全平方形式
( x 3)2 25
两边直接开方
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得x=2或x=-8
x2 6x 16 0
解：把常数项移到方程的右边，得
x2 6x 16
(1)x2 2x 1 0 (2)x2 6x 9 4
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且 面积为16 m2 , 场地的长和宽应各是多少?
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积
为16m2 ,列方程 X(x+6)=16
即x2 6x 16 0
怎样解?
想一想解方x程2 x 26x6x16 160 0的流程怎样 ?
即 x1 5，x2 5
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
解下列一元二次方程
(1)x2 4 (2) y2 16 (3)2x2 32
把此方程两边直接 开方
怎样解方程(2x1)2 5及 方程 x2 6x 9 2?
方程 x2 6x 9 2的左边是完全平方形式，
*** 配方法
完全平方公式：
a2 2ab b2 (ab)2; a2 2ab b2 (ab)2.
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x __1_)2
(2) x2 8x _4__2__ (x__4_)2 (3) y2 5y （__52_）_2 _ ( y __52 _)2
这个方程可以化成（x3）2 2，
得 _x___3______2_______,
x x 方程的根为 __3___2_, ___3___2____.
1
2
如果方程能化成x2 p或（mxn）2 p的形式，
当p 0时，两边开平方可得x p或mx n p.
化成两个一 元一次方程
解下列一元二次方程
(4)
y2
1 2
y
（__14_）_2
(
y__14 _)2
Байду номын сангаас
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500d m2 ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
列方程10 6x2 1500
由此可得x2 25
x 5，
这种解法叫做什么? 直接开平方法
两边都加上 32 （一次项系数6的一半的平方），得
x2 6x 32 16 32
即
(x 3)2 25
开平方，得
x+3=+5 即
x+3=5或x+3=-5 所以
x1 2, x2 8
以上解法中,为什么在方程 x2 6x 16
两边加9?加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一