03随机过程
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数据通信原理第03章随机过程
R (t1,t2)E [(t1)(t1)]
x1x2f2(x1,x2;)d1d x2x R () 可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
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与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n
和所有实数，有
fn(x 1 ,x2 , ,xn； t1 ,t2, ,tn) fn(x 1 ,x 2, ,x n ； t1 ,t2 , ,tn )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过 程，称严平稳随机过程。
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17
➢ 严平稳随机过程的性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间
率密度函数：
f2(x1,x2;t1,t2)2F2 (xx1 1,x2 x;2t1,t2)
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7
➢ 随机过程 (t) 的n维分布函数：
F n (x 1 ,x 2 , ,x n ;t1 ,t2 , tn )
P (t1 ) x 1 ,(t2 ) x 2 , ,(tn ) x n
➢ 随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
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4
随机过程的描述与数字特征
➢ 3.1.1 随机过程的分布函数 ➢ 3.1.2随机过程的数字特征
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5
➢ 3.1.1随机过程的分布函数
✓设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，则：
✓随机过程 (t)的一维分布函数：
F 1 ( x 1 ,t1 ) P [( t1 ) x 1 ]
均值平方
➢ 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机 过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
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11
➢ 相关函数
x1x2f2(x1,x2;)d1d x2x R () 可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
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与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n
和所有实数，有
fn(x 1 ,x2 , ,xn； t1 ,t2, ,tn) fn(x 1 ,x 2, ,x n ； t1 ,t2 , ,tn )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过 程，称严平稳随机过程。
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➢ 严平稳随机过程的性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间
率密度函数：
f2(x1,x2;t1,t2)2F2 (xx1 1,x2 x;2t1,t2)
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7
➢ 随机过程 (t) 的n维分布函数：
F n (x 1 ,x 2 , ,x n ;t1 ,t2 , tn )
P (t1 ) x 1 ,(t2 ) x 2 , ,(tn ) x n
➢ 随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
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随机过程的描述与数字特征
➢ 3.1.1 随机过程的分布函数 ➢ 3.1.2随机过程的数字特征
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5
➢ 3.1.1随机过程的分布函数
✓设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，则：
✓随机过程 (t)的一维分布函数：
F 1 ( x 1 ,t1 ) P [( t1 ) x 1 ]
均值平方
➢ 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机 过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
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➢ 相关函数
第三讲 随机过程
• • 随机过程简记为 {xt} 或 xt。随机过程也常简称为过程。
随机过程
• 随机过程一般分为两类。一类是离散型的，一类 是连续型的。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个连 续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过 程。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个离 散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过 程。我们只考虑离散型随机过程。
随机过程
• 例如，对河流水位的测量。其中每一时刻 的水位值都是一个随机变量。如果以一年 的水位纪录作为实验结果，便得到一个水 位关于时间的函数xt。这个水位函数是预先 不可确知的。只有通过测量才能得到。而 在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。
随机过程
• 随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程， 记为{x (s， t) ， sS ， tT }。其中S表示样本空间， T表示序数集。对于每一个 t， tT， x (· t ) 是样本空 ， 间S中的一个随机变量。 • 对于每一个 s， sS ， x (s， · 是随机过程在序数集T ) 中的一次实现。
随机过程
随机过程
• 为什么在研究时间序列之前先要介绍随机 过程？就是要把时间序列的研究提高到理 论高度来认识。时间序列不是无源之水。 它是由相应随机过程产生的。只有从随机 过程的高度认识了它的一般规律。对时间 序列的研究才会有指导意义。对时间序列 的认识才会更深刻。
随机过程
• 自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是 确定型过程，一类是非确定型过程。 • 确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。 例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过 电阻的放电过程，行星的运动过程等。 • 非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t 的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事 物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到 的结果是不相同的。
随机过程
1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关 理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加 过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领 域之外的应用。
发展概况
1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 马尔可夫链。
1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的 研究通常认为开始于30年代。
谢谢观看
的统计特征
对于随机过程{X (t); t∈T}，其统计特征有均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。它们的定义如 下：
上述统计特征之间的关系为：
的分类
按照统计特征 分类
按照参数集和 状态空间的特 征分类
以统计特征进行分类，一般可分类以下一些：
参数集T可分为两类：（1）T可列；（2）T不可列。 状态空间S也可分为两类：（1）连续状态空间；（2）离散状态空间。 由此将随机过程分为以下四类:
随机过程 整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉 布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
的研究
研究方法
研究内容
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类： 一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度 论、 微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。 实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领 域之外的应用。
发展概况
1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 马尔可夫链。
1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的 研究通常认为开始于30年代。
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的统计特征
对于随机过程{X (t); t∈T}，其统计特征有均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。它们的定义如 下：
上述统计特征之间的关系为：
的分类
按照统计特征 分类
按照参数集和 状态空间的特 征分类
以统计特征进行分类，一般可分类以下一些：
参数集T可分为两类：（1）T可列；（2）T不可列。 状态空间S也可分为两类：（1）连续状态空间；（2）离散状态空间。 由此将随机过程分为以下四类:
随机过程 整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉 布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
的研究
研究方法
研究内容
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类： 一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度 论、 微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。 实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
随机过程的基本概念
随机过程的基本概念随机过程是随机现象的数学模型，是一种以时间为自变量而取随机数值的函数族，是概率论和数理统计中的重要工具之一。
本文将从定义、性质、分类等方面论述随机过程的基本概念。
一、随机过程的定义随机过程是由一个随机变量族{Xt}（t∈T）所组成的集合的统称，其中T为时间参数集合。
换言之，随机过程是时间与随机变量的集合关系，其中随机变量的取值是时间变化的函数。
随机过程可以用X(t)表示，其中t表示时间，X表示在时间t处的随机变量。
简单来说，随机过程就是为一组日期指定随机变量，使得这些随机变量与其日期相关联。
每个随机变量表示特定日期发生的随机事件。
二、随机过程的性质1. 一般随机过程：随机变量群体的每个成员都需要一个完整的概率空间，并且具有一个抽象的时间参数集合。
因此，一般随机过程的样本空间往往是所有该样本空间下所有概率空间的笛卡尔积。
2. 同伦：如果存在同伦t:s→t+s（s∈S）,使得随机过程{Xt}具有相同的联合概率分布，则称该随机过程在t上存在同伦。
3. 马尔科夫性质：在一个离散时间的随机过程中，前时刻的状态随后时刻的状态条件独立，且只与当前状态有关，而与以前的任何状态无关，称之为马尔科夫性质。
三、随机过程的分类1. 离散时间：随机变量在离散位置上取值，时间参数集合为整数集，可表示为{Xn}。
2. 连续时间：随机变量在连续位置上取值，时间参数集合为实数集，可表示为{X(t)}3. 马尔科夫过程：随机过程满足马尔科夫性质的过程，由此得名。
4. 二元过程：仅具有两个状态变量，称之为二元过程。
四、随机过程的应用随机过程广泛应用于电信、生物工程、金融、天气预报等领域。
其中，离散时间的随机过程广泛应用于通信领域，如编码、压缩、调制等；连续时间的随机过程用于天气预报、环境工程、资产定价等领域。
在工程领域，随机过程也有广泛应用。
例如，可以使用随机过程模型预测质量的保证水平。
需要重视的是，应用随机过程模型时，要注意模型的精度和可行性，避免虚假模型带来的风险。
随机过程第三章
随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的 发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程， 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛， 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
03第三讲：高斯过程、窄带过程
正交分量：
现在我们需要求 Zc(t)和Zs(t)的统计特性，即 f(Zc,Zs)＝?
对于窄带高斯过程来说，同相分量和正交分量是不相关的，或 者也可以说是统计独立的，而对于正弦波+窄带高斯过程来说, 它仍然属于窄带的范畴，所以其同相分量和正交分量也是相互 独立的，而且也是高斯过程。
对于同相分量:
由此可得同相分量Zc(t)的概率密度函数，
（2）y1、y2是x1、x2的函数：y1＝f1(x1,x2)，y2＝f2(x1,x2)， 反函数:x1＝g1(y1,y2)， x2＝g2(y1,y2)，
如果已知x1,x2的pdf为f(x1,x2)， 求：y1,y2的pdf，f(y1,y2)=? 解决此问题时，利用以下结论： f(y1,y2)＝|J|f(x1,x2) |J|是Jacobi行列式，
窄带随机过程的带宽 固定不变，载波频率 变大时，频谱图向高 频处搬移，对应样函数的包络频率不变，但样函数波形的频率 变 大。载波频率 变小时，频谱图向低频处搬移，对应样函数的包络 频率不变，但样函数波形的频率 变小。
二、窄带过程的数学表示
1、用包络和相位的变化表示
窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程, 过程中的
2
或erfc(x) 2 2( 2x)
2.6 窄带随机过程
一、引言
1.必要性：任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系 统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一 个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该 带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带 随机过程的规律是重要的。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
现在我们需要求 Zc(t)和Zs(t)的统计特性，即 f(Zc,Zs)＝?
对于窄带高斯过程来说，同相分量和正交分量是不相关的，或 者也可以说是统计独立的，而对于正弦波+窄带高斯过程来说, 它仍然属于窄带的范畴，所以其同相分量和正交分量也是相互 独立的，而且也是高斯过程。
对于同相分量:
由此可得同相分量Zc(t)的概率密度函数，
（2）y1、y2是x1、x2的函数：y1＝f1(x1,x2)，y2＝f2(x1,x2)， 反函数:x1＝g1(y1,y2)， x2＝g2(y1,y2)，
如果已知x1,x2的pdf为f(x1,x2)， 求：y1,y2的pdf，f(y1,y2)=? 解决此问题时，利用以下结论： f(y1,y2)＝|J|f(x1,x2) |J|是Jacobi行列式，
窄带随机过程的带宽 固定不变，载波频率 变大时，频谱图向高 频处搬移，对应样函数的包络频率不变，但样函数波形的频率 变 大。载波频率 变小时，频谱图向低频处搬移，对应样函数的包络 频率不变，但样函数波形的频率 变小。
二、窄带过程的数学表示
1、用包络和相位的变化表示
窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程, 过程中的
2
或erfc(x) 2 2( 2x)
2.6 窄带随机过程
一、引言
1.必要性：任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系 统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一 个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该 带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带 随机过程的规律是重要的。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
于是 R (t , t ) 0 1 1
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
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H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
02_03第二章 随机过程的基本概念汇总
即Z(t)的三阶矩就与时间t有关，故Z(t)不是 狭义平稳随机过程。
2.3.1 平稳随机过程的定义
★ 平稳随机过程的例题（续）
[例2.13]设随机过程X(t)=X (k) ，k=…-2， -1,0,1,2…， X (k)为相互独立且具有相同分布 的随机变量序列，已知E[X (k)]=0， E[X2 (k)] = σ2X。试证X(t)既是广义平稳随机过程，又 是狭义平稳随机过程。
E[ X (t )] xf X ( x, t )dx xf X ( x)dx mX
D[ X (t )] [ X (t ) mX (t )]2 f X ( x)dx 2 X
2.3.1 平稳随机过程的定义
★ 狭义平稳随机过程的定义（续） 同理，狭义平稳随机过程的二维概率密度仅与时
间间隔τ= t1 － t2有关，即有
fX(x1,x2,t1,t2)= fX(x1,x2,t1+ △t ,t2 + △t) △t =-t2
fX(x1,x2,t1 - t2,0)= fX(x1,x2,τ)
由此可以求得X(t)的相关函数也只是τ的函数，即
RX (t1 , t2 )
0 rX ( )d
0
物理意义
相关时间 0 越小，就意味着相关系数 rX ( ) 随 增加而降落的越快，这表明随机过程随时 间变化越剧烈。反之，相关时间 0 越大， 则表时随机过程随时间变化越慢。
K x ( ) Rx ( ) E ( X ( ))
2
性质4
如果平稳随机过程中含有周期分量,那么其 自相关函数中也含有周期分量 例2.10可知， X (t ) A cos(wt + F) + N (t ) 相关函数为： A2 RX ( ) cos w + R N ( ) 2
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角度1：对应不同随机试验结果的 时间过程的集合。
3.1随机过程的基本概念
【例】n台示波器同时观测并记录n 台接收机的输出噪声波形 样本函数ξi(t)：一次实现。 随机过程：ξ(t) 是全部样本函数的 集合。 (t )
1 (t ) 2 (t) n (t)
t 0
3.1随机过程的基本概念
角度2：随机过程是随机变量概念的 延伸。
5、R 0－R ＝ 2 方差, t 的交流功率
6、若E t ＝a 0，则R 中一定有常数a2
7、若 t 有周期量，则R 也有，且周期相同
8、若 t 是各态历经、零均值且无周期分量， 则 lim R 0
3.2 平稳随机过程
3.2 平稳随机过程
各态历经性是平稳随机过程才有的 特性。
Example 3－1：设一个随机相位 的正弦波为ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中
A和ωc均为常数；θ是在(0,2π)内均
匀分布的随机变量。试讨论是否具 有各态历经性。
3.2 平稳随机过程
3.1.3 平稳过程的自相关函数 自相关函数的性质：
本，则其时间均值和时间相关函数
分别定义为
ax
A
x
t
lim
T
1 T
T 2 x t dt
T 2
R
A
x
t
x
t
lim
T
1 T
T 2 x t x t dt
T 2
如果 a a R( ) R( )
称该平稳过程具有各态历经性。
3.2 平稳随机过程
3.2.2 各态历经性
提出问题：能否从一次试验而得到 的一个样本函数x(t)来决定平稳过程 的数字特征呢? 平稳过程在满足一定的条件下具有 非常有用的特性，称为“各态历经 性”（又称“遍历性”）。任一实 现的时间平均值来代替。
3.2 平稳随机过程
各态历经性条件
设：x(t)是平稳过程ξ(t)的任意一样
3.2.4 平稳过程的功率谱密度
1、定义：
确定功率信号f(t)的功率谱密度
Pf
(f)
lim
T
FT ( f ) 2 T
FT(f)是截短fT(t) 对应的频谱
f (t)
第3章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结
3.1随机过程的基本概念
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化 的过程，它不能用确切的时间函数 描述。可从两种不同角度看：
E t xf1 x,t dx a t
2、方差（Varance）
D
t
E
t
E
பைடு நூலகம்
t
2
E
t a t 2
2
t
3.1随机过程的基本概念
3、自协方差函数（Covarance）
因此，可以把随机过程看作是在时 间进程中处于不同时刻的随机变量 ξi(t1)的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进 行精确的数学描述。
3.1随机过程的基本概念
通信系统中的噪声就是一种随机 信号 虽然随机信号不能预测，但我们 可以通过统计学来得到它们的一般 表述。
3.1.1 随机过程的分布函数
3.1随机过程的基本概念
5、互协方差（Cross Covarance）
B t1,t2 E t1 a t1 t2 a t2
6、互相关（Cross Correlation）
R
t1
,
t
2
E
t1
t
2
3.1随机过程的基本概念
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
fn x1,
x2 ,,
xn ; t1 , t2 ,, tn
n Fn
x1, x2,, xn;t1,t2,,tn
x1x2 xn
3.1随机过程的基本概念
3.1.2 随机过程的数字特征
1、数学期望（Expectation）
Example: 设一个随机相位的正弦
波为 (t) Acos(ct )
其中，A和ωc均为常数；θ是在(0, 2π)内均匀分布的随机变量。 试求其均值、方差和自相关函数。
3.2 平稳随机过程
3.2.1 平稳随机过程的定义
1、狭义平稳
fn x1x2,, xn;t1,t2,,tn fn x1x2,, xn;t1 ,t2 ,,tn
3.1随机过程的基本概念
随机过程(t)的一维到n维分布函数
F1x1,t1 P t1 x1
Fn x1, x2,, xn;t1,t2,,tn P t1 x1, t2 x2,, tn xn
随机过程(t)的一维到n维概率密度
函数
1、R 0 E 2 t S 称为 t 的平均功率 2、R R － 必须是实过程才成立 3、R R 0
上界性，即当＝0时，相关性最大
4、R ＝E2 t 称为 t 的直流功率
3.2 平稳随机过程
任意有限维分布函数与时间起点无 关，称该随机过程是在严格意义下 的平稳随机过程，简称严平稳随机 过程。
3.2 平稳随机过程
2、广义平稳
平稳随机过程的一维分布与时间t无 关，而二维分布只与时间间隔τ有关， 数字特征为
(1)Et a
(2)Rt,t R
为广义平稳随机过程。显然，严平 稳随机过程必定是广义平稳的，反 之不一定成立。
B t1,t2 E t1 a t1 t2 a t2
4、自相关函数（Correlation）
R t1,t2 E t1 t2
x1x2 f x1, x2;t1,t2 dx1dx2
3.1随机过程的基本概念
【例】n台示波器同时观测并记录n 台接收机的输出噪声波形 样本函数ξi(t)：一次实现。 随机过程：ξ(t) 是全部样本函数的 集合。 (t )
1 (t ) 2 (t) n (t)
t 0
3.1随机过程的基本概念
角度2：随机过程是随机变量概念的 延伸。
5、R 0－R ＝ 2 方差, t 的交流功率
6、若E t ＝a 0，则R 中一定有常数a2
7、若 t 有周期量，则R 也有，且周期相同
8、若 t 是各态历经、零均值且无周期分量， 则 lim R 0
3.2 平稳随机过程
3.2 平稳随机过程
各态历经性是平稳随机过程才有的 特性。
Example 3－1：设一个随机相位 的正弦波为ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中
A和ωc均为常数；θ是在(0,2π)内均
匀分布的随机变量。试讨论是否具 有各态历经性。
3.2 平稳随机过程
3.1.3 平稳过程的自相关函数 自相关函数的性质：
本，则其时间均值和时间相关函数
分别定义为
ax
A
x
t
lim
T
1 T
T 2 x t dt
T 2
R
A
x
t
x
t
lim
T
1 T
T 2 x t x t dt
T 2
如果 a a R( ) R( )
称该平稳过程具有各态历经性。
3.2 平稳随机过程
3.2.2 各态历经性
提出问题：能否从一次试验而得到 的一个样本函数x(t)来决定平稳过程 的数字特征呢? 平稳过程在满足一定的条件下具有 非常有用的特性，称为“各态历经 性”（又称“遍历性”）。任一实 现的时间平均值来代替。
3.2 平稳随机过程
各态历经性条件
设：x(t)是平稳过程ξ(t)的任意一样
3.2.4 平稳过程的功率谱密度
1、定义：
确定功率信号f(t)的功率谱密度
Pf
(f)
lim
T
FT ( f ) 2 T
FT(f)是截短fT(t) 对应的频谱
f (t)
第3章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结
3.1随机过程的基本概念
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化 的过程，它不能用确切的时间函数 描述。可从两种不同角度看：
E t xf1 x,t dx a t
2、方差（Varance）
D
t
E
t
E
பைடு நூலகம்
t
2
E
t a t 2
2
t
3.1随机过程的基本概念
3、自协方差函数（Covarance）
因此，可以把随机过程看作是在时 间进程中处于不同时刻的随机变量 ξi(t1)的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进 行精确的数学描述。
3.1随机过程的基本概念
通信系统中的噪声就是一种随机 信号 虽然随机信号不能预测，但我们 可以通过统计学来得到它们的一般 表述。
3.1.1 随机过程的分布函数
3.1随机过程的基本概念
5、互协方差（Cross Covarance）
B t1,t2 E t1 a t1 t2 a t2
6、互相关（Cross Correlation）
R
t1
,
t
2
E
t1
t
2
3.1随机过程的基本概念
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
fn x1,
x2 ,,
xn ; t1 , t2 ,, tn
n Fn
x1, x2,, xn;t1,t2,,tn
x1x2 xn
3.1随机过程的基本概念
3.1.2 随机过程的数字特征
1、数学期望（Expectation）
Example: 设一个随机相位的正弦
波为 (t) Acos(ct )
其中，A和ωc均为常数；θ是在(0, 2π)内均匀分布的随机变量。 试求其均值、方差和自相关函数。
3.2 平稳随机过程
3.2.1 平稳随机过程的定义
1、狭义平稳
fn x1x2,, xn;t1,t2,,tn fn x1x2,, xn;t1 ,t2 ,,tn
3.1随机过程的基本概念
随机过程(t)的一维到n维分布函数
F1x1,t1 P t1 x1
Fn x1, x2,, xn;t1,t2,,tn P t1 x1, t2 x2,, tn xn
随机过程(t)的一维到n维概率密度
函数
1、R 0 E 2 t S 称为 t 的平均功率 2、R R － 必须是实过程才成立 3、R R 0
上界性，即当＝0时，相关性最大
4、R ＝E2 t 称为 t 的直流功率
3.2 平稳随机过程
任意有限维分布函数与时间起点无 关，称该随机过程是在严格意义下 的平稳随机过程，简称严平稳随机 过程。
3.2 平稳随机过程
2、广义平稳
平稳随机过程的一维分布与时间t无 关，而二维分布只与时间间隔τ有关， 数字特征为
(1)Et a
(2)Rt,t R
为广义平稳随机过程。显然，严平 稳随机过程必定是广义平稳的，反 之不一定成立。
B t1,t2 E t1 a t1 t2 a t2
4、自相关函数（Correlation）
R t1,t2 E t1 t2
x1x2 f x1, x2;t1,t2 dx1dx2