随机过程

E( X ) xf (x)dx xdF(x) (2-47)
(2) 方差 随机变量的方差，反映随机变量取值的集中程度。
设X是一个随机变量，方差记为D（X）或Var(X)
D( X ) Var ( X ) E{[ X E( X )]2} （2-50）
方差经常又用σ2来表示，方差的平方根σ又称为“标准偏差”。
f n (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , , tn ) f n (x1, x2 , , xn ;t1 , t2 , , tn )
(2-67)
则称随机过程X(t)为平稳随机过程。可见平稳随机过程是指统计
特性不随时间的变化而改变的随机过程。
根据平稳随机过程的定义, 我们可以求得平稳随机过程X(t) 的数学期望、
T T
（2-25）
为功率信号x(t)的功率谱密度函数，它表示单位频带上的信号功 率，表明信号功率在频率轴上的分布情况。信号x(t)的功率为功 率谱在频域内的积分值。
根据 得 由函数式
P 1
2π
P()d
Vn 2
n
n
Vn
2
1
2
P()d
（2-26）
f (t) (t t0 )dt f (t0 ) (t t0 ) f (t0 )
(2-61)
σ2(t)表示了X(t)在t时刻的随机变量的方差。
③ 随机过程的自相关函数。
均值和方差仅描述了随机过程在孤立时刻上的统计特性，不 能反映过程内部任意两个时刻之间的内在联系。
图2-1具有相同的均值和方差，但X(t)和Y(t)的统计特性明显不 同。X(t)变化快，Y(t)变化慢。
X(t)变化快，表明随机过程X(t)内部任意两个时刻t1，t2之间波 及小，互相依赖性弱，即自相关性弱。
若要完整地表述一个随机变量的统计特性，就必须求得它的分 布函数或概率密度函数．然而， 在许多实际问题中，往往并 不关心随机变量的概率分布，而只想知道它的某些特征。这些 表述随机变量“某些特征”的数， 就称之为随机变量的数字特 征。
2. 随机变量的数字特征
(1) 数学期望
随机变量的数学期望，或简称均值，反映了随机变量取值 的集中位置。
功率信号
R( ) lim 1
T T
T
2 T
x(t)x(t
)dt
2
(2-32)
能量信号
R( ) x(t)x(t )dt
(2-34)
2. 能量信号的相关定理 能量信号x(t)的自相关函数具有以下性质： (1) 自相关函数是偶函数，即R(τ)=R(-τ)。 (2) 当τ=0时，R(τ)就是信号的能量， 即
Vn
1 T
X T (n0 )
（2-17）
2.1.4信号的能量谱密度和功率谱密度 1. 能量信号的能量谱密度函数(帕塞瓦尔定理) 能量信号x(t)是指在时域内有始有终， 能量有限的非周期
信号。
对能量信号x(t)，可用其频谱密度函数X(ω)及信号的能量 谱密度函数G(ω)来描述。
设能量信号x(t)频谱密度函数为X(ω)， 信号的能量为
设P(xi)(i=1,2,…,n)是离散随机变量X的取值xi的概率，则
其数学期望
n
E( X ) xi P(xi )
(2-46)
i 1
实际上就是对随机变量的加权求和，而加权值就是各个可能值
出现的概率。
对于连续随机变量的数学期望可用积分计算，设f(x)为连 续随机变量X的概率密度函数，则X的数学期望定义为
得
Vn 2
Vn 2 ( n0 )d
n
n
综上所述，得
1
2
P()d
Vn
2
(
（2-27）
n0 )d
P() 2 Vn 2 ( n0 ) n
（2-28）
周期信号的功率谱密度是离散的，而且都是冲击函数。对
于V
不为零的
n
n
0
成分，具有一定的功率。
2.1.5 信号的卷积和相关 1. 互相关函数
2. 平稳随机过程的性质
1)
设x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个实现，若X(t)的数字 特征（统计平均）可由x(t)的时间平均来替代，
2
E
[X
m EX (t) x(t) lim T
能量信号x(t)的能量谱密度函数等于它的频谱密度函数的模 平方。所以，式（2-18）可重写为
E
G()d f
1
G( ) d
（2-20）
2 π
上式表明，信号x(t)的能量为能量谱在频域内的积分值。式(220)称为能量信号的帕斯瓦尔定理。
2. 功率信号的功率谱密度函数
功率信号x(t)是指信号在时域内无始无终，信号的能量无限， 但平均功率有限的信号。
功率有限，因此周期信号是典型的功率信号。设周期信号的周
期为T0。则其平均功率表示为
1
P lim T T0
T0
2 T0
x2 (t)dt
2
（2-22）
式(2-22)说明周期信号的平均功率可在信号的一个周期内求平 均得到。
在实际中常用信号的功率谱来描述功率信号。
功率信号x(t)的截断信号的频谱密度函数为。根据能量信
E x2 (t)dt x(t) 1 X ()e jtd dt
2
1 X ()x(t)e j(t)dt d
2
1
X () X () d
2
1 X () 2 d
2
1
X () 2 d 1
G()d
0
0
（2-18）
其中
G() X () 2
（2-19）wk.baidu.com
为能量信号的能量谱密度函数，它表示单位频带上的信号能量， 表明信号的能量在频率轴上的分布情况。
RX (t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] x1 x2 f2 (x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
(2-63)
2.2.4 平稳随机过程
1. 平稳随机过程的定义
平稳随机过程是指过程的任意n维概率密度函数fn(x1， x2，…，xn；t1，t2，…，tn)与时间的起点无关。即对任意的n 值及时间间隔来说，如果随机过程X(t)的n维概率密度函数满足
E x2 (t)dt R(0)
此外，当τ=0时，自相关函数R(τ)取最大值，即R(0)≥R(τ)， 因此这时自相关性最强。
R( ) X () 2 G()
(2-36)
能量信号的自相关函数和能量谱密度函数是一对傅里叶 变换。
3. 功率信号的相关函数 功率信号的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换。
函数为随机过程，其中每个时间函数称为该随机过程的样本函 数, T是参数t的变化范围, 称为参数集。
在某一特定时刻t=t1时，函数值X(e,t1)是一个随机变量，对不 同的时间t得到一簇随机变量，所以随机过程是依赖于时间参 数t的一簇随机变量。
如果在某一个固定时刻，如t=t1时，来观察随机过程的值 X(t1)，那么它是一个随机变量；在不同的t1，t2，…，tn时刻考 察随机过程时，将得到不同的随机变量。
＝0。反之, 如果T→∞时E不存在(无穷大)，而S存在，则x(t)称
为功率信号。
周期信号一定是功率信号；而非周期信号可以是功率信号， 也可以是能量信号。
2.1.3周期信号的频谱分析
周期信号x(t)的频谱密度函数X(ω)， 可通过式(2-6)和(2-11)
求得
X () F[x(t)]
Vn e jn0t e jt dt
第2章 随机过程
2.1 确知信号的分析 2.2 随机信号的分析
2.1 确知信号的分析
2.1.1 信号的分类 1. 周期信号和非周期信号
信号x(t)满足x(t)=x(t+T0)，则x(t)为周期信号，T0称为周期。
周期信号用付氏级数展开指数函数表示式
周期为T0的周期信号x(t)，根据尤拉公式 cos x e jx e jx 2
设x1(t)和x2(t)为功率信号,则它们之间的互相关程度用 互相关函数R12(τ)表示
R12
(
)
lim
T
1 T
T
2 T
x1(t)x2 (t
)dt
2
(2-30)
设x1(t)和x2(t)为能量信号， 则
R12 ( ) x1(t)x2 (t )dt
(2-31)
当x1(t)=x2(t)时，互相关函数就变为自相关 函数R(τ)
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，
x(t)
xT (t)
0
T 2t T 2
其他
(2-15)
那么
XT () F[xT (t)]
xT
(t
)e
jt
dt
从而推出
X ()
2
T
X T () (
n
n0 )
（2-16）
0 X T (n0 ) ( n0 )
n
比较式(2-14)与式(2-16)可得
Y(t)变化慢，表明随机过程Y(t)内部任意两个时刻t1，t2之间波 及大，互相依赖性强，即自相关性强。
(a) 随机过程X(t); (b) 随机过程Y(t)
所谓相关，实际上是指随机过程在t1时刻的取值对下一时 刻t2的取值的影响。影响越大，相关性越强，反之，相关性越
弱。
随机过程X(t)的自相关函数RX(t1,t2)
号帕斯瓦尔定理得：
xT2 (t)dt
1
2
XT () 2 d
（2-23）
将式(2-23)代入式(2-21)，得功率信号x(t)的平均功率为
P lim 1 T T
xT2
(t
)dt
1
lim
XT () 2 d
1
P()d
2 T T
2
（2-24）
其中，
P() lim X T () 2
2.2.3 1. 随机过程的定义 随机过程是一种取值随机变化的时间函数， 它不能用确
切的时间函数来表示。
随机过程有确切的统计规律。
设E是随机实验，S={e}是它的样本空间， 如果对每一个
样本e来说， 可按某一规则确定参数t的实值函数
X (e,t), t T
那么，对所有的样本e，就得到一簇时间函数，并称此簇时间
可得
x(t) Vne jn0t
（2-6）
其中
n
Vn
1 T0
T0
2 T0
x(t )e
j0t dt
2
(2-7)
其中，0 2 T0 为基波角频率
2. 确知信号和随机信号 可用明确的数学式表示的信号称为确知信号。 信号没有确定的数学表示式，只知道它取某一数值的概 率，这种信号为随机信号或不规则信号。
对于非周期功率信号x(t)的平均功率可用截断信号在区间 内的平均功率求极限的方法得到。定义为
1
P lim T T
x2 (t)dt lim 1
T T
T
2 T
xT2 (t)dt
2
（2-21）
其中，xT (t)是x(t)在区间 ( T 2,T 2)内的截断信号，为能量信号。
而周期信号是无始无终的，它在整个时域内能量无限，而
R( ) P()
(2-37)
2.2 随机信号的分析
2.2.1 1. 随机变量的定义 在概率论中，把某次试验中可能发生的和可能不发生的事
件称为随机事件(简称事件)。 随机试验E所有可能的结果所组成的集合 称为E的样本空间， 记为S。
设E是随机试验，它的样本空间是S＝{e}。如果对于每一 个e， 有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上 的单值实值函数X=X(e)，称为随机变量。
EX (t)
x f1(x)dx m
E [ X (t) m]2
(x m)2
f1(x)dx 2
（2-70）
RX (t,t ) x1x2 f2 (x1, x2; )dx1dx2 RX ( )
由此可见，平稳随机过程的数学期望和方差都是与时间无 关的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数。
2) (1) 随机过程的数学期望(均值)。
E[ X (t)] x f1 (x,t)dx m(t)
式中，f1(x,t)为X(t)在t时刻的一维概率密度函数。
(2) 随机过程的方差。
D[ X (t)] E{[ X (t) a(t)]2}
(x
a)2
f1 ( x, t )dx
2
(t)
n
V e dt
j ( n0 )t
n
n
2 Vn ( n0 ) n (2-14)
可看出，周期信号的频谱密度函数是由一系列的冲激离 散频谱构成的，这些冲激位于信号基频ω0的各次谐波处。
为了方便计算周期信号x(t)的频谱密度函数X(ω)， 也可将 x(t)在一个周期内截断，得到信号xT(t)，先求出xT(t)的傅里叶 变换XT(ω)，再对得到的XT(ω)周期延拓从而求得X(ω)。
3. 功率信号和能量信号
如信号 x(t)(电流或电压)作用在1Ω电阻上，瞬时功率为
|x(t)|2 ,在（-T/2，T/2）时间内消耗的能量为
T
E
2 T
x(t) 2 dt
而平均功率
2
S 1 T /2 x(t) 2 dt T T / 2
(2-9)
当T→∞时，如果E存在，则x(t)称为能量信号，此时平均功率S