方阵的特征值与特征向量(1).ppt
方阵的特征值与特征向量
证明 则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同 不同特征值的特征向量相互正交 正交。 不同 正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量， 则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次 特征向量
非零解。 方程（2）的非零解 非零解
5
（1）式也可写成 即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）
方阵的特征值与特征向量
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练习题3: P143 判断下列命题是否正确．
(1) 如果 i 是方阵 A 的特征值，则 i 对应的特征
向量构成的集合 N(i E A) {x | (i E A)x 0};
(错)
(2) 方阵 A 的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;
(对)
(3) 由于方阵 A 和 AT有一样的特征值, 故他们也有一样的
再由Ax x可得
x A1 Ax A1 x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
16
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下证： Ax A x.
当A可逆时, 即 A 0时,
由 12 n A，知 0， 再由Ax x可得
A x A Ix AAx Ax A x
分别对应于 k , m , 1, 1 A 的特征向量。
14
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证明 2 Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x 故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
15
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3当A可逆时, 由 12 n A，知 0，
1 1 1
2.
设A
2 1
2 1
21
求 A 的特征值与特征向量.
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感谢您的欣赏
27
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11
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当 2 3 1 时，齐次线性方程组为 A E x 0
2 1 0 1 0 1
A
E
4 1
2 0
0 1
第二节方阵的特征值和特征向量
3 4 1
1 1 0
000
~
1 0 0
0 1 0
0 00,
0
得基础解系
p1
10.
故对应特征值1=2的所有特征向量为 kp1 (k0).
当2=3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由
A
E
2 4 1
1 2 0
001
~
1 0 0
0 1 0
1 2 0
,
1
得基础解系
p2
21.
故对应特征值2=3=1的所有特征向量为kp2(k0).
§5.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义: 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax = x 成立, 那末这样的数称为方阵A的特征值, 非零向量x 称为A的对应于特征值的特征向量.
说明1: 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的; 说明2: n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
例3:
求矩阵A
=
2 0 4
1 2 1
301 的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
2 1 1
| A–E | = 0 2 0 = –(1+)(2–)2,
4 1 3
所以A的特征值为: 1=–1, 2=3=2.
当1=–1时, 解方程组( A+E )x = 0. 由
A
E
1 0 4
1 3 1
x = A-1(Ax) = A-1(x) = (A-1x).
所以,
A-1x = -1x
由此我们还证明了: 若x是A的属于特征值的特
征向量, 则x也是矩阵A-1的属于特征值-1的特征向量.
第5章 特征值与特征向量ppt课件
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
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5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
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5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
方阵的特征值与特征向量
2 当A可逆时, 0,
由Ax x可得
xA
1
Ax A x A
1
1
x
A1 x 1 x
故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1 的特征向量.
16
矩阵
A 和 AT 的特征值相同。
3．
f AT E AT 证明
22
四、思考题 1、满足Ax=λx的x一定是A的特征向量. 2、如果x1 , , xs是A对应于特征值λ的特 征向量,则 k1 x1 k s xs也是A对应于λ的 特征向量. 3、设 1 , , n 是矩阵A的特征值, 1 ,, n是矩阵B的特征值,则1 1 ,, n n 是矩阵A+B的特征值.
( 2) 当A可逆时, 1是A 1的特征值.
证明
1 Ax x A2 x 2 x A Ax Ax Ax x
m 2 次，就得 Am x m x 再继续施行上述步骤
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
4
1 0 2 所以A的特征值为 1 2, 2 3 1.
当 1 2时, 解方程( A 2 E ) x 0.由
6
3 1 0 A 2E 4 1 0 1 0 0 得基础解系
所以k
1
p (k 0)是对应于
1 0 0 ~ 0 1 0 , 0 0 0 0 p1 0 , 1
23
思考题解答
1、不一定,如果x≠0,则x是A的一个特征 向量.
2、不一定,如果 k1 , k 2 ,, k s不全为零时, 是A对应于λ的特征向量.
线性代数课件特征值和特征向量
§2 相 似 矩 阵
一. 相似矩阵的定义和性质 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使
P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作A~B.
类似地有1k:x11+2kx22+…+skxss=0
(k=0,1,…,s-1),
即
(x1ξ1,x2ξ2,...,xsξs)11MM 12 O L L 12M ss11(0,0,L,0)
1 s L ss1
所以有 (x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)
1+2+…+n=a11+a22+…+ann 12…n=detA
定理6.2 设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1, 2,…, s是 分别属于它们的特征向量, 那么1,2,…,s线性无关.
证明 设 x11+x22+…+xss=0, 则
A(x11+x22+…+xss)=0,
即
1x11+2x22+…+sxss=0
例设4 3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是
A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A)
(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9
方阵的特征值与特征向量
§3 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义设A 为n 阶方阵，p 是某个n 维非零列向量. 一般来说，n 维列向量Ap 未必与p 线性相关，也就是说向量Ap 未必正好是向量p 的倍数. 如果对于取定的n 阶方阵A ，存在某个n 维非零列向量p ，使得Ap 正好是p 的倍数，即存在某个数λ使得λAp =p ，这样的向量就是A 的相应的特征向量.下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义.定义3.1 设()ij n na ⨯=A 为n 阶实方阵. 若存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 使λA p =p， 则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于特征值λ的一个特征向量.为了求出A 特征值和特征向量，我们把λAp =p 改写成()λ-=n E A p 0. 再把λ看成待定参数，那么p 就是齐次线性方程组()λ-=n E A x 0的任意一个非零解. 显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：0λ-=n E A .定义3.2 带参数λ的n 阶方阵λ-n E A 称为A 的特征方阵，它的行列式λ-n E A 称为A 的特征多项式. 称0λ-=n E A 为A 的特征方程. 根据行列式的定义可知有以下等式111212122212n n n n n na a a a a a a a a λλλλ-------=---n E A()()()1122n na aa λλλ=---+ , (1)在省略的各项中不含λ的方次高于2n -的项, 所以n 阶方阵A 的特征多项式一定是λ的n 次多项式. A 的特征方程的n 个根（复根，包括实根或虚根, r 重根按r 个计算）就是A 的n 个特征值. 在复数范围内, n 阶方阵一定有n 个特征值.综上所述, 对于给定的n 阶实方阵()i j a =A , 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的n 个根. 对于任意取定的一个特征值0λ，A 的属于这个特征值0λ的特征向量，就是对应的齐次线性方程组0()λ-=n E A x 0的所有的非零解. 注意: 虽然零向量也是0()λ-=n E A x 0的解，但0不是A 的特征向量!二、关于特征值和特征向量的若干结论定理3.1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵T A 必有相同的特征值. 证 由矩阵转置的定义得到矩阵等式()TT λλ-=-n n E A E A . 再由行列式性质1知道()TTλλλ-=-=-n n n E A E A E A. 这说明A 和T A 必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值. 证毕 定理3.2 设12,,,n λλλ 的n 阶方阵()i j a =A 的全体特征值，则必有()111,nn ni i iii i i atr λλ======∑∑∏A A .这里，()tr A 为()i j a =A 中的n 个对角元之和，称为A 的迹（trace ）.A 为A 的行列式. 证 在关于变量λ的恒等式()()()()112111nn nnn n i i i i λλλλλλλλλλλ-==⎛⎫-=---=-++- ⎪⎝⎭∑∏n E A中取0λ=即得 ()()111nnnii λ=-=-=-∏A A ，所以必有1nii λ==∏A .再据行列式定义可得()()()1122n n a a a λλλλ-=---+n E A ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝ 11n nn i i i a λλ-=⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∑ ｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝比较λ-n E A 的上述两个等式两边的1n λ-项的系数, 即得11n ni i ii i aλ===∑∑. 证毕定理3.3 设A 为n 阶方阵.()1110mm m m f x a x a xa x a --=++++ 为m 次多项式.()1110m m m m f a a a a --=++++n A A A A E为对应的A 的方阵多项式. 如果λ=Ap p ，则必有()()f fλ=A p p . 这说明()f λ必是()f A 的特征值. 特别, 当()f =A O 时，必有()0f λ=，即A 的特征值必是对应的m 次多项式()f x 的根.证 先用归纳法证明,对于任何自然数k , 都有k k λ=A p p . 当1k =时,显然有λ=Ap p . 假设k k λ=A p p 成立, 则必有()()11k k k k k λλλ++====A p A A p A p Ap p 。
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主要内容： 一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的相关定理 三、特征值与特征向量的求解
§2 方阵的特征值与特征向量
定义: 设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非 零列向量x使关系式 Ax= λx (1)
成立,那么,这样的数λ称为方阵A的特征 值,非零向量x称为对应于特征值λ的 特征向量.
§2 方阵的特征值与特征向量
当1 2 =1时, 对应的特征向量应满足
1 0 0 1 x1 0
0
1
1
0
x2
0
,
0
1
1
0
x3
0
1 0 0 1 x4 0
0
1
解得对应的特征向量为p1
1 1
,
p2
0 0
,
0
1
0
1
而全部特征向量为k1
1 1
,
解得x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p2
1
1
.
§2 方阵的特征值与特征向量
说明:
若pi是方阵A的对应于特征值i的特征向量, 则kpi (k 0)也是对应于i的特征向量.
§2 方阵的特征值与特征向量
例 若λ是矩阵A的特征值,证明
(1) m是Am的特征值 m是任意常数;
(2) 当A可逆时, 1是A1的特征值.
k2
0 0
(k1 ,
k2不同时为0).
0
1
§2 方阵的特征值与特征向量
当3 4 =-1时, 对应的特征向量应满足
1 0 0 1 x1 0
0
1
1
0
x2
0
,
0
1
1
0
x3
0
1 0 0 1 x4 0
0
1
解得对应的特征向量为p3
1
,
1
p4
§2 方阵的特征值与特征向量
说明: (1)若是A的特征值,则 k是Ak的特征值;
(2) () ( A)是的特征值 (其中 () a0 a1 am m是的多项式, ( A) a0E a1A am Am也是A的多项式).
§2 方阵的特征值与特征向量
说明:
设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2, , n,
3 2
1
1
3
2
x1 x2
0 0
,
即
x1 x1
x2 x2
0, 0.
解得x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为p1
1 1 .
§2 方阵的特征值与特征向量
当2 4时,由
3 4
1
1
3
4
x1 x2
0 0
,
即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
说明: A的特征值就是特征方程的解.
§2 方阵的特征值与特征向量
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 (4 )(2 ) 1 3
所以A的特征值为1 2, 2 4.
§2 方阵的特征值与特征向量
当1 2时, 对应的特征向量应满足
§2 方阵的特征值与特征向量
由Ax= λx 得(A- λE)x =O, (2)
这是未知数个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必 要条件是系数行列式| A- λE |=0, (3)
即
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n 0
an1
an2
ann
上式是以λ为未知数的一元n次方程,称为方阵A的特征方程. 记f (λ) =| A- λE |称为方阵A的特征多项式.
§2 方阵的特征值与特征向量
说明:
1.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
2.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而 言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一 个特征向量不能属于不同的特征值．
§2 方阵的特征值与特征向量
总结 求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 det A E;
0 0
,
0
1
0
1
而全部特征向量为k3
1
1
k4
0 0
(
k3
,
k4不同时为0).
0
1
§2 方阵的特征值与特征向量
定理
设1, 2, , m是方阵A的m个特征值,
p1, p2, , pm依次是与之对应的特征向量,
如果1, 2 , , m各不相等,则 p1, p2 , , pm 线性无关.
证 因λ是A的特征值,故有p≠O使Ap= λp.于是
1 A2 p A( Ap) A( p) ( Ap) 2 p,
故 2 是矩阵A2的特征值, 且 x 是 A2 对应于 2的特征向量.
§2 方阵的特征值与特征向量
2 当A可逆时,由Ap p, 有p A1 p,
因p 0, 知 0, 故A1 p 1 p 所以 1是矩阵A1的特征值, 且x是A1对应于 1的特征向量.
则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
§2 方阵的特征值与特征向量
0 0 0 1
例
求A
0 0
0 1
1 0
0
的特征值和特征向量.
0
Hale Waihona Puke 100解 A的特征多项式为
0 0 1
AE 0
0
1 1
0 ( 2 1)2
0
1 0 0
所以A的特征值为1 2 1, 3 4 1.
2. 求特征方程 det A E 0的全部根1, 2 ,
, n ,就是A的全部特征值;
3. 对于特征值i ,求齐次方程组 A iE x 0
的非零解, 就是对应于i的特征向量.