最新标准答案 北京大学春季学期线性代数作业资料
线性代数参考题1-6答案
线性代数参考题一答案：（注：为了大家共同的利益，我做了每一道题，希望你发现有做错处及时告诉我，谢谢，你的朋友冯国晨 gcfeng@ ）一. 填空题(每小题3分,满分30分)1．42342311a a a a 与44322311a a a a -；2.b a =；3.)(211E A A -=-；4.可逆阵或满秩阵或非奇异阵；5.特征根为0；6.1-=α；7.)()(T r A r =；8.3R ；9.负定；10.25≠t二. 陈治中版《线性代数》例题1.5.7（p.26）答案：nn bc ad D )(2-=三. 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=130231,3512,343122321C B A 则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--2115.053,2153,1115.235.123111X BA四. 令),,,(4321αααα=A ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==0000310020101013130631120140121),,,(4321ααααA 因而3)(=A r ，321,,ααα构成一个极大无关组，且321432αααα+-=五. 陈治中版《线性代数》习题4.6（p.121）答案：p.211 六. 将二次型f 化成矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=211121112A ，显然A 为实对称阵，可以正交对角化的，即 由特征方程0||=-E A λ，得01=λ，33,2=λ当01=λ 对应的特征向量为T)1,1,1(1=α，标准化为T)1,1,1(311=η；当33,2=λ 对应的特征向量为T)0,1,1(2-=α和T)1,0,1(3-=α正交化T)0,1,1(22-==αβ，标准化为T)0,1,1(212-=ηT)1,1,0(,,2222333-=⋅><><-=ββββααβ，标准化T)1,1,0(213-=η因而),,(321ηηη=P ，且232233y y f += 七. 令αααααααααααααααβββββL n nn=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3213213212113211111111111............由 1||=L 以及n αα,,1 线性无关得n ββ,,1 线性无关。
(完整word版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。
(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。
(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。
（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。
（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。
线性代数参考答案(部分)
解：将行列式按第一列展开得
Dn = x (−1)1+1
x 0 0
y x 0
0 y 0
L L L
0 0 x
L L L L L
+ y (−1) n +1
y x 0
0 y 0
L L L
0 0 x
0 0 y
L L L L L
= x n + ( −1) n +1 y n
说明：请注意这种形式的行列式！ 2. 含参数行列式的计算
x
yபைடு நூலகம்
0
L
0
0
0 x y L 0 0 Dn = L L L L L L 0 y 0 0 0 0
3
L L
x 0
y x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
1+ a 1 1 1 a + 10 a + 10 a + 10 a + 10 2 2+a 2 2 2 2+a 2 2 解： D4 = = 3 3 3+ a 3 3 3 3+ a 3 4 4 4 4+a 4 4 4 4+a
= ( a + 10) 1 1 2 2+a 3 4
3
1 2 3+ a 4
1 2 3 4+a
−2 λ +1 −2
2 λ +3
1 1
−2 −2
2 −k λ +3
=
k −4
− k = (λ − 1) 0 λ + 1
= (λ − 1) 0 λ + 1
北大版-线性代数第一章部分课后标准答案详解
北大版-线性代数第一章部分课后答案详解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：习题1.2：1 .写出四阶行列式中11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有()()13241τ-11233244a a a a 或()()13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a2. 用行列式的定义证明11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。
故所有因式都为0.原命题得证.。
3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000n n -L L M M M OM L L（2）00100200100000n n-L L M O M O M L L； 解：（1）010000200001000n n -LLM M M OM LL=()()23411n τ-L 123n ⨯⨯⨯⨯L =()11!n n --（2）00100200100000n n-L LM OM O M L L=()()()()12211n n n τ---L 123n ⨯⨯⨯⨯L =()()()1221!n n n --- 4.设n 阶行列式：A=1111nn nna a a a LM OM L，B=11111212212221212n n nn n n n n nna ab a b a b a a b a b a b a -----L L MMOM L，其中0b ≠，试证明：A=B 。
《线性代数》课后习题答案
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
线性代数练习题库及答案
线性代数练习册答案第五章 相似矩阵及二次型51ξ- 内积52ξ- 方阵的特征值与特征向量一．填空题：1.A 是正交矩阵，则A1A =± . 2.已知n 阶方阵A 的特征值为12,,,n λλλ⋅⋅⋅， 则E A λ-= ()()()12n λλλλλλ--⋅⋅⋅- .3.已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则232B A A =-的特征值为 1,5,8 ；A = 2- ；A 的对角元之和为 2 .4.若0是A 的特征值，则A 不可逆 （可逆，不可逆）.5.A 是n 阶方阵，A d =，则AA *的特征值是 ,,,d d d ⋅⋅⋅（共n 个） . 二．用施密特法把下列向量组规范正交化123111(,,)124139ααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：()111,1,1Tβα==[]()()()2122121,61,2,31,1,11,0,13TT Tαββαββ=-=-=- [][]313233122212,,αβαββαββββ=--()()()1481211,4,91,1,11,0,1,,32333TTTT⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭故)1111,1,1T b ββ==，)2221,0,1T b ββ==-，)3331,2,1Tb ββ==-.三．求下列矩阵的特征值和特征向量1. 1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 100020012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：1. A 的特征多项式为12(3)(1)21A E λλλλλ--==-+-故A 的特征值为123,1λλ==-.当13λ=时，解方程()30A E x -=.由221132200rA E --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:得基础解系111P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1(0)kPk ≠是对应于13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系211P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于21λ=-的全部特征向量.2. B 的特征多项式为2100020(1)(2)012B E λλλλλλ--=-=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===.当11λ=时，解方程()0B E x -=.由000011010010011000r B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系1100P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故1(0)kP k ≠是对应于11λ=的全部特征向量. 当232λλ==时，解方程()20B E x -=.由1001002000000010010r B E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系2001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于232λλ==的全部特征向量.四．证明下列各题1. x 为n 维列向量，且1T x x =，求证：2T H E xx =-是对称的正交阵.2. 设A 、B 为同阶正交阵，证明：AB 也是正交阵. 证明：1. ()()222TTTTT TT T H E xx H E xxE xx H =-⇒=-=-=故H 为对称阵.又()()()224444T T T T T T T T H H E xx E xx E xx x x x x E xx xx E =--=-+=-+=故H 为正交阵.2. 因,A B 为同阶正交阵，故,T T A A E B B E ==. 又()()TT T T T AB AB B A AB B EB B B E ====，故AB 为正交阵.五．A 是n 阶方阵，命题P 为：A 的特征值均不为0.请尽量多的列举与P 等价的命题.（如A 可逆.至少列举3个） 解：等价命题：1P ：A 的列（行）向量组线性无关 2P ：0A ≠3P ：齐次线性方程组0Ax =只有0解 4P ：A 的秩为n53ξ- 相似矩阵54ξ- 实对称矩阵的相似矩阵一．填空题：1.若ξ是A 的特征向量，则 1P ξ- 是1P AP -的特征向量.2.若A 与B 相似，则A.3.20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x = 0 ，y = 1 .4.若λ是A 的k 重特征根，则必有k 个相应于λ的线性无关的特征向量， 不对 （对，不对），若A 是实对称的呢？ 对 （对，不对）.二．多项选择题（选出全部正确的选项，可能不只一个）1.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个（ C ） （A ）互不相同的特征值； （B ）互不相同的特征向量； （C ）线性无关的特征向量； （D ）两两正交的特征向量；2.方阵A 与B 相似，则必有（ BD ）（A ）E A E B λλ-=-； （B ）A 与B 有相同的特征值； （C ）A 与B 有相同的特征向量； （D ）A 与B 有相同的秩； 3.A 为n 阶实对称矩阵，则（ ACD ）（A ）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B ）0A >；（C ）A 必定有n 个两两正交的特征向量； （D ）A 的特征值均为实数；三．100021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试求一个可逆矩阵P 使得1P AP -为对角阵，并求m A .解：先求A 的特征值和特征向量.2100021(1)(3)012E A λλλλλλ--=-=--- 故A 的所有特征值为1233,1λλλ===.当13λ=时，解方程()30A E x -=.2001003011011011000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:令1011P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 即为对应于13λ=的特征向量. 当231λλ==时，解方程()0A E x -=.000000011011011000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:令23100,101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于231λλ==的特征向量.显然，123,,P P P 线性无关.令()123010,,101101P P P P ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则11110031313102211313022mm m m mm P AP A P P A P P ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪+-+ ⎪⎪Λ==⇒=Λ⇒=Λ= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭-++ ⎪⎪⎝⎭四．三阶实对称矩阵A 的特征值为0,2,2，又相应于特征值0的特征向量为1111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求出相应于2的全部特征向量.解：因为A 为三阶实对称矩阵，故A 有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的 特征向量两两正交.已知对应于10λ=的特征向量为1P ，设对应于232λλ==的特征向量为23,P P ，则12130,0T T P P P P ==.即23,P P 为齐次线性方程组10T P x =的两个线性无关的解.由10T P x =得1230x x x ++=.令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11,1x =--.取23111,001P P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于232λλ==的特征向量.令2233k P k P ξ=+（23,k k 不全为零），则ξ为对应于232λλ==的全部特征向量. 五．设3阶方阵A 的特征值为1231,0,1λλλ===-，对应的特征向量分别依次为1231222,2,1212P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求A .解：因为123λλλ≠≠，故A 可对角化，且123,,λλλ所对应的特征向量123,,P P P 线性无关.显然()()112312323,,,,A P P P P P P λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令()123,,P PP P =， 故1112311021001231220A P P P P λλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.55ξ- 二次型及其标准形56ξ- 用配方法化二次型为标准形57ξ- 正定二次型一．填空题：1. 22(,)22f x y x xy y x =+++是不是二次型？答： 不是 .2. 123121323(,,)422f x x x x x x x x x =-++的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数．3．21101000A k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A 为正定矩阵,则k 满足 大于1 .二．A 为实对称矩阵，选出全部的A 为正定矩阵的充分必要条件（ 12346 ） 1.对任意的列向量0x ≠，0x Ax '> 2.存在可逆方阵C ，使得A C C '= 3.A 的顺序主子式全部大于零 4.A 的主子式全部大于零 5.A 的行列式大于零 6.A 的特征值全部大于零三．212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；2.求正交变换x Py =，将二次型化为标准形.解：1. 2112312331232123001(,,)(,,)300(,,)343043x x f x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212233343x x x x x =+++ 故二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.2. 问题可转化为求正交矩阵P ，将A 化为对角形.21032(1)(5)023A E λλλλλλ--=-=--- 故A 的特征值为1231,5λλλ===.当121λλ==时，解方程()0A E x -=.000011022000022000r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:.令1310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得20,1x =-.取12100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ξξ即为对应于121λλ==的特征向量.显然，12,ξξ正交.将12,ξξ单位化得121212010,0P P ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭当35λ=时，解方程()50A E x -=.4001005022011022000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:.令31x =，得1201x x =⎧⎨=⎩.取3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3ξ即为对应于35λ=的特征向量.将3ξ单位化得3330P ξξ⎛⎫⎪ ⎪==. 令()123P P P P =，则1115P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故123(,,)f x x x 的标准形为2221235y y y ++.四．已知A 和B 都为n 阶正定矩阵，求证A B +的特征值全部大于零. 证明：因为,A B 都为n 阶正定矩阵，则对任意n 维列向量0x ≠， 有()0,00T T T x Ax x Bx x A B x >>⇒+>.即A B +是正定矩阵. 故A B +的特征值全部大于零. 五．已知A 为n 阶正定矩阵，求证1A E +>.证明：因为A 为n 阶正定矩阵，则A 的n 个特征值12,,,n λλλ⋅⋅⋅全大于零且存在正交矩阵P ，使得112211n n P AP A P P λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由1122111n n A E P P PP P E P λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111n P P λλλ-+⎛⎫⎪+⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭，得()()()121121111111n n A E PP λλλλλλ-+++==++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+六.求22:1L x xy y ++=围成的面积.解：设二次型()22112(,),112x f x y x xy y x y y ⎛⎫ ⎪⎛⎫=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 令112112A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 是对称矩阵且正定.设12,λλ为A 的特征值，可知存在正交矩阵P ，使得11200T P AP P AP λλ-⎛⎫== ⎪⎝⎭.由0E A λ-=，得1213,22λλ==. 因为正交变换不改变向量的长度，故可用正交变换12z x P z y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得1221122T T T T X AX Z P APZ Z P APZ z z λλ-===+，其中12,z x X Z z y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上可知，经过正交变换后，221213(,)22f x y z z =+.故L 的面积即为椭圆： 221213122z z +=的面积.面积S =.第五章 复习题三、计算题1、设3阶对称阵A 的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为()11,1,1Tp =，求A解：因为对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是两两正交的，所以求对应于3的特征向量即为求与()1,1,1T正交的特征向量。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数习题册(答案)
线性代数习题册答案第一章 行列式 练习 一班级 学号 姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式：(1)111ab c a b c abc +++ = 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c b ca b ca b c-----+-==++++++(2)xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n x a aa x a D a a x=（每行都加到第一行，并提公因式。
）(2)131111n +(3)123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016年春季学期线性代数作业
一、选择题（每题2分，共36分）
1.（教材§1.1B）。
A.6
B.5
C.10
D.7
2.（教材§1.1）行列式A）。
C.0
3.（教材§1.2）行列式D）。
A.40
B.-40
C.10
D.-10
4.（教材§1.3）下列对行列式做的变换中，（A）会改变行列式的值。
A.将行列式的某一行乘以3
B.对行列式取转置
C.将行列式的某一行加到另外一行
D.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行
5.（教材§1.3）行列式（2/9）。
(提示：参考教材P32例1.3.3)
A.2/9
B.2/3
C.2/9
D. 3/4
6.（教材§1.4B）。
A.2/3
B.1
C.-2/3
D.1/3
7.（教材§2.2）矩阵
2110
2311
3441
1132
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
的秩是（D）。
A.1
B.2
C.3
D.4
8.（教材§2.2
a的值为（C）。
A.-1
B.-2
C.-3
D.0
9.（教材§3.1）已知向量
B）。
10.（教材§3.3
C）。
A.
B.
D.向量组A
11.（教材§3.3）下列向量组中，线性无关的是（C）。
12.（教材§3.3）下列向量组中，线性相关的是（D）。
13.（教材§4.1n
结论不正确的是（C）。
B.
C.
14.（教材§4.1A）。
A. B.
C.
15.（教材§4.1）已知矩阵，矩阵，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（D）。
A. B.
C.
16.（教材§4.2）已知矩阵A）。
17.（教材§4.3）下列矩阵中，（B）不是初等矩阵。
A. B. C. D.
18.（教材§5.1的特征值是（C）。
B.
二、填空题（每题2分，共24分）
19.（教材§1.1的值是abe 。
20.（教材§1.4
为1
±。
21.（教材§2.2
45-1-6 12-1-3 01-20⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
_______，系数矩阵的秩等于3
22(公式).（教材§2.3）齐次线性方程组
1234
1234
123
1234
320
20
320
3230
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
+-+=
⎧
⎪+-+=
⎪
⎨
-+=
⎪
⎪-++=
⎩
没有（填“有”
或“没有”）非零解。
23.（教材§4.1
358 683⎡⎤⎢⎥⎣⎦
_____
24．（教材§3.3
= 4
25.（教材§3.3是线性无关（填“相关”或“无关”）的。
26. （教材§4.1）已知矩阵
9 。
27.（教材§5.2
写出所有的特征值：1和-8
28.（教材§4.1）已知上三角矩阵，求12016
01
⎤
⎥
⎦。
29. （教材§4.2）已知矩阵
-12-101-11-22⎤⎥⎥⎢⎥⎣⎦。
30. （教材§5.1）以下关于相似矩阵的说法，正确的有 1，3，4 （多选）。
①
②
③
④
二、解答题（每题8分，共40分）
31.（教材§4.1），求（1）2
）
解：（1）
T 1252135AB =-13132=65114-1013⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（2）
1252A =8A =8-131=811
14
⨯
32.（教材§4.1
解：
()2
1-28-49-6A+B=+=9-2-66349-69-663-78A+B ==343439-2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
33.（教材§1.3
解：
1+13+13310
141310
01-41
=(-1)3413(-1)1141
141-3
682682
0-682
3245616-⨯⨯-+⨯⨯--- =⨯- =
34.（教材§3.4
）求向量组
数。
解：
设12345A=(,,,,)ααααα，对矩阵A 进行初等行变换
115221
152221
334011370A=314570
2191114112109033218151691304
31
19311522115220113700113700219111007310332181000000
4
31
19
300000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
=---⎢⎥⎢
⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
--⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥ ==---⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
可见125,,ααα是一个极大无关组
352171322αααα=+- 45213711αααα=--+
12345(,,,,)()3r r A ααααα==
35. （教材§5.2）求矩阵
解：
3221
1
()121(2)113(2)
1
1
2(1)(4)f A E λλλλ
λλλ
λλ-=-=-=-++-⨯-- =---
令()0f λ=
得：1234,1λλλ===
当14λ=时，对应的特征向量为其次线性方程组()A-40E x =的解 得123x x x ==，特征向量为()11,1,1T
α=
当11λ=时，对应的特征向量为其次线性方程组()A-0E x =的解 得1230x x x ++=，当10x =时，特征向量为()20,1,1T
α=-
当10x ≠时，特征向量为()32,-1,-1T
α=。