不定积分,积分中值定理,极限(成贤)
诚毅高数不定积分课件
目录
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的性质和定理 • 不定积分的综合应用 • 习题解答与解析
01
不定积分的概念
不定积分的定义
积分上限函数
不定积分定义为积分上限函数，即一 个函数的不定积分是其原函数在某个 区间上的最大值和最小值之间的差值 。
原函数
不定积分的结果称为原函数，它表示 被积函数的一个可导函数。
要点二
详细描述
积分中值定理的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连 续，则至少存在一点ξ∈[a, b]，使得f(ξ) = ∫(a→b) f(x) dx 。这个定理在解决一些积分问题时非常有用，因为它可以 将一个复杂的积分问题转化为一个简单的求值问题。
牛顿-莱布尼茨定理
总结词
牛顿-莱布尼茨定理是微积分学中一个重要 的基本定理，它给出了定积分的计算方法。
详细描述
积分第二中值定理的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，且同号，那么 存在一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a→b) f(x)g(x) dx = f(ξ)∫(a→b) g(x) dx = g(ξ)∫(a→b)
f(x) dx。这个定理在解决一些涉及两个函数的积分的复杂问题时非常有用。
不定积分在物理学中的应用
总结词
阐述不定积分在物理学中的重要性和实际效果
详细描述
不定积分在物理学中扮演着关键的角色，特别是在解决 与速度和加速度相关的问题时。通过不定积分，我们可 以找到物体的速度和加速度的表达式，进而解决物理问 题。此外，不定积分在电磁学、光学和量子力学等领域 也有广泛的应用。
不定积分在经济学中的应用
04
不定积分的综合应用
不定积分的15个基本公式
不定积分的15个基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数的不定积分时求出它的原函数。
在计算不定积分时，有一些基本公式可以帮助我们简化计算。
下面是关于不定积分的15个基本公式：1. 常数公式：对于任意常数k，∫kdx = kx + C，其中C为任意常数。
2. 幂函数公式：对于任意常数n，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为任意常数。
3. 倒数公式：∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为任意常数。
4. 正弦函数公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为任意常数。
5. 余弦函数公式：∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为任意常数。
6. 正切函数公式：∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，其中C为任意常数。
7. 余切函数公式：∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C，其中C为任意常数。
8. 指数函数公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
9. 对数函数公式：∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为任意常数。
10. 反正弦函数公式：∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C，其中C为任意常数。
11. 反余弦函数公式：∫arccos(x) dx = xarccos(x) - sqrt(1-x^2) + C，其中C为任意常数。
12. 反正切函数公式：∫arctan(x) dx = xarctan(x) - ln|1+x^2| + C，其中C为任意常数。
13. 反余切函数公式：∫arccot(x) dx = xarccot(x) + ln|1+x^2| + C，其中C为任意常数。
14. 双曲正弦函数公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C，其中C为任意常数。
15. 双曲余弦函数公式：∫cosh(x) dx = sinh(x) + C，其中C为任意常数。
大一高数不定积分知识点
大一高数不定积分知识点大一高数课程对于学生来说可能是一门有些困难的课程。
其中，不定积分是高数中的一个重要知识点。
不定积分的概念、性质、计算方法等，都是我们在学习数学的过程中必须要掌握的内容。
接下来，我将就大一高数不定积分的一些知识点进行阐述。
一、不定积分的概念和基本性质不定积分是确定函数的原函数的问题，也称为反导数。
对于函数f(x)，它的原函数可以表示为F(x)+C，其中F(x)是f(x)的原函数，C是常数。
不定积分的符号记作∫f(x)dx。
在计算不定积分时，我们可以利用基本性质来简化计算过程。
基本性质包括线性性、换元法、分部积分法和简单函数的积分法则等。
其中，线性性指的是∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数；换元法是利用替换变量的方法，将原式进行简化；分部积分法是处理乘积形式的函数积分时常用的方法；简单函数的积分法则是常见的一些函数的积分形式，如幂函数、指数函数、三角函数等。
掌握这些基本性质可以帮助我们更好地计算不定积分。
二、基本常用函数的不定积分在大一高数中，我们需要掌握一些基本的函数的不定积分形式。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
常数函数的不定积分很简单，就是常数乘以自变量，即∫kdx =kx + C，其中k为常数。
幂函数的不定积分也是比较简单的，例如∫x^n dx =(x^(n+1))/(n+1) + C，其中n为实数，n不等于-1。
指数函数的不定积分形式也是常见的，例如∫e^x dx = e^x + C。
对数函数的不定积分形式则是∫1/x dx = ln|x| + C，其中ln为自然对数。
三、含有三角函数的不定积分三角函数在不定积分中也是常见的。
对于一些基本的三角函数，我们需要记住它们的不定积分形式。
例如∫sinx dx = -cosx + C，∫cosx dx = sinx + C，∫sec^2x dx = tanx + C，等等。
03积分学知识点总结
03积分学知识点总结积分学是微积分的重要组成部分，也是数学中的基础知识。
下面是关于积分学的一些主要知识点的总结。
1. 不定积分：不定积分是求函数的原函数的过程，也被称为反导函数。
对于给定的函数f(x)，不定积分记作∫f(x)dx。
2. 定积分：定积分是在给定的区间上求函数的面积的过程。
对于给定的函数f(x)，在[a, b]区间上的定积分记作∫f(x)dx，表示x从a到b的面积。
4. 积分的基本性质：积分具有线性性质，即对于任意常数a和函数f(x)、g(x)，有∫(a*f(x)+b*g(x))dx=a*∫f(x)dx+b*∫g(x)dx。
此外，积分具有可加性，即∫(a to c) f(x)dx=∫(a to b) f(x)dx+∫(b to c) f(x)dx。
5. 分部积分法：分部积分法是求不定积分的一种方法，它利用了导数与积分之间的关系。
对于两个可导的函数u(x)和v(x)，应用分部积分法，可以得到∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
这种方法可以将一个积分转化为另一个更容易求解的积分。
6. 曲线的弧长：曲线的弧长是指曲线在一定区间上的长度。
对于给定的曲线y=f(x)，在[a, b]区间上的弧长可以通过积分来计算，即∫(ato b) sqrt(1+(dy/dx)^2)dx。
其中，dy/dx是曲线y=f(x)的导数。
7. 旋转体的体积：旋转体的体积是指通过将曲线或曲面绕轴或直线旋转一周所形成的体积。
对于给定的曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积可以通过积分来计算，即V=∫(a to b) πy^2dx。
8.定积分的应用：定积分在物理学、经济学、几何学等领域都有重要应用。
例如，它可以用来计算曲线下的面积、求解变速运动的位移和速度、计算平均值等。
9.微元法：微元法是在对函数进行积分时，将函数分割为许多无穷小的微元，然后通过求和的方式逼近整体。
不定积分求极限公式
不定积分求极限公式不定积分求极限公式，这可是数学学习中的一个重要知识点呀！咱们先来说说不定积分。
不定积分呢，就像是在数学的迷宫里寻找那些隐藏的宝藏。
有时候你觉得自己找对了路，可一转弯，又发现好像走进了死胡同。
但别着急，咱们慢慢捋清楚。
比如说，有一次我在给学生们讲解不定积分的时候，有个同学一脸迷茫地看着我，就像掉进了云雾里。
我就问他：“怎么啦？”他皱着眉头说：“老师，我感觉这不定积分就像一团乱麻，怎么都理不顺。
”我笑了笑，拿起笔给他举了个例子。
假设我们要计算函数 f(x) = 2x 的不定积分。
那么，根据不定积分的定义和公式，我们知道它的不定积分应该是 F(x) = x^2 + C（C 为常数）。
我跟那同学说：“你看，这就像是我们要找到能生成 2x 这个小怪兽的源头，而 x^2 + C 就是那个神秘的源头。
”那同学眨眨眼，好像有点明白了。
接下来咱们聊聊求极限。
求极限就像是一场刺激的冒险，你得小心翼翼地靠近那个未知的边界，看看会发生什么。
我记得有一次在课堂上，我出了一道求极限的题目：当 x 趋近于 0 时，(sin x) / x 的极限是多少？同学们纷纷拿起笔开始计算。
有的同学一开始就被难住了，不知道从哪里下手。
这时候，我就提醒他们可以利用等价无穷小的替换，sin x 在 x 趋近于 0 时等价于 x。
经过一番思考和计算，大部分同学都算出了正确答案是 1。
那不定积分和求极限结合起来会怎样呢？这就像是把两个高手放在一起过招，场面更加精彩。
比如说，我们要求这样一个极限：lim(x→∞) ∫(0 到 x) e^(-t^2) dt 。
这可不好对付呢！我们得先求出被积函数 e^(-t^2) 的不定积分，但是这个不定积分可没有一个简单的初等函数表达式。
这时候就得用上一些巧妙的方法，比如利用正态分布的性质或者一些特殊的积分技巧。
在学习不定积分求极限公式的过程中，大家可别害怕犯错。
就像学走路的孩子，摔几个跟头才能走得更稳。
高数积分总结
高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1:如果在区间I上,可导函数F（x）的导函数为f（x)，即对任一,都有F`（x）=f(x)或dF（x)=f（x)dx，那么函数F(x)就称为f(x）(或f(x）dx）在区间I上的原函数。
定义2:在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f （x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作。
性质1:设函数f(x)及g(x）的原函数存在,则。
性质2：设函数f（x)的原函数存在，k为非零常数，则。
2、换元积分法（1）第一类换元法:定理1：设f(u)具有原函数，可导，则有换元公式。
例：求解将代入,既得(2)第二类换元法：定理2：设是单调的、可导的函数,并且又设具有原函数，则有换元公式其中是的反函数。
例：求解∵,设,那么，于是∴∵,且∴,3、分部积分法定义：设函数及具有连续导数。
那么,两个函数乘积的导数公式为移项得对这个等式两边求不定积分,得此公式为分部积分公式。
例:求解∴分部积分的顺序：反对幂三指。
4、有理函数的积分例：求解∵，故设其中A,B为待定系数.上式两端去分母后,得即比较上式两端同次幂的系数,既有从而解得于是其他有些函数可以化做有理函数.5、积分表的查询二、定积分1、定积分的定义和性质(1）定义：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成n个小区间各个小区间的长度依次为在每个小区间上任取一点,作函数值与小区间长度的乘积，并作出和记，如果不论对怎么划分,也不论在小区间上点怎么选取，只要当时，和总趋于确定的极限，那么称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分)，记作，即其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。
定理1：设在区间上连续，则在上可积。
定理2：设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积。
（2）性质1：性质2：（k是常数）性质3:设，则性质4:如果在区间上，则性质5:如果在区间上，，则推论1:如果在区间上，，则推论2:性质6：设M及m分别是函数在区间上的最大值和最小值,则性质7(定积分中值定理)：如果函数在积分区间上连续，则在上至少存在一个点,使下式成立2、微积分基本公式(1)积分上限函数及其导数定理1：如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数定理2：如果函数在区间上连续，则函数就是在区间上的一个原函数。
积分的基本公式和法则
积分的基本公式和法则积分公式是普遍用于积分问题的公式方法，有许多同学想了解积分常用公式有哪些?下面是由小编为大家整理的“积分的基本公式和法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
积分的基本公式和法则设是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
积分的运算法则积分的运算法则，别称积分的性质。
积分是线性的。
如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。
如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
通常意义：积分都满足一些基本的性质。
以下的I在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。
线性：积分是线性的。
如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。
如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
保号性：如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。
那么它在这个区间上的积分也大于等于零。
如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。
作为推论，如果两个I上的可积函数f和g相比，f(几乎)总是小于等于g，那么f 的(勒贝格)积分也小于等于g的(勒贝格)积分。
如果黎曼可积的非负函数f在I上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f=0。
如果勒贝格可积的非负函数f在I上的积分等于0，那么f几乎处处为0。
如果F中元素A的测度μ(A)等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。
对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。
对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。
如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。
专升本高等数学考点总结
专升本高等数学考点总结在专升本考试的冲刺阶段，同学们只有在平常复习中抓住重点、易考考点，才有机会在较少的时间内取得好的成绩。
其实，相对于其他学科来说，数学重在理解，在理解的基础上掌握考点知识，那么再想取得好的成绩就相对来说容易许多。
以下是小编给同学们总结的数学考点知识，同学们可以参考着复习一下：第一：一元函数积分学考试内容原函数与不定积分的概念/不定积分的基本*质/基本积分公式/不定积分的换元积分法和分部积分法/定积分的概念和基本*质/积分中值定理/变上限积分函数及其导数/牛顿一莱布尼茨公式/定积分的换元积分法和分部积分法/广义积分的概念和计算/定积分的应用此部分考试要求：1、了解广义积分收敛与发散的概念和条件，掌握计算广义积分的换元积分法和分部积分法。
2、掌握利用定积分计算平面图形的面积和绕x轴、绕y轴而成的旋转体体积的方法，会利用定积分计算函数的平均值。
3、了解定积分的概念和基本*质。
熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法。
熟练掌握变上限积分函数的求导公式和含有此类函数的复合求导公式。
4、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本*质和基本积分公式;熟练掌握计算不定积分的换元积分法和分部积分法。
如果看不懂看不明白的，那么可以直接在线咨询老师，让老师解答您的疑惑点。
第二：一元函数微分学考试内容导数和微分的概念/导数的几何意义/函数的可导*与连续*之间的关系/导数的四则运算法则/基本初等函数的导数/复合函数的求导法则/反函数和隐函数的求导法则/高阶导数/某些简单函数的n阶导数/微分中值定理及其应用/洛必达法则/函数单调*/函数的极值/函数图形的凹凸*、拐点/函数斜渐近线和铅直渐近线/函数图形的描绘/函数的最大值与最小值!此部分考试要求：1、掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形。
2、熟练掌握函数曲线凹凸*和拐点的判别方法，以及函数曲线的斜渐近线和铅直渐近线的求法。
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变上限积分问题
1.变上限积分问题
x
(x) a f (t) d t
x
(x) (a f (t) d t) f (x)
(被积函数中不含自变量x)
2.变限积分求导:
d (x)
dx a
f (t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
1
3
cos2
dx x
3.
cos
1 x
dx 2
4.
sin x 1 sin
dx x
5.
sin cos x
x
dx 2
1
6.
sin
x
cos3
dx x
三、积分问题（三）
x4
1. 1 x2dx
1
2.
x(
1
x4
dx )
1
3.
x(
xn
dx 1)
1 x7
4.
x(
x7
1
dx )
不定积分问题
一，不定积分性质
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
二、 基本积分表
利用逆向思维
(1) kdx kx C
( k 为常数)
(2)
若 对的a ,b有 ab f ( t )dt与a无 关,求f ( x ) a
例.
例 .设f ( x )在0,1上连续，在0,1上可导
且f ( 0 ) 0, 0 f ( x ) 1
求
证
:
1 0
f(
x
)dx
2
1 f 3( x )dx
0
例.
1
0 f ( x )dx 0 f ( x )dx,
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arccot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
ln a
一、积分问题（一）
4.
1
x cos
2x
dx
5. x tan2 xdx
5
ln(1 x) dx (2 x)2
6.
arctan x x2 dx
7.
ex
sin 2
xdx 2
二、积分问题（二）
1 sin2 x
1.
dx
1 cos 2x
1
2.
dx sinx
例. 求
0 0
例. 确定常数 a , b , c 的值, 使
1
例.
t ln tdt cos x
lim
x0
x(arctan
x)3
例.
x (et2 1 t 2 )2 dt
lim 0
x0 t(arctan t)4
例.
例 设隐函数y y( x )由
x3 y2 et2 dt y 0确定,求y( x ) 0
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
afBiblioteka (t) d t f [(x)](x) f [ (x)] (x)
例. 求 d x2 1 t 2 dt
dx 0
例.
求 d x3 1 dt
dx x2 1 t 4
例.
求 d cos x 1 t 2 dt
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
xC
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
(1).设f (x)在1,3上连续，在1,3上可导,
且f (1) 3 x2 f (x)dx。证明 1,3，使 2 2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f (x)在2,4上可导,且
f (2)
4
(x
1)2
f
( x)dx。
3
证明 2,4，使2 f ( ) (1 ) f ( )
1
提 示 ： 去 证 明
0
f ( x )dx
0
f ( x )dx ,
1
x
即证 0
f ( x )dx 递减
x
例
设f ( x )是 以T为 周 期 的 连 续 函 数 ， 证明 ：
对的x有
xT
T
f ( t )dt f ( t )dt
x
0
例 设f ( x )是 a,a内的连续函数，
证明若f ( x )为奇（偶）函数,则 x f ( t )dt 0 偶（奇）函数
例 设f ( x )是连续函数，f (1) 1
1
5.
(x2
1)( x
dx 1)
四.积分问题(四)
1
1.
dx
x3 x
2.
dx (2 x) 1 x
x2 1
3.
dx
x
4.
dx
(2x2 1) x2 1
5. 1 ex dx
6. e 1x dx
7. cos xdx
积分中值定理与罗尔定理的应用
证明下列各题: