版第二讲分治策略不可更改
分治法-PPT精选
不成功检索在i级外部结点终止的元素比较次数是i-1
2019/11/26
BINSRCH计算复杂度的理论分析
1）不成功检索的最好、最坏和平均情况的计算时
间均为Θ(logn) ——外结点处在最末的两级上； 2）最好情况下的成功检索的计算时间为 Θ(1)
2019/11/26
以比较为基础的有序检索问题最坏情况的时间下界
定理2.3 设A(1:n)含有 n(n≥1)个不同的元素，排序为A(1)< A(2) < …< A(n)。又设用以比较为基础的算法去判断是 否 xA(:1n) ，则这样的任何算法在最坏情况下所需的最小 比较次数FIND(n)有：
2019/11/26
FIND k(lo ng )1()n
任何一种以比较为基础的算法，在最坏情况 下的计算时间都不低于Ο (logn)。因此， 不可能存在最坏情况比二分检索数量级还低 的算法。
最坏情况下的成功检索的计算时间为 Θ(logn)
2019/11/26
3）平均情况下的成功检索的计算时间分析
利用外部结点和内部结点到根距离和之间的关系进行推导： 记，
由根到所有内结点的距离之和称为内部路径长度，记为I； 由根到所有外部结点的距离之和称为外部路径长度，记为E。
则有，E=I+2n
解。
2019/11/26
DANDC的计算时间
若所分成的两个子问题的输入规模大致相等，则DANDC 总的计算时间可用递归关系式表示，如下：
g(n)
n足够小
T(n) =
2T(n/2) + f(n) 否则
注： T(n)：表示输入规模为n的DANDC计算时间 g(n)：表示对足够小的输入规模直接求解的计算时间 f(n)：表示COMBINE对两个子区间的子结果进行合并
分治法解决问题的步骤
分治法解决问题的步骤一、基础概念类题目（1 - 5题）题目1：简述分治法解决问题的基本步骤。
解析：分治法解决问题主要有三个步骤：1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立且与原问题形式相同的子问题。
例如，对于排序问题，可将一个大的数组分成两个较小的子数组。
2. 求解（Conquer）：递归地求解这些子问题。
如果子问题规模足够小，则直接求解（通常是一些简单的基础情况）。
对于小到只有一个元素的子数组，它本身就是有序的。
3. 合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解。
在排序中，将两个已排序的子数组合并成一个大的有序数组。
题目2：在分治法中，分解原问题时需要遵循哪些原则？解析：1. 子问题规模更小：分解后的子问题规模要比原问题小，这样才能逐步简化问题。
例如在归并排序中，不断将数组对半分，子数组的长度不断减小。
2. 子问题相互独立：子问题之间应该尽量没有相互依赖关系。
以矩阵乘法的分治算法为例，划分后的子矩阵乘法之间相互独立进行计算。
3. 子问题与原问题形式相同：方便递归求解。
如二分查找中，每次查找的子区间仍然是一个有序区间，和原始的有序区间查找问题形式相同。
题目3：分治法中的“求解”步骤，如果子问题规模小到什么程度可以直接求解？解析：当子问题规模小到可以用简单的、直接的方法（如常量时间或线性时间复杂度的方法）解决时，就可以直接求解。
例如，在求数组中的最大最小值问题中，当子数组只有一个元素时，这个元素既是最大值也是最小值，可以直接得出结果。
题目4：分治法的“合并”步骤有什么重要性？解析：1. 构建完整解：它将各个子问题的解组合起来形成原问题的解。
例如在归并排序中，单独的两个子数组排序好后，只有通过合并操作才能得到整个数组的有序排列。
2. 保证算法正确性：如果合并步骤不正确，即使子问题求解正确，也无法得到原问题的正确答案。
例如在分治算法计算斐波那契数列时，合并不同子问题的结果来得到正确的斐波那契数是很关键的。
如何应用分治算法求解问题
如何应用分治算法求解问题分治算法，英文名为Divide and Conquer Algorithm，是一种高效的算法设计策略，在计算机科学中有着广泛的应用。
该算法将一个大问题分解成多个小问题，各自独立地解决，再将结果合并起来得到最终结果。
在本文中，我们将阐述如何应用分治算法求解问题，并通过几个实例来具体说明该算法的应用。
一、分治算法的原理分治算法的核心思想是将一个大问题分解成若干个小问题来解决，然后将这些小问题的解组合起来生成大问题的解。
其具体步骤如下：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小的子问题。
2. 解决：递归地解决每个子问题。
如果子问题足够小，则直接求解。
3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。
分治算法的主要优点在于它可以有效地缩小问题规模，从而缩短整个算法的执行时间。
另外，该算法天然适用于并行计算，因为每个子问题都是独立求解的。
二、分治算法的应用分治算法在各种领域都有广泛应用，包括数学、自然科学、计算机科学等。
以计算机科学领域为例，分治算法常常用于解决以下类型的问题：1. 排序问题2. 查找问题3. 字符串匹配问题4. 最大子序列和问题5. 矩阵乘法问题6. 图形问题下面我们将一一讲解这些问题的分治算法实现。
1. 排序问题排序问题是在一组数据中将其按指定规律进行排列的问题。
在计算机科学中，排序算法是十分重要的一类算法。
其中，分治算法由于其高效性和可并行性被广泛应用。
常用的分治排序算法包括归并排序和快速排序。
归并排序的基本思想是将待排序元素以中心点为界分成两个序列，对每个序列进行排序，然后将两个序列合并成一个有序序列；而快速排序则利用了分割的思想，通过每次选取一个元素作为“轴点”，将数组分成小于轴点和大于轴点的两部分，对这两部分分别进行快速排序。
2. 查找问题查找问题是在一组数据中寻找某个元素的问题。
分治算法在查找问题中的应用主要体现在二分查找中。
在二分查找中，我们首先将已排序的数组分成两半，在其中一半中查找目标值。
《数据结构、算法与应用(C++语言描述)》习题参考答案doc
第1章概论1.数据、数据元素、数据结构、数据类型的含义分别是什么？数据：对客观事物的符号表示，在计算机科学中是指所有能输入到计算机中并由计算机程序处理的符号的总称。
数据元素：数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体考虑。
数据结构：数据元素之间的关系+运算，是以数据为成员的结构，是带结构的数据元素的集合，数据元素之间存在着一种或多种特定的关系。
数据类型：数据类型是用来区分不同的数据；由于数据在存储时所需要的容量各不相同，不同的数据就必须要分配不同大小的内存空间来存储，所有就要将数据划分成不同的数据类型。
数据类型包含取值范围和基本运算等概念。
2.什么是数据的逻辑结构？什么是数据的物理结构？数据的逻辑结构与物理结构的区别和联系是什么？逻辑结构：数据的逻辑结构定义了数据结构中数据元素之间的相互逻辑关系。
数据的逻辑结构包含下面两个方面的信息：①数据元素的信息；②各数据元素之间的关系。
物理结构：也叫储存结构，是指逻辑结构的存储表示，即数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式，包括结点的数据和结点间关系的存储表示。
数据的逻辑结构和存储结构是密不可分的，一个操作算法的设计取决于所选定的逻辑结构，而算法的实现依赖于所采与的存储结构。
采用不同的存储结构，其数据处理的效率是不同的。
因此，在进行数据处理时，针对不同问题，选择合理的逻辑结构和存储结构非常重要。
3.数据结构的主要操作包括哪些？对于各种数据结构而言，他们在基本操作上是相似的，最常用的操作有：●创建：建立一个数据结构；●清除：清除一个数据结构；●插入：在数据结构中增加新的结点；●删除：把指定的结点从数据结构中删除；●访问：对数据结构中的结点进行访问；●更新：改变指定结点的值或改变指定的某些结点之间的关系；●查找：在数据结构中查找满足一定条件的结点；●排序：对数据结构中各个结点按指定数据项的值，以升序或降序重新排列。
4.什么是抽象数据类型？如何定义抽象数据类型？抽象数据类型（Abstract Data Type 简称ADT）是指一个数学模型以及定义在此数学模型上的一组操作。
分治算法主方法
分治算法主方法分治算法是一种算法设计策略，将问题分解成若干个规模较小且结构相似的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法主方法是指应用分治策略解决问题的通用模板，下面将详细介绍分治算法主方法的原理和应用。
一、原理分治算法主方法包含三个步骤：分解、解决和合并。
1. 分解：将原问题分解成若干个规模较小且结构相似的子问题。
分解的策略可以根据具体问题的特点来确定，通常是将原问题划分成两个或多个规模相等或相近的子问题。
2. 解决：递归地解决子问题。
当子问题的规模足够小时，可以直接求解。
否则，继续将子问题分解成更小的子问题，直到可以直接求解为止。
3. 合并：将子问题的解合并成原问题的解。
子问题的解可以通过递归得到，合并的操作可以根据具体问题的要求进行，通常是将子问题的解组合起来得到原问题的解。
二、应用分治算法主方法可以应用于解决各种问题，下面列举几个常见的应用场景。
1. 排序问题：如归并排序、快速排序等。
这些排序算法通过将待排序序列分解成若干个规模较小的子序列，然后递归地排序这些子序列，并将排好序的子序列合并起来得到最终的有序序列。
2. 查找问题：如二分查找。
二分查找通过将待查找的有序序列分解成两个规模相等的子序列，然后递归地在其中一个子序列中查找目标元素。
如果找到了目标元素，则返回其索引；如果未找到，则继续在另一个子序列中查找。
3. 求解最大子数组问题：给定一个整数数组，求其连续子数组中和最大的值。
最大子数组问题可以通过分治算法主方法求解。
将原数组分解成两个规模相等的子数组，分别求解左子数组和右子数组的最大子数组和，然后将其合并起来得到原数组的最大子数组和。
4. 求解最近对问题：给定平面上的n个点，求其中距离最近的两个点。
最近对问题可以通过分治算法主方法求解。
将平面上的点按照横坐标进行排序，然后将点集分解成两个规模相等的子集，分别求解左子集和右子集的最近对，然后将其合并起来得到原点集的最近对。
计算机专业课《算法》_第二章 递归与分治策略
“Hanoi 塔”问题演示 a 初始 a 步骤1 a
c
b
c
“Hanoi 塔”问题程序
void hanoi(int n,a,b,c)
{ if n == 1 move( 1, a, b );
else { hanoi( n-1, a, c, b );
move(n, a, b ); hanoi( n-1, c,b, a) ;
• 递归优点：结构清晰，可读性强
• 递归缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗 费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算 法要多。
整数划分问题的递归关系q(n,m)
如设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系 • q(n,m):正整数n的不同的划分中，最大加数不 大于m的划分个数个数 q(n,m)=
1 q(n,n) 1+q(n,n-1) q(n,m-1)+q(n-m,m) n=1, m=1 n<m n=m n>m>1
递归函数举例(5)
学习要点
理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。
通过典型范例，学习分治策略设计技巧。
2.1 递归的概念
• 递归算法：一个直接或间接地调用自身的算法 • 递归方程：对于递归算法，一般可把时间代 价表示为一个递归方程 • 递归函数：使用函数自身给出定义的函数 • 解递归方程最常用的方法是进行递归扩展
递归函数举例(1)
• 阶乘函数 n ！=
1 n(n-1)！ n=1 n>1
• Fibonacci数列
1 n=0
F(n)=
1 F(n-1)+F(n-2)
n=1 n>1
初始条件与递归方程是递归函数的二个要素
分治政策实验报告总结
一、实验背景分治策略是一种常用的算法设计思想，它将一个复杂的问题分解成若干个相互独立、规模较小的子问题，分别解决这些子问题，再将子问题的解合并，从而得到原问题的解。
本实验旨在通过具体案例，深入理解分治策略的基本思想，掌握其应用方法，并分析其实际效果。
二、实验目的1. 理解分治策略的基本思想；2. 掌握分治策略的应用方法；3. 分析分治策略在解决实际问题中的效果；4. 提高算法设计与分析能力。
三、实验内容1. 分治策略案例分析实验中，我们选择了以下案例进行分析：（1）归并排序归并排序是一种典型的分治策略应用。
它将待排序的序列分为两半，分别对这两半进行归并排序，然后将两个有序序列合并为一个有序序列。
（2）二分查找二分查找也是一种分治策略应用。
它将待查找的序列分为两半，根据查找目标值与中间值的大小关系，确定目标值所在的一半，然后在该半序列中继续查找。
2. 分治策略实现（1）归并排序实现```cvoid mergeSort(int arr[], int left, int right) {if (left < right) {int mid = (left + right) / 2;mergeSort(arr, left, mid);mergeSort(arr, mid + 1, right);merge(arr, left, mid, right);}}void merge(int arr[], int left, int mid, int right) { int n1 = mid - left + 1;int n2 = right - mid;int L[n1], R[n2];for (int i = 0; i < n1; i++)L[i] = arr[left + i];for (int j = 0; j < n2; j++)R[j] = arr[mid + 1 + j];int i = 0, j = 0, k = left;while (i < n1 && j < n2) {if (L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i];i++;} else {arr[k] = R[j];j++;}k++;}while (i < n1) {arr[k] = L[i];i++;k++;}while (j < n2) {arr[k] = R[j];j++;k++;}}```（2）二分查找实现```cint binarySearch(int arr[], int left, int right, int target) { while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;if (arr[mid] == target)return mid;else if (arr[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid - 1;}return -1;}```3. 分治策略效果分析（1）归并排序归并排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。
《算法分治法》课件
分治算法的步骤
分治算法的步骤还包括对问题进行归纳和分类，确定 问题的规模和复杂度，选择合适的分治策略和算法实 现方式等。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
分治算法的核心思想是将一个复杂的问题分解为若干个规模较小、相互独立、与 原问题形式相同的子问题，递归地解这些子问题，然后再将子问题的解合并，以 求得原问题的解。
分治算法的原理
分治算法的原理是利用问题的相似性，将大问题分解为小问 题，将复杂问题转化为简单问题，从而降低问题的难度，提 高解决问题的效率。
探索分治算法与其他算法（如贪心算法、动态规划等）的结合
，实现更高效的算法设计。
分治算法的理论基础研究
02
深入探讨分治算法的理论基础，为算法设计和优化提供理论支
持。
分治算法在实际问题中的应用研究
03
针对实际问题，研究分治算法的应用场景和解决方案，推动算
法的实际应用。
THANKS
感谢观看
对于可以并行处理的子问题，可以使 用多线程或分布式计算等技术进行并 行处理，进一步提高算法效率。
动态规划
动态规划是一种常用的优化技术，通 过将子问题存储在表格中并逐步更新 ，可以避免重复计算，提高算法效率 。
分治算法在实际项目中的应用案例
归并排序
归并排序是一种典型的分治算法，通过递归地将数组分解为若干个子数组，然后合并子数 组得到有序数组。在实际应用中，归并排序广泛应用于各种排序场景。
2.分治法
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
二次取中间值
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
算法时间复杂度分析
最坏情况下
T(n)cn if n24
T(n)T(n/5)+T(3n/4)+cn T(n) 20cn
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
summary
Divide-and-Conquer
A problem’s instance is divided into several smaller instances of the same problem, ideally of about the same size. The smaller instances are solved. If necessary, the solutions obtained for the smaller instances are combined to get a solution to the original problem.
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
五、 选择问题
方案一： 先用排序算法排序，然后输出第k个元素 算法复杂度O(nlog2n) 要排序整个l-5-21
- 计算机算法基础 -
方案二： 不必排序整个list，只需排序包含kth最小元的子集
A[j] A[j]
平均情况下(和下面递归式有相同的复杂度)
T(n)=T(n/2)+(n+1) T(n)=(n)
计算机学院
甘靖
2014-5-21
分治法的步骤
分治法的步骤分治法是一种常见的算法设计策略，它将问题分解成更小的子问题，然后递归地解决每个子问题，最后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。
下面将详细介绍分治法的步骤。
一、分治法的定义和基本思想分治法是一种算法设计策略，它将一个大问题分解成若干个相互独立且结构相同的小问题，递归地求解这些小问题，并将它们的结果组合起来得到原问题的解。
在实际应用中，分治法通常用于处理那些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务。
二、分治法的步骤1. 分解：首先将原问题划分为若干个规模较小、结构相似且独立的子问题。
这个过程通常称为“分解”（divide）。
2. 解决：对每个子问题进行递归求解。
如果子问题足够小而可以直接求解，则直接求解。
这个过程通常称为“解决”（conquer）。
3. 合并：将所有子问题的结果合并成原问题的结果。
这个过程通常称为“合并”（combine）。
三、应用场景1. 排序算法：例如归并排序、快速排序等。
2. 查找算法：例如二分查找。
3. 图论算法：例如最大子数组、矩阵乘法、汉诺塔等。
四、分治法的优缺点1. 优点：分治法可以有效地解决一些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务，具有较高的效率和可扩展性。
2. 缺点：分治法需要额外的空间来存储子问题的结果，而且在递归过程中可能会出现栈溢出等问题，需要进行合理的优化。
同时，如果分解得不够合理或者子问题之间存在依赖关系，则可能会导致算法效率下降。
五、总结分治法是一种常见的算法设计策略，它将一个大问题划分为若干个规模较小、结构相似且独立的子问题，并递归地求解这些子问题。
在实际应用中，分治法通常用于处理那些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务。
虽然分治法具有较高的效率和可扩展性，但也存在额外空间开销和栈溢出等问题，需要进行合理优化。
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所以，由递归树猜测T(n)=O(n2)随后，再利用数 学归纳法证明。
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版第二讲分治策略不可更改
公式法
其中，a≥1，b>1是常数，f(n)是一个渐进函 数，描述划分问题与合并解的时间复杂性。 n/b可以是 ，也可以是
上述方程描述了如下算法的运行时间：将一个规模为n的问题 划分为a个规模为n/b的子问题，其中a和b为正常数。分别递归 地解决a个子问题，解每个子问题所需时间为T(n/b)。划分原问 题和合并子问题的解所需要的时间由f(n)决定
Ackerman函数的特征：A(n，m)的自变量m的每一个值 都定义了一个单变量函数。
m=0时，A(n,0)=n+2
m=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2， A(1,1)=2 可以得出A(n,1)=2*n
m=2时A(，1,A0)(n=,22)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)， A(0A,(m1,)2=)=1A(A(0,2),1)=A(1m,1)≥=02 A(可n,0以)得=出n A+(2n,2)= 2n 。 n≥2
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版第二讲分治策略不可更改
定理：上述递归方程含有三种情形的渐进界：
（1）对于某个常数
如果
则
（2）如果
则
（3）对某个常数
如果
且对某个常数 c <1 以及任意足够大的
n,
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版第二讲分治策略不可更改
定理含义
将f(n)与 进行比较，
当 较大时，
相等时
当 较小时，
结论：可以通过尽量减少子问题的个数 或者减少f(n)的数量级来增强分治算法的 有效性。
例2：T(n) = T(2n/3)+1 由上式可知a=1, b=3/2, f(n)=1， 且 又因为 满足定理（2），因此
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版第二讲分治策略不可更改
2.2 递归概念
分治算法的特征：将较大规模的问题分解为若 干个较小规模的子问题，每个子问题的求解过 程与原问题一样，并利用自底向上的求解策略 得到最终的解。
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版第二讲分治策略不可更改
分治算法的算法框架
divide-and-conquer(P){ if ( | P | <= n0) adhoc(P); //解决规模小的问题 //将问题P 分解为子问题P1,P2,...,Pa； for (i=1,i<=a,i++) yi=divide-and-conquer(Pi);//递归的求解各子问
边界条件
递归方程
边界条件与递归方程是递归函数的二要素。
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版第二讲分治策略不可更改
递归应用举例2: Ackerman函数
A(1,0) = 2
A(0,m) = 1
m≥0
A(n,0) = n + 2
n≥2
A(n,m) = A(A(n-1,m),m-1) n,m≥1
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版第二讲分治策略不可更改
❖用递归树方法求解递归方程的基本步骤:
① 利用递归树推测出一个解 ② 利用替换方法进行证明
❖ 构造递归树的方法就是展开递归方程，然后将树 中每层的时间求和，最终获得算法的时间复杂性。
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版第二讲分治策略不可更改
例：T(n)=3T(n/4)+cn2
T(n) →
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版第二讲分治策略不可更改
题 return merge(y1,...,ya); //合并为原问题的解
}
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版第二讲分治策略不可更改
分治算法的复杂性分析
一个分治算法将规模为n的问题分成a个规模为 n规／模b为的1子的问问题题。耗设费分1个解单阈位值时n0间=。1，再且设a将dh原oc问解 题分解为a个子问题以及用merge将a个子问题 的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。 用T(n)表示该分治算法解规模为|P|=n的问题 所需的计算时间，则有下列递归方程：
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版第二讲分治策略不可更改
方法1：固定位置找元素
假设R={r1,r2,…,rn}是待排列的n个元素，Ri=R-{ri}。 假设集合Ri中元素的全排列记为perm(Ri)。 (ri)perm(Ri)表示在全排列perm(Ri)的每一个排列的第一 个位置加前缀ri得到的排列。
当n=1时，perm(R)=(r) 其中r是集合R中唯一的元素； 当n>1时，perm(R)的全排列为： (r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)
m=3A时(n，,m类) =似A的(A可(n以-1,m推)出,m-1) n,m≥1
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版第二讲分治策略不可更改
递归应用举例3: 排列问题
求解n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。 n个元素的全排列有n!种可能。 解题基本方法： （1）固定位置放元素 （2）固定元素找位置
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n/16 n/16 n/16 n/16 n/16
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2
版第二讲分治策略不可更改
将求出的较小规模的问题解合并成一个较
大规模的问题解，并自底向上地求出原问
题的解。
最顶层问题
a 为分解的子问题数量； n/b 为每个子问题的数据规模； f(n) 为合并子问题解所消耗的时间。
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版第二讲分治策略不可更改
2.1 分治算法的基本思想
分治算法的基本思想是将一个规模为n的问题 分解为a个规模较小的子问题，这些子问题互 相独立且与原问题相同。递归地解这些子问题， 然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
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4
版第二讲分治策略不可更改
分治算法所能解决问题一般具有以下几个特征：
缩小问题规模可以降低解决问题的难度； 可以将子问题的解合并为原问题解； 问题分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间 不包含公共的子问题。
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方法2：固定元素找位置
在n-1 个元素的全排列基础上，将某个元素插入到 每个位置上，进而得出n 个元素的全排列。
基本过程： ① 将n放在p[1]位置上，并用p[2..n]产生n-1个元素的全排列； ② 将n放在p[2]位置上，并用p[1]和p[3..n]产生n-1个元素 的全排列； ③ 将n放在p[3]位置上，并用p[1..2]和p[4..n]产生n-1个 元素的全排列； ...........
1.需要先考虑P[m]，如果能够求出剩余元P[m+1] 、P[m+2] 、…，P[n] 的所有排列，我们只需将P[m]放到每个排列的开头。
2.然后考虑P[m+1]，通过交换P[m]和P[m+1]，这样我们仍然只要考虑求剩 余元素P[m+1] 、P[m+2],… P[n]的所有排列即可。
3.然后依次考虑P[m+3]，…,P[n]。
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版第二讲分治策略不可更改
void perm(int[] r, int i, int n) { // r存放R集合元素，r[0]~r[n] // i,n 表示目前求解的全排列起始与终止位置 if （只有一个元素）{ //递归边界条件 显示当前排列； } else { 依次将i ~ n 之间的每个元素交换 //递归到第i 个位置，并用同样的方法 （递归）求解i+1~n 之间的全排列 }
log4n+1
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nlog4 3
13
O(nlog4 3 )
版第二讲分治策略不可更改
递归树总共有多少层？当递归树展开一层，其规模 为n/4，当递归树展开到第2层时，其规模为 n/16=n/42，依次类推，当展开到第k层时，其规 模为n/4k=1时，不再展开，由此可以求得递归树 的层数为k=log4n。
4.当问题规模降为求一个元素P[m]的全排列时，问题就极为简单，可作为 递归出口。
5.值得注意的是，将P[m]和某个P[k]交换，求出剩余元素的所有排列后，为 了避免重复，发生混乱，必须将P[m] 和P[k]交换回去，然后才能继续P[m] 和P[K+1]的交换。
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版第二讲分治策略不可更改
❖ 现在，我们来计算一下，有多少个叶节点。第1层
有3个节点，第2层有32个节点，依次类推，第k层有
3k个节点，当k=log4n，即为叶节点，因此，叶节点
的个数为
，而每个叶节点需要的时
间为T(1),因此，整个叶节点的时间为
。
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版第二讲分治策略不可更改
将递归树每一层的时间累加，可得：
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递归公式
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思路？
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举例，0~3共4个数值的全排列
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将每个元素交换 到固定位置上， 并求解其余位置 元素的全排列。
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假设: 要求P[m] 、P[m+1] 、… P[n]的全排列:
❖适用比较容易猜出递归解的情形。
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例：T(n)=2T(n/2)+n （2路归并)
v 猜测出解为T(n)=O(nlgn) v 证明存在某个常数c，使得T(n) ≤cnlgn
数学归纳法：
假设解对n/2成立，即T(n/2) ≤c(n/2)lg(n/2) 将其对递归方程进行替换，得： T(n)= 2T(n/2)+n