层次分析法简单介绍
层次分析方法基本原理
层次分析方法基本原理层次分析法简单的说就是运用多因素分级处理来确定因素权重的方法。
它是一种定性分析和定量分析相结合的评价决策方法，它将评价者对复杂系统的评价思维过程数学化。
层次分析法基本思路是评价者通过将复杂问题分解为若干层次和若干要素，并在同一层次的各要素之间简单地进行比较、判断和计算。
就可以得出不同替代案的重要度，从而为选择最优方案提供决策依据。
层次分析法特点是：能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受; 所需定量数据信息较少。
⑵层次分析法图解:评估每一层针对上一层的因素的重要程度，通过传递性，最后确定因素层的指标相对于目标层的重要程度，从而确定全部指标的权重系数⑶应用层次分析法进行综合评价其主要步骤有：第一步：对构成评价问题的目标(准则)及因素等要素建立多级递阶结构模型。
第二步：在多级递阶结构模型中，对属同一级的要素，用上一级的要素为准则进行两两比较后，根据判断尺度确定其相对重要度，并据此建立判断矩阵。
对于递阶层次结构中各层上的元素可以依次相对于与之有关的上一层元素，进行两两比较，从而建立一系列的判断矩阵。
判断矩阵A = (aij)n x n具有下述性质：其中，aij(i,j = 1,2,…,n)代表元素Ui与Uj相对于其上一层元素重要性的比例标度。
判断矩阵的值反映了人们对各因素相对重要性的认识，一般采用1-9比例标度对重要性程度赋值。
标度及其含义如下表所示表&判断矩阵标度及其含义 标)K二| 含义 「 1表不两个兀素相比，具有同等重要性 3表亦两个兀素相比，前着比后着稍微重要 5 r 表不两个兀素相比，前者上LS 者明显重要—] 1r 表乔两个兀素相比.前肴匕逅若强烈重要 g表乔两个兀素相比，前看比后着极端重要 r 24 血 & 表示上述相邻判断的中间值 |倒数若芫素i 与芫素j 的重要性之比为珈那么元素j 与元素連要性之上匕为砸=1 / aij第三步：通过一定计算后，确定各要素的相对重要度：四个步骤如下①计算单一层次下元素的相对权重并进行一致性检验 1矩阵A 的最大特征根为 入max ，其相应的特征量为W ，解判断矩阵A 的 特征根问题 最大特征根及其对应的特征向量通常应用方根法来求解，具体计算步骤如下:为同一层次相应元素对于上一层次某一因素相对重要性的权重向量 2用估计得到的排序向量左乘判断矩阵得到一个新的向量， 依次用你排序向量的 每个分量去除这个新向量的每个对应分量， 得到了另一个向量，对这个向量的分 量求和然后除以分量的个数，得到了关于特征根入 max 的近似值 由于客观事物的复杂性以及人们对事物认识的模糊性和多样性，所给出的判断矩 阵不可能完全保持一致，有必要进行一致性检验，计算一致性指标 CI 其中，n 为判断矩阵阶数。
层次分析法综述
层次分析法综述摘要：层次分析法(AHP法) 是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
本文从层次分析法的基本概念出发，通过层次分析法的建模分析与对比，更加深入学习和了解层次分析法。
关键词：层次分析法层次结构模型判断矩阵权重1、概述1.1层次分析法的概念层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法，是对方案的多指标系统进行分析的一种层次化、结构化决策方法，它将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化。
应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。
1.2层次分析法的特点一、层次分解性层次分析法首先找出问题所牵连的主要因素，将复杂系统的各个因素按它们的关联隶属关系，层层分解，构建有层次的结构形成阶梯层次模型，从而可以将复杂的问题分解成若干层次，在把问题变得比原来简单得多的情况下加以分析。
二、定量与定性相结合层次分析法是系统分析中对非定量事件做定量分析的一种新的决策方法。
在将复杂问题进行分解的前提下，确定思维判断的相对标度，并将人们的主观判断按照此准则做数量形式的表达、处理和分析，从而实现定性向定量的转变。
2、层次分析法的产生与发展传统的常用的研究自然科学和社会科学的定量方法有：函数分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。
层次分析法步骤及案例分析
层次分析法步骤及案例分析层次分析法（AHP）是一种通过对比判断不同因素的重要性来进行决策的方法。
它由匹兹堡大学的数学家托马斯·萨蒙在20世纪70年代初提出，并逐渐应用于各个领域。
本文将介绍层次分析法的步骤，并通过一个实际案例来进行分析。
一、层次分析法的步骤层次分析法主要包括以下几个步骤：1. 确定层次结构：首先，需要明确决策问题的层次结构。
将问题划分为若干个层次，从总目标到具体的子目标，形成一棵树状结构。
例如，在一个购车的决策问题中，总目标可以是“选择一辆适合自己的车”，下面的子目标可以包括“价格”、“外观”、“安全性”等因素。
2. 构造判断矩阵：在每个层次中，需要对不同因素之间的两两比较进行判断。
判断可以基于专家经验、问卷调查或实际数据。
对于两两比较，通常采用一个1到9的比较尺度，其中1表示相等，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
如果因素A相对于因素B的重要性大于1，则B相对于A的重要性是1/A。
3. 计算权重向量：根据判断矩阵中的比较结果，可以计算出每个层次中各个因素的权重向量。
通过对判断矩阵的特征值和特征向量进行计算，可以得到各个因素的权重。
4. 一致性检验：在进行层次分析时，需要检验判断矩阵的一致性。
一致性是指在两两比较中的逻辑关系的一致性。
通常使用一致性指数和一致性比率来判断判断矩阵的一致性程度。
5. 综合评价：通过将各层次中因素的权重向量进行乘积运算，并将结果汇总得到最后的评价结果。
在这一步骤中，可以对不同的决策方案进行排序或进行多目标决策。
二、案例分析为了更好地了解层次分析法的应用，我们来看一个实际案例。
假设某公司需要选择新的供应商，供应商选择的主要考虑因素包括产品质量、交货周期和价格。
我们可以按照以下步骤进行决策：1. 确定层次结构：总目标是选择合适的供应商，下面的子目标是产品质量、交货周期和价格。
2. 构造判断矩阵：对于每个子目标，可以进行两两比较。
关键因素分析法
关键因素分析法---层次分析法介绍及应用案例一．方法介绍层次分析法，简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
例如，如果打算去旅游有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。
其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。
最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。
二．使用步骤1.第一步, 通过分析, 确定所给定问题要达到的总目标, 实现目标的准则,可供选择的措施或方案。
在这一过程中, 要广泛收集信息, 注意把握问题的主要因素, 做到不重不漏。
2.第二步，建立层次结构模型。
在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。
最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。
当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。
3.第三步，构造成对比较阵。
从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
4.第四步，计算权向量并做一致性检验。
对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。
若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构造成对比较阵。
层次分析法概述
层次分析法一、层次分析法概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是美国运筹学家T. L. Saaty教授于20世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多方案或多目标的决策方法，它是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。
其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。
在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。
层次分析法特别适用于无结构问题的建模。
自1982年被介绍到我国以来，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境保护、冲突求解及决策预报等领域得到了广泛的重视和应用。
二、层次分析法的基本思想基本思想层次分析法的采用先分解后综合的系统思想，整理、综合人们的主观判断，将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）、中间层（准则层）、最高层（总目标）。
把实际问题转化为分析同层因素间相对重要程度的权重值或相对优劣次序的问题，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。
三、确定权重值的基本原理人们在进行社会、经济以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法
层次分析法，又称“直接成分分析法”，是对句法单位（包括短语和句子）的直接成分进行结构层次分析的方法。
由于切分过程中尽可能采用二分，所以层次分析法又称作“二分法”。
1、基本分析原则语法从表面上看是线性排列的符号序列。
线性排列是指按照时间先后顺序说出或写出的形式。
但是语法结构却是有层次性的，层次是指句法单位在组合时所反映出来的不同的先后顺序。
表层的线性关系背后暗含着隐性的层次关系。
小的语法单位是大语法单位的组成部分，大的语法单位是由小的语法单位组合而成的，本身又可以成为更大语法单位的组成部分。
语法结构的每个层次一般直接包含比它小的两个语法单位，这两个小的语法单位就是直接成分。
每一个直接成分又可以包含更小的直接成分。
例如：我们进行社会调查|主||____谓_______||_述| 宾____ ||_定）中|层次分析法就是逐层将一个句法单位（联合短语等由多个直接成分组成的短语除外）切分成两个直接成分，直到不能再切分为止的句子分析方法。
2、分析过程层次分析法的分析过程主要包括两个步骤：第一步是切分结构层次，第二步是确定结构关系。
例如：他去年去了一趟美国。
|__||___________________| 主谓关系|___||______________| 状中关系|________| |__| 述宾关系|_| |___| 述补关系切分过程中应注意：①第一步切分非常重要，第一步切分不当，后面便容易全都切错。
②必须逐层切分，直至分析出每个实词，语素不需要切分。
③为避免切分过程中的遗漏，一般采用从左到右、从上到下、逐块切分的分析步骤。
3、层次分析法的图解表示层次分析法中常用的图解表示法是切分法、组合法和树形图。
①切分法切分法是最常用的方法，将所要分析的短语或句子作为一个整体，从大到小，逐层切分。
例如：申奥成功有助于中国的改革与开放。
|_ 主__| |______ 谓________________||主| |谓| |_述_ |______ 宾___________||__ 定_）_ 中_______|| 联+ 合|②组合法组合法是把所要分析的短语或句子切分到单词，然后从小到大，依次组合起来。
层次分析法
正互反矩阵
11
构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵
相对于景色
P P 1 2 P 2 1 1 B1 P2 1 / 2 1 P3 1 / 5 1 / 2 P 3 5 2 ` 1
相对于费用
P P P 1 2 3 P 1 1 1/ 3 1/ 8 B2 P2 3 1 1 / 3 P3 ` 1 8 3
1 1 1
……
15
~ ~ ~ b. 对 wij 按行求和得：wi wij
j 1
n
~ /w ~ , w ( w , w ,..., w ) T ~ 归一化 wi w c. 将 w 1 2 i i n ，即为近似特征根（权向量） i
i 1
n
0.6 0.615 0.545 按行求和 0.3 0.308 0.364 0.1 0.077 0.091
20
利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果：
选择旅游地
0.263 景 色 0.475 费 用 0.055 居 住 0.099 饮 食 0.110 旅 途
P1
P1 P2 P3
P2
0.429 0.429 0.142
P3
0.633 0.193 0.175 0.166 0.166 0.668
1 1 1
1.760 0 . 972 0.268
归一 化
0.587 0 . 324 0.089
得到排序结果：w=(0.587, 0.324, 0.089)T
AW maxW
16
n ( )i 1 d. 计算 Aw n i 1 wi
层次分析法(详细)
1
1/5 1/3 2 6.53
5
1 3 3 20
3
1/3 1 1 7.33
1/2
1/3 1 1 3.83
B
p1 p2
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0.16 0.17 0.15 0.20 0.14 0.13 0.16 0.17 0.30 0.20 0.14 0.13
p3
p4 p5 p6
0.16 0.09 0.15 0.25 0.42 0.13
3
1
1
和积法具体计算步骤：
o将判断矩阵的每一列元素作归一 化处理，其元素的一般项为：
bij= bij 1nbij
(i,j=1,2,….n)
B
p1 p2
p1 1 1
p2 1 1
p3 1 2
p4 4 4
p5 1 1
p6 1/2 1/2
p3
p4 p5 p6
1
1/4 1 2 6.25
1/2
1/4 1 2 5.75
层次分析法（AHP）特点： 分析思路清楚，可将系统分析人 员的思维过程系统化、数学化和模 型化； 分析时需要的定量数据不多，但 要求对问题所包含的因素及其关系 具体而明确；
层次分析法（AHP）特点： 这种方法适用于多准则、多目标 的复杂问题的决策分析，广泛用于 物流系统规划与评价、地区经济发 展方案比较、科学技术成果评比、 资源规划和分析以及企业人员素质 测评。
层次分析法（AHP）具体步骤： 建立两两比较的判断矩阵 判断矩阵表示针对上一层次 某单元（元素），本层次与它有关 单元之间相对重要性的比较。一般 取如下形式：
Cs
p1 b11 b21 … … bn1
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2j
nj
案例：合理利用企业留成利润
合理利用企业留成利润A
B1:改善职工物质 文化生活状况
B2:提高企业的 技术水平
B3:调动职工生产 积极性
C1: 发奖金
C2:扩建 集体福 利设施
C3:办业 余学校
C4:建图 书馆、 俱乐部
C5:引 进新 设备
（1）构造判断矩阵A-B A B1 B2 B3
5
一致性检验
随机一致性比率CR：
• 当CR<0.1时，认为判断矩阵具 有满意的一致性；
• 否则就需要调整判断矩阵，使 之具有满意的一致性； • 调整后计算出的最大特征值所 对应的特征向量经过个化后才 可以作为层次单排序的权值。
关于正互反矩阵，根据 Perron-Frobenius定理有结论：
Z
A1 B1
A2
B2
对总目标Z的排序为
Am
a1, a2 ,, am
B层得n个因素对上层中因 素Aj的层次单排序为：
Bn
b1 j , b2 j ,, bnj
( j 1,2,, m)
B层的层次总排序为： 即 B层第i个因素对
总目标的权值为：
m
B1 : a1b11 a2b12 amb1m B2 : a1b21 a2b22 amb2 m Bn : a1bn1 a2bn 2 ambnm
层次分析法过程
理论过程： • 根据问题的性质和要达到的 目标分解出问题的组成因素； • 按因素间的相互关系将因素 层次化，组成一个层次结构 模型，然后按层分析； • 获得最低层因素对于最高层 （总目标）的重要性权值 数学过程 • 建立层次结构模型 • 构造成对比较矩阵 • 计算单排序权向量并做一致 性检验 • 计算组合权向量并做组合一 致性检验。（即最下层对最 上层总排序的权向量）
满足一致性检验。
最终综合决策
对于该公司合理利用留成利润，使公司取得更 大发展的方向，对所考虑的5个方案，经分析 计算得到优劣排序为：
• C3——办业余技校方案，权值为0.439 • C5——引进新设备方案，权值为0.171
• C1——发奖金方案，权值为0.150
• C2——扩建集体福利设施方案，权值为0.133 • C4——建图书馆、俱乐部方案，权值为0.107
层次总排序的一致性检验
3
CI b j CI j 0.105 0.032 0.637 0.0185 0.258 0 0.015
j 1
RI b j RI j 0.1051.12 0.637 0.58 0.258 0.90 0.719
j 1
3
CI 0.015 CR 0.021 0.1 RI 0.719
层次分析法的优点
1.系统性
• 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、 综合的思维方式进行决策 。 2.实用型 • 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统 量化技术技术手段无法处理的实际问题。 3.简洁性 • 层次分析法的基本原理和步骤简洁明了，计算也非常简便， 并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。
平均随机一致性指标 RI
• Bij不按照顺序，而是随机抽 取，这样B最不一致； • 取充分大的子样得到最大特 征值得平均值；
• 当判断矩阵完全一致时，CI=O；
• 但是，用CI判断一致性，会随 影响问题的因素和规模的增加 而误差增大。
CI
max n
n 1
4
RI
max n
n 1
图1
投资--层次分析模型
目标：
准则：
投资
风险程度
资金利润率
转产难易程度
方案：
家用电器
紧俏产品
传统产品
层次分析法的判断矩阵
判断矩阵的给定原则： • 比较n个因数对目标A的影响，从 而确定他们在A中所占的比重； • 每次选取两个因素比较其对目标 A的影响权重； 判断矩阵元素的表示：
判断矩阵A：
bij yi / y j , B (bij ) nn
判断矩阵具有的性质：
bij 0, b ji 1 , bii 1 aij (i , j 1, 2 , ... n)
3
我们把具有上述性质的矩阵 称为正互反矩阵。
判断矩阵中元素的给值准则
判断值
1 3 5 7 9
比较关系
yi=yj yi>=yj yi>>yj yi>>>yj yi>>>>yj
层次分析法的局限性
1.方案局限性
• 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新 方案。 2.精确性不高 • 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适 用于精度较高的问题。 3.主观性 • 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整 个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。
层次分析法的基本思想
寻求层次分析法的生活背景：
• 在生活中我们经常会遇到多指标、多方案的综合比较 问题, 从中作出选择或者比较；
• 两个方案比较容易判断其优劣；
• 多个方案比较难以综合得出孰优孰劣；
APH方法的基本思想：
• 设法在数学上找到1种方法, 使之从多方案的比较过渡 到两两方案之间的比较,从而解决多方案比较的问题。
强烈程度
yi相等于yj yi稍好于yj yi明显好于yj yi比yj好的多 yi极端好于yj
注意：
• 相邻等级的两个因素之间的判断值可以用2、4、6、8来表示。 • 这种给定的准则并不是固定不变的，可以不同的目标和不同的主体而 变化
一致性检验
如何判断一致性？
一致性指标CI：
• 用一致性指标判断不一致的程 度；
~ a / a a) 将A的每一列向量归一化得 w ij ij ij
b) 将归一化的各行相加( Aw )
n
~ w ~ w ij i
j 1
n
i 1
c)将行向量归一化
n T ~ / w ~ w (w1, w2 ,, wn ) wi w i i
T ~ ~ ~ ~ w (w1, w2 ,, wn )
B层的层次 总排序
a b
j 1 j
ij
A B
A 1, A 2 ,, A m
a1 , a2 ,, am
B1 B2 Bn
b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2
b1m b2 m bnm
a b
j 1 m j 1 m j
m
j 1j
b1 b2 bn
a b a b
C2
C3
1/2
1/3
1
1/3
3
1
2
1/2
5
1
0.268
0.088
C4
C5
1/4
1/7
1/2
1/5
2
1
1
1/3
3
1
0.147
0.062
max 5.128, CI 0.032, RI 1.12, CR 0.029 0.1
（3）构造判断矩阵B2-C
B2 C3 C4 C5 C3 1 1/5 1/3 C4 5 1 3 C5 3 1/3 1 W 0.637 0.105 0.258
max 3.037, CI 0.0185, RI 0.58, CR 0.032 0.1
（4）构造判断矩阵B3-C
B3 C1 C2 C3 C4 W
C1
C2 C3 C4
1
1 1/3 1/3
1
1 1/3 1/3
3
3 1 1
3
3 1 1
0.406
0.406 0.094 0.094
max 4, CI 0, RI 0.9, CR 0 0.1
注：
不同的人对不同企业中的不同情况，有不同的判 断。用不同的判断值，计算的排序结果也不一样。
所以应当请那些对所处理的问题和周围环境有专 门研究的人来作判断，才能得到合理的排序结果。
AHP分析法的步骤
明确问题 建立层次结构
构造判断矩阵
层次单排序
否 一致性？
是 层次总排序
否 一致性？ 是 终止
上述的分析过程可以作为层次分析法计算机程序的算法流程。
（4）层次总排序A-C
层次B 层次C C1 C2 C3 C4 C5
B1
0.105 0.435 0.268 0.088 0.147 0.062
B2
0.637 0 0 0.637 0.105 0.258
B3
0.258 0.406 0.406 0.094 0.094 0
层次C 总排序权值
0.150 0.133 0.439 0.107 0.171
层次结构的模型的建立
将复杂问题分解为被人们称之为元素的组成部分。
这些元素又按其属性分成若干组，形成不同层次。
同一层次的元素作为准则对下一层次的某些元素 起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。
层次分析法的模型
层次分析法的模型
第一类
最高层，又称顶层、目标层
第二类
中间层，又称准则层
第三类
最底层，又称措施层、方案层
1
b11 b12 b1n b b b 21 22 2 n B b b b nn n1 n 2
2
• 在影响目标A的因素yi、yj中， 用bij来表示yi与yj的比值目标A 的影响程度之比值。 • n个被比较的因素构成一个两 两比较（成对比较）的判断 矩阵B
B1 1 5 3
B2 1/5 1 1/3