高等数学：第6章 第一节、定积分的元素法
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定积分的元素法
b
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
定积分的元素法平面图形的面积PPT课件
右脑思维的核心是形象思维， 在大脑中多出现形象的东西，在 各项思维活动中，多借助形象， 就训练了右脑。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
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2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
大学高等数学6-1定积分的元素法精品PPT课件
弧长 s 2(t ) 2(t )dt.
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
§6.1定积分的元素法§6.2几何应用(面积、体积)(2015)
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
《高等数学》
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例4. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A
2
0
1 (a )2 d
2
02
y
ox
R x
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微分的几何意义与切线段的长度
dy f (x)dx
y y f (x)
y
ds dy dx
o
x
x
切线段的长度
x dx
此直角三角形称为： 微分三角形
ds (d x)2 (d y)2 1 f 2 (x)dx （弧微分公式）
曲线 y f (x) C[a,b], s b 1 f 2 (x)dx.
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例5. 计算心形线
所围图形的面积 .
解:
1 (1 cos )2 d
2
2
2
1 (3cos
)2
d
2
3
5.
4
《高等数学》
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与圆
(
3
,
(利用对称性)
)
23
d
o
2x
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结束
二、体积
１．平行截面面积为已知函数的立体体积
§6 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法（微元法） §6.2 几何应用 §6.3 物理应用
6-1定积分的元素法59653
பைடு நூலகம்
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
terima Kasih
得力马卡系
3） 以 所 求 量 U 的 元 素 f(x)d为 x被 积 表 达 式 ， 在
区 间 [a,b]上 作 定 积 分 ， 得 U a bf(x)d， x
即 为 所 求 量 U 的 积 分 表 达 式 .
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
元素法的一般步骤：
1 ） 根 据 问 题 的 具 体 情 况 ， 选 取 一 个 变 量 例 如 x 为 积 分 变 量 ， 并 确 定 它 的 变 化 区 间 [ a ,b ] ；
2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x,xdx]，求出相应于这小区 间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与 dx 的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU，即dU f(x)dx；
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
terima Kasih
得力马卡系
3） 以 所 求 量 U 的 元 素 f(x)d为 x被 积 表 达 式 ， 在
区 间 [a,b]上 作 定 积 分 ， 得 U a bf(x)d， x
即 为 所 求 量 U 的 积 分 表 达 式 .
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
元素法的一般步骤：
1 ） 根 据 问 题 的 具 体 情 况 ， 选 取 一 个 变 量 例 如 x 为 积 分 变 量 ， 并 确 定 它 的 变 化 区 间 [ a ,b ] ；
2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x,xdx]，求出相应于这小区 间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与 dx 的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU，即dU f(x)dx；
高等数学(上册)第六章
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第二节 定积分在几何中的应用
例 计算心形线
面积 .
解
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2
π 0
4
cos 4
2
d
令
t
2
π
8a2 2 cos4t dt 0
8a2 3 1 π 4 22
3 πa2 2
所围图形的
(利用对称性)
d
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
x2 y2 ax a x2 y2
即 r a(1 cos )
参数的几何意义
y
点击图中任意点
动画开始或暂停
oa
• 尖点: (0, 0)
x
• 面积:
3 2
πa2
• 弧长: 8a
第二节 定积分在几何中的应用
例 计算心形线
c yd
h 2 (x) 1(x) h 2 ( y) 1( y)
第二节 定积分在几何中的应用
例 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y yd y
y
y2 2x
(8, 4)
此平面图形为Y—型 则有
观察X-型或Y-型
3） 固定一点,过此点作平行于y轴的平行线,
如果平行线与边界线的交点超过三个以上， 则要划分区域，使划分后的区域为X型
练习：求由 x y2 , x y 2 所围成的面积
第二节 定积分在几何中的应用
2. 极坐标情形
定积分的元素法,平面图形的面积ppt课件
面积A须经过以下四个步骤：
（1）分割: 把 a,b 分成n个小区间， 设第i个小曲边梯形的
面积为 Ai , 则：
n
A Ai i 1
（2）近似替代：
y
y f (x)
Ai f ( i )xi ( xi1 i xi );
n
（3）求和： A f ( i )xi
oa
i 1
n
（4）取极限：A lim 0 i 1
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
5
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量 Ui的近似值可表为 f i xi 那么这个量就
可以用积分来表示。 具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
U dU f xdx
（3）写出 U 的积分表达式，即：
b
U a f ( x)dx
6
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标情形
A
b
a
(
x)
(
x)dx
y
oa
( x)
(x)
x x dx b x
二、极坐标情形
L1
X型：
oa
b
b
b
a y出 y入 dx a y出dx a y入 dx
x x dx b x
2
2
2
t 2
t
dt
1 1
1
t 1 t dt
高等数学教案章节题目第六章、定积分的应用§6-1定积分的元素法
高等数学教案§6-1 定积分的元素法一、 再论曲边梯形面积计算设f x ()在区间],[b a 上连续，且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边，底为],[b a 的曲边梯形的面积A 。
1．化整为零用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110将区间分成n 个小区间[,]x x i i -1，其长度为),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-并记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积记为ni A i ,,2,1, =∆。
于是 ∑=∆=ni iA A 12．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈∀∆≈∆-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=∆≈ni iixf A 1)(ξ4．取极限，使近似值向精确值转化⎰∑=∆==→bani iidx x f x f A )()(lim1ξλ上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：（1）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则A 相应地分成部分量),,2,1(n i A i =∆，而∑=∆=ni i A A 1这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。
(2)用i i x f ∆)(ξ近似i A ∆，误差应是i x ∆的高阶无穷小。
只有这样，和式∑=∆ni iixf 1)(ξ的极限方才是精确值A 。
故关键是确定))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。
二、元素法1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (2) U 对于区间],[b a 具有可加性；(3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ。
S6-1定积分的元素法
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
xi i xi1
x xn1 b
.
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
n
S =
记
lim
i 1
f
(
i
.). x
i
.
b
f ( x) dx
a
一、什么问题可以用微元分析法（定积分）解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
S f ( i )xi i 1
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
.. .
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
S
oa
x x i பைடு நூலகம் i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
n
S f ( i )xi i 1
表示为
定积分定义
二 、如何应用微元分析法（定积分）解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
高数第六章第一节元素法
的近似值可表示为： （3）部分量 U i 的近似值可表示为： ）
U i ≈ f ( ξ i ) x i
可以用定积分来表示。 则 U 可以用定积分来表示。
二 、如何应用定积分解决问题 ?
元素法的一般步骤： 元素法的一般步骤：
1）选取一个变量（如 x 或 y）为积分变量，确定 ）选取一个变量（ ）为积分变量， 它的变化区间[a , b]；
ξi
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结束
3) 近似和 i )xi
i=1 i=1
n
n
4) 取极限 令 取极限.
则曲边梯形面积
A = lim ∑Ai
λ→0 i=1
n
n
y
= lim ∑ f (ξi )xi
λ→0 i=1
o a x1
xi1 xi
ξi
机动
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说明: 说明
(1)既然， n个小区间可以任意地分 ，给它等分，其宽度用 dx 既然， 给它等分， 统一表示。 统一表示。每个小区间 [ x i 1 , x i ]可统一表示为 [x, x + dx ]. 面
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
x = b 所围成。 所围成。 b A = ∫a f ( x)dx
o a
b x
面积表示为定积分的步骤如下 : 1) 大化小 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 大化小.
a = x0 < x1 < x2 <L< xn1 < xn = b 用直线 x = xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
( 2 )既然，每个小区间上的 既然， 现在统一取 ξ i = x.
U i ≈ f ( ξ i ) x i
可以用定积分来表示。 则 U 可以用定积分来表示。
二 、如何应用定积分解决问题 ?
元素法的一般步骤： 元素法的一般步骤：
1）选取一个变量（如 x 或 y）为积分变量，确定 ）选取一个变量（ ）为积分变量， 它的变化区间[a , b]；
ξi
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3) 近似和 i )xi
i=1 i=1
n
n
4) 取极限 令 取极限.
则曲边梯形面积
A = lim ∑Ai
λ→0 i=1
n
n
y
= lim ∑ f (ξi )xi
λ→0 i=1
o a x1
xi1 xi
ξi
机动
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说明: 说明
(1)既然， n个小区间可以任意地分 ，给它等分，其宽度用 dx 既然， 给它等分， 统一表示。 统一表示。每个小区间 [ x i 1 , x i ]可统一表示为 [x, x + dx ]. 面
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
x = b 所围成。 所围成。 b A = ∫a f ( x)dx
o a
b x
面积表示为定积分的步骤如下 : 1) 大化小 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 大化小.
a = x0 < x1 < x2 <L< xn1 < xn = b 用直线 x = xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
( 2 )既然，每个小区间上的 既然， 现在统一取 ξ i = x.
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则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和； （3）每个部分量 U i 的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U
而将Ｕ 表示为定积分则须用元素法
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具间[a, b]；
2）设想把区间 [a, b] 分成 n 个小区间， 取其中任一小区间并记为 [ x, x dx]，
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi （2）常代变
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi . （3）近似和 i 1
（4） 求极限，得A的精确值 （4）取极限
n
A
lim
0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx
a
若用A 表示任一小区间 [ x, x x]
求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.
如果 U 能近似地表示为 [a, b]上的一个连续函数 在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，
就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作 的 dU，
即
dU f ( x)dx；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，
在区间
[a, b]
上作定积分，得
U
b
a
f
( x)dx，
即为所求量 U 的积分表达式.
这个方法通常叫做定积分的元素法．
应用方向：
（１）平面图形的面积；体积；平面曲线的 弧长；
（２） 功；水压力；引力等．
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
y
y f (x)
oa
bx
A
b
a
f
(
x)dx
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a, b]分成 n个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，
n
第i 个小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
（1）大化小
上的窄曲边梯形的面积，则
y
A A，并取A f ( x)dx，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是 A f ( x)dx
o a x x dxb x
b
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量 x的变化区间a, b有关的量； （2）U 对于区间 a, b 具有可加性， 就是说，如果把区间 a, b 分成许多部分区间，
就可以考虑用定积分来表达这个量U
而将Ｕ 表示为定积分则须用元素法
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具间[a, b]；
2）设想把区间 [a, b] 分成 n 个小区间， 取其中任一小区间并记为 [ x, x dx]，
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi （2）常代变
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi . （3）近似和 i 1
（4） 求极限，得A的精确值 （4）取极限
n
A
lim
0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx
a
若用A 表示任一小区间 [ x, x x]
求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.
如果 U 能近似地表示为 [a, b]上的一个连续函数 在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，
就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作 的 dU，
即
dU f ( x)dx；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，
在区间
[a, b]
上作定积分，得
U
b
a
f
( x)dx，
即为所求量 U 的积分表达式.
这个方法通常叫做定积分的元素法．
应用方向：
（１）平面图形的面积；体积；平面曲线的 弧长；
（２） 功；水压力；引力等．
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
y
y f (x)
oa
bx
A
b
a
f
(
x)dx
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a, b]分成 n个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，
n
第i 个小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
（1）大化小
上的窄曲边梯形的面积，则
y
A A，并取A f ( x)dx，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是 A f ( x)dx
o a x x dxb x
b
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量 x的变化区间a, b有关的量； （2）U 对于区间 a, b 具有可加性， 就是说，如果把区间 a, b 分成许多部分区间，