上海数学初三中考冲刺讲义5(几何证明)培优(教案)【陈玉婷】

合集下载

沪教版九年级数学暑假同步讲义第5讲相似三角形的判定(二)提高讲义 (解析版)

ABCA 1B 1C 1相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．相似三角形的判定（二）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理3知识精讲步同级年九2 / 22ABCDEABC D【例1】 ABC ∆的边长分别为a 、b 、c ，111A B C ∆的边长分别为a 、b 、c ，则ABC ∆与111A B C ∆（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】若a b c ==时，相似；若a 、b 、c 中有两个不等，那么它们就不相似．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时穿插了分类讨论的思想．【例2】如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE ==．求证：ABD ∆∽ACE ∆．【答案】略．【解析】AB BC ACAD DE AE == ∴ABC ADE ∆∆∽． ∴BAC DAE ∠=∠，即BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠．∴BAD CAE ∠=∠．AB ACAD AE= ∴ABD ∆∽ACE ∆．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．【例3】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，23CD =，4AD =．求证：ABC ∆∽ACD ∆．【答案】略．【解析】90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =．∴112AB AC ==，∴在Rt ABC ∆中，3BC =．23CD =，4AD =， ∴12AB AC BC AC AD CD ===，∴ABC ∆∽ACD ∆．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识．例题解析ABCDEF【例4】已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠．（1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆．【答案】略．【解析】（1）90ACB ∠=︒，CAD B ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽ ∴CD AC AD AC CB AB==． ∴2AC CD CB =• ∴1CD =．∴在Rt ADC ∆中，AD（2）点E F 、分别是AD 、AB 的中点，∴12EF BD =．在Rt ADC ∆、Rt ABC ∆中，12CE AD =，12CF AB =． ∴12CE CF EF AD AB BD ===，∴CEF ∆∽ADB ∆．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识．步同级年九4 / 22【例5】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E是AD 的中点．（1）求证：CDE ∆∽EAB ∆；（2）CDE ∆与CEB ∆有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．【答案】略．【解析】（1）证明：过点C 作CF AB ⊥，垂足为F ，如图． 9090A CFB ∠=∠=，，//AD CF ∴．又//AB CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形．又90A ∠=，∴平行四边形AFCD 是矩形． 1AF CD AD CF ∴===，，1BF ∴=．在Rt FBC ∆中，2222CF BC BF =-=，22AD ∴=．点E 是AD 的中点 2ED EA ∴==．∴22DE CD AB AE ==又90D A ∠=∠=，∴CDE ∆∽EAB ∆．（本题还可用其它方法证明）（2）CDE ∆与CEB ∆相似．在Rt DCE ∆中，223CE DC DE =+=，在Rt CBF ∆中，226BE AE AB =+=，3CE BE CBCD DE CE===， ∴CDE ∆∽CEB ∆．【总结】本题考查了梯形及相似三角形的判定，着重考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用能力．本题实际上是“一线三直角”模型．模块二：直角三角形相似的判定定理ABCD EFABCDFG1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例6】如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ．求证：CF CA CG CB =．【答案】略．【解析】证明：CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠=．又DCF DCA ∠=∠， ∴DCF ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CF =•．同理可得：2DC CG CB =•， ∴CF CA CG CB =．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．【例7】已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是．【答案】73．知识精讲例题解析ABC A 1B 1C 1A BCDEFA BCDEFM【解析】解：如右图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=， CD AB ⊥于点D ，AE EB =．设3AD x =，4BD x =，12CD =．易证Rt ADC Rt CDB ∆∆∽，得DC BDAD DC=，得2DC AD DB =•，所以21234x x =•解得x =7AB x ==，而12CE AB =，所以CE = 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了直角三角形斜边上的中线等相关知识．【例8】如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC CD =，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒．将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连接 EF 交CD 于点M ．已知5BC =，3CF =，求:DM MC 的值．【答案】43．【解析】解：由旋转的性质得：BEC DFC ∆≅∆，且90BCD ECF ∠=∠=．903BEC ECF EC FC ∴∠=∠===，，5BC CD ==．∴180ECF DFC ∠+∠=， ∴//EC DF ．∴DM DFMC EC =．在Rt DCF ∆中，4DF =．∴43DM MC =．【总结】本题考查了旋转的性质，三角形一边的平行线等相关知识．【例9】如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：CEF ∆∽CBA ∆．【答案】略．【解析】证明：CD AB ⊥，DE AC ⊥，∴90ADC CED ∠=∠=．又DCE DCA ∠=∠， ∴DCE ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CE =•．同理，可得：2DC CF CB =•．A BCD EF∴CA CE CF CB •=•，即CF CEAC CB=．又FCE BCA ∠=∠， ∴CEF CBA ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【例10】在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF ．（1）求证：2CB BF BE =；（2）求证：BF AE FD BA =．【答案】略．【解析】证明：（1）90ACB ∠=，CF BE ⊥，∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BEBF CB=，∴2CB BF BE =•．（2）90ACB ∠=，CD BA ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=．又CBD CBA ∠=∠，∴CBD ABC ∆∆∽． ∴CB ABBD CB=，即2CB BD BA =•． ∴BF BE BD BA •=•， ∴FB BD BA BE=又ABE FBD ∠=∠，∴FBD ABE ∆∆∽． ∴FB FDBA AE=．∴BF AE FD BA •=•．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．步同级年九8 / 22【例11】求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．【答案】略．【解析】已知：如图，AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB ADAC A B A D ==．求证：ABC ∆∽111A B C ∆．证明：分别延长AD 、11A D 到点1E E 、．使得1111DE ADD E A D ==，． ∴111122AE AD A E A D ==，．AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A BC ∆边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠，， ∴ADB EDC ∆≅∆，111111A D BE D C ∆≅∆ ∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．111111AC AB AD AC A B A D ==，∴111111AC AB AEAC A B A E ==． ∴111AEC A E C ∆∆∽，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠，∴111BAD B A D ∠=∠ ，∴111BAC B AC ∠=∠．又1111AB ACA B AC =， ∴111ABC A B C ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法，并且考查学生通过倍长中线来转化边角的方法．ABCD EF【例12】如图，在Rt BDC ∆中，点E 在CD 上，DF BC ⊥于F ，DG BE ⊥于G ．求证：FG BC CE BG =．【答案】略．【解析】证明：联结GF ．90BDC ∠=，DF BC ⊥， ∴90BDC DFB ∠=∠=．又CBD FBD ∠=∠， ∴DBF CBD ∆∆∽． ∴DB BF BC DB=， ∴2DB BF BC =•．90EDB ∠=，GD BE ⊥， ∴90DGB EDB ∠=∠=．又EBD GBD ∠=∠， ∴GBD DBE ∆∆∽． ∴DB EBBG DB=， ∴2DB BG BE =•． ∴BF BC BG BE •=•，即FB BGBE BC=．又GBF EBC ∠=∠， ∴GBF CBE ∆∆∽．∴GB FG BC CE=， ∴FG BC CE BG •=•．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识，综合性较强，需要通过多次相似证的结论成立．【例13】如图，90CAB ∠=︒，AD CB ⊥，ACE ∆、ABF ∆是正三角形．求证：DE DF ⊥．【答案】略．【解析】证明：ACE ∆、ABF ∆是正三角形，∴AC CE AB AF ==，，6060FAB ACE ∠=∠=，．AD BC ⊥， ∴90BDA ADC ∠=∠=． ∴90CAD ACD ∠+∠=．90BAC ∠=， ∴90BAD DAC ∠+∠=． BAD DCA ∴∠=∠．∴DBA DAC ∆∆∽． ∴CD AC AD AB =． ∴CD ECAD AF=．FAB BAD DCA ACE ∠+∠=∠+∠， ∴FAD DCE ∠=∠．∴FAD ECD ∆∆∽． ∴ADF EDC ∠=∠．90ADE EDC ∠+∠=， ∴90ADF EDA ∠+∠=． ∴DE DF ⊥．BCD EFG步同级年九10 / 22AB CD EFGH1 23【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、等边三角形的性质等知识．1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．【例14】在ABC ∆中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD=，在AC 上取一点E ，得到ADE ∆，若ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =．【答案】10或325．【解析】若ADE ∆与ABC ∆相似，则分两种情况：ABC ADE ∆∆∽或ABC AED ∆∆∽，得AD AE AB AC =或AD AEAC AB =，即可得解．【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点，注意分类讨论．【例15】如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为多少？【答案】90．【解析】解：设正方形ABDC 、CDFE 、 EFHG 的边长为1．则2AD =，5AF =，1DF =，2HD =，10AH =． ∴2AD DH AHDF AD AF===， ∴ADH FDA ∆∆∽． ∴3DAF ∠=∠．四边形ABDC 是正方形， ∴AB BD =． ∴145∠=．又21DAF ∠+∠=∠， ∴231∠+∠=∠． ∴12390∠+∠+∠=．【总结】灵活运用相似三角形的判定定理来转化角度是解本题的关键．模块三：相似三角形的判定综合知识精讲例题解析ABCDEAB CDEN M【例16】如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM 为何值时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．【答案】当CM 525时，ADE ∆与以 M 、N 、C 为顶点的三角形相似．【解析】解：四边形ABDC 是正方形， ∴2AB AD ==．又AE EB =， ∴1AE =．在Rt CMN ∆中，222MN CM CN =+． ① 当5CM = 时，25CN ，∴5AE AD CM CN = ∴ADE CNM ∆∆∽；② 当25CM =时，5CN =，∴5AE AD CN CM = ∴ADE CMN ∆∆∽．【总结】本题考查了相似三角形的判定及正方形的性质相关知识点．【例17】如图，AB AC =，2AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【答案】略．【解析】证明：AB AC =，2AC AD AE =•，∴2AB ADAE =•，即AB AEAD AB=．又A A ∠=∠， ∴ABD AEB ∆∆∽．∴ABD E ∠=∠．又AB AC =， ∴ABD DBC ACB ∠+∠=∠．又CBE E ACB ∠+∠=∠， ∴CBD CBE ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质．【例18】如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上步同级年九12 / 22AD求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．【答案】3AN =或163．【解析】解：如右图，要使AMN ∆与原三角形相似，有两种情况：128AB BM ==，，∴4AM =．① 当//MN BC 时，AMN ABC ∆∆∽． ∴AM AN AB AC =，即41216AN =，∴163AN =． ② 当MN 与BC 不平行时，ANM ABC ∆∆∽． ∴AM AN AC AB =，即41612AN=，∴3AN =．∴3AN =或163．【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点．【例19】如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =．【答案】略．【解析】证明：过点E 作EH CD ⊥于点H ，得90EHD ∠=．EC ED =，EHCD ⊥，∴12DH CD =．EM AM ⊥，∴90M ∠=． ∴EHD M ∠=∠．又EDH MDA ∠=∠， ∴EHD AMD ∆∆∽． ∴DM AD DH ED=，即DM ED DA HD •=•．∴12DM ED DA CD •=•，即2ED DM DA CD •=•．【总结】本题考查了相似三角形的判定及等腰三角形的性质等相关知识．【例20】如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个AB CDEF 三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．【答案】（1）不相似，一组角相等，但夹它的两边不对应成比例，故不相似；（2）能，理由略．【解析】（2）题分割如下：作BAM E ∠=∠交BC 于点M ，作EDN B ∠=∠交EF 于点N ，可证明BAM DEN ∆∆∽，再证明另一对也相似即可．【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．【例21】如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．【答案】DFC ∆有可能与ABC ∆相似，此时65CD =或23．【解析】解：翻折后，BF DF =．当DFC ABC ∆∆∽时，DFC C B ∠=∠=∠． BF DF CD x ∴===，2CF x =-． CD CF CA CB ∴=，即232x x -=． 65x ∴=；当DFC ACB ∆∆∽时，FDC C B ∠=∠=∠，1BF DF CF ∴===．CD CF CB CA ∴=，即213x =． 23x ∴=． ∴65CD =或23．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）等的相关知识．【例22】如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F ．（1）当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又AB CDEF 问：当点D移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC的边长为6，2AD=，试求:BE BF的值．【答案】（1）EDF∠始终不变，且等于60；（2）ADE CFD∆∆∽．证明略；当点D移动到AC中点处时，这两个三角形的相似比为1；（3）45BEBF=．【解析】（1）翻折前后对应角相等；（2）相似比为1，说明ADE CFD∆≅∆，得DE DF=．又DB EF⊥，所以DB垂直平分EF，得BD平分ABC∠，则ABC∆是等边三角形，进而得出结论；（3）45AEDCFDCBE DEBF DF C∆∆===．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的性质等的相关知识．ABC DEF ABCDE【习题1】在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离．【答案】2．【解析】解：如图，联结AG 并延长交BC 于点D ，分别作GE BC ⊥、 AF BC ⊥于点E 、F ．由题知，6AF =．点G 为重心， ∴13DG DA =．又//GE AF ， ∴GE DGAF DA=． ∴2GE =．【总结】本题考查了重心的知识，构造相似形来解答问题．【习题2】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥ 于F ，联结DF ．求证：BD DFBE AE=．【答案】略．【解析】证明：90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠， ∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BE BF CB=，即2CB BF BE =•．同理，得：2CB BD BA =•． ∴BF BE BD BA •=•， ∴FB BDBA BE=．又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽． ∴BD FDBE AE=．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【习题3】已知梯形ABCD 中，AB // CD ，90B ∠=︒，3AB =，6CD =，12BC =，点E在BC 边上自B 点向C 点移动，求使得ABE ∆与ECD ∆相似的BE 的值．【答案】4或632±．【解析】解：由题知：90B C ∠=∠=． ABE ∆与ECD ∆相似，分两种情况：设BE x =．（1）ABE DCE ∆∆∽，得：AB BEDC CE=，即3612x x=-，解得4x =；（2）ABE ECD ∆∆∽，得：AB BEEC DC=，随堂检测ABC DEOAB CPQ 即3126xx=-，得212180x x-+=，解得6x=±综上：BE=4或6±【总结】本题考查了相似三角形的性质，着重考查学生分类讨论思想的应用．【习题4】如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，过点B作BE//CD交CA的延长线于点E，求证：2OC OA OE=．【答案】略．【解析】//AD CB，∴CO BOOA OD=．//BE CD，∴CO DOOE OB=．∴CO OAOE OC=，∴2OC OA OE=•．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理的应用．【习题5】如图，在ABC∆中，90C∠=︒，8BC cm=，6AC cm=，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动到C点，点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动到A点．若点P、Q分别同时从B、C出发，经过多少时间CPQ∆与CBA∆相似？【答案】125t=或3211时，CPQ∆与CBA∆相似．【解析】设经过t秒CPQ∆与CBA∆相似，则2BP t=，CQ t=，∴82CP t=-．要使CPQ∆与CBA∆相似，有两种情况：①当CPQ CBA∆∆∽，∴CP CQCB CA=，即8286t t-=，∴125t=；ABCDEO②当CPQ CAB ∆∆∽，∴CP CQCA CB=，即8268t t -=。

上海沪教版初三C专题三轮冲刺(动点产生的平行四边形问题3星)教学设计

上海沪教版初三C专题三轮冲刺（动点产生的平行四边形问题3星）教学设计一. 教材分析上海沪教版初三C专题三轮冲刺（动点产生的平行四边形问题3星）教学设计，主要针对的是学生在学习几何过程中，对于动点产生的平行四边形问题的理解和应用。

教材通过具体的案例，让学生理解平行四边形的性质，以及如何利用这些性质解决实际问题。

教材内容丰富，既有理论知识，也有大量的实践操作，能够激发学生的学习兴趣，提高学生的几何思维能力。

二. 学情分析学生在学习几何的过程中，对于平行四边形的性质已经有了一定的了解，但可能在具体的应用上还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

同时，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，需要通过大量的实践操作，让学生在实践中学会观察、分析、解决问题。

三. 教学目标1.让学生掌握平行四边形的性质，并能够灵活运用。

2.培养学生观察、分析、解决问题的能力。

3.提高学生运用几何知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：平行四边形的性质及应用。

2.难点：如何利用平行四边形的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.案例教学法：通过具体的案例，让学生理解平行四边形的性质，并学会运用。

2.问题驱动法：引导学生发现问题、分析问题、解决问题，提高学生的思维能力。

3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对几何知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例，用于引导学生学习。

2.准备几何模型或图示，帮助学生直观理解。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何利用平行四边形的性质解决问题。

例如：在一个矩形中，有一个动点，如何找到与这个动点对应的平行四边形？2.呈现（15分钟）呈现相关的案例，让学生观察、分析，引导学生发现平行四边形的性质。

通过几何模型或图示，帮助学生直观理解。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决类似的问题。

上海数学初三中考冲刺讲义8(25题专题三角形与四边形背景下的解析)培优(教案)

BOA CO A C B 精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课程主题：三角形与四边形下的常见压轴解析授课时间：学习目标教学内容限时训练一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果实数a 、b 互为倒数，那么a 、b 之间的关系是（A ）1a b +=；（B ）1a b -=；（C ）1a b ⋅=；（D ）1ab=． 2．下列运算正确的是（A ）3931=；（B ）3931±=；（C ）3921=；（D ）3921±=．3．在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率是（A ）19；（B ）29；（C ）13；（D ）49．4．货车行驶25千米与小轿车行驶35千米所用时间相同，已知小轿车每小时比货车每小时多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（A ）253520x x =-；（B ）253520x x =-；（C ）253520x x =+；（D ）253520x x=+． 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（A ）等边三角形；（B ）平行四边形；（C ）抛物线；（D ）双曲线．6．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，交⊙O 于点C ，那么下列结论错误的是（A ）∠BAC =30°；（B ）弧AC 等于弧BC ；（C ）线段OB 的长等于圆内接正六边形的半径；（D ）弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）(第6题图)A B C 16% 20%（第13题图） A 1NM CBA B 1 7．计算：22a =（2） .8．不等式组31x x <⎧⎨≥⎩的解集是．9．分解因式：32a ab -= . 10．方程221x x -=的根是 .11．关于x 的方程220x x k -+=没有实数根，那么k 的取值范围是．12．将直线y x =-沿着y 轴向上平移3个单位得到直线l ，那么直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长为 .13．闵行某学校九年级学生的体重（单位：kg ，精确到1kg ）情况进行了抽查，将所得数据处理后分成A 、B 、C 三组（每组含最低值，不含最高值），并制成图表（部分数据未填）．在被抽查的学生中偏瘦和偏胖的学生共有人．分组 A B C 体重 30~35 35~40 40~45 人数 32 结论偏瘦正常偏胖14．如图，已知点P 是∠AOB 的角平分线上的一点，且PC ⊥OA ，垂足为C ，如果PC = 4，那么点P 到射线OB 的距离是．15．如图，在△ABC 中，线段CD 、AE 分别是边AB 、BC 上的中线，联结DE ，设AB a =，BC b =，那么向量DE = （结果用a 、b 的式子表示）.16．如图，一艘船向正北方向航行，在A 处测得灯塔S 在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点．在B 处测得灯塔S 在船的北偏东60°的方向上．此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S 的最近距离是海里（结果保留根号）．17．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相．．．等．．当直线l 与方形环的邻边相交时（如图），l 分别交AD 、''A D 、''D C 、DC 于M 、'M 、'N 、N ，l 夹角为α，那么''MM N N 的值为（用含α的三角比表示）.与DC 的ABC ∆中，∠ACB =︒90,AC =4,BC =3,将ABC ∆绕点C 顺时针旋转至C B A 11∆的18．如图，在位置，其中B 1C ⊥AB ,B 1C 、A 1B 1交AB 于M 、N 两点，则线段MN 的长为 .M A C D 'N B 'C E 'B 'M 'A 'D N F l(α（第17题图） A B D （第15题图） C E （第14题图）A B C O P S （第16题图） A B（第18题）三、解答题：（本大题共2题，满分20分） 19．（本题满分10分）化简：21121(1)()x x x x--+-⋅，并求当2x =时的值．20．（本题满分10分）解方程组：225560x y x xy y -=⎧⎨--=⎩参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ；2．C ；3．B ；4．C ；5．D ；6．A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．44a ；8．13x ≤<；9．()()a a b a b +-；10．1x =；11．1k >；12．632+；13．18；14．4；15．1122a b +；16．63；17．tan α；18．0.8．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式21(1)x xx x -=⋅- …………………………………………………（2分+2分）11x =- …………………………………………………………………（2分）当2x =时，原式121=- ………………………………………………………………（2分）21=+ …………………………………………………………………（2分）20．解：由 22560x x y y --=，得 60x y -=，0x y +=． …………………（2分）原方程组化为560x y x y -=⎧⎨-=⎩ 50x y x y -=⎧⎨+=⎩…………………………………………（4分）解这两个方程组，得原方程组的解是116,1x y =⎧⎨=⎩； 225,25.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩………………………………………………（4分）一、（三角形为背景的压轴解析）【知识梳理】【例题精讲】例1. 如图，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点O 为AB 边的中点，点M 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），AD ⊥AB ，垂足为点A .联结MO ，将△BOM 沿直线MO 翻折，点B 落在点B 1处，直线M B 1与AC 、AD 分别交于点F 、N ..（1）当∠CMF =120°时，求BM 的长；（2）设BM x =，CMF y ANF ∆=∆的周长的周长，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）联结NO ，与AC 边交于点E ，当△FMC ∽△AEO 时，求BM 的长.解：（1）当120CMF ∠=︒时，可求得：30BMO ∠=︒ …………………………（2分） ∴Rt MOB ∆中，cot 3023MB OB =⋅︒= ……………………………（2分）（2）联结ON ，可证：ANO ∆≌1B NO ∆ ∴1AON B ON ∠=∠，1AN NB =知识精讲OA BCMD NB 1F第25题图又∵1MOB MOB ∠=∠ ∴90NOM ∠=︒又190OB M B ∠=∠=︒∴可证：1MB O ∆∽1OB N ∆ ∴2111OB MB NB =⋅又1=MB MB x =，12OB OB ==∴212x NB =⋅ ∴14NB x =∴4AN x=……………………………………（2分） ∵AD AB ⊥ ∴90DAB ∠=︒ 又90B ∠=︒ ∴//AD BC∴CMF ∆∽ANF ∆∴22441444CMF ANF C CM x x x x x C AN x∆∆--====-+ ∴214y x x =-+ (04)x <<………………………………………………（2分，1分）（3）由题意知：45EAO C ∠=∠=︒∵△FMC ∽△AEO ∴只有两种情况：FMC AEO ∠=∠或FMC AOE ∠=∠①当FMC AEO ∠=∠时，有CFM AOE ∠=∠又可证：AOE OMB FMO ∠=∠=∠ ∴CFM FMO ∠=∠ ∴//OM AC ∴45OMB C ∠=∠=︒∴Rt MOB ∆中，cot 452MB OB =⋅︒=………………………………………（2分） ②当FMC AOE ∠=∠时，∵AOE OMB OMF ∠=∠=∠[来源:Z*xx*] ∴60CMF OMF OMB ∠=∠=∠=︒∴Rt MOB ∆中，2cot 6033MB OB =⋅︒=………………………………（2分）所以，综上述，知2BM =或233BM =.……………………………………（1分）例2. 已知△ABC 中，︒=∠90ACB （如图8），点P 到ACB ∠两边的距离相等，且PA =PB ．（1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；（2）设m PA =，n PC =，试用m 、n 的代数式表示ABC ∆的周长和面积；（3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC 、BC 的长度变化时，BCCDAC CD +的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．解：（1）依题意，点P 既在ACB ∠的平分线上，又在线段AB 的垂直平分线上.如图8—1，作ACB ∠的平分线CP ，作线段AB 的垂直平分线PM ，CP 与PM 的交点即为所求的P 点。

沪教版九年级一模冲刺复习讲义第3讲几何计算与证明(学生版)

考点分析年份 200820092010201120122013201420152016题型解答21 解答21 解答21 解答21 解答21 解答22 解答22 解答22 解答21 分值1010 101010 10101010内容圆背景下求线段梯形背景下求余弦值及线段长度圆背景下求三角比圆背景下求弦长锐角三角比、解直角三角形锐角三角比的应用解直角三角形解直角三角形的应用相似三角形的性质考点一：与锐角三角比相关的计算：（1）熟练的掌握三个特殊角的四个特殊值；（2）将锐角放在直角三角形中，通过作垂线构造．【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD =CD ，cosB =513，BC =26．求（1）cos ∠DAC 的值；（2）线段AD 的长．CBA图4D几何计算与证明模块一：几何计算【巩固】如图，在梯形ABCD 中，81260AD BC AB DC BC B ===∠=，，，∥°，联结AC ．（1）求tan ACB ∠的值；（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长．【例2】如图所示，在Rt ABC ，90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为E ，已知315cos 5AC A ==，，. （1）求线段CD 的长；（2）求sin DBE ∠的值．【巩固】如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作 AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH ．（1）求sin B 的值；（2）如果CD ＝5，求BE 的值．ADCBED BC A A BCDEH AABQDPMN考点二：锐角三角比的应用将实际问题转化到直角三角形中，建立合适的直角三角形．【例3】某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图7-2所示，其示意图如图7-3所示，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，0143EAB ∠=， 1.2AB AE ==米，求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80， tan 37° ≈ 0.75．）【巩固】如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米?（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)．图7-1图7-2图7-3AEFAE FAE FBC考点三：圆内相关的计算圆内常做的两种辅助线：1、连半径，构造等腰或直角三角形；2、做垂线，根据垂径定理解直角三角形．【例4】如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．（1）求线段OD的长；（2）若1tan2C∠=，求弦MN 的长．【例5】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长．（本题参考数据：sin 67.4°=1213，cos 67.4° = 513，tan 67.4° =125）AB COSN67.4°北南COABDM N图5【巩固】已知：如图，在ABC∆中，3tan ,14445ABCA AB∠=︒==，；（1）求：ABC∆的面积；（2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆A的半径．年份200820092010201120122013201420152016题型解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23分值121212121212121212内容判定特殊的四边形开放性求边相等（四边形）菱形背景证明位置关系梯形背景下特殊的四边形菱形背景下判定特殊的四边形平行四边形的判定及性质四边形相似三角形四边形相似三角形圆、平行四边形的判定模块二：几何证明考点四：三角形背景下相关证明两种证明方向：1、通过证明全等，寻找边与角的关系；2、通过相似，证明边、角之间的关系．【例6】在△ABC 中，点D 在边AC 上，DB =BC ，点E 是CD 的中点，点F 是AB 的中点．（1）求证：EF =12AB ；（2）过点A 作AG ∥EF ，交BE 的延长线于点G ，求证：△ABE ≌△AGE ．【例7】如图，在△ABC 中，90ACB ∠=， B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE BC ∥交AC 于点E ，CF AB ∥交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =；（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：B A DGC ∠=∠+∠．ABFEDC图6FEDABC【巩固】已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =DC ，CF 平分 ∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E ．求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD =DE ．考点五：四边形背景下相关证明1、熟练的掌握特殊的平行四边形的性质；2、利用特殊的平行四边形的性质得出相应的边之间的关系．其中特殊的平行四边形的判定定理也是常考的一个知识点．【例8】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ．（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形．ABDFCE ABCD EF【例9】已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；（2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．【巩固】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．【例10】如图所示，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BAF DAE∠=∠，AE 与BD相交于点G.（1）求证：BE DF=；（2）当DF ADFC DF=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．EDCBAFGAB CDEOAB CDE FO【例11】已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB．【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，联结DE ．（1）求证：DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：BD ·CE ＝CD ·DE ．F BCEDAOEDCBA【回家作业】1、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，点D 在边AC 上，且2AD CD =， DE AB ⊥，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）ECB ∠的余切值；2. 如图，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AD =CD ，AB =3， BC =5．求：（1）tan ACD ∠的值；（2）梯形ABCD 的面积．ABCDOABCD E3、小明与班级数学兴趣小组的同学在学校操场上测得旗杆BC 在地面上的影长AB 为12米，同一时刻，测得小明在地面的影长为2.4米，小明的身高为1.6米. （1）求旗杆BC 的高度；（2）兴趣小组活动一段时间后，小明站在A B 、两点之间的D 处（A D B 、、三点在一条直线上），测得旗杆BC 的顶端C 的仰角为α，且tan 0.8α=，求此时小明与旗杆之间的距离．4、已知，如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，点D 在边BC 上，AE ∥BC ， AE BD =；（1）求证：AD CE =；（2）如果点G 在线段DC 上（不与点D 重合），且AG AD =，求证：四边形AGCE 是平行四边形．ABCDE ODABCD EFMN（第7题图）5、如图9-1，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，AE =BE ，点M 是AE 的中点，联结CM ，点G 在线段CM 上，作∠GDN =∠AEB 交边BC 于N . （1）如图9-2，当点G 和点M 重合时，求证：四边形DMEN 是菱形；（2）如图9-1，当点G 和点M 、C 不重合时，求证：DG =DN ．6、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE ＝AF ．（1）求证：BE ＝DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点G ，使OG ＝OA ，连接EG 、FG ．判断四边形AE GF 是什么特殊四边形，并证明你的结论．7、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，直线EF 交边 AD 的延长线于点M ，交边AB 的延长线于点N ，联结BD ．（1）求证：四边形DBEM 是平行四边形；（2）联结CM ，当四边形ABCM 为平行四边形时，求证：MN =2DB ．ABCD EN G M图9-2 ABC D ENM G图9-2ABCD EF GO8、已知：如图，四边形ABCD 中，DB BC ⊥，DB 平分ADC ∠，点E 为边CD 的中点，AB BE ⊥．（1）求证：2BD AD DC =⋅；（2）联结AE ，当BD BC =时，求证：ABCE 为平行四边形．9. 已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，E 是边AD 上一点，BE ⊥AC 交 AC 于点F ，BE 、CD 的延长线交于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）如果AE=EG ，求证：2AC BC BG =⋅．ABCD EFG。

沪教版初中数学第十九章-几何证明

知识点2 反证法
反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设：先假设命题的结论不成立。
（2）归谬：从这个假设出发，运用正确的推理方法，得出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果。
（3)结论：由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
【典型例题】
【例1】证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
【分析】已知等腰三角形两底角的平分线,如何证明两底角的平分线相等。利用两三角形全等的方法进行证明。证明过程中每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由，可写在每一步后的括号里。
【解答】（2)、（4)不是命题;（1）、（3）是命题,其中（1）为假命题,（3）为真命题.
【注】真假命题的判别,主要是根据真假命题的定义,如实反映事物情况的命题是真命题，没有如实反映事物情况的命题是假命题。
【例2】指出下列命题的题设与结论,并改写成如果，那么 ”的形式
（1）全等三角形的对应边相等;
【解答】延长至 ,使，连接。
(全等三角形对应角相等）
图3
（等角对等边）
（等量代换）
【例4】如图4，在四边形中, 试证明线段能构成直角三角形。
【分析】本题的关键是要将三条线段放到一个三角形中，然后才能判断其形状,其中的60°角又是构造等边三角形的必不可少的条件，因此,通过旋转60°，既保证了图形的不变性，又构造了等边三角形.
图1
即
在和中
【例2】如图2，已知在中，是中线，交于点 , .
求证： .
【分析】本例通过添加辅助线，把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.
【解答】延长到点 ,使，连接 .
在和中
（已知）
（对顶角相等)

2020上海沪教版初三C专题三轮冲刺(动点产生的平行四边形问题4星)教案

动点产生的平行四边形问题1.理解平行四边形的性质和判定；2.能应用平行四边形的性质和判定进行相关计算和证明；3.培养学生能在点的运动过程中寻找平行四边形，继而解决相关问题；4.培养学生分类讨论的能力，能应用分类讨论思想解决相关问题；5.体验运动过程，培养学生动态数学思维能力。

知识结构【备注】：1.根据后面两个图让学生回顾平行四边形的性质和判定，为后面的例题讲解做好准备；2.部分地方引导学生填空，让学生自己回顾。

时间大概5分钟。

一．平行四边形的性质：二．平行四边形的判定：例1.已知一个二次函数的图像经过()0,3A 、()4,3B 、()1,0C 三点。

（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点D 在x 轴上，点E 在（1）中所求出的二次函数的图像上，且以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 、E 的坐标。

（★★★★）【参考教法】：可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题一．寻找题目中的已知条件和特殊条件：1.哪些点的坐标已知？提示：()0,3A 、()4,3B 、()1,0C ；2.二次函数都经过了哪些点？提示：二次函数的图像经过()0,3A 、()4,3B 、()1,0C 三点；二．求解二次函数的解析式，挺简单的，你算算看吧！提示：二次函数经过了三点，用待定系数法即可求解。

三．当A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形时：1.哪些点不动？哪些点在动？提示：点A C 、不动；点D E 、在动；2.四个点的位置怎么样？提示：A 点在y 轴上、C 点在x 轴上、D 点在x 轴上、E 点在二次函数图象上。

3.你能简单的画一下图象吗？提示：让学生画图看看！4.在点的移动过程中需要分类讨论吗？提示：平行边不确定，需要。

5.如需要，怎么讨论？提示：因AC 确定，所以分AC 为边和对角线两个情况讨论：①当AC 是以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形的一边时：可得AE ∥CD ，所以根据图象和点的位置可直接写出点D 、E 的坐标；（如图1）②当AC 是以点A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形的一条对角线时：则可根据图象得出CD 依然还是这个平行四边形的一条边，结合图象既可求出点D 、E 的坐标；（如图2）。

九年级数学证明华东师大版知识精讲

初三数学证明华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：证明1. 证明的认识2. 用推理方法研究三角形包括：（1）等腰三角形，（2）角平分线，（3）线段的垂直平分线，（4）逆命题、逆定理。

二. 教学过程：（知识点回顾）1. 用公理、定理作为逻辑推理证明的依据，从而证明新的命题成立，常用公理如下：（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线平行。

（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边、或三边）分别对应相等，则这两个三角形全等。

（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等。

2. 等腰三角形：（1）如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”，这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法。

（2）重要性质：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合，简写成“等腰三角形的三线合一”。

3. 角平分线：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

4. 线段的垂直平分线上（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

（2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

【典型例题】例1. “三角形内角和180°”的证明。

方法1：方法2：D A EB C方法3：AE方法4：AE（注：通过作平行线将角转化），证明过程略。

例2. “四边形的内角和等于360°”的证明。

常用的方法是将四边形转化成三角形，利用三角形的内角和：（1）D （2）D（3）（4）D P也可以通过平移角的方法证明：（5） FDE∥BC，FH∥AB∠4＝∠6＝∠B∠3＝∠C∠5＝∠A∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝∠5＋∠4＋∠3＋∠ADC＝360°例3. 如图，已知：AB∥DE，观察∠A、∠C、∠D的关系如何？A BD EC图1A B D EC图2图1：方法一：延长CD交AB于F∵AB∥DE∴∠1＝∠CDE又∵∠1＝∠A＋∠C∴∠CDE＝∠A＋∠C方法二：延长ED交AC于F∵AB∥DE∴∠CFD＝∠A又∵∠CDE＝∠C＋∠CFD∴∠CDE＝∠C＋∠A方法三：过C作CF∥AB∵AB∥DE，∴DE∥CF∴∠1＋∠D＝180°∠1＋∠2＋∠A＝180°∴∠D＝∠2＋∠A图2：方法一：∵AB∥DE∴∠A＝∠DEA＝∠D＋∠CA BD EC方法二：延长BA、CD交于F∵AB∥DE∴∠F＝∠EDC∴∠BAC＝∠F＋∠C＝∠EDC＋∠C方法三：解略此题是平移角的训练，关键体会只需移动角的位置。

上海沪教版初三C专题三轮冲刺(动点产生的平行四边形问题4星)教案

上海沪教版初三C专题三轮冲刺（动点产生的平行四边形问题4星）教案一. 教材分析上海沪教版初三C专题三轮冲刺（动点产生的平行四边形问题4星）教案，主要针对学生对平行四边形知识的掌握，通过分析教材内容，了解本节课的主要知识点：动点产生的平行四边形问题。

教材内容紧密联系学生生活实际，从学生的认知水平出发，通过丰富的例题和练习，引导学生探索、发现、总结平行四边形的性质和规律，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二. 学情分析初三学生对平行四边形知识已有一定的了解，但大部分学生仅限于表面的认识，对于动点产生的平行四边形问题，部分学生可能会感到困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，了解学生的学习需求，引导学生深入理解动点产生的平行四边形问题，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握动点产生的平行四边形问题的解题方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生探究问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于挑战困难的精神，使学生感受到数学在生活中的重要作用。

四. 教学重难点1.重点：动点产生的平行四边形问题的解题方法。

2.难点：如何引导学生发现、总结平行四边形的性质和规律。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解动点产生的平行四边形问题，激发学生学习兴趣。

2.启发式教学法：教师引导学生观察、操作、思考，发现平行四边形的性质和规律。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。

4.反馈评价法：教师及时给予学生反馈，鼓励学生积极思考，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作含有丰富图片、例题和练习的PPT，便于引导学生直观地了解知识点。

2.教学素材：准备一些与动点产生的平行四边形问题相关的实际案例，用于导入和新课讲解。

3.练习题：设计一些有针对性的练习题，帮助学生巩固所学知识。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

志航教育学科教师辅导讲义限速训练一、选：（本大题共 6题，每题 4分，满分 24分）．下列计算正确的是（） A ．422a a a =+； B ．236a a a =÷； C ．32a a a =⋅； D ．532)(a a =．．关于x 的方程210x mx --=根的情况是（）A ．有两个不相等的实根；B ．有两个相等的实根；C ．没有实数根；D ．不能确定．．已知反比例函数1y x=的图像上有两点),(11y x A ，),(22y x B ，且21x x <，那么下列结论中，正确的是（） A .21y y <； B .21y y >；C .21y y =；D .1y 与2y 之间的大小关系不能确定.．如果一组数据1a ，2a ，…，n a 的方差20S =，那么下列结论一定正确的是（）A ．这组数据的平均数0x =；B ．12n a a a ===；C ．120n a a a ====；D ．12n a a a <<<．．若一个多边形的内角和等于900，则这个多边形的边数是（）A ．8；B ．7；C ．6；D ．5．．一个正多边形绕它的中心旋转36°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（） A ．是轴对称图形，但不是中心对称图形； B ．是中心对称图形，但不是轴对称图形； C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形；D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．二、填：（本大题共 12题，每题 4分，满分 48分）．分解因式39x x -= ． 8．4的平方根．．计算：2_________22x x x -=-．已知()6f x x =+，当()a a f =时，=a ．．如果将抛物线32-=x y 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是．．已知()22200x xy y y +-=≠，那么xy= ． 13．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问孤寡老人，如果给每位老人分5盒牛奶，则剩下38盒牛奶。

如设敬老院有(0)x x >名老人，则这批牛奶共有盒．（用含x 的代数式表示） 14．有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有数字1、2、3，从这三张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成两位数，这个两位数是偶数的概率是．15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB 2=，AD a= ，AB b =，请用向量b a 、表示向量AC = ．16．已知两圆的圆心距为4，其中一个圆的半径长为3，那么当两圆内切时，另一圆的半径为．17．将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面线”，例如圆的直径就是它的“面线”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面线”长可以是（写出2个）．18．如图，在△ABC 中，∠90C =，点D 为AB 的中点，3BC =，13cosB =，△DBC 沿着CD 翻折后，点B 落到点E ，那么AE 的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：22211111a a a a a ⎛⎫-++÷ ⎪-+⎝⎭，其中2a =．20．（本题满分10分）解不等式组：()37<213331124x x x x --⎧⎪⎨--+≤⎪⎩并把它的解集在数轴上表示出来．12345-1-20ADCB参考答案：一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．A ； 3．D ；4．B ；5．B ；6．C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．()()33-+x x x ；8．2±；9．xx x x 224422-+-；10．3；11．()22+=x y ；12．1或－2；13．385+x ；14．31；15．b a21+；16．7；17．3或2；18．7．三、解答题（本大题共七题，19—22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）19．223（原式=a a 12+．） 20．11<≤-x ．几何证明一、专题知识梳理（一）平行四边形1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．平行四边形的性质定理1：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．简述为：平行四边形的对边相等．平行四边形的性质定理2：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．简述为：平行四边形的对角相等．夹在两条平行线间的平行线段相等．平行四边形的性质定理3：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分．简述为：平行四边形的两条对角线互相平分.MP，------------------------------------------------（1分）CDE =180︒，∴AB//ED，-------------------------（1分）MP//AB，-------------------------------------------（1分）MP为线段BD的垂直平分线，--------------（1分）MB=MD-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分），------------------------------------------------（1分）CDE =180︒，∴AB//ED，例4：已知：如图，在中ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ,BC AC =，点E 在边AC 上，延长BC 至D 点，使CD CE =，延长BE 交AD 于F ，过点C 作CG //BF ，交AD 于点G ，在BE 上取一点H ，使DCG HCE ∠=∠．（1）求证：ACD BCE ∆≅∆； (2) 求证：四边形FHCG 是正方形．【解析】(1)∵︒=∠90ACB∴︒=∠=∠90ACB ACD 1分∵BC AC =CD CE = 2分∴ACD BCE ∆≅∆ 1分(2)∵ACD BCE ∆≅∆∴EBC DAC ∠=∠ 1分∵CEB AEF ∠=∠ ∴︒=∠=∠90BCE AFE ︒=∠90BFG 1分∵CG //BF ∴︒=∠=∠90AFE CGF 1分 ∵DCG HCE ∠=∠∴︒=∠=∠90ACD GCH 1分 ∴四边形FHCG 是矩形 1分∵︒=∠=∠90CHE CGD DCG HCE ∠=∠CD CE = 1分∴CEH CDG ∆≅∆∴CH CG = 1分 ∴四边形FHCG 是正方形 1分例51：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分ABC ∠，BAD ∠平分线交BC 于E ，联结ED ．（1）求证：四边形ABED 是菱形；（2）当ABC ∠=60°，EC BE =时，证明：梯形ABCD 是等腰梯形．G FE D BACH60，为等边三角形．，AD90，D是边时，求证：DE=【解析】（1）考察了中位线；斜边中线等于斜边一半；等腰、平行得到角平分线（S.A.S ）（2）四边形CFED 是平行四边形（平行且相等），所以DE=CF=AF例2：如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F 。

（1）求证：CD DF BC BE ⋅=⋅；（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且∠B =60°，求证：EM //FN ．【解析】（1）△ABE ∽△AFD（2）延长EM 、DA 交于点P ，证明∠P=∠FND=60°例3：如图，已知在正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，过C 点作AE 的垂线交于点F ，联结DF ，过点D 作DF 的垂线交AF 于点G ，联结BG . （1）求证：△ADG ≌△CDF ；（2）如果E 为CD 的中点，求证：BG ⊥AF .【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形∴AD =DC ，∠ADC =90°2分 ∵GD ⊥DF ，∴∠GDF =90°∴∠ADG =∠CDF 1分∵CF ⊥AF ，∴∠AFC =90°，∴∠CFD =90°+∠DFG 1分 ∵∠AGD =∠GDF +∠DFG =90°+∠DFG ∴∠AGD =∠CFD 1分 ∴△ADG ≌△CDF 1分（2）∵∠ADE =∠EFC ，∠DEA =∠FEC ，∴△ADE ∽△CFE ，∴FCEFAD DE = 1分 ∵E 为CD 的中点，∴21=DC DE ，∴21=AD DE ，∴21=FC EF ∵△ADG ≌△CDF ，∴FC =AG ，∴21=AG EF ，∵21=AB EC ，∴ABECAG EF = 1分 ∵AB ∥EC ，∴∠FEC=∠GAB 1分∴△EFC ∽△AGB 1分ABCDE FAE GDFCB∴∠EFC =∠AGB =90°1分 ∴BG ⊥AF 1分三、专题过关检测题1：己知：如图，在菱形中，点、分别在边、，∠ =∠，与交于点．（1）求证：（2）当要=时，求证：四边形是平行四边形．【解析】2012年中考23题（1）利用△ABE ≌△ADF （A.S.A ）（2）∵AD ∥BC ，∴FCDFGB DG BE AD DF AD === ∴GF∥BE，易证GB=BE ∴四边形BEFG 是平行四边形检测题2：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，BE 、AD 相交于点G ，EF ∥AD 交BC 于点F ，且2BF BD BC =，联结FG 。

（1）求证：FG ∥CE ；（2）设∠BAD=∠C ，求证：四边形AGFE 是菱形。

【解析】（1）∵2BF BD BC =，∴BF BDBC BF =． 1分 ∵EF ∥AD ， ∴BG BD BE BF=． 2分 ABCD E F BC CD BAF DAE AE BD G =BE DF DF FC ADDFBEFG GFDEBCABC．BC，．，FG∥CEAGFE是平行四边形．．，．AGFE∵∠AEF +∠FED =∠EDC +∠ECD ，∴∠FED =∠ECD （1分） ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ECD =12∠BCD =45°，∠ADB =12∠ADC = 45°，∴∠ECD =∠ADB （1分）∴∠FED =∠ADB ．（1分）又∵∠BFD 是公共角，∴△FED ∽△FBD ，（1分）∴EFDFDFBF =，即2DF EF BF = （1分）检测题4: 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ︒∠=，BC DC =，点E 在对角线BD 上，作90ECF ∠=，连接DF ，且满足CF EC =．（1）求证：BD DF ⊥；（2）当2BC DE DB =⋅时，试判断四边形DECF 的形状，并说明理由．【解析】（1）∵︒=∠=∠90ECF BCD ，∴DCF BCE ∠=∠ （1分） ∵CF EC DC BC ==,，∴BCE ∆≌DCF ∆ （1分）∵DE =DG ，∴. 1分 ∴. 1分在△AED 与△CGD 中，，，AD =CD ，∴△AED ≌△CGD ． 1分 ∴AE =CG . 1分 (2) ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD //BC . 1分∴. 1分 ∵AE =CG .∴，即CE =AG . 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =BC . 1分 ∴. 1分 ∴BE //DF . 1分一、能力培养例1：如图，在∆ABC 中，10AB AC ==，3cos 5B =，点D 在AB 边上（点D 与点A 、B 不重合），DE BC ∥交AC 边与点E ，点F 在线段EC 上，且14EF AE =，以DE 、EF 为邻边作平行四边形DEFE 联结BG ．（1）当FC EF =时，求∆ADE 的面积；（2）设AE x =，∆DBG 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果∆DBG 是以DB 为腰的等腰三角形，求AD 的值．【解析】（1）作BC AH ⊥于H ，在AHB Rt ∆中，53cos ==AB BH B ∵10=AB ， ∴6=BH ，DEG DGE ∠=∠AED CGD ∠=∠DAE DCG ∠=∠AED CGD ∠=∠CG CFAG AD=AC AE AC CG -=-CG CFCE BC=90，AC ，联结AQAE。