河南省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)解析版
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 集合 U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈N|x2-3x≤0}，则∁U（A∪B）=（ ）
A. {0，1，2，3} B. {0，4，5}
C. {1，2，4}
D. {4，5}
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若向量 =（2cos2 ，cos ）， 的值；
（2）求
的最小值．
18. 某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工 具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务现从全 市已挂牌照的电动车中随机抽取 100 辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检 测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车 和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图： （1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取 9 辆，再从这 9 辆 中随机抽取 2 辆，求至少有一辆为电动汽车的概率； （2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发 放补助，标准如下：电动自行车每辆补助 300 元；电动汽车每辆补助 500 元；对电 池需要更换的电动车每辆额外补助 400 元．用样本频率替代概率估计总体． ①现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆电动车电池性能为良好的 辆数为 X，试求 X 的分布列； ②估算平均每辆电动车享受的政府补贴金额．
（3-|a+1|）＞f（- ），则 a 的取值范围是（ ）
A. （- ，- ）
B. （-
）∪（- ，+∞）
C. （- ，- ）
D. （-
）∪（- ，+∞）
11. 已知区域 内的点满足不等式组
，在区域 内任取一点
有零点的概率为( )
A.
B.
C.
D.
12. 在正方体 ABCD-A1B1CD1 中，点 M 在线段 AD1 上，若 直线 A1M 与平面 A1B1C1D1 内的动直线所成角的最小
尺，则 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 已知椭圆
A.
的一个焦点为 ，则 的值为（ ）
B.
C.
D.
5. 已知向量 ， 的夹角为 60°，且| |=2，|2 - |= ，则| |可能为（ ）
A. 3
B.
C. 2
D. 4
6. 设公差为-3 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2019=2019，则 a3+a6+a9+…+a2019=
值 ，则 AM：MD1=（ ）
A.
B.
C.
D.
，则函数
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. （x- ）10 的展开式中所有项的系数之和为______．
14. 若执行如图所示的程序框图，输入
，则输出 的值为_______.
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15. 已知 l 为曲线 y= 在（1，a）处的切线，当直线 l 与坐标轴围成的三角形面积为 ，实数 a 的值为______
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
B.
C. π+1
D.
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9. 已知命题 p：f（x）=sinx+ ≥4（0＜x＜ ），命题 q：若 x2-x+m＞0 对 x∈R 恒成立，
则 m＞0．则下列选项中真命题为（）
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x＜0 时，f（x）= ，若实数 a 满足 f
（t 为参数），曲
线 C2 的参数方程为
，（θ 为参数）
（1）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当 α= 时，求曲线
C1，C2 的极坐标方程； （2）若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A，B 两点（不重合），求|OA|+|OB|的取值范围．
2. i 为虚数单位，若复数 z+ =i，则 =（ ）
A. 1-i
B. -1+i
C. -1-i
D. 1+i
3. 我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
，指一尺长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永
远也取不尽.现有 尺长的线段，每天取走它的 ， 天后剩下的线段长度不超过
（）
A.
B.
C. 673
D. 1346
7. 若函数 y=f（x）具有下列两个性质：①在区间[- ]上单调递增，②其图象关于直
线 x= 对称，则 f（x）的解析式可以是（ ）
A. f（x）=sin（ -2x）
B. f（x）=cos（2x+ ）
C. f（x）=sin（2x+ ）
D. f（x）=cos（ -2x）
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21. 已知函数 f（x）= x2-（a+1）x+alnx． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）对任意的 a∈[3，5]，x1，x2∈[1，3]（x1≠x2），恒有|f（x1）-f（x2）|＜λ| - |， 求实数 λ 的取值范围．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1 的参数方程为
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为 的双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的左、 右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线上一点，且 PF1⊥x 轴，过点 P 作双曲线 C 的两 条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于 A，B 两点，若四边形 PAOB 的面积为 2， 则△PF1F2 的面积为______．
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19. 如图，斜三棱柱 ABC-AB1C1 的底面△ABC 为正三角形，AB=AA1，∠A1AB=∠A1AC，AA1 与底面 ABC 所成的角为 30°． （1）证明：BB1⊥BC； （2）求二面角 A-BB1-C1 的余弦值．
20. 已知抛物线 C1：y2=2px（p＞0），圆 C2：x2+y2=r2（r＞0）， 直线 l：y=kx+m 与抛物线 C1 相切于点 A，且与圆 C2 相切于 点 B． （1）当 k=2 时，请分别写出 p，r 关于 m 的表达式； （2）设 F 为抛物线 C1 的焦点，△FAB，△FOB 的面积分别 为 S1，S2，若 S1=6S2，求实数 k 的值．
河南省高三4月普通高中毕业班高考适应性考试数学(理)试题Word版含答案
2018年河南省普通高中毕业班高考适应性练习理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A2. ）A ．1B ．2 3.下列说法中，正确的是（ ）ABCD4.上，则22a b-+的最小值是（ ）A ．4B ．2 C） A ．10 B ．15 C ．20 D ．256.）A．14 B．13 C．12 D．117.三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A8.）A9.（ ）A10.（ ）A ．20πB ．101πC11.） A．3 12.若MN≤.已知函数）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的最小值为 ．14.点的坐标为．15..的距离为 ． 16.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.（1（218.某公司要根据天气预报来决定五一假期期间5月1日、2日两天的宣传活动，宣传既可以在室内举行，也可以在广场举行.统计资料表明，在室内宣传，每天可产生经济效益8万元.在广场宣传，如果不遇到有雨天气，每天可产生经济效益20万元；如果遇到有雨天气，每天会带来经济损失10万元.若气象台预报5月1日、2（1）求这两天中恰有1天下雨的概率；（2）若你是公司的决策者，你会选择哪种方式进行宣传（从“2天都在室内宣传”“2天都在广场宣传”这两种方案中选择）？请从数学期望及风险决策等方面说明理由.19.如图，AC O=（1（2值.20..（1（2若不是，请说明理由.21.（1（2. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]为参数）.（1（2.23.[选修4-5：不等式选讲]（1（2.2018年河南省普通高中毕业班高考适应性练习理科数学试题参考答案一、选择题1-5: DCBDC 6-10: BACBB 11、12：AD二、填空题三、解答题17.解：（1（218.解：（11天下雨”所以这两天中恰有1天下雨的概率为0.48.（2）2天都在室内宣传，产生的经济效益为16万元..所以两天都在广场宣传产生的经济效益的数学期望为16万元.因为两种方案产生经济效益的数学期望相同，但在室内活动收益确定，无风险，故选择“2天都在室内宣传”.（在广场宣传虽然冒着亏本的风险，但有产生更大收益的可能，故选择“2天都在广场宣传”）19.解：（1（2=BD H=，HB231,3,1)10cos ,m n m n<>==-⋅20.解：（1. （2）由题意，0，.21.解：（1..个零点.（2. 由（1.22.解：（1（223.解：（12,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭（25=；()g x。
河南省名校高三下学期四月联考数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．设复数z 在复平面内对应的点为，若，则a =（ ） ()0,a 2z =A ．2iBC ．D ．2±【答案】C【分析】根据复数的几何意义可得，再根据复数的模即可求解. i z a =【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为，所以. ()0,a i z a =因为，解得. 2z =2=2a =±故选:C.2．设集合，，则（ ）{}2230A x x x =∈--≤Z {}0,2B =A ． B ．C ．D ．A B ⊆B A ⊆{}2,1,0,1,2A B =--U {}2A B ⋂=【答案】B【分析】解出集合，将集合进行运算即可得出结论.A ,AB 【详解】，，{}2230{|13}A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤Z Z {}1,0,1,2,3A ∴=-而，则{}0,2B =，故A 错误，B 正确；B A ⊆，故C 错误；{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，故D 错误；{}0,2A B =I 故选：B.3．已知与的夹角为，则（ ） a a b π423a b += A ．10 B ．8C ．5D ．4【答案】A【分析】利用平面向量的数量积及模的关系计算即可.【详解】，故. 22222π369161cos 9254a b a a b b +=+⋅+=+⨯+⨯= 2310a b += 故选：A4．某科研团队通过电催化结合生物合成的方式，将二氧化碳和水高效合成高纯度乙酸，并进一步利用微生物合成葡萄糖和脂肪酸（油脂），该工作的突破，为人工和半人工合成“粮食”提供了新技术．在对照实验过程中，科研人员将收集到的实验组与对照组的实验数据进行记录如图，由于不小心被化学物质腐蚀了两个数据，已知被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，被腐蚀后实验组的中位数增加了1，则对照组与实验组被腐蚀数据分别是（ ）A ．17；14B ．15；14C ．17；15D ．16；13【答案】D【分析】设对照组的腐蚀数据的个位数为，实验组的腐蚀数据的个位数为，由题意可得a b ，再由中位数的定义可求得即可求出答案.3a b -=3b =【详解】设对照组的腐蚀数据的个位数为，实验组的腐蚀数据的个位数为，a b 被腐蚀后的对照组的数据总值为：， 20222323242614141417210209a a ++++++++++++=+被腐蚀后的实验组的数据总值为：，2121222316151212109610177b b ++++++++++++=+被腐蚀后的实验组的数据的中位数为，15被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，即， 20917735a b +--=即，3a b -=被腐蚀前的实验组的数据的中位数为， 15102522b b+++=被腐蚀后实验组的中位数增加了1，即，解得：， 251512b+-=3b =.6a =故对照组与实验组被腐蚀数据分别是16,13. 故选：D.5．我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x与时间t 关系满足函数（为初速度，k 为加速度且）．位移的导函数是速度()2012x t v t kt =+0v 0k ≠与时间的关系．已知从静止状态匀加速至位移公里需，则时速从零加速到()0v x t v kt '==+10760s 时速600公里需（ ） A ．B ．C ．D ．120s 180s 210s 240s【答案】C【分析】根据题中所给函数解析式先求得k 的值，再利用即可求得()2012x t v t kt =+()0v x t v kt '==+答案.【详解】由题意得匀加速过程中，位移x 与时间t 关系满足函数，()2012x t v t kt =+则由从静止状态匀加速至位移公里需可得，10760s 2212060,2610770k k =⨯=⨯则由可得（s ）， ()0v x t v kt '==+220,2107660600030t t =⨯=⨯ 故选：C6．在中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c ，a =ABC A tan A =ABC S =A （ ）A ．13B ．2C ．D ．【答案】C【分析】由三角形的面积公式可求出，再由余弦定理即可求出答案. ,b c【详解】因为，因为，所以， tan A =()0,πA ∈π3A =， 11sin 222ABC S bc A c c ==⨯⋅=A 2c =，由余弦定理可得：.24b c ==21164224122a =+-⨯⨯⨯=解得：. a =故选：C.7．在正三棱锥P -ABC 中，，BC ＝6，M ，N ，Q ，D 分别是AP ，BC ，AC ，PC 的中点，PA =平面MQN 与平面PBC 的交线为l ，则直线QD 与直线l 所成角的正弦值为（ ）A B ．C D 56【答案】C【分析】取的中点，连接，由题意可得平面MQN 与平面PBC 的交线为l 即为，直PB J ,MJ JN JN 线QD 与直线l 所成角即为直线QD 与直线所成角即为，由余弦定理求解即可. MQ MQD ∠【详解】取的中点，连接，由题意可得， PB J ,MJ JN 1//,2QN AB QN AB =又因为，所以， 1//,2MJ AB MJ AB =1//,2MJ QN MJ QN =所以四边形是平行四边形，所以，MJNQ //MQ JN所以四点共面，M J N Q 、、、所以平面MQN 与平面PBC 的交线为l 即为，JN 直线QD 与直线l 所成角即为直线QD 与直线所成角即为， MQ MQD ∠因为正三棱锥P -ABC 中，，BC ＝6，PA =所以，6PA PB PC AB AC BC ======所以，3QD MQ MD ===，222272795cos 22276MQ QD MD MQD MQ QD +-+-∠===⋅⨯所以. sin MQD ∠===故选：C.8．在平面中，已知点H 到，H 的轨迹为曲线C ，直线()2,0A -()2,0B 与C 分别相交于M ，N ，且直线与坐标轴分别相交于点P ，Q ，已知定点，则30x y --=()6,0D （ ） MDNPDQS S=△△A ．B CD【答案】D【分析】设，由题意求出点H 的轨迹，画出图象，求出到直线的距离，(),H x y ()6,0D 30x y --=由垂径定理求出，即可求出，再求出，即可得出答案. MN MDN S A PDQ S△【详解】设，因为点H 到，(),H x y ()2,0A -()2,0B所以，化简得：，HA HB==()22412x y -+=故点H 的轨迹为，()22412x y -+=到直线的距离为：()6,0D 30x y --=d 到直线的距离为：， ()4,0H 30x y --=1d 所以2MN ==所以， 1122MDN S MN d =⋅==A ， 11933222PDQPS QD y =⋅⋅=⋅⋅=A 所以MDN PDQS S ==A A 故选：D.9．已知函数（，）的一个零点与相邻的一条对()sin())f x x x ωθωθ=+++0ω>π02θ<<π4称轴间的距离为，把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则π4()y f x =π4()g x 的一个单调递减区间为（ ）()g x A ．B ．C ．D ．ππ,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】首先由辅助角公式得出，由相邻零点与对称轴之间的距离得出，(())32sin f x πx ωθ++=ω再根据一个零点为得出，然后通过平移得出，最后利用整体带入方法求出单调递减区间． π4θ()g x 【详解】由已知得()sin())f x x x ωθωθ=++sin())12[]2x x ωθωθ++=，32sin()πx ωθ++=因为的一个零点与相邻的一条对称轴间的距离为， ()f x π4π4所以，即， π44T =πT =则， 2π2Tω==所以，(()223sin )f πx x θ++=由是的一个零点，得， π4()f x (()24)2sin 03πf ππθ++==即，解得，，)os(0c 3πθ+=ππ6k θ=+Z k ∈又因为， π02θ<<所以，即， π6θ=()2sin 2co (2s 263πx x f x π+=+=把函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像， ()y f x =π4()g x 则，πππ()()2()2cos(2)2sin 24422cos g x f x x x x =+=+=+=-由，，得，，ππ2π22π22k x k -+≤≤+Z k ∈ππππ44k x k -+≤≤+Z k ∈即的单调减区间为，()g x πππ,π(Z)44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦因为，πππ,0π,π444k k ⎡⎤⎡⎤-⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以的单调减区间为，()g x π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B ．10．已知，，，则（ ）515ln 5a +=3e 3b -+=336e e 1e c ++=A ． B ． C ． D ．a b c <<c a b <<a c b <<c b a <<【答案】A【分析】构造函数，对求导，即可判断的大小，再证明，即()1ln (0)f x x x x=->()f x ,a b 0b c -<可得出答案.【详解】易知，．1ln55a =-331ln e eb =-令，，()1ln (0)f x x x x=->()221110x f x x x x '+=+=>则在单调递增，又，所以，()f x ()0,∞+3e 5>3311ln e ln 5e 5->-所以．又， a b <33e31e e e c =-则，即． 333e 3311ln e e e 0e eb c -=--+<b c <综上，． a b c <<故选：A.11．已知椭圆的直线分别与相切于，两点，则直线222:1y C x t +=()1,2P C A B 方程为（ ）AB A ．或 B ．10x y +-=410x y +-=410x y +-=C ． D ．或10x y +-=10x y ++=410x y +-=【答案】A【分析】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，即可得22221(0)x y a b a b+=>>()00,x y 00221x x y y a b +=到点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，(,)P m n 2222:1(0)x y C a b a b +=>>P A B，则切点弦的方程为，再根据离心率分类讨论分别求出椭圆方程，即可得到切点弦AB 221mx nya b +=方程．【详解】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，22221(0)x y a b a b+=>>()00,x y 00221x x y y a b +=①当切线斜率存在时, 设过点的切线方程为，()00,x y y kx m =+联立方程，得，22221y kx mx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，即， 0∆= ()()()222222222240kma b a k a m a b -+=-，22220a k m b +-∴=又， 2222002212222kma ka ka x x x x b a k m m --+===→=+把代入中，得，20ka x m =y kx m =+2b m y =，220200b x b y kx m a y y ∴=+=-+化简得. 00221x x y ya b+=②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式. ()00,x y x a =±综上，椭圆上一点的切线方程为：. ()00,x y 00221x x y ya b+=再证明若点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，(,)P m n 2222:1(0)x y C a b a b+=>>P 切点分别为，，则切点弦的方程为．A B AB 221mx nya b +=这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和． ()11,A x y ()22,B x y C 11221x x y ya b +=22221x x y y a b+=两切线都过点，所以得到了和， P 11221x m y n a b +=22221x m y na b +=由这两个“同构方程”得到了直线的方程； AB 221mx nya b +=因为椭圆，222:1y C x t +=若焦点在轴，则，，所以 x 21a =22b t =c ==所以，所以椭圆， c e a ==212t =22:21C x y +=所以过作椭圆的两条切线方程， ()1,2P 22:21C x y +=切点弦方程为；AB 41x y +=若焦点在轴，则，，所以y 21b =22a t =c ==所以，所以椭圆， c e a ==22t =22:12y C x +=所以过作椭圆的两条切线方程， ()1,2P 22:12y C x +=切点弦方程为，即； AB 212yx +=1x y +=综上可得直线方程为或. AB 10x y +-=410x y +-=故选：A12．已知定义在上的函数满足，，在区间内R ()f x ()()0f x f x +-=()()11f x f x -=+()f x (]0,1单调且，则（ ） ()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦()20221k kf k ==∑A ． B ．5055 50552C ．D ．1011505510112⨯【答案】A【分析】由题意可通过换元法将已知条件函数的奇偶性和对称性推导出函数的周期性，再由()f x 在区间内单调且，可得根据函数周期性即可解得()f x (]0,1()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦5(1),2f =的值.()20221k kf k =∑【详解】由题知在内单调，且时，有，由此可知()f x (]0,1(0,1]x ∈()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦，()(0,1]22x x f x -∈-+当 时. ，得(0,1]x ∈22()122x x x x f x ---<≤+-, 13535(1)(1)22(1)2222,f f f f f -⎡⎤⎡⎤<≤-+=-=⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 且 在 内单调，可得()f x (0,1]5(1),2f = ，令, 则 .又，(1)(1)f x f x -=+ 1x x =+()(2)f x f x -=+)(()f x f x -=- 故 . 令. 则 的周期为 4 .(2)()f x f x +=-2x x +=(4)(2)()()f x f x f x f x +=-+=--=()f x ∴ 当 趋于0时，有 . 故 ，x ()0f x =(20)(0)0f f +=-=有 ，5(2)0.(1)(1)2f f f =-=-=-，∴20221()1(1)2(2)2020(2020)2021(2021)2022(2022)k k f k f f f f f ==+++++∑ 根据的周期性可知 ，()f x 1(1)3(3)1(1)3(1)(1)3(1)2(1)f f f f f f f +=+-=-=-，5(5)7(7)5(1)7(1)2(1)f f f f f +=--=-由， 20205054=故20221()505(2)(1)2021(2021)2022(2022)k k f k f f f ==⨯-++∑5505(2)2021(1)2022(2)2f f =⨯-⨯++. 50552=故选：A.【点睛】关键点睛：由奇函数性质，以及对称性性质推出函数()()0f x f x +-=()()11f x f x -=+周期是解题的必要步骤，再由在区间内单调且，用特值法得出()f x (]0,1()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦的值为难点，本题考查的是函数的性质的综合应用，属于较难题.(1)f二、填空题13．已知，则______． 22cos 5sin 10αα-+=cos 2=α【答案】/0.5 12【分析】利用同角三角函数的平方关系化简已知条件，可求，再根据余弦的二倍角公式求解sin α即可.【详解】解：已知，()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=即，()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=解得或（舍）， 1sin 2α=sin 3α=-， 211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=故答案为：.1214．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，从下面两个条件中任1F 2F 2222:1x yC a b-=0a >0b >选一个，则双曲线C 的渐近线方程为______．①与双曲线有共同焦点，且过；②过作垂直于x 轴的直线交双曲线P ，22197x y k k-=-+()3,0M 1F Q 两点，且．143PQ =2143QOF S =△【答案】 y x =【分析】若选择①，由共同焦点可解得焦点为，再由待定系数法即可求解；若选择()()4,0,4,0-②，根据通径公式与面积公式联立解方程组即可得出，，从而得出结论. 27b =29a =【详解】若选择①：双曲线（，）的焦点在轴上，2222:1x y C a b-=0a >0b >x故双曲线的焦点也在，故焦点为， 22197x y k k-=-+x 4=()()4,0,4,0-因为双曲线与双曲线有共同焦点， 2222:1x y C a b -=22197x y k k -=-+所以，即双曲线，2216a b +=2222:116x y C b b -=-代入双曲线可得，即，； ()3,0M C 2290:116C b b-=-27b =29a =故双曲线C 的渐近线方程为； y =30y ±=若选择②：由题意得，为通径，（I ），PQ 22143b PQ a ==（II ），两式联立化简得，22211142223QOF PQ b S OF c a =⨯⨯=⋅=△4c =所以，又因为，联立化简得，；2216a b +=22143b a =27b =29a =故双曲线C 的渐近线方程为； y =30y ±=故答案为：. y =15．已知，且，则m +2n 的取值范围是______．()()1ln f x x x =+()1f m f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭2m ≥【答案】[)3,+∞【分析】求导判定的单调性得，再用对勾函数的单调性求m +2n 的范围即可. ()f x 1m n=【详解】由题意得，设， ()1ln 1f x x x'=++()()211ln 1x g x x g x x x-'=++⇒=令得，，令得，，故在上单调递减，在上单调递()0g x '>1x >()0g x '<01x <<()g x ()0,1()1,+∞增，即，故在定义域上单调递增.()()12g x g ≥=()f x 所以，()112,2f m f m m n m n n m ⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎝⎭设，，由对勾函数的单调性可得在上单调递增，()2h m m m =+2m ≥()h m )+∞故. 22232m m +≥+=故答案为：.[)3,+∞16．在棱长为1的正方体中，M ，N 分别为线段和棱上的点，1111ABCD A B C D -1A B 11A D，EF 为过，，D 三点的平面与正方体的外接球截得的圆面内11A M N =1A 1C 1111ABCD A B C D -MN 的长度最大时，直线MN 与EF 之间的距离为______．【分析】由可分析出，利用线面垂直的判定定理可证平面，线段11A M N 1//MN BD 1BD ⊥11A C D MN 的长度最大时，即为，作出过，，D 三点的截面，当线段MN 的长度最大时，直线1BD 1A 1C MN 与EF 之间的距离即为，求出外接圆半径，利用勾股定理即可求出的长度.GH 11AC D A GH【详解】解：已知M ，N 分别为线段和棱上的点，，1A B 11A D 11A M N =令，即，则， 111A N A D λ=1A N λ=11A M N ==又，则， 1A B ==11A M A B λ=1//MN BD 当线段MN 的长度最大时，即为，1BD 因为为正方体的体对角线，可得，， 1BD 1111ABCD A B C D -11BD C D ⊥111BD A C ⊥而，平面， 1111C D A C C ⋂=111,C D A C ⊂11A C D 所以平面，即平面， 1BD ⊥11A C D MN ⊥11A C D 过，，D 三点的截面如下图所示，1A 1C为等边三角形，其外接圆半径 11AC D A 123r A D ==，而， 12EG EF ==EH r ==在中， Rt EGH A GH ===所以线段MN 的长度最大时，直线MN 与EF ，【点睛】关键点点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题17．记为数列的前n 项和．已知，． n S {}n a 11a =134n n n S S a +=++(1)证明：是等比数列； {}2n a +(2)求数列的前n 项和． {}2n a n +n T 【答案】(1)证明见解析(2)123322n n n ++--【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列； {}2n a +（2）由（1）可求得，再得，由分组求和法计算既可. n a 2n a n +n T 【详解】（1）由已知得．，即， 134n n n S S a +-=+134n n a a +=+所以，()1232n n a a ++=+所以是首项为，公比为3的等比数列． {}2n a +123a +=（2）由（1）得，所以．11233n a -+=⋅32nn a =-则，2322nn n a n +=+-则数列的前n 项和{}2n a n +()()()()121321232223212322nn n T n n -⎡⎤=+⨯-++⨯-+++--++-⎣⎦()()121333321212n n n n n -=++++++++-+-⎡⎤⎣⎦ ．()()123131332213222n n n n n n n +-+=+⨯-=+---18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M ，N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐M 品种蜜蜂 40 20 N 品种蜜蜂5010(1)判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？(2)假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公()P B 式：求解现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品()()()()(|)()(|P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ． （ⅰ）证明：； ()aP B a b=+（ⅱ）研究发现，①M 品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；M 品种蜜蜂飞入褐2345色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N 品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为133556；N 品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M ，N 两个品种蜜蜂中选择一341612种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．附：，其中．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ ()2P K k ≥0.10.05 0.01 0.005 0.001k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828【答案】(1)有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）选M 品种，被抽到的概率为，选N 品种，被抽到的概率为 11151724【分析】（1）根据题意求出，与3.841比较即可得出结论；2K （2）（ⅰ）分别求出，，，，代入公式计算即可证明；（ⅱ）根据题意代()P A (|)P B A (P A (|)P B A 入公式计算即可．【详解】（1）根据列联表得，()2212040102050404.444 3.841606090309K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联． （2）由已知公式可得，，，，， ()aP A a b =+1(|)1a P B A a b -=+-(b P A a b=+(|1a P B A a b =+-则()()()P B P AB P AB =+()(|)()(|P A P B A P A P B A =+ 111a a b aa b a b a b a b -=⋅+⋅++-++- (1)()(1)a a ab a b a b -+=++-(1)()(1)a a b a b a b +-=++-，得证． aa b=+（ⅱ）①选M 品种，设选M 品种蜜蜂被抽到为事件C ， 由题意得, ()241311353515P C =⨯+⨯=故选M 品种，被抽到的概率为． 1115②选N 品种，令选N 品种蜜蜂被抽到为事件D ， 由题意， ()153164621724P D =⨯+⨯=故选N 品种，被抽到的概率为． 172419．在斜三棱柱中，O 为底面正的中心，底面，．111ABC A B C -ABC A 1A O ⊥ABC 12AC AA ==(1)证明：平面平面； 1A AC ⊥1A BO (2)求与平面所成角的正弦值． 1AC 11BCC B 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由底面ABC ，得出，再由O 为底面正的中心得出，1A O ⊥1A O AC ⊥ABC A BO AC ⊥证明出平面，根据平面，即可证明；AC ⊥1A BO AC ⊂1A AC （2）建立空间直角坐标系，分别求出和平面的一个法向量，根据直线与平面夹角正弦1AC11BCC B 的计算计算即可．【详解】（1）证明：因为底面ABC ，平面ABC ， 1A O ⊥AC ⊂所以，1A O AC ⊥由O 为底面正的中心，可知， ABC A BO AC ⊥又，平面，平面， 1A O BO O ⋂=BO ⊂1A BO 1A O ⊂1A BO 所以平面， AC ⊥1A BO 又平面， AC ⊂1A AC 所以平面平面．1A AC ⊥1A BO （2）结合（1）中所得，分别以，所在直线为x ，z 轴，过点O 作AB 的平行线为y 轴，建CO 1OA 立如图所示的空间直角坐标系，O xyz -由，为正三角形，可知，， 12AC AA ==ABC A ()0,0,0O10,A ⎛⎝，，， B ⎫⎪⎪⎭10,B ⎛ ⎝C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，， 1A C ⎛= ⎝ ()1,0BC =-1BB ⎛= ⎝设平面的法向量为，11BCC B (),,n x y z =则，即， 100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取，则，1x=(1,n =设与平面所成角为，1AC 11BCC B θ则1sin cos ,A C n θ=，故与平面 1AC 11BCC B 20．已知函数． ()()()212e 1x f x x a x -=---(1)求函数的极值点；()f x (2)设，为的两个极值点，证明：．1x 2x ()()()13e x g x f x x -=+-()212ln 21x x a <+⎡⎤⎣⎦【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）先求出，因式分解得出，再根据的值进行分类讨论()f x '()()()11e 2x f x x a -'=--a 即可；（2）由有两个极值点，则的二阶导数有解，得出，由得出()g x ()g x 0a >()()120g x g x ''==，令，，则且121112e e 2x x a x x ---=-11e 1x m -=>21e 1x n -=>2ln ln m n a m n-=-（），得出，有，令（），()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x>()1,x ∀∈+∞11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭x =1m n >>，则，结合即可证1>ln ln m n m n -<-()21212ln 21x x a x x <++-()()1211ln 22x x a -+-<明．【详解】（1），()()()()()111e 211e 2x x f x x a x x a --'=---=--①当，即时，， 20a -≥0a ≤1e 20x a -->令，得，()0f x '=1x =当时，，单调递减；(),1x ∈-∞()0f x '<()f x 当时，，单调递增，故有唯一的极小值点1； ()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()f x ②当，即时，令，则，， 20a -<0a >()0f x '=11x =()2ln 21x a =+（ⅰ）当时，，则，在上单调递增，此时无极值点； 12a =()ln 211a +=()0f x '≥()f x R ()f x （ⅱ）当时，， 102a <<()ln 211a +<当时，，单调递增， ()(),ln 21x a ∈-∞+()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； ()()ln 21,1x a ∈+()0f x '<()f x 当时，，单调递增，()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 从而有两个极值点，极大值点为，极小值点为1； ()f x ()ln 21a +（ⅲ）当时，， 12a >()ln 211a +>当时，，单调递增； (),1x ∈-∞()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； ()()1,ln 21x a ∈+()0f x '<()f x 当时，，单调递增，()()ln 21,x a ∈++∞()0f x ¢>()f x 从而有两个极值点，极大值点为1，极小值点为； ()f x ()ln 21a +综上所述，当时，有唯一的极小值点1； 0a ≤()f x 当时，有两个极值点，极大值点为，极小值点为1； 102a <<()f x ()ln 21a +当时，无极值点； 12a =()f x 当时，有两个极值点，极大值点为1，极小值点为． 12a >()f x ()ln 21a +（2）不妨设，12x x >由题得， ()()()()2113e e 1x x g x f x x a x --=+-=--则，设，则，()()1e21x g x a x -'=--()1()e 21x h x a x -=--1()e 2x h x a -'=-由，为函数的两个极值点可知， 1x 2x ()g x ()()120g x g x ''==则在上不单调，则有解，故，则， ()g x 'R ()0h x '=20a -<0a >由，得，()111e21x a x -=-()212e 21x a x -=-()121112e e 2x x a x x ---=-所以．121112e e 2x x a x x ---=-因为，， e 0x >0a >所以，， 110x ->210x ->令，，11e 1x m -=>21e 1x n -=>则，，， 11ln x m -=21ln x n -=1m n >>故，且2ln ln m na m n-=-ln ln 2ee m n+=<==令（），()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x >则， ()()2222211112110222x x x m x x x x x ---+-⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭则在上单调递减，，()m x ()1,+∞()()10m x m <=即对，有，()1,x ∀∈+∞11ln 2xx x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令（，x =1m n>>1>则，12<ln ln m nm n-<-所以，2ln ln m na m n-<<=-则，即， ()()()21211ln 2x x a --<()21212ln 21x x a x x <++-又，()()1211ln ln ln 222x x m n a -+-+==<所以，故．122ln 22x x a +<+()()212ln 21x x a <+【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用导数研究（）的单调性，()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x >由，再结合基本不等式，从而得出结论；本题考查了12<ln ln m nm n -<-利用导数研究函数单调性，基本不等式的应用，属于难题．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，直线，作直线l 的平行线()2,0F :2l x =-:l x a '=()2x >，动点P 满足到F 的距离与到直线的距离之和等于直线l 与之间的距离．记动点P 的轨迹为l 'l 'E ．(1)求E 的方程；(2)过作倾斜角互补的两条直线分别交E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且直线AB 的倾斜角()3,1Q ，求四边形ACBD 面积的最大值．ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1)； 28y x =(2).【分析】（1）过P 分别作直线l ，的垂线，垂足为M ，N ，可得，根据抛物线的定义l 'PF PM =即可求解；（2）设，，，由可得():13AN l x m y =-+()11,A x y ()22,B x y ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1m ≤≤,根据韦达定理可得，，由弦长公式可求，，根据()2813y xx m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩12y y +12y y AB CD，可得，11sin sin 22ACBD S QA CD QB CD θθ=+四边形ACBD S =四边形2m t =构造函数，利用导数即可求最大值.【详解】（1）过P 分别作直线l ，的垂线，垂足为M ，N ，则由题意可得l 'PF PN PM PN +=+，即，PF PM =则由抛物线的定义可知，动点P 的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， ()2,0F :2l x =-则有，，故E 的方程为． 22p=4p =28y x =（2）由题目条件过作倾斜角互补的两条直线分别交E 于A ，B 两点和C ，D 两点，()3,1Q可知直线AB ，CD 的斜率互为相反数．设，，，():13AB l x m y =-+()11,A x y ()22,B x y 由直线AB 的倾斜角，且直线AB 的斜率， ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1k m =可知，解得π1πtan tan 64m ≤≤1m ≤联立,消去x 可得， ()2813y x x m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩288240y my m -+-=则，，，()232230m m ∆=-+>128y y m +=12824yy m =-则AB===同理可得CD =记直线AB ，CD 的夹角为，θ则 11sinsin 22ACBD S QA CD QB CD θθ=+四边形， (21sin 1612AB CD m θθ⋅=+=又， 22222222sin cos 2tan 2sin sin 21sin cos tan 11121AB AB k m k m mm αααθαααα======+++++则 32ACBD S==四边形令，，则2m t =13t ≤≤ACBD S =四边形令，则，()324119f t t t t =++()212229f t t t '=++当时，，单调递增，13t ≤≤()0f t '>()f t 则，()maxACBD S ==四边形故四边形ACBD 面积的最大值为．【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12AB x x p =++22．在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极1C 11,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．2C 22223cos 4sin 12ρθρθ+=(1)求曲线的普通方程和曲线的参数方程；1C 2C (2)若Q 为曲线上一点，求点Q 到曲线距离的最大值．2C 1C 【答案】，（为参数）y -=2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ϕ【分析】（1）代入消元得到曲线的普通方程，利用，先得到曲线的平面直角坐标1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 方程，再化为参数方程；（2）设出点Q 的坐标，利用点的坐标表达出点Q 到曲线距离，利用三角函数求出最大值. 1C 【详解】（1）由曲线的参数方程可知，则，1C 112x t =-+22tx =+代入得曲线的普通方程为，y =1C )22y x =+，0y -=由，可知曲线的普通方程为， cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 223412x y +=即， 22143x y+=故曲线的参数方程为（为参数）． 2C 2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ϕ（2）由题可知，点Q 到曲线的距离1C d其中， 1tan 2β=当时，()cos 1ϕβ+=maxd =故点Q 到曲线． 1C 23．已知x ，y ，z 为正数，证明： (1)若，则； 2xyz =2221112x y z x y z ++++≤(2)若，则．229x y z ++=2229x y z ++≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式进行证明；（2）根据柯西不等式可以证明.【详解】（1）因为，所以， 2xyz =2222y z yz x +=≤同理可得，， 2222x z y +≤2222x y z +≤所以，故， 222222222222y z x z x y x y z +++++≤++2221112x y z x y z ++++≤当且仅当时等号成立．x y z ==（2）， ()()()2222222222112122299x y z x y z x y z ++=++++≥++因为，所以，当且仅当时等号成立． 229x y z ++=2229x y z ++≥2x y z ==。
2020年河南省、广东省等五岳联考高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(附答案详解)
2020年河南省、广东省等五岳联考高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={x|x 2−2x −3<0,x ∈Z}，则集合M 的真子集个数为( )A. 8B. 7C. 4D. 32. 已知i 是虚数单位，则化简(1+i1−i )2020的结果为( )A. iB. −iC. −1D. 13. 若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为( )A. 4500元B. 5000元C. 5500元D. 6000元4. 将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为( )A. 27B. 37C. 17D. 3145. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(3,2√3)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|：|NM|等于( )A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：√36. 在所有棱长都相等的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E 分别为棱CC 1，AC 的中点，则直线AB 与平面B 1DE 所成角的余弦值为( )A. √3010B. √3020C. √13020D. √70107. 已知点A(4,3)，点B 为不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0所表示平面区域上的任意一点，则|AB|的最小值为( )A. 5B. 4√55C. √5D. 2√558. 给出下列说法①定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x 2−(a +4)x +b 的最大值为20； ②“x =π4”是“tanx =1”的充分不必要条件；③命题“∃x 0∈(0,+∞),x 0+1x 0≥2”的否定形式是“∀x ∈(0,+∞),x +1x <2”其中正确说法的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知log m 3>0,a =m log 42,b =m log 32,c =m 20.5，则a ，b ，c 间的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. b <c <a10. 元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两(1秤=15斤，1斤=16两)，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银( )A. 9两B. 266127两C.26663两 D. 250127两11. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若acosB −bcosA =c3，则acosBacosA+bcosB的最大值为( )A. √2B. √22 C. √32 D. 2√3312. 已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=log 3(3x +1)，不等式3g(x)−f(x)−t ≥0对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为( )A. 1B. 3−2log 32C. 2D. 32log 32−1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,−√5)，b ⃗ =(1,2√5)，则b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影等于______． 14. 在△ABC 中，∠B =2π3，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC =12AB ，则E 的离心率为______．15. 已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)是奇函数，且在[−π6,π4]上单调递减，则ω的最大值是 ．16. 已知三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC =CD =2，AB =AD =√6，则三棱锥A −BCD 的外接球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=12na n+a n−1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{2a n2}的前n项和为T n，证明：T n<32．18.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF=2√2FD，∠DFE=∠CEF=45．(1)证明：DC//FE；(2)求二面角D−BE−C的平面角的余弦值．19.已知点P在圆O：x2+y2=9上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足4PQ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3√2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设G(−3,0)，H(3,0)，过点F(1,0)的动直线l与曲线E交于A、B两点．问：直线AG与BH的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20.某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C.经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p(0.6≤p≤0.8)．(1)任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；(2)将(1)中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵？21.已知函数f(x)=(a−1)x+xlnx的图象在点A(e2,f(e2))(e为自然对数的底数)处的切线斜率为4．(1)求实数a的值；(2)若m∈Z，且m(x−1)<f(x)+1对任意x>1恒成立，求m的最大值．22.以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2,π2])，直线l的参数方程为{x=−2+tcosαy=−4+tssinα(t为参数)．(1)点A在曲线C上，且曲线C在点A处的切线与直线：x+2y+1=0垂直，求点A的直角坐标；(2)设直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率的取值范围．23.设函数f(x)=|x−1|+2|x+1|，x∈R．(1)求不等式f(x)<5的解集；(2)若关于x的不等式f(x)+2<|2t−1|在实数范围内解集为空集，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合M={x|x|x2−2x−3<0,x∈Z}={x|−1<x<3,x∈Z}={0,1,2}，所以集合M的真子集个数为：23−1=7个．故选：B．由列举法得到集合A中的元素个数，再由结论：含有n个元素的集合的真子集数共有：2n−1个，即得答案本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n个元素的集合的真子集数共有：2n−1个．2.【答案】D【解析】解：∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，∴(1+i1−i)2020=i2020=i4×505=1．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简1+i1−i，再由虚数单位i的运算性质得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设目前该教师的月退休金为x元，则有10%x=4000×15%−100，解之得x=5000，故选：B．根据题中目前的月就医费比刚退休时少100元可列等式，求出即可．本题考查对条形图，折线图的数据整合能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C52=10种方法，③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，∴甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为： p =3C 52C 84=37．故选：B ．①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C 52=10种方法，乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C 52=10种方法，甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C 52=10种方法，由此能求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率．本题考查概率的求法，考查分类讨论思想、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)，所以k FM =2√33−1=√3，由{y 2=4x y =√3(x −1)，可得3x 2−10x +3=0，所以x 1=3，x 2=13， 所以|FN||MN|=x 2+p2x 1+x 2+p=13+13+13+2=14．故选：C ．求出抛物线的焦点坐标，通过直线与抛物线方程联立，求出MN 的坐标，然后转化求解|NF|：|NM|即可．本题考查抛物线的焦点弦，抛物线的简单性质以及数形结合的思想的应用，是中档题．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了利用空间向量求线面角的问题，属于中档题．根据题意，建立空间直角坐标系，将所求的角转化为直线AB 与平面B 1DE 的法向量的夹角来求即可． 【解答】解：因为是所有棱长都相等的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1． ∴该棱柱的上下底面是正三角形，侧面都是正方形，设各棱长均为2，取AB 的中点为原点，直线OC ，OB 分为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则O(0,0,0)，B(0,1,0)，E(√32,−12,0)，D(√3,0,1)，B 1(0,1,2)． ∴ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,1)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,2)， 设平面B 1DE 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{√32x +12y +z =0−√32x +32y +2z =0，令x =2，得m ⃗⃗⃗ =(2,6√3,−4√3)．∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 设所求角为θ，则sinθ=|m⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√3020， ∴cosθ=√13020． 故选：C ．7.【答案】C【解析】解：不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0的可行域如图：则|AB|的最小值为A 到B 的距离． 由{x −y =0x +2y −6=0解得B(2,2)， |AB|的最小值：√(4−2)2+(3−2)2=√5， 故选：C ．画出约束条件的可行域，利用已知条件求解距离的最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，考查数形结合以及点到直线的距离公式的应用．8.【答案】D【解析】解：①定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x2−(a+4)x+b，所以有f(−x)=f(x)，即a=−4，定义域为[a,b]，所以b=4，所以函数f(x)在x=±4时取得最大值为20，正确；②由充要条件的定义“x=π4”能推出“tanx=1”成立，而“tanx=1”不能推出“x=π4”成立，所以“x=π4”是“tanx=1”的充分不必要条件正确；③由特称量词命题的否定定义可得命题“∃x0∈(0,+∞),x0+1x0≥2”的否定形式是“∀x∈(0,+∞),x+1x<2”正确；其中正确说法的个数为①②③三个，故选：D．①利用函数的奇偶性和最值可得答案，②由充要条件定义可判断，③由命题的否定定义可判断，从而可得结论．本题考查命题真假判断及充要条件，函数的奇偶性和最值，命题的否定，属基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题．利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵log m3>0，∴m>1，∵0<log42<log32<1，20.5>1，∴a<b<c，故选：A．10.【答案】B【解析】解：由题意共有银：16×16+10=266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a为首项，2为公比的等比数列，则a(1−27)1−2=266，解得a=266127．故选：B．共有银：16×16+10=266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a为首项，2为公比的等比数列，由此利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：因为acosB−bcosA=c3，由正弦定理可得，sinAcosB−sinBcosA=13sinC=13(sinAcosB+sinBcosA)，化简可得，tanA=2tanB，则acosBacosA+bcosB=sinAcosBsinAcosA+sinBcosB=1cosAcosB+sinBsinA≤2√sinAcosB，当且仅当cosAcosB=sinBsinA时取等号，=2√tanBtanA =√22，即最大值√22，故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式化简可得tanA=2tanB，然后对所求式子进行化简，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理及三角恒等变形在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式求解最值的应用，属于中档试题．12.【答案】B【解析】解：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，可得f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，由f(x)+g(x)=log3(3x+1)，①可得f(−x)+g(−x)=log3(3−x+1)，即为−f(x)+g(x)=log3(3−x+1)，②联立①②可得f(x)=12x，g(x)=log3(3x+1)−12x，由不等式3g(x)−f(x)−t≥0对x∈R恒成立，可得t ≤3g(x)−f(x)=3log 3(3x+1)−2x =log 3(3x +1)332x恒成立，设ℎ(x)=(3x +1)332x，ℎ′(x)=ln3⋅32x (1+3x )2(3x −2)34x，当x >log 32时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，当x <log 32时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减， 可得x =log 32处ℎ(x)取得极小值，且为最小值3−2log 32， 则t ≤3−2log 32， 故选：B ．运用奇偶性的定义，将x 换为−x ，联立两个方程求得f(x)，g(x)，由题意可得t ≤3g(x)−f(x)的最小值，构造函数ℎ(x)，求得导数和单调性、极值和最小值，可得所求范围． 本题考查函数的奇偶性的定义和函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数求得单调性和最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】−83【解析】解：向量a ⃗ =(2,−√5)，b ⃗ =(1,2√5)， 则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为|b ⃗|cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=√5×2√5√22+(−√5)2=−83．故答案为：−83．根据平面向量投影的定义，计算即可．本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．14.【答案】√7+13【解析】解：由题得，AB =2c ，BC =c ，∠B =23π， 则根据余弦定理可得AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√4c 2+c 2−2×2c ×(−12)=√7c ，所以√7c −c =2a ，解得e =√7+13，故答案为√7+13．根据余弦定理可得AC =√7c ，结合双曲线定义，则有√7c −c =2a ，即可解出e ．本题考查双曲线离心率的求法，考查余弦定理的应用，属于中档题．15.【答案】2【解析】【分析】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，三角函数的诱导公式，正弦型函数的单调性，考查了计算能力．根据f(x)是奇函数即可得出φ=π2，进而得出f(x)=−sinωx，然后根据题意即可得出[−π6,π4]⊆[−π2ω,π2ω]，然后即可得出0<ω≤2，从而得出ω的最大值．【解答】解：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=cosφ=0，且0≤φ≤π，∴φ=π2，∴f(x)=cos(ωx+π2)=−sinωx，且ω>0，f(x)在[−π6,π4]上单调递减，∴[−π6,π4]⊆[−π2ω,π2ω]，∴π2ω≥π4且−π2ω⩽−π6，解得0<ω≤2，∴ω的最大值是2．故答案为：2．16.【答案】9π2【解析】解：∵AB=AD，取BD中点E，则AE⊥BD ∵平面ABD⊥平面BCD，则AE⊥BD，故AE⊥平面BCD，则球心O在AE上，且BD=2√2，EB=√2，AE=√AD2−BE2=2，设外接球的半径R，则OB2=OE2+EB2，∴R2=2+(2−R)2，解可得，R=32，V=4πR33=43×(32)3=9π2．根据四棱锥的性质可先求出球心的位置，然后根据勾股定理可求半径R，然后代入球的体积公式可求．本题主要通过空间几何体的外接球问题，考查了考生的空间想象能力，推理论证能力，属于中档试题．17.【答案】解：(1)当n=1时，S1=12a1+a1−1=a1，得a1=2，当n≥2时，由S n=12na n+a n−1得，S n−1=12(n−1)a n−1+a n−1−1，作差得，a n=12na n+a n−1−12a n−1−a n−1+1，化简得，na n=(n+1)a n−1，即a na n−1=n+1n，由a n=a na n−1⋅a n−1a n−2…a2a1⋅a1=n+1n⋅nn−1…32⋅2=n+1，综上，a n=n+1(n∈N∗)；(2)证明：根据(1)得，当n=1时，2a12=12，当n≥2时，2a n2=2(n+1)2<2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以T n=222+232+242+⋯+2(n+1)2<12+2(12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=12+1−2n+1<32，故命题成立．【解析】(1)当n=1时，S1=12a1+a1−1=a1，得a1=2，当n≥2时，由S n=12na n+a n−1得，S n−1=12(n−1)a n−1+a n−1−1，作差化简求出a n的通项公式；(2)根据(1)得，当n=1时，2a12=12，当n≥2时，2a n2=2(n+1)2<2n(n+1)=2(1n−1n+1)，根据裂项相消法和放缩法，证明结论成立．本题考查了数列递推式求数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力，中档题．18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABEF 为正方形，∴AB//FE ，∵AB ⊄平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，∴AB//平面EFDC ， ∵AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFDC =DC ， ∴DC//AB ，∴DC//FE ．(2)解：∵AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，∴AF ⊥平面EFDC ， ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，∴以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则题意得∠DFG =∠CEF =45°，设AB =4， 则D(0,0,1)，E(−3,0,0)，C(−2,0,1)，B(−3,4,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−4,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 设平面DBE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −4y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,0,−3)， 设平面BEC 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −4b +c =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,0,−1)， 设二面角D −BE −C 的平面角为θ， 则二面角D −BE −C 的平面角的余弦值为： cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√10⋅√2=2√55．【解析】(1)推导出AB//FE ，从而AB//平面EFDC ，进而DC//AB ，由此能证明DC//FE ． (2)由AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，得AF ⊥平面EFDC ，从而平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D −BE −C 的平面角的余弦值．本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，Q(x 0,0)， 则由4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 4(0,−y 0)=3√2(x 0−x,−y)，∴x 0=x ，y 03√24y ，代入圆O ：x 2+y 2=9，可得x 29+y 28=1．∴动点M 的轨迹E 的方程为x 29+y 28=1；(2)直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 证明如下：设直线l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{x =my +1x 29+y 28=1，得(8m 2+9)y 2+16my −64=0．则y 1+y 2=−16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9． ∴my 1y 2=4(y 1+y 2)， 则k AGk BH=y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=y 1(my 2−2)(my 1+4)y 2=my 1y 2−2y 1my 1y 2+4y 2=4(y 1+y 2)−2y 14(y 1+y 2)+4y 2=2y 1+4y 24y 1+8y 2=12．【解析】(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，Q(x 0,0)，则由4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x 0=x ，y 03√24y ，代入圆O ：x 2+y 2=9，可得动点M 的轨迹E 的方程；(2)设直线l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X =0)=0.3(1−p)2=0.3−0.6p +0.3p 2，P(X =1)=0.7(1−p)2+0.3×2p(1−p)=0.1p 2−0.8p +0.7， P(X =2)=2×0.7p(1−p)+0.3p 2=−1.1p 2+1.4p ， P(X =3)=0.7p 2， 所以X 的分布列为所以E(X)=1×0.1p 2−0.8p +0.7+2×−1.1p 2+1.4p +3×0.7p 2=2p +0.7． (2)因为0.6≤p ≤0.8，由(1)可知，当p =0.8时，E(X)取得最大值， ①一棵B 种树苗最终成活的概率为0.8+(1−0.8)×0.75×0.8=0.92， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则Y ～B(n,0.92)，E (Y)=0.92n ， ∴(0.92×400−0.08×80)n ≥100000， 解得n ≥100000361.6≈276.55，∴n ≥277，∴该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．【解析】(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，然后用p 分别表示出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列和数学期望；(2)先结合p 的取值范围和(1)中的结论确定p 的取值，然后就能得到一颗B 种树苗成活的概率；记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则Y ～B(n,0.92)，再结合二项分布的性质，列出关于n 的不等式，解之并取整即可．本题考查了随机变量的分布列、数学期望等基础知识点，考查了学生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=(a −1)x +xlnx ，∴f′(x)=a +lnx ，∵函数f(x)=(a −1)x +xlnx 的图象在点A(e 2,f(e 2))处的切线斜率为4， ∴f′(e 2)=a +lne 2=4，∴a =2．(2)由(1)知f(x)=x +xlnx ，∵m(x −1)<f(x)+1对任意x >1恒成立，∴m <f(x)+1x−1对任意x >1恒成立， 令g(x)=f(x)+1x−1，则g′(x)=(lnx+2)(x−1)−(x+xlnx+1)(x−1)2=x−lnx−3(x−1)2．令μ(x)=x −lnx −3，则μ′(x)=1−1x ，∵x >1，∴μ′(x)>0，∴μ(x)=x −lnx −3在(1,+∞)为增函数． ∵μ(4)=1−ln4<0，μ(5)=2−ln5>0， ∴∃x 0∈(4,5)，使得μ(x 0)=x 0−lnx 0−3=0，∴x ∈(1,x 0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=x 0+x 0lnx 0+1x 0−1=x 0+x 0(x 0−3)+1x 0−1=x 0−1，故有m <x 0−1对x >1都成立，∵x 0∈(4,5)，x 0−1∈(3,4)，∴m 的最大值为3．【解析】(1)f(x)=(a −1)x +xlnx ⇒f′(x)=a +lnx ，依题意，f′(e 2)=a +lne 2=4，可求得a 的值；(2)由(1)知f(x)=x +xlnx ，∀x >1，m(x −1)<f(x)+1⇔m <f(x)+1x−1对任意x >1恒成立，构造函数g(x)=f(x)+1x−1，求g′(x)=x−lnx−3(x−1)2，再令μ(x)=x −lnx −3，分析得到∃x 0∈(4,5)，使得μ(x 0)=x 0−lnx 0−3=0，g(x)min =g(x 0)=x 0−1∈(3,4)，从而可求得m 的最大值．本题第(1)问考查切线问题，第(2)问考查恒成立问题，通过分离参数后，构造函数，利用导数解决问题，考查转化思想与运算能力，对学生要求较高，属于难题．22.【答案】解：(1)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2,π2])，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2(x ≥0)，A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x +2y +1=0垂直， 所以{x 2+y 2=2y =−12xx ≥0，解得{x =2√105y =−√105，即A(2√105,−√105). (2)直线l 的直角坐标方程为y =−4+k(x +2)与半圆x 2+y 2=2(x ≥0)有且只有一个交点， 故√1+k 2=√2，整理得k 2−8k +7=0，解得k =1或7，由于B(0,√2)，C(0,−√2)P(−2,−4)， 所以k PB =4+√22，k PC =4−√22， 所以直线l 的斜率的范围为(4−√22,4−√22]∪{1}．【解析】(1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． (2)利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围的值． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(1)函数f(x)={−3x −1,x <−1x +3,−1≤x ≤13x +1,x >1，则{x <−1−3x −1<5或{x >13x +1<5或{−1≤x ≤1x +3<5， 解得−2<x <−1或1<x <43或−1≤x ≤1， 则原不等式的解集为(−2,43)；(2)关于x 的不等式f(x)+2<|2t −1|在实数范围内解集为空集， 等价为(f(x)+2)min ≥|2t −1|， 由(1)可得f(x)的最小值为f(−1)=2，则2+f(x)的最小值为4，则|2t −1|≤4，解得−32≤t ≤52， 则t 的取值范围是[−32,52].【解析】(1)将f(x)写成分段函数的形式，f(x)<5等价为一次不等式组，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得(f(x)+2)min ≥|2t −1|，由f(x)的解析式可得f(−1)为最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年河南省高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−1<x≤3}，B={x|lg x>0}，则A∩B等于()A. (−1,1)B. (1,3)C. (0,3]D. (1,3]2.已知复数z=3+2i，则|2−3iz|=()A. 1B. √13C. √1313D. 133.CPI是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月−7月的CPI同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2月与2018年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是()A. 2018年1月−7月CPI有涨有跌B. 2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳C. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI涨幅最大D. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI有涨有跌4.已知(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)n=a0+a1x+⋯+a n x n，若a 1+a 2+⋯+a n−1=29−n，那么自然数n的值为()A. 3B. 4C. 5D. 65.设F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，A为双曲线的一个顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B，C两点，若△ABC的面积为12c2，则该双曲线的离心率为()A. 3B. 2C. √3D. √26. 已知在数列{a n }中，a 1=2,a n+1=nn+1a n ，则a 2020的值为( )A. 12020B. 12019C. 11010D. 110097. 已知一个几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )A. 2+2√2B. 2+√2C. 3+√2D. 3+2√28. 已知函数f(x)=2sin (ωx +π4)在区间(0,π8)上单调递增，则ω的最大值为( )A. 12B. 1C. 2D. 49. 已知菱形ABCD 的对角线AC =2，对角线AC ，BD 相交于点E ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. √2 C. 2 D. 2√210. 如图所示的平面图形是由正方形和其内切圆及另外4个四分之一圆弧构成，若在正方形内随机取一点，用A 表示事件“点落在正方形的内切圆内”，B 表示事件“点落在阴影内”，则P(B|A)=( )A. π4 B. 1−π4 C. π−24D.π−2π11. 对于定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(−x)+f(3+x)=0，若f(−1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2015)=( )A. −1B. 0C. 1D. 212. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√5，则该正四棱锥的体积为( )A. 43B. 23C. 4√3D. 4√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=(x +1)lnx −4(x −1)在(1,f(1))处的切线方程为______ ．14.等差数列{a n}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，数列{a n}前20项的和S20=______．15.有四张卡片，分别写有数字11，22，33，44，甲、乙、丙、丁四人各取走一张，甲看了丙的卡片后说：“我卡片上的数字大于丙卡片上的数字，但不是最大的”，乙看了丙的卡片后说：“我卡片上的数字比丙卡片上的数字大22”，丁说：“我卡片上的数字不是最小的”，则甲卡片上的数字是_______．16.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2，过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥平面BCC1B1，AC=1，BC=√3，BB1=2，∠B1BC=30°．(1)证明：B1C⊥平面ABC．(2)求二面角B1−A1C−C1的余弦值．18.在△ABC中，AB=1，∠BAC=120°，△ABC的面积为√34．(1)求BC的长；(2)若D是边BC上一点，且2DC=DA，求sin∠ADC．19. 已知点A(4,0)，B(1,0)，若动点T 满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =6|BT ⃗⃗⃗⃗⃗ |. (1)求动点T 的轨迹Γ；(2)在x 轴正半轴上是否存在一点P ，过该点的直线l(不与x 轴重合)与曲线Γ交于两点M ，N ，使得1|PM|2+1|PN|2为定值，若有求出P 点坐标和定值，若不存在，说明理由．20. 已知函数f(x)=12x 2+mcosx ，m >0，f′(x)是f(x)的导函数，g(x)=f′(x)+1．(1)当m =2时，判断函数g(x)在(0,π)上是否存在零点，并说明理由； (2)若f(x)在(0,π)上存在最小值，求m 的取值范围．21. 如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A 开始到出口B ，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B 中，设点C是其中的一个交叉路口点．(1)求甲经过点C的概率；(2)设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布列和数学期望．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.设f(x)=50xx2+1(1)求f(x)在[0,+∞)的最大值(2)求f(x)在[2,+∞)上的最大值-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x>1}；∴A∩B=(1,3]．故选：D．2.答案：A解析：把复数z=3+2i代入|2−3iz|，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．解：∵z=3+2i，∴|2−3iz |=|2−3i3+2i|=|2−3i||3+2i|=1．故选：A．3.答案：D解析：解：对于A：2018年1月−7月CPI有4，7月涨有2，3，5，6，跌，故A正确；对于B：2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳，涨跌幅均在±0.1，0.2，故B正确；对于C：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月涨幅2.5，其值最大，故C正确；对于D：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI全部上涨，故D错误．故选：D．根据同比和环比的概念逐项分析可得．本题考查统计图的应用，属中档题．4.答案：B解析：本题考查在解决二项展开式的系数和问题时常用的方法是赋值法、考查解决展开式的特定项问题是常用的方法是利用二项展开式的通项公式．令等式中的x=1求出展开式的各项系数和，令x=0求出展开式的常数项；利用二项展开式的通项公式求出a n；列出方程求出n．解：令x=1得2+22+23+⋯+2n=a0+a1+a2+⋯+a n即2−2n+11−2═a0+a1+a2 +⋯+a n即2n+1−2═a0+a1+a2+⋯+a n令x=0得a0=1+1+1+⋯+1=n∵a n=1∴a1+a2+⋯+a n−1=2n+1−n−3∴2n+1−n−3=29−n解得n=4故选B．5.答案：D解析：本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．利用△ABC的面积为12c2，求出双曲线的渐近线的方程，运用点到直线的距离公式，解方程可得c=√2a，即可求出该双曲线的离心率．解：设双曲线的一条渐近线方程为y=bax，即为bx−ay=0，则A(a,0)到渐近线的距离为d=√a2+b2=abc，由题意，△ABC的面积为12c2，则12⋅2c⋅abc=12c2，即为4a2b2=c4，即有4a2(c2−a2)=c4，即有c2=2a2，即c=√2a，则e=ca=√2．故选：D．6.答案：C解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．解：数列{a n}中，a1=2,a n+1=nn+1a n，所以(n+1)a n+1−na n=0，所以na n=1×a1=2，所以a n=2n，故a2020=22020=11010.故选C.7.答案：C解析：三视图复原的几何体是直三棱柱，高为1，底面是等腰直角三角形，根据三视图数据求出表面积．本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，是基础题．解：由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱．底面直角边为1，高为1的直三棱柱，所以：S表=S侧+2S底=(1+1+√2)×1+2×12×1×1=3+√2．故选C．8.答案：C解析：本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，求出ωx +π4的范围，然后利用正弦函数的单调性求解即可．解： 当x ∈(0,π8)时，ωx +π4∈(π4,π8ω+π4)， 则由题意可得π8ω+π4⩽π2，解得ω⩽2， 即ω的最大值为2． 故选C ．9.答案：C解析：本题考查了向量的数量积，直接根据菱形的性质，并结合数量积运算，即可求解． 解：由向量数量积的几何意义可知AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2， 故选C ．10.答案：D解析：本题主要考查了条件概率，属于基础题．假设正方形的边长为2，则其面积为4，分别求出正方形和内切圆内阴影部分的面积，利用条件概率求解出P(B|A)即可．解：假设正方形的边长为2，则其面积为4， 正方形内切圆的面积为12×π=π， 所以P(A)=π4．内切圆内阴影部分的面积为[14×π×12−(1×1−14π×12)]×2=π−2， 所以P(AB)=π−24，P(B|A)=P(AB)P(A)=π−2π．故选D．11.答案：B解析：解：定义在R上的奇函数f(x)，满足f(−x)+f(3+x)=0，可得f(x)=f(3+x)，所以函数的周期为3．定义在R上的奇函数f(x)，可知f(0)=0，又f(−1)=1，∴f(2)=f(−1)=1，f(1)=−f(−1)=−1．f(1)+f(2)+f(3)=−1+1+0=0；∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2015)=671(f(1)+f(2)+f(3))+f(1)+f(2)=0−1+1=0．故选：B．利用函数的奇偶性，以及函数的关系式，求出函数的周期，然后求解函数值即可．本题考查抽象函数的应用，函数的周期以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.答案：D解析：本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是基础题．先求出正四棱锥的高，再利用正四棱锥的体积即可求解．解：如图，正四棱锥P−ABCD中，AB=2，PA= √5，设正四棱锥的高为PO，连结AO，AC=√ 2，则AO= 12在直角三角形POA中，PO= √PA2−AO2 = √5−2 =√3．所以V P−ABCD=13⋅S ABCD⋅PO=13×4×√3= 4√33．故选D．13.答案：2x+y−2=0解析：解：函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)的导数为f′(x)=lnx+x+1x−4，可得在(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=ln1+2−4=−2，切点为(1,0)，则在(1,f(1))处的切线方程为y−0=−2(x−1)，即为2x+y−2=0．故答案为：2x+y−2=0．求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程．本题考查函数导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．14.答案：200或330解析：本题考查等差数列的性质以及等差数列求和，属于基础题．设等差数列{a n}的公差为d，由已知列式求得公差，进一步分类求得首项，再由等差数列的前n项和公式求解．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a4=10且a3，a6，a10成等比数列，得(10+2d)2=(10−d)(10+6d)，解得d=0或d=1．当d=0时，a1=10，则S20=200；当d=1时，a1=a4−3d=10−3=7，则S20=20×7+20×192×1=330．故答案为200或330．15.答案：22解析：本题考查简单的合情推理，属于基础题．根据题意假设，排除不可能的，即可得解．解：由题意可知乙、丙卡片上的数字只可能分别是44和22或33和11，又因为甲卡片上的数字大于丙卡片上的数字，但不是最大的，故甲卡片上的数字只可能是33或22，若甲卡片上的数字是33，则丁卡片上的数字只能是11，这与丁卡片上的数字不是最小的矛盾，故甲卡片上的数字只能是22，故答案为22．16.答案：√33解析：本题主要考查椭圆离心率的求解，属基础题.利用中垂线的性质判定AF1=AB=2AF2,，进而利用椭圆的定义求得离心率．解：因为OD平行于F2B，所以D为F1B中点，又AD⊥F1B，所以AF1=AB=2AF2,设AF2=m,则AF1=2m,F1F2=√3m,因此e=ca =2c2a=F1F2AF1+AF2=√3m2m+m=√33.故答案为√33．17.答案：(1)证明：因为BC =√3，BB 1=2，∠B 1BC =30°，所以B 1C =√3+4−2×√3×2cos30°=1，所以BC 2+B 1C 2=BB 12，则B 1C ⊥BC ．因为AC ⊥平面BCC 1B 1，且B 1C ⊂平面BCC 1B 1， 所以AC ⊥B 1C ，因为BC ∩AC =C ，所以B 1C ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知CA ，CB ，CB 1两两垂直，故以C 为原点，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间坐标系C −xyz ．则A 1(1,−√3,1)，B 1(1,0，0)，C(0,0，0)，C 1(1,−√3,0)， 故CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,1)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−1)． 设平面A 1B 1C 的法向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1−√3y 1+z 1=0,m ⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1=0,令y 1=1，则m ⃗⃗⃗ =(0,1,√3)．设平面A 1C 1C 的法向量n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{n ⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−z 2=0,n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3y 2+z 2=0, 令y 2=1，则n ⃗ =(√3,1,0) 则cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12×2=14． 设二面角B 1−A 1C −C 1为θ， 由图可知θ为锐角，则cosθ=14．解析：(1)通过勾股定理计算证明B 1C ⊥BC.推出AC ⊥B 1C ，然后证明B 1C ⊥平面ABC ．(2)以C 为原点，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间坐标系C −xyz.求出平面A 1B 1C 的法向量，平面A 1C 1C 的法向量，设二面角B 1−A 1C −C 1为θ，利用空间向量的数量积求解即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18.答案：解：(1)∵△ABC 的面积为√34． ∴12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =√34，即12AC ⋅sin120°=√34，解得AC =1．由余弦定理可得BC =√AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =√1+1+2×1×1×12=√3；(2)依题意，△ABC 为等腰三角形，∠BAC =120°，∴∠ACB =30°， 在△ACD 中，由正弦定理可得ADsin∠ACD =CDsin∠CAD ， ∵2DC =DA ，∴sin∠CAD =14． ∴cos∠CAD =√154， ∴sin∠ADC =sin[π−(∠ACD +∠CAD)]=sin(∠ACD +∠CAD)=12×√154+√32×14=√15+√38．解析：(1)由三角形面积公式结合已知条件即可求出AC ，再由余弦定理求解可得BC 的长； (2)由正弦定理可得sin∠CAD ，再由三角函数的诱导公式化简求值即可． 本题考查了三角形面积公式，考查了正弦定理以及余弦定理的应用，是中档题．19.答案：解：(1)设动点T(x,y)，∵A(4,0)，B(1,0)，∴AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −4,y)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0)，BT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y)， 代入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =6|BT ⃗⃗⃗⃗⃗ |，整理得：x 24+y 23=1； (2)假设存在定点P(m,0)(m >0)，使得1|PM|2+1|PN|2为定值． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l ：x =ty +m ，则|PM|2=(x 1−m)2+y 12=(t 2+1)y 12，|PN|2=(t 2+1)y 22． ∴1|PM|2+1|PN|2=1(t 2+1)(1y 12+1y 22)=1(t 2+1)y 12+y 22y 12y 22=1(t 2+1)(y 1+y 2)2−2y 1y 2y 12y 22 (1)联立x =ty +m 与x 24+y 23=1，整理得：(3t 2+4)y 2+6tmy +3m 2−12=0．∴y 1+y 2=−6tm3t 2+4,y 1y 2=3m 2−123t 2+4，代入(1)式得：1|PM|2+1|PN|2=1(t 2+1)⋅(−6tm 3t 2+4)2−2⋅3m 2−123t 2+4(3m 2−123t 2+4)2=t 2(18m 2+72)+96−24m 2t 2(3m 2−12)2+(3m 2−12)2．要使得上式为定值，须18m 2+72=96−24m 2，解得m =2√77， 此时1|PM|2+1|PN|2取到定值79． ∴当P 为(2√77,0)时，1|PM|2+1|PN|2取到定值79．解析：(1)设出动点坐标，得到向量AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BT ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，代入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =6|BT ⃗⃗⃗⃗⃗ |整理得到动点T 的轨迹Γ；(2)假设存在定点P(m,0)(m >0)，使得1|PM|2+1|PN|2为定值，设出M ，N 的坐标及直线l 的方程x =ty +m ，把1|PM|2+1|PN|2用M ，N 的坐标及t 表示，再把直线和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到M ，N 的纵坐标的关系，代入1|PM|2+1|PN|2整理得到关于m 的表达式，然后由分子的系数关系求得m 的值，则答案可求．本题考查轨迹方程，考查了向量在解题中的应用，体现了设而不求的解题思想方法，考查了学生的综合运算能力，是压轴题．20.答案： 解：(1)m =2时，g(x)=x −2sinx +1，g′(x)=1−2cosx ，令g′(x)=0，即cosx =12，x ∈(0,π)，得x =π3， 当x 变化时，g′(x)，g(x)变化如下：∴函数g(x)的单调递减区间为(0,π3)，单调递增区间为(π3,π)． ∴g(x)的极小值为g(π3)=π3+1−√3>0． ∴函数g(x)在(0,π)上不存在零点． (2)因为f(x)=12x 2+mcosx ，所以， 令，则．①当0<m ≤1时，1−mcosx ≥0，即ℎ′(x)⩾0，在(0,π)单调递增，∴x ∈(0,π)时，ℎ(x)>ℎ(0)=0，∴f(x)在(0,π)单调递增，∴f(x)在(0,π)不存在最小值， ②当m >1时，1m ∈(0,1)， 所以，即cosx =1m 在(0,π)内有唯一解x 0， 当x ∈(0,x 0)时，，当x ∈(x 0,π)时，，所以ℎ(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,π)上单调递增． 所以ℎ(x 0)<ℎ(0)=0，又因为ℎ(π)=π>0，所以ℎ(x)=x −msinx 在(x 0,π)⊆(0,π)内有唯一零点x 1， 当x ∈(0,x 1)时，ℎ(x)<0即，当x ∈(x 1,π)时，ℎ(x)>0即，所以f(x)在(0,x 1)上单调递减，在(x 1,π)上单调递增．所以函数f(x)在x =x 1处取得最小值， 即m >1时，函数f(x)在(0,π)上存在最小值．解析：本题主要考查利用导数研究闭区间上函数的最值，零点的问题，属于较难题． (1)m =2时，g(x)=x −2sinx +1令g ′(x)=0，即cosx =12，x ∈(0,π)，得x =π3，利用函数的单调区间，极值即可得到结论； (2)因为f(x)=12x 2+mcosx ，所以f ′(x)=x −msinx ，根据函数的单调区间分类讨论即可求解．21.答案：解：(1)设甲从进口A 开始到出口B 经过C 为事件M ，甲选中间的路的概率为13，在前面从岔路到达点C 的概率为12，所以选从中间一条路走到C 的概率为P 1=12×13=16， 同理选择从最右边的路走到点C 的概率为P 2=12×13=16， 因为选择从中间或最右边到达点C 的两个事件是彼此互斥的， 所以P (M )=P 1+P 2=13;(2)随机变量的可能取值为X =0,1,2,3,4，P (X =0)=C 40(13)0(23)4=1681， P (X =1)=C 41(13)1(23)3=3281，P (X =2)=C 42(13)2(23)2=2481=827，P (X =3)=C 43(13)3(23)1=881， P (X =4)=C 44(13)4(23)0=181，所以X 的概率分布列为数学期望为E (X )=0×1681+1×3281+2×2481+3×881+4×181=43．解析：本题考查概率的求解及离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于一般题． (1)利用古典概型及互斥事件概率公式求概率即可； (2)根据离散型随机变量的性质求解即可得结果．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)， 消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0，所以C 的极坐标方程为ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6)．(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，θ∈[0,2π]，则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=cosθ(√32sinθ+12cosθ)=√34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+π6)+14，当，即当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案：解：(1)当x>0时，有x+1x≥2，∴f(x)=50xx2+1=50x+1x≤25，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，∴f(x)在[0,+∞)上的最大值是25．(2)∵函数y=x+1x在[2,+∞)上是增函数且恒为正，∴f(x)=50x2+1=50x+1x在[2,+∞)上是减函数，且f(2)=20，故f(x)在[2,+∞)上的最大值为20．解析：本题是一道求函数最值的题目，需结合基本不等式以及函数的增减性进行解答．(1)当x>0时，由基本不等式可得x+1x ≥2，则f(x)=50xx2+1=50x+1x≤25，据此可得f(x)在[0,+∞)上的最大值；(2)函数f(x)=50x2+1=50x+1x在[2,+∞)上是减函数，据此可得f(x)在[2,+∞)上的最大值.。
河南省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)A卷
河南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·杭州月考) 已知全集，设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数，则复数在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：）可得这个几何体的体积是（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数，下面结论错误的是（）A . 函数的最小正周期为B . 函数在区间上是增函数C . 函数的图象关于直线x=0对称D . 函数是奇函数5. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的a值为（）A . 3B . 5C . 7D . 96. （2分）已知数列的通项公式，则数列的前项和取得最小值时的值为（）A .B .C .D .7. （2分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A . f（x）=， T将函数f（x）的图象关于y轴对称B . f（x）=， T将函数f（x）的图象关于x轴对称C . f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D . ， T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称8. （2分） (2016高二下·珠海期末) 5名学生4名老师站成一排合影，5名学生站一起的排法种数为（）A .B .C .D .9. （2分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E ， F分别是AB ， AD的中点，则异面直线B1C与EF 所成的角的大小为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°10. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的（）A . 外心B . 垂心C . 重心D . 内心11. （2分） (2015高三下·武邑期中) 已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A . x2﹣ =1B . ﹣y2=1C . ﹣y2=1D . x2﹣ =112. （2分） (2019高二上·烟台期中) 若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若x，y满足约束条件,则目标函数z=﹣2x+y的最小值为________14. （1分）(2017·广元模拟) 若 + +…+ =256，则的展开式中含x5项的系数为________．（用数字作答）15. （1分） (2015高二上·东莞期末) 已知数列{an}的前n项和，则an=________．16. （1分） (2017高一上·深圳期末) 在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高三上·双鸭山月考) 在中，角所对的边分别为，且满足， .（1）求的面积；（2）若、的值.18. （15分） (2016高二下·南城期中) 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2= ．19. （10分）(2016·运城模拟) 如图，四棱猪ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．20. （10分） (2015高二上·安阳期末) 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个短轴端点是（0，2 ）．（1）求椭圆C的方程；（2） P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21. （10分）已知，设函数（1）若，求函数在上的最小值；（2）讨论函数的单调性.22. （10分） (2015高三上·务川期中) 已知直线l的方程为ρsin（θ+ ）= ，圆C的方程为（θ为参数）．（1）把直线l和圆C的方程化为普通方程；（2）求圆C上的点到直线l距离的最大值．23. （5分） (2019高一上·浙江期中) 经市场调查,某种小家电在过去天的销售量(台)和价格(元)均为销售时间 (天)的函数,且销售量近似地满足 .前天价格为；后天价格为 .(Ⅰ)写出该种商品的日销售额 (元)与时间的函数关系；(Ⅱ)求日销售额 (元)的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、答案：略6-1、7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略18-3、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略23-1、第11 页共11 页。
河南省南阳市数学高三理数4月模拟考试试卷
河南省南阳市数学高三理数 4 月模拟考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高一上·珠海期中) 已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+x-6<0 的解集为 B,不等 式 x2+ax+b<0 的解集为 A∩B,则 a+b=（ ）A . -3B.1C . -1D.32. （2 分） (2017·榆林模拟) 设复数 z=﹣2+i（i 是虚数单位），z 的共轭复数为 ，则|（1+z）• |等于 （）A.B.2C.5D.3. （2 分） (2017·银川模拟) 在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 F 为 CD 的中点，点 E 在 BC 边上，若=﹣4，则的值为（ ）A.0B.1C.2D.34. （2 分） (2016 高一下·平罗期末) 已知函数第 1 页 共 14 页（ 、 、 为常数），当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5. （2 分） (2016 高一下·东莞期中) 若某程序框图如图所示，则输出的 p 的值是（ ）A . 21 B . 26第 2 页 共 14 页C . 30D . 556. （2 分） (2018 高一上·湘东月考) 如图，在正方体中，，，的中点，则异面直线 与所成的角大小等于（ ）分别为，A. B. C. D.7. （2 分） (2020 高一上·遂宁期末) 已知定义域为的奇函数，则的解集为（ ）A.B. C.D.8. （2 分） 已知点是双曲线线的直线与圆交于点 P ， 且点 P 在抛物线的左焦点，离心率为 e ， 过 F 且平行于双曲线渐近 上，则 e2 =（ ）A.第 3 页 共 14 页B.C.D.9. （2 分） (2020 高一上·大庆期末) 定义在 R 上的偶函数上是减函数，又是锐角三角形的两个内角，则（ ）满足A.B.C.D.10. （2 分） 某次数学测试中，学号为 i（i=1，2，3）的三位学生的考试成绩 的学生成绩情况的概率是且在,则满足A. B. C. D. 11. （2 分） (2017·云南模拟) 已知数列{an}是等差数列，a5+a6=8，则数列{an}的前 10 项和为（ ） A . 40 B . 35 C . 20第 4 页 共 14 页D . 1512. （2 分） (2019 高二下·哈尔滨月考) 已知函数数底数，若，是的导函数，函数在，其中， 为自然对内有两个零点，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 3 题；共 3 分)13. （1 分） (2018·河北模拟) 在等比数列 中，，且 与，，则数列 的前 项和为________．的等差中项为 17，设14. （1 分） (2018 高二上·台州月考) 若动点 在直线上，动点 在直线上，记线段 的中点为，则点 的轨迹方程为________，的最小值为________.15. （1 分） (2016 高二上·赣州期中) 已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA⊥平面 ABC，SA=2 ，AB=1，AC=2，∠BAC= ，则球 O 的表面积为________．三、 双空题 (共 1 题；共 1 分)16. （1 分） (2017 高三上·张家口期末) （x﹣ ）4（x﹣2）的展开式中，x2 的系数为________．四、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） (2017·抚顺模拟) 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，C 为锐角且 asinA=bsinBsinC， ．（1） 求 C 的大小；第 5 页 共 14 页（2） 求 的值．18. （10 分） (2017 高三上·东莞期末) 某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数 学成绩进行分析，从中抽取了 n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60，140），按照[60， 70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分组作出频率分 布直方图如图 1 所示，样本中分数在[70，90）内的所有数据的茎叶图如图 2 所示．根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（ c ）．分数[50，85]可能被录取院校层次专科[85，110] [110，150]本科重本（1） 求 n 和频率分布直方图中的 x，y 的值；（2） 根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取 3 人，求至少有 一人是可能录取为重本层次院校的概率；（3） 在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取 3 名学生进行调研，用 ξ 表示 所抽取的 3 名学生中为重本的人数，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望．19. （10 分） 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥侧面 BB1C1C，已知 BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（1） 求证：C1B⊥平面 ABC；（2） 试在棱 CC1（不包含端点）上确定一点 E 的位置，使得 EA⊥EB1；第 6 页 共 14 页（3） 在（2）的条件下，若 AB= ，求二面角 A﹣EB1﹣A1 的平面角的正弦值．20.（10 分）(2018 高一下·三明期末) 已知圆 过点，且与圆关于直线对称.（1） 求两圆的方程；（2） 若直线切点为，设与直线 平行，且截距为 7，在 中点为 .上取一横坐标为的点，过点作圆的切线，（ⅰ）若，求 的值；（ⅱ）是否存在点 ，使得？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.21. （10 分） (2018 高二上·汕头期末) 已知，函数（1） 讨论的单调区间和极值；（2） 将函数的图象向下平移 1 个单位后得到函数的两个不同的零点，求 的值并证明：的图象，且 。
2020年河南省名校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年河南省名校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知(1−i)2z=1+i(i为虚数单位)，则复数z等于()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i2.若集合，，则A∩B等于()A. {3,6}B. {4,5}C. {2,4，5}D. {2,4，5，7}3.已知向量a⃗，b⃗ 均为单位向量，它们的夹角为60°，则|2a⃗−3b⃗ |等于()A. 1B. √3C. √5D. √74.已知双曲线x22−y2a=1的一条渐近线为y=√2x，则实数a的值为()A. √2B. 2C. √3D. 45.设等差数列{a n}的前n项和S n，若a4+a10=4，则S13=()A. 13B. 14C. 26D. 526.已知命题p:∃x0∈R，2x0(x0−1)<1;命题q:函数f(x)=tanx在定义域上是增函数.则下列命题是真命题的是()A. p∧qB. p∧¬qC. ¬p∧qD. ¬p∨q7..已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点(−12,√32)，2α∈[0,2π)，则tanα=()A. −√3B. √3C. √33D. ±√338.一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是()A. 45B. 35C. 25D. 139.函数f(x)=x2lnx2|x|的图象大致为()A.B.C.D.10. 如图，在三棱锥D −ABC 中，AC ⊥BD ，且AC =BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则AC 和EF 所成的角等于( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘11. 对于定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(−x)+f(3+x)=0，若f(−1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2015)=( )A. −1B. 0C. 1D. 212. 设F 1，F 2为椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，点M 在椭圆Γ上．若△MF 1F 2为直角三角形，且|MF 1|=2|MF 2|，则椭圆Γ的离心率为( )A. √33或√53B. √53或√63C. √63或√73D. √33或√5−14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=f′(1)e x +ex 2−2x ，则f′(1)=______．14. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____．15. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1an −1+1，则a 2014= ______ ．16. 已知∠ABC =90°，PA ⊥平面ABC ，若PA =AB =BC =1cm ，则四面体P −ABC 的外接球(顶点都在球面上)的表面积为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA−sinBsinC =b+ca+b．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求4sinB−cosC的取值范围．18.如图，已知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB=60°，点F是BC的中点．(1)求证：BD⊥EF；(2)求二面角E−DF−B的余弦值．19.已知，抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在x轴上，抛物线上一点M(−3,m)到F的距离为4，(1)求m的值，并求出抛物线C的方程．(2)直线l过点F，与抛物线C交于A，B两点，求线段AB长的最小值．20.某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：(Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？(Ⅱ)从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元.记X表示所发奖励的钱数，求X的分布列和数学期望：附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)ax2−(a+1)x+ln x．21.已知函数f(x)=12(1)当a=1时，求y=f(x)的图象在x=2处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)的极大值为−5，求a的值．4(α为参数)，在以坐标原点O为极22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosαy=1+2sinα点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π上，且点P到极点O的距离为4．3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知f(x)=|ax+1|，a∈R．(1)若关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|−2≤x≤1}，求实数a的值；)时，不等式f(x)≤2−|2x−1|恒成立．求实数a的取值范围．(2)若x∈(0,12-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了复数的四则运算，利用复数的四则运算计算得结论．解：由(1−i)2z =1+i，得z=(1−i)21+i=−2i1+i=−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i．故选D．2.答案：C解析：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．先求出集合A，然后正确理解集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合3，4，5，6}，，∴A∩B={2,4，5}．故选：C．3.答案：D解析：本题考查了平面向量的运算；有数量积的公式运用．属于基础题．将所求式子平方展开，转化为向量a⃗，b⃗ 的数量积运算解答．解：因为向量a⃗，b⃗ 均为单位向量，它们的夹角为60°，所以a⃗⋅b⃗ =cos60°=12，所以|2a⃗−3b⃗ |2=4a⃗2+9b⃗ 2−12a⃗⋅b⃗ =4+9−6=7，所以|2a⃗−3b⃗ |=√7；故选D．4.答案：D解析：解：∵双曲线x22−y2a=1的渐近线为y= ±√2a2x，∴√2a2=√2，解得a=4，故选：D．求出双曲线x22−y2a=1的渐近线和y=√2x相比较可求出实数a的值．本题考查双曲线的渐近线，比较简单．5.答案：C解析：解：在等差数列{a n}中，由a4+a10=4，得2a7=4，即a7=2．∴S13=(a1+a13)×132=13a7=26．故选：C．由已知结合等差数列的性质求得a7，再由等差数列的前n项和得答案．本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题．6.答案：B解析：本题考查复合命题真假的判断，难度一般．根据复合命题的定义进行判断即可．解：命题p:∃x0∈R，2x0(x0−1)<1，为真命题；命题q:函数f(x)=tanx在定义域上是增函数，为假命题，所以p∧¬q为真命题．故选B．7.答案：B解析：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，求出2α的度数是解答本题的关键．解：由角2α的终边经过点(−12,√32)，2α∈[0,2π)，可得：2α=2π3，故α=π3，可得tan α=√3．故选B．8.答案：B解析：解：一个袋子中有4个红球，2个白球，从中任取2个球，基本事件总数n=C62=15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m=C41C21+C22=9，∴这2个球中有白球的概率是p=mn =915=35．故选：B．从中任取2个球，基本事件总数n=C62=15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m=C41C21+ C22=9，由此能求出这2个球中有白球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B解析：本题考查了函数图象的判断，考查了利用导数研究函数的极值、单调性及函数性质的应用，属于中档题．利用奇偶性排除D，利用极值点及单调性排除A、C，即可得结论．【详解】∵y=x2lnx2|x|，∴函数为偶函数，排除D，又x>0时，y=2xlnx，y′=2(1+lnx)=0时，x =1e ，即函数在(0,1e )单减，在(1e ,+∞)单增，排除A 、C ， 故选B ．10.答案：B解析：本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成的角的应用，属于基础题． 取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，E ，F 分别是CD ，AB 的中点，∠EFG 为EF 与AC 所成的角或其补角，计算即可得解．解：如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ．∵E ，F 分别是CD ，AB 的中点， ∴FG//AC ，EG//BD ，且FG =12AC ，EG =12BD.又∵AC =BD ，∴FG =EG ，∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角或其补角． ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ，∴∠FGE =90∘，∴△EFG 为等腰直角三角形， ∴∠EFG =45∘，即EF 与AC 所成的角为45∘.故选B ．11.答案：B解析：解：定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(−x)+f(3+x)=0， 可得f(x)=f(3+x)，所以函数的周期为3．定义在R上的奇函数f(x)，可知f(0)=0，又f(−1)=1，∴f(2)=f(−1)=1，f(1)=−f(−1)=−1．f(1)+f(2)+f(3)=−1+1+0=0；∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2015)=671(f(1)+f(2)+f(3))+f(1)+f(2)=0−1+1=0．故选：B．利用函数的奇偶性，以及函数的关系式，求出函数的周期，然后求解函数值即可．本题考查抽象函数的应用，函数的周期以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.答案：A解析：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于较易题．设|MF2|=m，则|MF1|=2m，由椭圆的定义可得3m=2a，根据△MF1F2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率．解：设|MF2|=m，则|MF1|=2m，∴3m=2a，∵△MF1F2为直角三角形，∴m2+4c2=(2m)2或m2+(2m)2=4c2，∴c=√32m或c=√52m，∴e=ca =√33或√53．故选A．13.答案：−2解析：解：f′(x)=f′(1)e x+2ex−2；∴f′(1)=f′(1)e+2e−2；∴f′(1)=−2．故答案为：−2．可求导函数f′(x)=f′(1)e x+2ex−2，从而得出f′(1)=f′(1)e+2e−2，解出f′(1)即可．考查基本初等函数的求导，已知函数求值的方法．14.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72． 故答案为：−72．15.答案：32解析：解：∵a n+1−1=1an −1=a n−1−1，∴{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2， ∴a 2014−1=a 2−1=1a 1−1=12， ∴a 2014=32． 故答案为：32．由题意可知{a n−1}为周期数列且周期为2，a1−1=2，即可求出答案本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．16.答案：3πcm2解析：解：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAC，∵PB⊂平面PAC，∴BC⊥PB，∵OB是Rt△PBC的斜边上的中线，OB=12PC．同理可得：Rt△PAC中，OA=12PC，∴OA=OB=OC=OP=12PC，可得P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．Rt△ABC中，AB=BC=1，可得AC=√2，Rt△PAC中，PA=1，可得PC=√3．∴球O的半径R=12PC=√32，可得球O的表面积为S=4πR2=3πcm2．故答案为：3πcm2．取PC的中点O，连结OA、OB.由线面垂直的判定与性质，证出BC⊥PB且PA⊥AC，得到△PAC与△PBC是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OP=12PC，所以P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．根据题中的数据，利用勾股定理算出PC长，进而得到球半径R=√32，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．本题给出特殊的三棱锥，由它的外接球的表面积．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)∵sinA−sinBsinC =b+ca+b，∴a−bc =b+ca+b，即b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−12，∵A为三角形中的角，∴A=2π3.(Ⅱ)因为4sinB−cosC=4sinB−cos(π3−B)=4sinB−(12cosB+√32sinB)=8−√32sinB−12cosB=√17−4√3sin(B−φ)，其中tanφ=8+√361，因为：0<B<π3;0<φ<π6∴sin(−φ)<sin(B−φ)<sin(π3−φ)即−12√17−4√3<sin(B−φ)<√32×8−√32√17−4√3−12×12√17−4√3所以，4sinB−cosC∈(−12,2√3−1).解析：本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．(Ⅰ)由已知及正弦定理化简可得a−bc =b+ca+b，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc =−12，即可求A．(Ⅱ)化简可得：4sinB−cosC=√17−4√3sin(B−φ)，其中tanφ=8+√361，由sin(B−φ)的范围，即可解得4sinB−cosC的取值范围．18.答案：解：(1)证明：取AB的中点O，连结EO，OF，AC，由题意知EO⊥AB．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EO⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以EO⊥BD，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又因为OF//AC，所以BD⊥OF，所以BD⊥平面EOF．又EF⊂平面EOF，所以BD⊥EF．(2)解：连结DO，由题意知EO⊥AB，DO⊥AB．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以DO⊥平面ABE，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．则O(0,0，0)，E(√3,0，0)，D(0,0，√3)，F(0,32,√32)，B(0,1，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−√3)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,−√32). 设平面DEF 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =32y −√32z =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3x −√3z =0，令x =1，所以n ⃗ =(1,√33,1)． 又由(1)可知EO ⊥平面ABCD ，所以平面DFB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设二面角E −DF −B 的平面角为θ， 则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√217．解析：(1)取AB 的中点O ，连结EO ，OF ，AC ，由题意知EO ⊥AB.EO ⊥平面ABCD.EO ⊥BD ，由四边形ABCD 为菱形，得BD ⊥AC ，BD ⊥OF ，由此能证明BD ⊥平面EOF.从而BD ⊥EF ．(2)连结DO ，由题意知EO ⊥AB ，DO ⊥AB.推导出DO ⊥平面ABE ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.利用向量法能求出二面角E −DF −B 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案： 解：设抛物线方程为y 2=−2px(p >0)，则焦点为F (−p 2,0) ，准线l 1：x =p2，作MN ⊥ l 1，垂足为N ， 则|MN|=|MF|=4， 而|MN|=p2+3， ∴ 3+p2=4， 解得p =2． 又点M 在抛物线上， ∴ m 2=12，解得m =±2√3． 所以m =±2√3， 抛物线方程为y 2=−4x ，(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x +1)， 由{y =k (x +1)y 2=−4x，消去y 整理得，k 2x 2+(2k 2+4)x +k 2=0，∵直线与抛物线相交于A 、B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=−2−4k 2，由抛物线定义得，|AB |=−(x 1+x 2)+p =4+4k 2>4，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =−1，与抛物线交于A(−1,2)，B(−1,−2)， 此时|AB |=4，∴|AB |≥4，即线段AB 长的最小值为4．解析：本题考查抛物线的定义及方程，直线与抛物线的位置关系，以及韦达定理的应用，属于中档题．(1)由已知条件设抛物线的方程为y 2=−2px(p >0)，由题意和抛物线的定义列出方程求出p 的值，即可抛物线C 的方程；(2)当直线l 斜率存在时，设直线方程y =k(x +1)，联立抛物线方程消去y 后，利用韦达定理求得|AB|的范围，当直线斜率不存在时，求得A ，B 坐标求出|AB|，得最小值．20.答案：解：(Ⅰ)K 2=560(80×200−40×240)2120×440×320×240≈5.657，因为5.657>5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m 家和n 家，则(m,n)可能为(0,9)，(1,8)，(2,7)，(3,6).与之对应，X 的可能取值为90，130，170，210． P(X =90)=1220，P(X =130)=27220， P(X =170)=108220，P(X =210)=84220， 分布列表如下：期望E(X)=90×1220+130×27220+170×108220+210×84220=180．解析：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2>5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；(Ⅱ)按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．21.答案：解：由题知f′(x)=ax−a−1+1x =ax2−(a+1)x+1x=(ax−1)(x−1)x，x>0．(1)当a=1时，f(x)=12x2−2x+lnx，f′(x)=(x−1)2x，f(2)=ln2−2，f′(2)=12，所以y=f(x)的图象在x=2处的切线方程为y−(ln2−2)=12(x−2)，即x−2y+2ln2−6=0.(2)因为a>0，由f′(x)=0得x=1或x=1a.①当1a=1，即a=1时，f′(x)≥0(当且仅当x=1时取等号)，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，不合题意；②当1a >1，即0<a<1时，x∈(0,1)时，f(x)>0，x∈(1,1a)时，f(x)<0，x∈(1a,+∞)时，f(x)>0，所以f(x)在(0,1)单调递增，在(1,1a )单调递减，在(1a,+∞)单调递增；所以当x=1时，f(x)有极大值，由题意f(1)=−a2−1=−54，解得a=12．③当1a <1，即a>1时，x∈(0,1a)时，f(x)>0，x∈(1a,1)时，f(x)<0，x∈(1,+∞)时，f(x)>0，所以f(x)在(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增；所以当x=1a时，f(x)有极大值，由题意f(1a )=−12a−lna−1=−54，即lna+12a−14=0．记g(x)=lnx+12x −14，x≥1，g′(x)=1x −12x2=2x−12x2>0，所以g(x)在[1,+∞)单调递增，因为a>1，所以g(a)>g(1)=12−14=14>0，所以方程g(a)=lna+12a −14=0无解．综上，实数a的取值为12．解析：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值，属于难题．(1)由导数的几何意义，先求出切线的斜率k=f′(2)，再写出切线的点斜式方程，化为一般式即可．(2)讨论a的范围，利用导数判断函数的单调性，由f(x)的极大值为−54，可求得a的值．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)由|ax+1|≤3得−4≤ax≤2，又f(x)≤3的解集为{x|−2≤x≤1}，所以当a =0时，不合题意；当a <0时，2a ≤x ≤−4a ，有{2a=−2−4a =1，则a ∈⌀，不合题意；当a >0时，−4a ≤x ≤2a ， 即有{−4a =−22a =1，解得a =2；(2)因为|ax +1|+|2x −1|≤2在0<x <12恒成立， 所以|ax +1|≤2x +1，即−(2x +1)≤ax +1≤2x +1， 即−2x −2≤ax ≤2x ， 所以{(a −2)x ≤0 ①(a +2)x +2≥0 ②，由①，得a ≤2；由②，得a +2>−2x 在0<x <12恒成立，所以a >−2−2x ． 因为−2−2x <−6，所以a ≥−6．综上可知，实数a 的取值范围为−6≤a ≤2．解析：(1)由绝对值不等式的解法和已知解集，讨论a ≤0，a >0，结合方程解法，可得a 的值； (2)由题意可得|ax +1|+|2x −1|≤2在0<x <12恒成立，所以|ax +1|≤2x +1，转化为−2x −2≤ax ≤2x ，再由参数分离和恒成立思想，可得a 的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2024年河南名校高三数学4月模拟检测试卷附答案解析
2024年河南名校高三数学4月模拟检测试卷（考试时间:120分钟试卷满分:150分）2024.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若2i23ia +-为纯虚数，R a ∈，则=a （）A ．3B ．4C ．-3D ．-42．设集合{}{}1,,0,3,38A a B a a =-=--，若A B ⊆，则=a （）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为π2的扇形，则该圆锥的母线长为（）A ．52B ．3C ．72D ．44．已知函数()ππ2sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在ππ,84⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x '为偶函数D ．()f x 的最小值为325．已知点(),P m n 是圆C 22:8x y +=上的任意一点，则()()22114m n m n ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦的最大值为（）A ．25B ．24C ．23D ．226．过双曲线22:14x C y -=的左焦点1F 作倾斜角为θ的直线l 交C 于,M N 两点．若113MF F N = ，则cos θ=（）A 10B 310C 255D 557．将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为（）A ．56B ．84C ．126D ．2108．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数x ，y 满足()()()()21f x y f x y f x f y ++-=+，且()02f =，则下列结论错误的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 是周期函数D ．()110512f =二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI ）,如下图所示:下列说法正确的是（）A ．从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业采购经理指数（PMI ）的第75百分位数为51.9%B ．从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业采购经理指数（PMI ）的极差为38%.C ．从2022年7月到2023年7月制造业采购经理指数（PMI ）呈下降趋势D ．PMI 大于50%表示经济处于扩张活跃的状态;PMI 小于50%表示经济处于低迷萎缩的状态,则2023年1月到2023年3月,经济处于扩张活跃的状态10．已知抛物线Γ:216y x =，过点()6,0N 作直线12,l l ，直线1l 与Γ交于A ，C 两点，A 在x 轴上方，直线2l 与Γ交于B ，D 两点，D 在x 轴上方，连接,,,AB CD AD BC ，若直线AB 过点()2,0M ，则下列结论正确的是（）A ．若直线AB 的斜率为1，则直线CD 的斜率为13B ．直线CD 过定点()18,0C ．直线AD 与直线BC 的交点在直线4x =-上D ．ABN 与CDN △的面积之和的最小值为11．已知定义在R 上的奇函数()f x 连续，函数()f x 的导函数为()f x '．当0x >时，()()()cos sin e f x x f x x f x '>+⋅'，其中e 为自然对数的底数，则（）A ．()f x 在R 上为减函数B ．当0x >时，()0f x <C ．π3π22f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在R 上有且只有1个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若101,21n a n a λ=+=，则λ=，9S =.13．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆O 和两个对称的半圆弧组成的，线段MN 过点O 且两端点,M N 分别在两个半圆弧上，P 是大圆上一动点，则PM PN ⋅的最小值为．14．已知正四棱台1111ABCD A B C D -的内切球半径11222r AB A B ==，则异面直线11A B 与1DD 所成角的余弦值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,1cos a b c a A A ==-．(1)求cos A ；(2)若AD 为ABC 的中线，且AD =，求ABC 的面积S ．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且π3ABC ∠=，平面PAC ⊥平面ABCD ．F 为PA 的中点，且,4,2,,,CF PF PC BC PB PD M N ====分别为,PB PD 的中点．(1)证明：BD AC ⊥．(2)设DM 交平面NAC 于点H ，求平面ABC 与平面ABH 夹角的余弦值．17．某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”．(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率．(2)若该市所有教师的学习时长X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中10,σμ=为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）；②若从该市随机抽取的n 名教师中恰有ξ名教师的学习时长在[]50,70内，则n 为何值时，()10P ξ=的值最大？附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．18．如图所示，在圆锥内放入两个球12,O O ，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为12,F F ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，12,F F 为椭圆Γ的两个焦点.设直线12F F 分别与该圆锥的母线交于A ，B 两点，过点A的母线分别与球12,O O 相切于C ，D 两点，已知22AC AD ==以直线12F F 为x 轴，在平面α内，以线段12F F 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.(1)求椭圆Γ的标准方程.(2)点T 在直线4x =上，过点T 作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M ，N ，A ，B 分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接,AM BN ，设直线AM 与BN 交于点P .证明:点P 在直线4x =上.19．已知0b >，函数()()()ln f x x a x b =++的图象在点()()1,1f 处的切线方程为ln 2ln 20x y --=.(1)求a ，b 的值;(2)若方程()1e f x =（e 为自然对数的底数）有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21111e eln2x x -<++1．A【分析】由复数除法运算化简复数，结合复数是纯虚数列方程解出参数a 即可.【详解】因为()()()2i 23i 2634i2i 23i 1313a a a a ++-+++==-为纯虚数，所以260340a a -=⎧⎨+≠⎩，解得3a =.故选：A.2．C【分析】根据题意，得到0a -=或38a a -=-，求得a 的值，结合集合的包含关系，即可求解.【详解】由集合{}{}1,,0,3,38A a B a a =-=--，因为A B ⊆，所以0a -=或38a a -=-，解得0a =或2a =，当0a =时，{}1,0,{0,3,8}A B ==-，不符合题意；当2a =时，{}{}1,2,0,1,2A B =-=-，符合题意．故选：C ．3．D【分析】设母线长为l ，根据题意得到π2π12l =⨯，即可求解．【详解】设母线长为l ，由题意，可得π2π12l =⨯，解得4l =，即圆锥的母线长为4．故选：D.4．C【分析】由积化和差公式化简，根据周期公式判断A ，根据正弦函数的最值判断D ，根据正弦型函数的单调性判断B ，根据导数判断C.【详解】因为()ππ2sin 2cos 2sin433f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ42=，其最小值为1-A 错误，D 错误；因为ππ84x -<<，所以π4π2x -<<，可知()f x 在ππ,84⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错误；又()4cos4f x x ='，所以()f x '为偶函数，C 正确．故选：C 5．A【分析】设m n αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，代入算式中由倍角公式化简，利用基本不等式求积的最大值.【详解】点(),P m n 是圆C 22:8x y +=上的任意一点，设m n αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，则()()()()2222118cos sin 2cos sin 14m n m n αααα⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()222sin232sin281sin232sin24252αααα-++⎛⎫=-+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1sin24α=-时，等号成立.()()22114m n m n ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦的最大值为25.故选：A 6．D【分析】根据双曲线的定义，结合焦点三角形以及余弦定理即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为F ,连接,MF NF ,由题意可得2,1,a b c ===设1133,2343,24,MF F N x MF a x x FN a x x ===+=+=+=+由余弦定理可得2222221111111111cos cos 022F N F F NF F M F F MFNF F MF F F N F F F M F F+-+-∠+∠=+=⋅⋅,即()()222222449443022232x c x x c xx cx c+-++-++=⋅⋅⋅⋅，解得13x =，所以()22211441cos MF F +-+∠==cos θ=．故选：D7．B【分析】将问题等价转换为将10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法，利用隔板法即可求解.【详解】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额的分法，等价于将10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法.用3个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成4堆，由于10个小球中间共有9个空隙，因此共有39C 84=种不同的分法.故选：B.8．C【分析】对于A ，令0x y ==，结合()02f =即可判断；对于B ，令0x =结合偶函数的性质即可判断；对于C ，令0y =即可判断；对于D ，得出递推关系()112nf n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此即可验算.【详解】令0x y ==，得()()()20201f f f =，因为()02f =，所以()11f =，A 正确;令0x =，则()()()()()212f y f y f f y f y +-==，所以()()f y f y =-，则()f x 为偶函数，B 正确；令0y =，得()()()()221041f x f x f f x =+=+，即()()112f x f x +=，所以()f x 不是周期函数，C 错误；当x 取正整数n 时，()()()11111222nnf n f n f ⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()911102512f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是得出()112nf n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此即可顺利得解.9．ABD【分析】根据折线图中的数据,结合极差、平均数、百分位数定义与计算方法逐一判断即可.【详解】由图知,从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业采购经理指数（PMI ）从小到大的顺序为48.8%,49.0%,49.2%,49.3%,50.1%,51.9%,52.6%,因为775% 5.25⨯=,所以第75百分位数为第6个数,即为51.9%,故A 正确;从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业采购经理指数（PMI ）的最大值为52.6%,最小值为48.8%,所以极差为52.6%48.8% 3.8%-=,故B 正确;由图易知制造业采购经理指数（PMI ）有升有降,故C 错误;由图知2023年1月到2023年3月PMI 均大于50%,所以经济处于扩张活跃的状态,故D 正确.故选:ABD.10．ABD【分析】分别联立曲线与直线1,,,AB BD l CD 方程，表示出韦达定理，解方程组可得B 正确；由斜率的定义结合选项B 可得A 正确；当1l x ⊥轴时，求出,,,A B C D 四点坐标，得到两直线方程，求出交点横坐标可判断C 错误；由三角形的面积公式结合选项B 和基本不等式可得D 正确.【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，设直线CD 交x 轴于点(),0t ，0t >，直线1l 的方程为：16x m y =+，联立12616x m y y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2116960y m y --=，()21Δ164960m =+⨯>，所以1396y y =-，同理2496y y =-，设直线:2AB x my =+，联立2216x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得216320y my --=，()2Δ164320m =+⨯>，所以1232y y =-，设直线:CD x ny t =+，联立216x ny t y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得216160y ny t --=，()2Δ164160n t =+⨯>，所以3416y y t =-，联立方程组1213243432969616y y y y y y y y t=-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩，可得18t =，故B 正确；对于A ，由B 可得122212123412121234341212122233443416969696961616316321616AB CDy y y y y y y y k x x y y y y y y y y k y y y y y y y y y y x x -----+-+--=======--++-+--，所以当1AB k =时，有13CD k =，故A 正确；当1l x ⊥轴时，可知(((6,,6,,A C D -，2,3B ⎛ ⎝⎭，求得直线AD的方程为18x =-，直线BC20y ++=，将这两方程联立方程组，解得6x =-，故C 错误；设ABN 与CDN △的面积分别为12,S S ，则()()()()()()121243124311621862622S S y y y y y y y y +=⨯-⨯-+⨯-⨯-=-+-，又12143414321618y y y y y y y y ⨯-=+≥-=+≥，又12S S +≥14y y ==D 正确．故选：ABD.11．BCD【分析】根据题意，令()()()cos e g x f x x =-，利用导数求得()g x 在()0,∞+上单调递增，结合π3π22g g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到π3π22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可判定C 正确；再由0x >时，()()0g x g >，可判定B 正确；根据()f x 是定义在R 上的奇函数，结合单调性和零点的定义，可判定D 正确．根据()f x 的单调性无法判断，可判定A 错误．【详解】由()()()cos sin e f x x f x x f x '>+⋅'，可得()()()cos e sin 0f x x f x x -->'．令()()()cos e g x f x x =-，则当0x >时，()()()()cos e sin 0g x f x x f x x =--'>'，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以π3π22g g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ3π3πcos e cos e 2222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得()()π3πe e 22f f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3π22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为()()()001e 0g f =-=，所以当0x >时，()()00g x g >=，又因为cos e 0x -<，所以当0x >时，()0f x <，所以B 正确；由()f x 是定义在R 上的奇函数，故当0x <时，()()0f x f x =-->，又因为()00f =，所以()f x 在R 上有且只有1个零点，所以D 正确．因为()f x 的单调性无法判断，所以A 错误．故选：BCD.12．299【分析】利用给定条件，直接求出λ，再判断数列特征求出9S .【详解】由101,21n a n a λ=+=，得10121λ+=，解得2λ=；则21n a n =+，显然{}n a 是等差数列，所以19959()9911992a a S a +===⨯=.故答案为：2；9913．0【分析】先根据向量运算表示出PM PN ⋅，结合OM 的最值可得答案.【详解】连接PO ，可得()()2224PM PN PO OM PO OM PO OM OM ⋅=+⋅-=-=- ，显然当2OM 最大，即OM 取得最大值2时，PM PN ⋅ 取得最小值0．故答案为：0.14．10【分析】作正四棱台的轴截面，设1124AB A B a ==，由几何关系得出,3KG a FK FG a ===，结合勾股定理可得12a =，进一步延长侧棱11,DD CC ，设它们相交于点P ，从而只需分别求出1,2CD PD 即可.【详解】由题设知正四棱台1111ABCD A B C D -的高h 设1124AB A B a ==，作正四棱台的轴截面，如图所示，其中I ，J ，L 分别为圆O 与四边形EFGH 的切点，FK GH ⊥，K 为垂足，从而有IF FL a ==，2JG GL a ==，所以,3KG a FK FG a ===，由2229a a -=，解得1.2a =延长侧棱11,DD CC ，设它们相交于点P，则异面直线11A B 与1DD 所成的角为11PD C ∠.因为112AB A B =，所以1111PG BC ABFG B C A B ==，所以11111263,212PG FG a HD AD A D A B EF a =========，所以PC PD ==从而11cos .1102cos P CDPDC DD P C =∠∠=故答案为：1010.【点睛】关键点点睛：关键是得出1122AB A B ==，进一步得出,PG PD 的长度，由此即可顺利得解.15．(1)2cos 3A =【分析】（1sin 22A A =，结合22sincos 122A A +=，求得25cos 26A =，结合余弦的倍角公式，即可求解；（2）由（1）得到sin A =2AB AC AD += ，求得224123b c bc ++=，再由由余弦定理得到22443b c bc +-=，求得3bc =，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：由51cos 5A A =-，可得225cos 2sin 5222A A A =，因为0πA <<，可知sin 02A ≠sin 22A A=，又因为22sincos 122A A +=，联立方程组得25cos 26A =，所以22cos 2cos 123A A =-=．（2）解：由（1）知2cos 3A =，可得5sin 3A ==，因为AD 为ABC 的中线，且AD =2AB AC AD +=，两边平方得224123b c bc ++=，又由余弦定理得2222cos 4b c bc A a +-==，即22443b c bc +-=，两式相减，可得3bc =，所以11sin 322S bc A ==⨯⨯16．(1)证明见解析(2)312943【分析】（1）设BD 与AC 交于点O ，根据题意，证得PO BD ⊥和PC BD ⊥，结合线面垂直的判定定理，证得BD ⊥平面PAC ，进而证得BD AC ⊥．（2）由（1）知PC ⊥平面ABCD ，得到OF ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面ABH 和平面ABC的法向量(m =和()0,0,1n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示，设BD 与AC 交于点O ，连接PO ，因为底面ABCD 是平行四边形，所以O 为,BD AC 的中点，又因为PB PD =，所以PO BD ⊥，因为CF FP FA ==，且F 为PA 的中点，所以PC AC ⊥，又因为PC ⊂平面PAC ，且平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，所以PC ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PC BD ⊥，又因为PO PC P = ，且,PO PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为AC ⊂平面PAC ，所以BD AC ⊥．（2）解：如图所示，连接ON ，因为ON 为PBD △的中位线，所以//ON PB ，因为平面PBD 平面,ACH OH BM ON ==且H ON ∈，所以OH MB ∥，且12OH MB =，由,O F 分别为,AC AP 的中点，看到的//OF PC ，由（1）知PC ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，以,,OA OB OF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()0,0,0,0,0,2,1,0,0,1,0,0,1,0,4O F A C B P --，所以11,44OH BP ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则()5,,4AB AH ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,m x y z = 为平面ABH的法向量，则05044m AB x m AH x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2y =，可得x z ==(m =，又由平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，设平面ABC 与平面ABH 的夹角为θ，可得cos 43m n m n θ⋅== ．即平面ABC 与平面ABH的夹角余弦值为43.17．(1)740(2)①841；②14【分析】（1）根据题意利用古典概型即可计算；（2）①由样本数计算μ，进而利用()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈求解即可；②首先求在[]50,70内的概率，再由题意可知(),0.6827B n ξ~，然后设()()101010C 0.68270.317310n n f n n -=⨯⨯≥，最后利用()()1f n f n +可求使得()()1f n f n +<的最小n 的值，从而得到使()10P ξ=最大的n 的值.【详解】（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为A ．由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7，则()2137310C C 7C 40P A ==，所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为740．（2）①由样本数据知，3543908350458275623560,1010μσ+++++++++===．因为()()()1500.8413522P X P X P X μσμσμσ-≤≤+≥=≥-=+≈，所以0.841351000841⨯≈，所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841.②每名教师的学习时长在[]50,70内的概率为()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，由题意可知(),0.6827B n ξ~，则()10101010C 0.68270.3173n n P ξ-==⨯⨯，设()()101010C 0.68270.317310n nf n n -=⨯⨯≥，则()()1010911010101C 0.68270.31730.31730.3173C 0.68270.31739n n n n f n n f n n -+-+⨯⨯+==⨯⨯-．令0.31730.317319n n +>-，得9317344221368276827n <=，所以当13n ≤时，()()1f n f n +>，令0.31730.317319n n +<-，得4422136827n >，所以当14n ≥时，()()1f n f n +<，所以当14n =时，()f n 最大，即使()10P ξ=最大的n 的值为14．18．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据切线长定理可得12,AF AC AF AD ==，可得1224AF AF a +==，2AD AC c -==，从而可求解.（2）根据题意设出直线()()12:2,:2PA y k x PB y k x =+=-，分别与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系从而可求解.【详解】（1）设椭圆Γ的标准方程为()222210,0x y a b a b+=>>，由切线长定理知12,AF AC AF AD ==，则1224AF AF AC AD a +=+==，解得2a =.由2AD AC c -==，解得1c b ==.所以椭圆Γ的标准方程为22 1.4x y +=（2）设()()()()001122,,,,,,4,P x y M x y N x y T t ,已知()()2,0,2,0A B -，设()()12:2,:2PA y k x PB y k x =+=-，联立方程组()221142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222211114161640k x k x k +++-=，显然()()422111Δ256641641160k k k =--+=>，由21121164214k x k --=+，可得211212814k x k -=+，21111221128421414k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，联立方程组()222142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()222222214161640k x k x k +-+-=，显然()()422222Δ256641641160k k k =--+=>，由22222164214k x k -=+，可得222222814k x k -=-+，22222222228421414k k y k k k ⎛⎫--=--= ⎪++⎝⎭，同理2222222824,.1414k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭因为M ，N 是切点，且()4,T t ，所以直线MN 的方程为414xty +=，即1x ty +=，显然直线MN 过定点()1,0D ，即M ，D ，N 三点共线，则122212221222124414142882111414k k k k k k k k -++=----++，解得213k k =或1241k k =-（舍去），联立方程组()()01002022y k x y k x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解得()1202124k k x k k +==-，即点P 在直线4x =上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19．(1)1,1a b =-=(2)证明见解析【分析】（1）求导得()()ln x af x x b x b+=+++'，结合()1ln2f '=，()10f =可列出方程组求解；（2）由题意得10201x x x <<<<，构造函数证明不等式()()()1ln 11ln 2x x x -+≥-⋅，当且仅当1x =时，等号成立；()()1ln 1x x x -+≥-，当且仅当0x =时，等号成立；从而可分别得到2211eln2x x '=+>，111ex x =-'<，由此即可得证.【详解】（1）因为()()ln x a f x x b x b +=+++'，所以()()11ln 1ln21af b b+=++=+'，由题意知()10f =，所以()()()11ln 10f a b =++=，联立方程组()()()1ln 101ln 1ln21a b a b b⎧++=⎪⎨+++=⎪+⎩，解得1,1a b =-=.（2）由（1）可知()()()1ln 1,1f x x x x =-+>-，()()00,10f f ==，()()21ln 11f x x x =-+++'，设()()f x u x '=，()()221011u x x x '=+>++，所以()u x 即()f x '在()1,-+∞上单调递增.又()()010,1ln 20f f ''=-<=>，所以存在()00,1x ∈，使得()00f x '=，故()f x 在()01,x -上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，设()()1ln 2h x x =-⋅，令()()()()()()1ln 11ln 2F x f x h x x x x =-=-+--⋅，则()()()12ln 1ln2ln 11ln211x F x x x x x -=++'-=+-+-++，因为()f x '在()1,-+∞上单调递增，所以()F x '在()1,-+∞上单调递增.又()10F '=，所以当11x -<<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>.所以()F x 在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增.故()()10F x F ≥=，即()()()1ln 11ln 2x x x -+≥-⋅，当且仅当1x =时，等号成立.因为方程()1ef x =有两个实数根12,x x ，且12x x <，也就是()()()()211100ef x f x f f ==>==，且注意到()f x 在()1,+∞上单调递增，所以10201x x x <<<<，所以()()()2221ln 11ln2x x x -+>-，即()()22f x h x >.设()1e h x =的根为：2x '，则211eln2x ='+，又()h x 在()1,-+∞上单调递增，所以()()()222h x f x h x '=>，故22x x '>①.易知()f x 的图象在坐标原点处的切线方程为()g x x =-，令()()()()()1ln 1T x f x g x x x x =-=-++，则()()()22ln 12ln 111x T x x x x x ='++=-++++，因为()f x '在()1,-+∞上单调递增，所以()T x '在()1,-+∞上单调递增.又()00T '=，所以当10x -<<时，()0T x '<，当0x >时，()0T x '>，所以()T x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.所以()()00T x T ≥=，()()1ln 1x x x -+≥-，当且仅当0x =时，等号成立.因为10x <，所以()()1211ln 1x x x -+>-，即()()11f x g x >.设()1e g x =的根为1x '，则11ex '=-，又()g x 在()1,-+∞上单调递减，所以()()()111g x f x g x '=>，所以11x x '<，从而11x x '->-②.由①②可知：2121111eln2ex x x x ''-<-=++.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是构造适当的函数分别得到分别得到2211eln2x x '=+>，111ex x =-'<，由此即可顺利得解.。
2022届河南省大联考高三下学期4月第三次模拟考试数学(理)试题(word版)
河南省大联考2022届高三下学期4月第三次模拟考试数学（理科）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设m ∈R ，若112i z =-+与2i z m m =+的虚部相等，则12z z ⋅=（ ）A ．6i --B ．22i +C ．3i -D ．62i -+2．已知a ，b ，c 均为非零向量，且2a b =，3b c =-，则（ ）A ．a 与c 垂直B ．b 与c 同向C ．a 与c 反向D ．a 与b 反向 3．已知集合{}24A x x =≤，{}42x B y y ==-，则A B ⋂=（ ） A ．∅ B ．[]2,2- C ．[)0,2 D ．[)2,2- 4．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ）A ．这五个社团的总人数为100B ．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25%C ．这五个社团总人数占该校学生人数的8%D ．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%5．如图，一个底面边长为233πcm 的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm 的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm ．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）A 217cm πB ．24cm πC ．232cm πD ．223cm π6．在等比数列{}1n a +中，28a =，326a =，则5a =（ ）A ．80B ．242C ．21978D ．2447．若lg 0.2a =，3log 2b =，6log 4c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a b c >> 8．若直线12x π=是曲线()sin 04y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数sin 4y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，则ω的最小值为（ ）A ．9B ．15C ．21D ．339．已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,+∞上单调递减，则不等式()250x f -<的解集为（ ）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞ 10．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且4os 5c BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（ ）A 5B 10C 14D 511．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段11B D 上的动点，现有下面四个命题：①直线DE 与直线AC 所成角为定值；②点E 到直线AB 的距离为定值；③三棱锥1E A BD -的体积为定值；④三棱锥1E A BD -外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．①③④12．若过点()1,P λ最多可作出()*n n ∈N 条直线与函数()()1x f x x e =-的图象相切，则下列结论中错误的是（ ）A ．3n λ+<B ．当2n =时，λ的值不唯一C ．n λ可能等于4-D ．当1n =时，λ的取值范围是{}4,0e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若()3tan 2αβ-=，tan 2β=，则tan α=______． 14．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()2,P m 为C 上一点，若3PF =，则m =______．15．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物儿何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为______．16．设661.94 2.06a =+，若(),1a n n ∈+，则整数n 的值为______．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距200km ．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，飞机沿与原来的飞行方向成θ角的方向飞行，飞行到C 地，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行2到达终点．（1）求A ，C 两地之间的距离；（2）求tan θ．18．（12分）某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有A ，B 两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从A ，B 两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后．无论结果如何，竞赛都结束．A ，B 两类知识挑战成功分别可获得2万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000元激励奖金．已知甲同学成功晋级决赛．他对A ，B 两类知识的挑战成功率分别为0.6，0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关．（1）若记X 为甲同学优先挑战A 类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出X 的分布列；（2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由．19．（12分）如图，点A ，B ，C 分别为圆柱下底面圆周上的三个等分点，1AA ，1BB ，1CC 分别为圆柱的三条母线，点E ，F 分别为母线1BB ，1CC 上的点，且1224AA BE AB CF ===，点M 是AE 的中点．（1）证明：BM ⊥平面AEF ．（2）求平面AEF 与平面11BA C 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知函数()ln a f x x x x=+-． （1）讨论()f x 极值点的个数．（2）证明：()22xa x x e f x x --+>． 21．（12分） 已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，且四边形1122A F A F 是面积为8的正方形．（1）求C 的标准方程；（2）M ，N 为C 上且在y 轴右侧的两点，12MF NF ∥，2MF 与1NF 的交点为P ，试问12PF PF +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中．曲线C 的方程为24y x =-O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若A 是曲线C 上一动点，B 是线段()322y x x =--≤≤上一动点，且直线AB 与x 轴垂直．求AB 的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()14f x x m x m=-++． （1）当1m =时，求不等式()7f x >的解集．（2）证明：当1m >时，()218f x m m+≥-．河南省大联考2022届高三下学期4月第三次模拟考试数学参考答案（理科）1．D2．C3．C4．D5．A6．B7．A8．C9．D10．B11．A12．B13．74- 14．22±15．2041016．12917．解：（1）由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅(222002220024523200=+-⨯⨯︒=，所以2058AC =．（2）（方法一）由正弦定理得sin sin BC AC A B =， 则sin sin sin 58BC B A AC θ⋅=== 因为BC AC <，所以A 为锐角， 所以cos cos 58A θ== 故sin 3tan cos 7θθθ==． （方法二）由余弦定理得222cos 258AB AC BC A AB AC +-==⋅则sin sin 58A θ==，故sin 3tan cos 7θθθ==．18．解：（1）由题意可知，X 可取的值为2000，20000，70000，()200010.60.4P X ==-=，()()200000.610.40.36P X ==⨯-=，()700000.60.40.24P X ==⨯=．故X 的分布列为 X2000 20000 70000 P 0.4 0.36 0.24（2）记Y 为甲同学优先挑战B 类知识所获奖金的累计总额，甲同学优先挑战A 类知识所获奖金的累计总额的期望为()E X ，优先挑战B 类知识所获奖金的累计总额的期望为()E Y ，由题意可知，Y 可取的值为2000，50000，70000，()200010.40.6P Y ==-=，()()500000.410.60.16P Y ==⨯-=，()700000.40.60.24P Y ==⨯=．()0.420000.36200000.247000024800E X =⨯+⨯+⨯=（元），()0.620000.16500000.247000026000E Y =⨯+⨯+⨯=（元），因为()()E X E Y <，所以为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战B 类知识．19．（1）证明：如图1，记AB 的中点为N ，连接MN ，CN ．因为点M 是AE 的中点，所以MN FC ∥，且12MN EB FC ==， 所以四边形CFMN 为平行四边形，则FM CN ∥．因为MN ⊥平面ABC ，所以MN ⊥CN ，又CN ⊥AB ，且AB MN N ⋂=，所以CN ⊥平面ABE ，CN ⊥BM ．即MF ⊥BM ，因为AE MF M ⋂=，所以BM ⊥平面AEF ．（2）解：如图2，记AC ，11A C 的中点分别为D ，1D ，连接1DD ，BD ，则11DD AA ∥，1DD ⊥平面ABC ，BD ⊥AC ，以D 为原点，以DA 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示。
河南省普通高中高三4月教学质量监测理数试题 Word版含答案
河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|2730A x x x =-+<，{}|lg 1B x Z x =∈<，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复z 的共轭复数为z ，若()3122z z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知命题():1,p x ∀∈+∞，2168x x +>则命题p 的否定为（ ）A ．():1,p x ⌝∀∈+∞，2168x x +≤B ．():1,p x ⌝∀∈+∞，2168x x +<C ．()0:1,p x ⌝∃∈+∞，200168x x +≤D ．()0:1,p x ⌝∃∈+∞，200168x x +< 4. ()()623221x x x ---的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．600 B ．360 C. 600- D ．360-5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的近线方程为（ ）A ．y x =±B ．2y x =± C. 3y x =± D ．4y x =±6.已知边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ∠=，若()01AP AC λλ=<<，则BP PD ⋅的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]2,3 C. (]0,3 D ．(]2,37.已知11sin cos ϕϕ+=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2tan 21x x dx ϕ--⎰=（ ） A ．13 B ．13- C. 23 D ．23-8.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为（ ）A ．4B ．5 C.7 D ．119.某颜料公司生产,A B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为（ ） A ．14000元 B ．16000元 C.16000元 D.20000元10.已知函数()()22,201,02x x x f x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，则方程()51x f x -=⎡⎤⎣⎦在[]2,2-上的根的个数为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．611.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．．16 C. ．3212.已知ABC ∆的外接圆的半径为R ，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若32sin cos sin 2a B C c C R+=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．25 B ．45 C. D ．125第Ⅱ卷（共90分）二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知函数()()sin 0,0,||2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，其中()2,3A （点A 为图像的一个最高点）5,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()f x = ．14折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也是正方形，连接,EB CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ．15.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过点M 的直线l 与抛物线C的交点为,P Q 延长PF 交抛物线C 于点A ，延长QF 交抛物线C 于点B ，若22PF QF AFBF+=，则直线l 的方程为 ． 16.若[)1,x ∈+∞时，关于x 的不等式()ln 11x xx x λ≤-+恒成立，则实数λ的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28a =，112n n a S n -=--. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列123n n n a a +⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：经过进一步的统计分析，发现Y 与X 具有线性相关关系.（1）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该分店此次抽奖活动自开业始，持续10天，参加抽奖的每位顾客抽到一等奖（价值200元奖品）的概率为17，抽到二等奖（价值100元奖品）的概率为27，抽到三等奖（价值10元奖品）的概率为47，试估计该分店在此次抽奖活动结束时送出多少元奖品？ 参考公式：1221ˆni ii n i i x ynx ybx nx---=-∑∑，ˆˆay bx =- 19. 如图所示的空间几何体中，底面四边形ABCD 为正方形，AF AB ⊥，//AF BE ，平面ABEF ⊥平面ABCD，DF =CE =，2BC =.（1）求二面角F DE C --的大小；（2）若在平面DEF 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，试通过计算说明点P 的位置. 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F，点1,⎛ ⎝⎭是椭圆C 上的点，离心率为e . （1）求椭圆C 的方程；（2）点()()000,0A x y y ≠在椭圆上C 上，若点N 与点A 关于原点对称，连接2AF ，并延长与椭圆C 的另一个交点为M ，连接MN ，求△AMN 面积的最大值. 21. 已知函数()F x 与()ln f x x =的图象关于直线y x =对称.（1）不等式()1xf x ax ≥-对任意()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的最大值；（2）设()()1f x F x =在()1,+∞内的实根为0x ，()()()00,1,xf x x x m x xx x F x ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若在区间()1,+∞上存在()()()1212m x m x x x =<，证明：1202x x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.22.选修4-4：参数方程与极坐标系已知直线l的参数方程为12tx y +⎧⎪=⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos 0p θθ-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的极坐标方程； （2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标()0,02p θπ≥≤<. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()31f x x x =++-的最小值为m ，且()f a m =. （1）求m 的值以及实数a 的取值集合；（2）若实数,,p q r 满足2222p q r m ++=，证明()2q p r +≤.试卷答案一、选择题1.B 【解析】依题意，{}()(){}21|2730|2130|32A x x x x x x x x ⎧⎫=-+<=--<=<<⎨⎬⎩⎭，{}|lg 1B x Z x =∈<{}{}|0101,2,3,4,5,6,7,8,9x Z x =∈<<=，阴影部分表示集合A B ，故{}1,2AB =.2.A 【解析】依题意，设(),z a bi a b R =+∈，则3222z z a bi +=+，故21a bi +==+，故12a =，b =则在复平面内，复数z所对应的点为12⎛ ⎝，位于第一象限.3.C 【解析】全命题的否定为特称命题，故其否定为()0:1,p x ⌝∃∈+∞，30168x x +≤. 4.C 【解析】依题意，由排列组合知识可知，展开式中3x 项的系数为()()34332266321221600C C ⨯--⨯-=-.5.A 【解析】设(),0F c -，依题意，联立,,a b y x a ==-⎪⎩解得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故20ab b c a a c c-=-+，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±.6.D 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，故()B，)D ，()()0,11P m m -<<，故()3,m BP =，()3,m PD =-，故23BP PD m ∙=-，故(]2,3BP PD ∙∈.7.D【解析】依题意，11sin cos cos 2sin cos 4πϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫+=⇒+=⇒+= ⎪⎝⎭，因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4πϕ=，故()()322211tan 12221133x x x dx x x dx x ϕ-⎛⎫-=-=-=⎪--⎝⎭⎰⎰. 8.A 【解析】起始阶段有23m a =-，1i =，第一次循环后，()223349m a a =--=-，2i =；第二次循环后，()2493821m a a =--=-，3i =；第三次循环后，()282131645m a a =--=-，4i =；接着计算()2164533293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-.令329335a -=，得4a =.9.A 【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产A 产品x 吨、B 产品y 吨，所获利润为z 元，依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,25200,0,0,x y x x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩欲求目标函数()30020010032z x y x y =+=+的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点()40,0A ，()40,10B ，50100,33C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,40D ，作直线320x y +=，当移动该直线过点()40,10B 时，32x y +取得最大值，则300200z x y =+也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故max 300402001014000z =⨯+⨯=.所以工厂每天生产A 产品40吨，B 产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.10.D 【解析】因为()51x f x -=⎡⎤⎣⎦，故()15f x x =-；在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =，15y x =-，的图象如图所示，观察可知，两个函数的图象在[]2,2-上有6个交点，故方程()51x f x -=⎡⎤⎣⎦在[]2,2-上有6个根.11.B 【解析】由三视图可知，该几何体所表示的几何图形为三棱锥A BCD -，作出该几何体的直观图如图所示，取AC 的中点E ，连接BE ；可以证明BE ⊥平面ACD ，故三棱锥A BCD -的体积(2111633ACDV BE S=∙∙=⨯=.12.C 【解析】依题意，32sin cos sin 2a B C c C R +=，故23cos 42ab C c +=，故22223422a b c ab c ab +-∙+=，整理得22228a b c ++=，结合余弦定理可知2832cos c ab C-=①；记△ABC 的面积为S ，则42sin S ab C =②，将①②平方相加可得()()()22222222228316482c S a b a b c ++=≤+=-，故()222264161655S c c ≤-≤，即245S ≤，S 285c =时等号成立. 二、填空题13. 3sin 36x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】依题意，3M =，3592422T =+=，故6T =，故23T ππω==，将点()2,3A 代入可得()2232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，故()26k k Z πϕπ=-+∈，故()3sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.14.13【解析】设2AB =，则1BG =，AG =AEFGHID 的面积1222122S +⨯⨯=；阴影部分为两个对称的三角形，其中90EAB GAB ∠=-∠，故阴影部分的面积12sin 2S AE AB EAB =⨯∙∙∠112cos 2422AE AB GAB =⨯∙∙∠=⨯=，故所求概率13P =.15. )2y x =+【解析】设直线:2l x my '=-，联立28,2,y x x my ⎧=⎨=-⎩故28160y my -+=，26464m ∆=-0>，21m >，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则128y y m +=，1216y y =，由抛物线的对称性可知，PF QF AFBF+212214222y y m y y =+=-=，解得26m =，故m =l '的方程为)2y x =+. 16. 1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【解析】()()2ln 1ln 101x x x x x x x λλ≤-⇒--≤+；设函数()()2ln 1H x x x x λ=--，从而对任意[)1,x ∈+∞，不等式()()01H x H ≤=恒成立，又()ln 12H x x x λ'=+-，①当()ln 120H x x x λ'=+-≤，即ln 2x x x λ≤恒成立时，函数()H x 单调递减，设()ln 1x r x x+=，则()2ln 0x r x x -'=≤，所以()()max11r x r ==，即1122λλ≤⇒≥，符合题意；②当0λ≤时，()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增.于是，不等式()()10H x H ≥=对任意[)1,x ∈+∞恒成立，不符合题意；③当102λ<<时，设()()q x H x '== ln 12x x λ+-，则()112012q x x x λλ'=-=⇒=>，当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()120q x x λ'=->，此时()()q x H x '==ln 12x x λ+-单调递增，所以()()ln 121120H x x x H λλ''=+->=->，故当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()H x 单调递增.于是当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x >成立，不符合题意；综上所述，实数λ的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.三、解答题17.【解析】（Ⅰ）因为112n n a S n +=--，故当1n =时，211122aa =--=； 当2n ≥时，1222n n S a n +=--，()12212n n S a n -=---两式对减可得132n n a a +=+； 经检验，当1n =时也满足132n n a a +=+；故()()1131n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，故13n n a +=， 即31n n a =- .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()()11123231131313131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----， 故12231111111111313131313131231n n n n T ++=-+-+⋅⋅⋅+-=--------. 18.【解析】（Ⅰ）依题意：()1123456747x =++++++=， ()158810141517117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，71722173647411ˆ21407167i ii i i x yx ybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx =-=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+. （Ⅱ）参加抽奖的每位顾客获得奖品金额为X ，X 的分布列为124440200100107777EX =⨯+⨯+⨯=（元）. 由y 关于x 的回归直线方程ˆ23yx =+，预测8x =时，ˆ19y =，9x =时，ˆ21y =，10x =时，ˆ23y =，则此次活动参加抽奖的人数约为58810141517192123140+++++++++=人. 44014088007⨯=（元） 所以估计该分店为此次抽奖活动应准备8800元奖品.19.【解析】（Ⅰ）因为AF AB ⊥,平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥.因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以AD 、AB 、AF 两两垂直，以A 为原点，AD 、AB 、AF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）.由勾股定理可知1AF =，2BE =，所以()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()2,0,0D ，()0,2,2E ，()0,0,1F ，所以()2,2,0AC =，()0,2,0CD =-，()2,0,2CE =-.设平面CDE 的一个法向量为(),,m x y z =， 由0,0,n CD n CE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得20,220,y x z -=⎧⎨-+=⎩，即0,0,y x z =⎧⎨-=⎩取1x =，得()1,0,1n =；同理可得平面DEF 的一个法向量()1,1,2m =-，故cos ,m n m n m n ∙==，因为二面角F DE C --为钝角， 故二面角F DE C --的大小为56x .（Ⅱ）设DP DE DF λμ=+，因为()2,2,2DE =-，()2,0,1DF =-，又()2,2,0,BD =-，()()()2,2,22,0,22,2,2DP DE DF λμλλλμμλμλλμ=+=-+-=--+， 所以()222,22,2BP BD DP λμλλμ=+=---+，∵0,0,BP DF BP DE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩∴()()()()222220,2222222220,λμλμλμλλμ⎧---++=⎪⎨---+-++=⎪⎩解得0,2,3μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩即23DP DE =.所以P 是线段DE 上靠近E 的三等分点. 20.【解析】（Ⅰ）依题意，221112a b+=，c a =222a b c =+，解得a 1b c ==， 故椭圆C 的方程为2212x y +=，（Ⅱ）①当直线AM的斜率不存在时，不妨取A ⎛ ⎝⎭，1,M ⎛ ⎝⎭，1,N ⎛- ⎝⎭，故122AMNS=⨯= ②当直线AM 的斜率存在时，设直线AM 的方程为()1y k x =-，0k ≠， 联立方程()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得()2222214220k x k x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,M x y ,则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -∙=+，AM =， 点O 到直线AM的距离d ==因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM 的距离为2d =2211122221AMNk SAM d k ⎛⎫+∴=∙=∙= ⎪+⎝⎭，综上，AMN ∆21.【解析】（Ⅰ）由()1xf x ax ≥-，所以1ln a x x≤+， 设()1ln g x x x =+，∴()22111x g x x x x-'=-=. 由()0g x '>，∴1x >，()g x 在()1,+∞上单调递增；()0g x '<，∴01x <<，()g x 在()0,1上单调递减，所以()()min 11g x g ==，则1a ≤， 所以实数a 的最大值为1.（Ⅱ）设(),y x 为函数()F x 图象上任意一点，则点(),y x 为函数()f x 图象上的点，所以()x F x e =，所以001ln x x e =， 当01x x <<时，()ln m x x x =，()1ln 0m x x '=+>，因而()m x 在()01,x 上单调递增； 当0x x >时，()x x m x e =，()10xxm x e-'=<，因而()m x 在()0,x +∞上单调递减； 又()()12m x m x =，12x x <，则()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞， 显然当2x →+∞时，1202x x x +>. 要证：1202x x x +>，即证20102x x x x >->，而()m x 在()0,x +∞上单调递减， 故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =，即证()()1012m x m x x <-， 即01011122ln x x x x x x e --<， 记()0022ln x xx xh x x x e --=-，01x x <<，其中()00h x =. ()0000022212211ln 1ln x x x x x xx x x x h x x x e e e---+--'=++=++-. 记()tt t e ϕ=，()1t t t e ϕ-'=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'>；()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'<， 故()max 1t eϕ=，而()0t ϕ>，故()10t e ϕ<≤，而020x x ->，从而002210x x x x e e ---≤-<，因此当()00000222122111ln 1ln 10x x x x x xx x x x h x x x e e e e ---+--'=++=++->->，即()h x 单调递增.从而当01x x <<时，()()00h x h x <=即0101122ln x x x x x x e --<，故1202x x x +>得证.22.【解析】（Ⅰ）依题意，22sin 3cos p p θθ=，故23y x =；因为12x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩20y --，cos 2sin 0p θθ--=.（Ⅱ）联立2sin 3cos 0cos 2sin 0p p θθθθ⎧-=⎪--=，化简得：2cos cos330sin sin θθθθ⎛⎫⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎭，则c o s s i n θθ或cos sin θθ=，即ta n θ=或tan θ=，又因为0p ≥，02θπ≤<则6πθ=或53θπ=，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭和52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭.23.【解析】（Ⅰ）依题意，()31314f x x x x x =++-≥+-+=，故m 的值为4； 当且仅当()()310x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，则a 的取值集合为[]3,1-. （Ⅱ）因为2222p q r m ++=，故()()22224p q q r +++=； 因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立； 因为222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立；故()()2222422p q q r pq qr +++=≥+，故()2q p r +≤（当且仅当p q r ==时等号成立）.。