初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2(附答案详解)
AB AC AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．请
计算黄金比．
22．已知 x y z ，且 2x+3y﹣z＝18，求 4x+y﹣3z 的值． 234
23．阅读理解：
如图①，点 C 将线段 AB 分成两部分，若 AC = BC ，则点 C 为线段 AB 的黄金分割点． AB AC
A． 2cm,3cm, 4cm,6cm
B． 2cm, 4cm,6cm,8cm
C． 3cm, 4cm,5cm,6cm
D． 4cm,6cm,6cm,8cm
9．有以下命题：
①如果线段 d 是线段 a，b，c 的第四比例项，则有 a c ； bd
②如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB．BC 的比例中项；
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习 2（附答案详解）
1．已知线段 a 2cm ， b 8cm ，它们的比例中项 c 是（ ）
A． 4cm
B． 4cm
C．16cm
D． 16cm
2．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、2、3
B．1、2、3、4
C．1、2、2、4 D．3、5、9、13
1: 12600000 的中国地图上测得，两张的图上距离大约为10.5cm，则两地的实际距离 大约是__________ km
12．已知线段 a=2，b=8，则 a，b 的比例中项线段长等于________． 13．已知线段 AB=2cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2=BC·AB，则 AC 的长___________cm． 14．在比例尺为 1：50000 的地图上，量得甲、乙两地的距离为 12 厘米，则甲、乙两地 的实际距离是______千米．
某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：
直线
l
将一个面积为
S
的图形分成两部分，这两部分的面积分别为
S1，S2，如果
S1 S
=
S2 S1
，
那么称直线 l 为该图形的黄金分割线．
问题解决：
如图②，在△ ABC 中，已知 D 是 AB 的黄金分割点．
(1)研究小组猜想：直线 CD 是△ ABC 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 5 1 叫做黄金比，分别进行计算即 2
可．
【详解】
点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，
∴较长的线段的长度为 5 1 ，则较短的线段的长度为：1- 5 1 = 3 5 ；
2
2
2
故选 C．
【点睛】
此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 3 5 ，较长的线段= 2
ab
2k 3k
故选 D.
【点睛】
本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．A
【解析】
【分析】
根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可．
【详解】
A、因为 2：4=3：6，则 2cm,3cm, 4cm, 6cm 是比例线段，所以 A 选项正确；
B、因为 2：6≠4：8，则 2cm, 4cm, 6cm,8cm 不是比例线段，所以 B 选项错误；
（1）请用尺规作图法，在△ ABC 内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE 交 AC 于点 E； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AD =2，AC=6，求 AE 的值．
DB
25．如图，点 D 、 E 分别在 ABC 的边 AB 、 AC 上， DE∥BC . （1）若 SADE 2 ， SBCE 7.5 ，求 SBDE ；
A． 5 1 2
B．3 - 5
C． 3 5 2
D． 5 -2
6．已知线段 a=2，b=8，线段 c 是线段 a、b 的比例中项，则 c=（ ）
A．2
B．±4
7．若 a b ，则 3a 2b 的值是（
23
ab
A． 7 5
B． 2 3
8．以下四组线段，成比例的是（
C．4
）
C． 12 5
）
D．8 D．0
【解析】
【分析】
根据成比例的线段、黄金分割的定义，结合各项进行判断即可．
【详解】
①如果线段 d 是线段 a，b，c 的第四比例项，则有 a c ，说法正确； bd
②如果点 C 是线段 AB 的中点， AB ≠ AC ，故 AC 不是 AB．BC 的比例中项，说法错误； AC BC
③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项，说 法正确；
4．C
【解析】 分析： 根据成比例线段的定义进行分析判断即可. 详解： A 选项中，因为 1：1 2：3，所以 A 中的四条线段不是成比例线段； B 选项中，因为 1：2 3：4，所以 B 中的四条线段不是成比例线段； C 选项中，因为 2：2=3：3，所以 C 中的四条线段是成比例线段； D 选项中，因为 2：3 3：4，所以 D 中的四条线段不是成比例线段. 故选 C. 点睛：熟记成比例线段的定义：“若四条线段 a、b、c、d 满足 a：b=c：d，我们就说线段 a、 b、c、d 是成比例线段”是解答本题的关键. 5．C 【解析】 【分析】 根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比
即 c2=ab，则 c2=2×8，
解得 c=±4，（线段是正数，负值舍去）．
故选：A．
【点睛】
此题考查比例线段，解题关键在于理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
2．C
【解析】试题解析：A、1×3≠2×2，故选项错误；
B、1×4≠2×3，故选项错误；
C、1×4=2×2，故选项正确；
D、3×13≠5×9，故选项错误．
④如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC＞BC，且 AB=2，则 AC= 5 1 ×2= 5 -1，说 2
法正确； 综上可得：①③④正确，共 3 个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了成比例的线段，以及黄金分割的知识，解答本题的关键是掌握黄金分割的定义，
注意黄金分割分得的较长边的长= 5 1 ×原线段长度． 2
10．A
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义得到 BP1
5 2
1
，则
AP1
3
2
5
，同理得到 AP2
(3 2
5 )2 ，
金分割点( AP2 P1P2 ),点 P3 是线段 AP2 的黄金分割点( AP3 P2P3 ),..,依此类推,则线段
AP2020 的长度是（
）
A． (3 5 )2020 2
B． ( 5 1)2020 2
C． ( 1)2020 2
D． ( 5 2)1010
11．爱好骑行的小明想知道从淮北到首都北京的距离大约是多少，因此他从一张比例尺
（2）若 SBDE m ， SBCE n ，求 SABC .（用 m ， n 表示）
26．已知三条线段的长度分别是 3、4、6，试写出另一条线段，使这四条线段成为比例 线段.
27．如图（1），四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，若 AOB 的面积为 S1 ， BOC 的面积为 S2 ，△COD 的面积为 S3 ， △AOD 的面积为 S4 ，求证：
3．如果 a：b＝3：2，且 b 是 a、c 的比例中项，那么 b：c 等于（ ）
A．4：3
B．3：4
C．2：3
D．3：2
4．下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3
B．1，2，3，4
C．2，2，3，3
D．2，3，4，5
5．点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ）
S1S3 S2S4 ； （2）如图（2），四边形 ABCD 是梯形，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，△DOC 的面 积为 4， AOB 的面积为 9，求梯形 ABCD 的面积．
28．如图（1）， AB 、 CD 是两条线段， M 是 AB 的中点， S△DMC ， S△DAC 、 S△DBC
30．如图，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，以 AP 为边的正方形面积为 S1 ，以 AB 、PB 为两邻边的矩形的面积为 S2 ．试比较 S1 与 S2 的大小．
1．A
参考答案
【解析】
【分析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【详解】
根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
C、因为 4：6≠3：5，则 3cm, 4cm,5cm, 6cm 不是比例线段，所以 C 选项错误；
D、因为 4：6≠6：8，则 4cm, 6cm, 6cm,8cm 不是比例线段，所以 D 选项错误．
故选 A． 【点睛】 本题考查了比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度 比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即 ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线 段，简称比例线段． 9．C
18．如果四条线段 m，n，x，y 成比例，若 m=2 ，n=8 ，y=4．则线段 x 的长是__________． 19．已知线段 AB 的长为 2cm，点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP＞BP），那么线段 PB 的长等于_____（结果保留根号）．
4.1 成比例线段(练习)(解析版)
第四章 图形的相似4.1 成比例线段精选练习一、单选题1．（2022·山东淄博·八年级期末）如果线段3a =，2b =，且b 是线段a 和c 的比例中项，那么c =（ ）A ．23B ．32C ．34D ．432．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校九年级阶段练习）若y ﹣2x ＝0，则x ：y 等于（ ）A ．1：2B ．1：4C ．2：1D ．4：13．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知35ab=，则a bb a+-的值为（ ）A．2B．52C．4D．454．（2022·全国·九年级专题练习）已知67xy=，则下列结论一定成立的是（ ）A．x＝6，y＝7B．137x yy+=C．y﹣x＝1D．76x y=5．（2021·福建东盛集团股份有限公司九年级期中）下列各组线段中，不成比例的是（ ）A．30cm,20cm,90cm,60cm B．4cm,6cm,8cm,10cmC ．11cm,22cm,33cm,66cmD ．2cm,4cm,4cm,8cm 【答案】B 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例；不相等即不成比例．【详解】A 、从小到大排列，由于20×90＝30×60，所以成比例，不符合题意;B 、从小到大排列，由于4×10≠6×8，所以不成比例，符合题意;C 、从小到大排列，由于22×33=11×66，所以成比例，不符合题意;D 、从小到大排列，由于4×4=2×8，所以成比例，不符合题意.故选 B ．【点睛】本题考查应用比例的基本性质判断成比例线段．将所给的四条线段长度按大小顺序排列，若最长和最短两条线段之积与另两条线段之积相等，则说明四条线段成比例．6．（2021·安徽亳州·九年级阶段练习）若2a c b d ==-，则a c b d --＝（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12二、填空题7．（2021·福建·漳州三中九年级期中）若275x y z ==，则x y z x -+=__．8．（2021·山东济南·九年级期中）若23yx=，则x yx+=____．【答案】53##2139．（2022·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级期中）已知a＝1，b＝4，则a，b的比例中项c的值为________．【答案】±2【分析】根据比例中项的概念得到2c ab=，再根据平方根的定义求得c即可．【详解】解：∵c为a、b的比例中项，∴2c ab=，∵a＝1，b＝4，∴24c ab==，解得：c=±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查比例中项的概念、平方根的求法，熟练掌握比例中项的概念得到2c ab=是解答的关键，注意正数的平方根有两个，且互为相反数．10．（2022·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．【答案】1.2【分析】设被称物的重量为a，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，2.531a=´，解得 1.2a=，故答案为：1.2．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．三、解答题11．（2022·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如果a c ekb d f===（b+d+f≠0），且a+c+e＝5（b+d+f）．求k的值．12．（2022·全国·九年级专题练习）已知a：b＝3：2，求：(1)a b b +(2)27 4a bb-13．（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求y xy-的值．一、填空题1．（2022·湖南·岳阳市第十九中学九年级期末）若34a c e b d f ===，则2323a c e b d f -+=-+______．2．（2022·江西景德镇·九年级期末）已知234a b c ==¹，且4a b c +-=，则=a ______．3．若3是x 和4的比例中项，则x 的值为___________4．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数a ，b ，c 满足123234a b c ---==，设23S a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则n m 的值为 __．【答案】1116+##0.6875二、解答题5．（2022·全国·九年级专题练习）已知3a b +＝4b c +＝5c a +，求a b c c a b ---+的值．6．（2022·全国·九年级专题练习）已知2222a b c d b c d a c d a b d a b c ===++++++++=k ，求k 2-3k-4的值．【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．7．（2022·全国·九年级专题练习）已知线段a 、b 满足a ：b ＝3：2，且a ＋2b ＝28（1）求a 、b 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．8．（2022·全国·九年级专题练习）（1）若x y =115，求代数式2x y y -的值；（2）已知2a =3b =5c ≠0，求代数式23a b c a b c -+-+的值．。
北师大版八年级数学下册第四章相似图形成比例线段第1课时比例线段同步练习及答案
成比例线段——典型题专项训练知识点 1 线段的比1．下列说法中正确的有( )①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；③两条线段的比值是一个数量，不带单位；④两条线段的比有顺序，ab与ba不同，它们互为倒数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB之比为( )A．3∶4 B．2∶3C．3∶5 D．1∶2知识点 2 成比例线段3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A．1，2，3，4 B．1，2，2，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，34．教材随堂练习第3题变式题若线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，b＝6 cm，c ＝2 cm，则d＝__________．知识点 3 比例的基本性质5．已知x2＝y3，那么下列式子中一定成立的是( )A．2x＝3y B．3x＝2yC．x＝2y D．xy＝66．若3a＝5b，则ab＝________．7．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C．2∶3 D．1∶38．如果a＋2bb＝52，那么ab的值是( )A.12 B．2 C.15 D．59．如图4－1－1所示，已知矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.(1)求A′B′AB和B′C′BC的值；(2)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？图4－1－110．教材习题4.1第2题变式题如图4－1－2，已知ADDB＝AEEC，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，求AC的长．图4－1－211．已知三条线段的长度分别是4，8，5，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例线段．1．D.2．A .3．B 4.4 cm 5.B 6.537.C8．A9．解：(1)∵AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm，∴A′B′AB＝48＝12，B′C′BC＝612＝12.(2)由(1)知A′B′AB＝12，B′C′BC＝12，∴A′B′AB＝B′C′BC，∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．10．解：∵ADDB＝AEEC，∴6.44.8＝AE4.2，解得AE＝5.6(cm)，则AC＝AE＋EC＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．11．解：设所求的线段长度为x.当x∶4＝8∶5时，可求得x＝325；当x∶4＝5∶8时，可求得x＝208＝52；当4∶8＝5∶x时，可求得x＝404＝10.所以所求的线段长度可能为325或52或10.。
成比例线段练习题及答案
成比例线段练习题及答案一、选择题1. 若线段AB与线段CD成比例，且AB=10cm，CD=8cm，则线段AB与线段CD的比例系数为：A. 0.8B. 1.25C. 1.5D. 2.52. 在比例线段中，若a:b = c:d，且a=6cm，b=3cm，c=4cm，则d的值是：A. 2cmB. 6cmC. 8cmD. 12cm3. 若线段EF与线段GH成比例，且EF=15cm，GH=20cm，求EF:GH的比例系数：A. 0.75B. 3/4C. 4/5D. 5/4二、填空题4. 若线段XY与线段PQ的比例系数为2，且XY=4cm，则PQ的长度是______。
5. 在比例线段中，若x:y = 3:5，且x=9cm，则y的长度是______。
6. 若线段MN与线段RS的比例系数为4/3，且RS=12cm，则MN的长度是______。
三、解答题7. 已知线段AB与线段CD的比例系数为3/2，求证线段AB与线段CD的乘积等于线段AB的平方。
8. 若线段EF与线段GH的比值为4:7，线段EF的长度为16cm，求线段GH的长度。
9. 线段IJ与线段KL成比例，比例系数为5/6，若线段IJ的长度为20cm，求线段KL的长度。
四、证明题10. 已知线段MN与线段OP成比例，比例系数为k，求证线段MN与线段OP的长度之和等于线段MN的长度加上k倍的线段OP的长度。
五、应用题11. 在一个矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，若将矩形ABCD按比例放大，使得AB变为12cm，求放大后的矩形的对角线AC的长度。
12. 某工厂生产零件，原设计零件长度为10cm，现需按比例缩小至5cm，求缩小后零件的面积与原零件面积的比例。
六、综合题13. 在三角形ABC中，AB=5cm，AC=7cm，BC=6cm，若三角形DEF与三角形ABC相似，且DE=10cm，求三角形DEF的边长DF和EF。
14. 已知线段GH与线段IJ的比例系数为3，若线段GH的长度为9cm，求线段IJ的长度，并计算线段GH与线段IJ的面积比。
2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形2(附答案)
2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形2（附答案）1．如图，P 为平行四边形ABCD 边AB 上一点，E 、F 分别为PD 、PC 的三等分点（靠近P ），则阴影部分的面积与四边形CDEF 的面积比为（ ）A ．12B ．103C ．98D ．542．如图，已知////AB CD EF ，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BCDF CE=B ．BC DFCE AD= C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 3．有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( ) A ．9B ．3C ．D ．4．如图，BD 、CE 是ABC △的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ）．A ．ADE V ∽ABC △B ．DOE △∽COB △C ．BOE △∽COD △D ．BOE △∽BDE V5．如图，已知12∠∠=，若再增加一个条件不一定能使结论ADE ABC V V ∽成立，则这个条件是（ ）A ．DB ∠∠= B ．AEDC ∠∠=C ．AD AEAB AC=D ．AD DEAB BC=6．如图DE // BC ，AD :DB=2:1，那么△ADE 与△ABC 的相似比为（ ）A ．16B ．23C ．14D ．27．如图，的高AD ，BE 交于点0，连接DE ，则图中相似三角形共有（ ）A ．4对B ．6对C ．7对D ．8对8．如图，在△ABC 中，AC ＝15，BC ＝18，cos C ＝35，DE ∥BC ，DF ⊥BC ，若S △BFD ＝2S △BDE ，则CD 长为（ ）A ．7.5B ．9C ．10D ．59．已知线段a ，b ，c ，d 是比例线段，其中b 2cm =，c 3cm =，d 6cm =，则a 等于( )A ．1cmB ．4cmC ．9cmD ．36cm10．在比例尺为1：100000的地图上，相距3m 的两地，它们的实际距离为_____km ． 11．如图，直线112y x =+与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，与双曲线4y x=（0x >）相交于点P ，过P 作PC x ⊥轴于点C ，2OC =，在点P 右侧的双曲线上取一点M ，作MH x ⊥轴于H ，当以点M ，C ，H 为顶点的三角形与AOB ∆相似，则点M 的坐标是__________．12．如图，已知D 是BC 边延长线上的一点，DF 交AC 边于E 点，且AF ＝1，BC ＝3CD ，AE ＝2EC ，则FB 长为_____．13．如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么这两个三角形的相似比是______． 14．如图，在ABC V 中，AB AC ，M 为AC 边上一点．要使ABC BCM V V ∽，还需要添加一个条件，这个条件可以是________．（只需填写一个你认为适当的条件即可）15．如图，在矩形中，E 是边的延长线上一点，连接交边于点F 若AB =4，BC =6，DE =2，则AF 的长为___.16．若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为________． 17．如图，直线y ＝12x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B 的对应点B′的坐标为_____．18．如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A 、B 之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C ，使它可以直接到达A 、B 两点，连接AC ，BC ，在AC上取一点M，使AM=3MC，作MN//AB交BC于点N，测得MN=36m，则A、B两点间的距离为_____.19．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M 处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为______.20．如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．求证：CD CB CE CA⋅=⋅21．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？22．如图，AD DE AEAB BC AC==，求证：ABD ACE∠=∠.23．如图，AD 为ABC △的角平分线，BE AD ⊥的延长线于E ，CF AD ⊥于F ，BF 、EC 的延长线交于点P ，求证：CF//AP24．在ABC V 中，ACB 90∠=o ，AC BC 2==，点C 在直线m 上，m//AB ，DBE 45∠=o ，其中点D 、E 分别在直线AC 、m 上，将DBE ∠绕点B 旋转(点D 、E都不与点C 重合)．()1当点D 在边AC 上时(如图1)，设CE x =，CD y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；()2当BCE V 为等腰三角形时，求CD 的长．25．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，边BC 、CD 的垂直平分线交于四边形内部一点O ，连接BO 、DO ，已知BO ∥AD ．（1）判断四边形ABOD 的形状？并证明你的结论；（2）连接AO 并延长，交BC 于点E ，若CE ＝25，BE ＝65，∠ODC ＝45°． ①求AB 的长．②若∠BAD ＝135°，求AO•AE 的值．26．如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE ，AD 与BE 相交于点F.AEF V 与ABE △相似吗？说说你的理由.27．《九章算术》有一道这样的题，原文如下：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”大意为：今有一座长方形小城（如图），东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好有望见这棵树.请解答上述问题（注：1里=300步）.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴S △CPD ＝12S 四边形ABCD ， ∵E 、F 分别为PD 、PC 的三等分点， ∴13PE PF PD PC ==， ∵∠EPF ＝∠DPC ， ∴△PEF ∽△PDC ，∴19PEF PDC S S =n n ， ∴CDEF 89PDC S S n 四边形=，∴CDEF ABCD49S S =四边形四边形， ∴阴影部分的面积与四边形CDEF 的面积比为54， 故选：D ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题． 2．A 【解析】 【分析】已知AB ∥CD ∥EF ，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】 ∵AB ∥CD ∥EF ，DF CE故选A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．3．C【解析】【分析】先由位似图形的性质可得这两个正六边形相似；再由缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的可得相似比为1:，进而求解即可.【详解】∵这两个正六边形是位似图形，∴这两个正六边形相似.∵缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，∴相似比为1:.∵原正六边形的边长为3，∴后来正六边形的边长为=.故选C.【点睛】本题考查本题考查位似图形的应用，需掌握位似图形的性质.4．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，找出图中的全等三角形，即可得到答案.【详解】∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A∴△ADB∽△AECAE AC又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，故A正确；∵BD、CE是△ABC的高，∴∠OEB=∠ODC=90°，又∵∠EOB=∠DOC∴△BOE∽△COD，故C正确；∵△BOE∽△COD∴OE OB= OD OC又∵∠DOE=∠COB∴△DOE∽△COB，故B正确；无法判定△BOE∽△BDE，故D错误；故选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键. 5．D【解析】【分析】根据12∠=∠可得∠DAE=∠BAC，因此只要再找一组角相等或一组对应边成比例即可. 【详解】解：∵12∠=∠，∴∠DAE=∠BAC.选项A、B中，根据两角分别相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；选项C中根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；选项D中，由于∠DAE与∠BAC，不是成比例两边的夹角，所以不一定能使△ADE∽△ABC. 故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.6．B【解析】【分析】 先求出ADAB的值，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：∵AD ：DB=2：1，23∴=AD AB ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的相似比= 23AD AB = 故选：B ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键． 7．D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可. 【详解】 解：∵的高AD ，BE 交于点O ，∴.又∵，，，∴.∵，∴，∴，又∵，∴，∴，则，∴.又∵，∴.故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及其判定，解题的关键是熟练掌握这些性质. 8．C 【解析】【分析】设CD=5x ，CF=3x ，先证△AED ∽△ABC ，得到ED BC =AD AC，又由S △BFD =2S △BDE ，即12ED•DF=12×12BF•DF ，解得x=2，即可求CD=5×2=10． 【详解】设CD=5x ，CF=3x ，则AD=15-5x ，BF=18-3x ，∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， 即ED BC =AD AC ， 即18ED =15515x -， ED=18(155)15x -（1） ∵S △BFD =2S △BDE ， 即12ED•DF=12×12BF•DF ， 即ED=12（18-3x ）（2） 由（1）（2）得x=2，故CD=5×2=10． 故选：C ．【点睛】本题较复杂，涉及到三角形相似及平行线的性质，需同学们熟练掌握．9．A【解析】【分析】根据a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a ：b c =：d ，再根据比例的基本性质，求出a 的值即可．【详解】a Q 、b 、c 、d 是成比例线段，a ∴：bc =：d ，b 2cm =Q ，c 3cm =，d 6cm =，a1cm∴=；故选A．【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．10．300．【解析】【分析】首先根据地图的比例尺，求出在地图上相距3m的两地的实际距离，然后将实际距离的单位换算为km即可.【详解】3÷1100000＝300000（m），300000m＝300km；答：它们的实际距离为300km；故答案为：300．【点睛】本题考查比例尺的应用，学会换算单位也是本题的难点.11．(4,1)或(12)+【解析】【分析】先求出点A、点B的坐标，设点M的坐标为（m，n），分两种情况：当△MCH∽△BAO和△MCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，即可得出点M的坐标．【详解】解：直线y=12x+1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，令x=0得y=1，令y=0得x=-2，∴A（-2，0），B（0，1）．设点M的坐标为（m，n），∵点M在双曲线4yx=上，∴n=4m．当△MCH∽△BAO时，可得CH MH AO BO=，即221 m n -=，∴m-2=2n，即m-2=8m，∴m2-2m-8=0，解得：m1=4，m2=-2（舍去），∴n=4m=1，∴M（4，1）；当△MCH∽△ABO时，可得CH MH BO AO=，即212 m n -=整理得：2m-4=4m，∴m2-2m-2=0，解得：m1m2，∴n=，∴M（，）．综上，M（4，1）或M（）．故答案为：（4，1）或（，）．【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，一次函数图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，设出点M的坐标然后分两种情况进行讨论是解本题的关键．12．2．【解析】【分析】过C作CG∥AB交DF于G，于是得到△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，根据相似三角形的性质得CGBF＝CDBD，CGAF＝CEAE，求得BF＝4CG，AF＝2CG，即可得到结论．【详解】过C作CG∥AB交DF于G，∴△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，∴CGBF＝CDBD，CGAF＝CEAE∵BC＝3CD，∴CDBD＝14，∴CGBF＝14，∴BF＝4CG，∵AE＝2EC，∴CGAF＝12，∴AF＝2CG，∵AF＝1，∴BF＝2；故答案为：2．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质列出比例式求解.13．1：3【解析】【分析】由两个相似三角形的面积比是1：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴这两个三角形的相似比是：1：3．故答案为：1：3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握定理的应用是解此题的关键． 14．BM BC =或ABC BMC ∠∠=或A MBC ∠∠=（答案不唯一）【解析】【分析】要使△ABC ∽△BCM ，可以再添加BM ＝BC 或∠ABC ＝∠BMC 或∠A ＝∠MBC 从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定．【详解】因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ，若BM ＝BC 或∠ABC ＝∠BMC 或∠A ＝∠MBC （答案不唯一），则△ABC ∽△BCM ．故答案为BM =BC 或∠ABC =∠BMC 或∠A =∠MBC （答案不唯一）．【点睛】这是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．15．4【解析】【分析】由四边形ABCD是矩形，推出，，设，则由，可得，由此构建方程即可解决问题．【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，设，则，，∽，，，，．故答案为4.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．9：16【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个三角形的相似比为3：4，∴这两个三角形的面积比为9：16，故答案为：9：16．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．17．（﹣8，﹣3）或（4，3）．【解析】【分析】先解得点A 和点B 的坐标，再利用位似变换可得结果．【详解】解：∵直线y ＝12x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 令x=0可得y=1；令y=0可得x=-2，∴点A 和点B 的坐标分别为（-2，0）；（0，1），∵△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，13OB OA O B AO ∴==′′′ ∴O′B′=3，AO′=6，∴B′的坐标为（-8，-3）或（4，3）．故答案为：（-8，-3）或（4，3）．【点睛】本题主要考查了位似变换和一次函数图象上点的坐标特征，得出点A 和点B 的坐标是解答此题的关键．18．144m【解析】【分析】根据MN ∥AB ，可得△CMN ∽△CAB ，然后再根据相似三角形的性质可得MN CM AB AC =，再代入数进行计算即可．【详解】解：∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB ， ∴MN CM AB AC=， ∵AM=3MC ，MN=36m ，∴3614 AB，AB=144m，故答案为144m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形对应边成比例．19．4 3【解析】【分析】由勾股定理可求ME=5，BE=3，通过证明△AMG∽△BEM，可得AG=163，GM=203，即可求解．【详解】∵将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．∴ME=CE，MB=12AB=4=AM，∠D'ME=∠C=90°，在Rt△MBE中，ME2=MB2+BE2，∴ME2=16+（8-ME）2，∴ME=5，∴BE=3，∵∠D'ME=∠DAB=90°=∠B∴∠EMB+∠BEM=90°，∠EMB+∠AMD'=90°∴∠AMD'=∠BEM，且∠GAM=∠B=90°∴△AMG∽△BEM∴AM AG GM BE MB ME ＝＝∴4345AG GM＝＝，∴AG=163，GM=203∴△AMG的内切圆半径的长=423 AG AM GM+-=故答案为：4 3 .【点睛】此题考查三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG，GM的长度是本题的关键．20．证明见详解【解析】【分析】根据垂直得出∠BEC=∠ADC=90°，求出∠CBE=∠DAC，根据相似三角形的判定定理得出即可.【详解】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°，∵∠BCE=∠ACD（公共角），∴∠CBE=∠CAD，∴△CBE∽△CAD，∴CE CB CD CA=即：CD CB CE CA⋅=⋅【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．21．AB=4.5m【解析】【分析】如图，根据已知可得AB＝BE，再证明△DCM∽△DBA，然后利用相似三角形的性质得出DC BDMC AB=，设AB＝x，代入数据后解方程即可求出AB的高度．【详解】解：如图，∵∠ABE ＝90°，∠E ＝45°，∴∠E ＝∠EAB ＝∠EFD ＝45°， ∴AB ＝BE ，DE =DF =1.5，∵MC ∥AB ，∴△DCM ∽△DBA ，∴DC BD MC AB=， 设AB ＝x ，则BD ＝x ﹣1.5， ∴1 1.51.5x x -=， 解得：x ＝4.5．∴路灯A 的高度AB 为4.5m ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用和投影问题，根据已知得出AB ＝BE 、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．22．见解析【解析】【分析】由AD DE AE AB BC AC==，得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到∠DAE=∠BAC ，根据角的和差得到∠DAB=∠EAC ，推出△ADB ∽△AEC ，即可得到结论．【详解】证明:∵AD DE AE AB BC AC==， ∴ADE ABC ∆∆∽.∴DAE BAC ∠=∠.∴DAB EAC ∠=∠. ∵AD AE AB AC=， ∴ADBC AEC ∆∆∽.∴ABD ACE ∠=∠.【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．见解析【解析】【分析】由条件可得CF ∥BE ，结合条件可证明△BAE ∽△ACF ，可得到CP AF PE AE =，则有CF ∥AP ． 【详解】证明：∵CF ⊥AE ，BE ⊥AE ，∴CF ∥BE ， ∴CP CF PE BE=，∠AFC ＝∠AEB ＝90°， ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝∠EAC ，∴△BAE ∽△CAF ， ∴AF CF AE BE=， ∴CP AF PE AE =， ∴CF ∥AP ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的逆定理及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意由线段对应成比例也可以证明平行．24．（1）y 2x =<<；（2）当BCE V 为等腰三角形时，CD 的长为2或2或2．【解析】【分析】(1)证明△ADB ∽△CEB ，通过比例式找到y 与x 的关系；(2)分情况讨论，①当BE=CE 时，C 、D 重合，不符合题意，舍去；②当BC=BE 时，如图1；③当BC=CE 时，有两种图形(如图2、3).画出对应图形后，根据等腰三角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解．【详解】解：()1m //AB Q ，ECB CBA 45∠∠∴==o ．A ECB 45∠∠∴==o ．DBA 45CBD ∠∠=-o Q ，EBC 45CBD ∠∠=-o ，DBA EBC ∠∠∴=．ADB V ∴∽CEB V．AD AB CE BC ∴=，即2y x -=．y 2x ∴=-<<；()2①当BE CE =时，C 、D 重合，不符合题意，舍去；②当BC BE =时，如图1，ECB 45∠=o Q ，CEB 45∠∴=o ，CBE 90∠∴=o ．则CBD 90DBE 45∠∠=-=o o ．ABD 454590∠∴=+=o o o ．A 45∠=o Q ，ABD ∴V 是等腰直角三角形．AD 4∴=，CD 422∴=-=；③当BC CE =时，Ⅰ.如图2，ECB 45∠=o Q ，CBE 67.5∠∴=o ．ABD CBE 67.5∠∠∴==o ．ADB 1804567.567.5o o o o ∠∴=--=．ABD ADB ∠∠∴=，AD AB 22∴==．CD 222∴=-；Ⅱ.如图3，则BCE 135∠=o ，CBE 22.5∠∴=o ．ABD 22.5o ∠∴=，CAB 45∠=o Q ，ADB 4522.522.5∠∴=-=o o o ．AD AB 22∴==．CD 222∴=+．所以当BCE V 为等腰三角形时，CD 的长为2或222或222．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了分类讨论思想，解题的关键是画出对应图形进行求解．25．（1）证明见解析（2）10（3）100【解析】【分析】（1）连接AO 、CO ，根据中垂线知OB ＝OC ＝OD ，证△ABO ≌△ADO 得∠BAO ＝∠DAO ，由BO ∥AD 知∠BOA ＝∠DAO ，从而得∠BAO ＝∠BOA ，据此知AB ＝BO ，继而得证；（2）连接CO 、DE ，设DE 交OC 于点P ，先证△BOE ≌△DOE 得BE ＝DE 、∠OBE ＝∠ODE ，结合∠OBC ＝∠OCB 知∠OCE ＝∠ODE ，由∠EPC ＝∠OPD 知∠CEP ＝∠DOP ＝90°，根据CE 2+DE 2＝DC 2知CE 2+BE 2＝2AB 2，代入计算可得；（3）由△BOE ≌△DOE ，∠DEB ＝90°知∠OEB ＝∠OED ＝45°，结合四边形ABOD 是菱形，∠BAD ＝135°知∠ABO ＝45°，从而得∠ABO ＝∠AEB ，证△ABO ∽△AEB 得AO•AE ＝AB 2，代入计算可得．【详解】解：（1）四边形ABOD 是菱形，理由如下：如图1，连接AO、CO，∵边BC、CD的垂直平分线交于点O，∴OB＝OC＝OD，又AB＝AD，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SSS），∴∠BAO＝∠DAO，∵BO∥AD，∴∠BOA＝∠DAO，∴∠BAO＝∠BOA，∴AB＝BO，∴AB＝BO＝OD＝AD，∴四边形ABOD是菱形；（2）如图2，连接CO、DE，设DE交OC于点P，∵∠ODC＝45°，OC＝OD，∴∠COD＝90°，△OCD是等腰直角三角形，∴CD22AB，∵四边形ABOD是菱形，∴∠DOA＝∠BOA，∴∠BOE＝∠DOE，在△BOE和△DOE中，∵B0D0BOE DOE0E0E=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴BE＝DE、∠OBE＝∠ODE，∵∠OBC＝∠OCB，∴∠OCE＝∠ODE，又∵∠EPC＝∠OPD，∴∠CEP＝∠DOP＝90°，在Rt△DCE中，CE2+DE2＝DC2，即CE2+BE2＝2AB2，∵CE＝BE＝∴2AB2＝（2+（2＝200，∴AB＝10；（3）由（2）知△BOE≌△DOE，∠DEB＝90°，∴∠OEB＝∠OED＝45°，∵四边形ABOD是菱形，∠BAD＝135°，∴∠ABO＝45°，∴∠ABO＝∠AEB，又∵∠BAO＝∠EAB，∴△ABO∽△AEB，∴AB AD AE AB=，∴AO•AE＝AB2，∵AB＝10，∴AO•AE＝100．【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握菱形的判定与性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点．26．答案见解析【解析】【分析】证ABD BCE ∽△△，得BAD CBE ∠=∠，再证ABE FAE ∠=∠，可进一步证AEF BEA ∽△△.【详解】解：相似.理由如下：∵BD CE =，60ABC C ∠=∠=︒，AB BC =，∴ABD BCE ∽△△，∴BAD CBE ∠=∠，∵60ABC BAC ∠=∠=︒，∴ABE FAE ∠=∠.又∵AEF BEA ∠=∠，∴AEF BEA ∽△△.【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.熟记相似三角形的判定和性质的内容是关键. 27．315步【解析】【分析】根据题意写出AB 、AC 、CD 的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【详解】解：由题意，得15AB =里， 4.5AC =里， 3.5CD =里，∵DE CD ⊥，AC CD ⊥∴//AC DE ，易得ACB ∆∽DEC ∆， ∴DE DC AC AB=， 即 3.54.515DE =， 解得 1.05DE =（里）315=（步）∴走出南门315步恰好能望见这棵树.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出相似三角形是解决此题的关键．。
九年级数学相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题教师版例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．相似三角形 一，比例线段 1， 成比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如b a =dc（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
成比例线段练习题及答案
成比例线段练习题及答案一、判断题请判断下列说法是否正确，正确的在括号内写上“√”，错误的写上“×”。
(×) 1. 成比例线段的比值始终保持不变。
(√) 2. 如果线段AB与线段CD成比例，那么AB与DC也成比例。
(√) 3. 如果线段AB与线段CD成比例，那么AB：BC = CD：DE。
(×) 4. 成比例线段可以有无穷多个比例关系。
二、选择题从每题所给的选项中，选择符合题意的答案，并将其编号填入题前括号内。
1. 已知线段AB与线段CD成比例，若AB=8，CD=20，则BC的长度为：A. 25B. 32C. 5D. 2(√) 2. 线段AB与线段CD成比例，若AB：BC = 3：2，且BC的长度为10 cm，则线段AB的长度为：A. 3 cmB. 10 cmC. 15 cmD. 20 cm(×) 3. 线段AB与线段CD成比例，若AB：BC = 3：4，CD：DE = 2：3，且AD的长度为40 cm，则线段AE的长度为：A. 80 cmB. 120 cmC. 100 cmD. 60 cm(√) 4. 线段AB与线段CD成比例，若AB：BC = 2：3，且BC的长度为15 cm，则线段CD的长度为：A. 5 cmB. 20 cmC. 7.5 cmD. 10 cm三、计算题根据题目中给出的条件，计算出目标线段的长度。
1. 已知线段AB与线段CD成比例，且AB：BC = 5：2，CD：DE = 3：4，且BC的长度为8 cm，求线段DE的长度。
解题过程：根据已知条件，AB：BC = 5：2，CD：DE = 3：4，BC = 8 cm。
根据成比例线段的性质，我们可以得出以下等式：AB/BC = CD/DE5/2 = 3/4通过交叉相乘得到：4 * AB = 2 * CDCD = 2 * AB / 4CD = AB / 2由此可知CD的长度为4 cm。
再根据CD：DE = 3：4，可得：CD / DE = 3 / 44 / DE = 3 / 4通过交叉相乘得到：4 * 4 = 3 * DEDE = 4 * 4 / 3DE = 16 / 3由此可知线段DE的长度为16/3 cm。
(完整word)初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果li//…3,则AC EF AB DE AB AC DF AC DF DE DFl 1l 2l 32.平行线分线段成比例定理的推论: 如图，在三角形中，如果DE"BC，则已短需3.,、、. .一, AD平行的判定定理：如上图，如果有出ABAEACDE ,那么DE // BC 。
BC专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE // BC ,且DB AE ,若AB 5, AC 10 ,求AE 的长。
【例2】如图，已知AB//EF//CD ,若AB a , CD b , EF c ,求证：111, cab【巩固】如图，AB BD , CD BD ,垂足分别为B 、D, AC 和 BD 相交于点E, EF BD,垂足为F .证明：AB CD EF .【巩固】如图，找出S ABD 、S BED 、SBCD之间的关系，并证明你的结论【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , AB 12 , CD 9,过对角线交点。
作专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）11 如图1 ,在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE - AB ,4 ' 连接EM并延长，交BC的延长线于D ,则CD（2）如图（2）,已知ABC 中，AE:EB 1:3 , BD :DC 2:1 , AD与CE相交于F,贝汁豆FCAFFD的值为（）A. 5B.1C.2【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在AC边上的任意一点，BE交AD于点O .（1）当AE工时，求AO 的值；ABC中，D为BC边的中点，E为EF // CD 交AD , BC 于 E , F ,求EF 的长。
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD // BC , AD a , BC b, E , F分别是AD , BC的中点，AF交BE于P , CE交DF于Q ,求PQ的长。
初中数学九年级下册《第2课时 三边成比例的两个三角形相似》课后练习题
27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边成比例的两个三角形相似1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是 (只需写出一个即可).2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。
3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上).6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 或时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标).7、下列命题中正确的是 （ ）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A 、①③B 、①④C 、①②④D 、①③④8、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CBCF AB EF =9、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD，AB=ACD. AD∶AC=AE∶AB10、在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）A ΔADE∽ΔAEFB ΔECF∽ΔAEFC ΔADE∽ΔECFD ΔAEF∽ΔABF11、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A 1对B 2对C 3对D 4对12、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）①②③④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.13、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）(A)②③④(B)③④⑤(C)④⑤⑥(D)②③⑥14、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形ABC 相似(相似比不为1).15、如图，ΔABC 中，BC=a .(1)若AD 1=31AB ，AE 1=31AC ，则D 1E 1= ； (2)若D 1D 2=31D 1B ，E 1E 2=31E 1C ，则D 2E 2= ； (3)若D 2D 3=31D 2B ，E 2E 3=31E 2C ，则D 3E 3= ； ……(4)若D n -1D n =31D n -1B ，E n -1E n =31E n -1C ，则D n E n = .16、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.17、已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？数学选择题解题技巧1、排除法。
专题23.1成比例线段【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系[含答案]
专题23.1 成比例线段【十大题型】【华东师大版】【题型1 由成比例线段直接求值】 【题型2 比例尺】【题型3 由比例的性质判断结论正误】【题型4 由比例的性质求参数的值】【题型5 由比例的性质求代数的值】【题型6 由比例的性质进行证明】 【题型7 由比例的性质比较大小】【题型8 比例的应用】【题型9 由黄金分割求值】【题型10 黄金分割的应用】知识点1：成比例线段1.比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d=）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足2b ac =．2.成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 由成比例线段直接求值】【例1】（23－24九年级·上海宝山·期中）1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A ．2cm 3cm 4cm 6cm ，，，B ．2cm 3cm 4cm 5cm ，，，C ．1cm 2cm 3cm 4cm ，，，D ．3cm 4cm 6cm 9cm ，，，【变式1－1】（23－24九年级·广东梅州·期中）2．根据45a b =，可以组成的比例有（ ）A ．:5:4a b =B ．:4:5a b =C ．:4:5a b =D ．:54:a b=【变式1－2】（23－24九年级·浙江嘉兴·期中）3．已知:1:2a b =，且210a b +=．(1)求a 、b 的值；(2)若c 是a 、b 的比例中项，，求c 的值．【变式1－3】（23－24九年级·全国·课后作业）4．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高线，试猜想线段AC ，AB ，CD ，BC 是否成比例．如果成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比例，请说明理由.【题型2 比例尺】【例2】（2024·江苏泰州·三模）5．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为2.2km ，当地图上比例尺由11000∶变为1500∶时，则地图上两个校区的路程增加了cm ．【变式2－1】（23－24九年级·江苏无锡·期末）6．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是 ．【变式2－2】（23－24九年级·上海奉贤·期中）7．如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3千米的两地在地图上的图距是（ ）A ．6厘米B ．15厘米C ．60厘米D ．150厘米【变式2－3】（23－24九年级·陕西西安·期末）8．西安市大雁塔广场占地面积约为667000m 2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）A ．一个篮球场的面积B ．一张乒乓球台台面的面积C ．《华商报》的一个版面的面积D ．《数学》课本封面的面积知识点2：比例的性质比例的性质示例剖析（1）基本性质：()a cad bc bd bd=Û=¹0x yx y =Û3=223（2）反比性质：()a c b dabcd b d a c=Û=¹0x y x y23=Û=23(0)xy ¹（3）更比性质：a c ab b dc d=Û=或d c b a =()abcd ¹0x y x y 2=Û=233或32y x =(0)xy ¹（4）合比性质：a c a b c db d b d ++=Û=()bd ¹0x x y y y 2+2+3=Û=33(0)y ¹（5）分比性质：a c a b c dbd b d --=Û=()bd ¹0y y x x x 3-3-2=Û=22(0)x ¹（6）合分比性质：ac a b c db d a bc d++=Û=--(,,)bd a b c d ¹0¹¹x x y y x y 2+2+3=Û=3-2-3(,)y x y ¹0¹（7）等比性质：()a c mb d n b d n ==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+¹0ac m ab d n b++⋅⋅⋅+⇒=++⋅⋅⋅+(0)b d n +++¹L 已知x y z234==，则当0x y z ++¹时，x y z x y z2342+3+4===++．【题型3 由比例的性质判断结论正误】【例3】（23－24九年级·江苏淮安·阶段练习）9．若34x y =，则下列各式中不正确的是（ ）A ．74x y y +=B ．14x y y -=C ．43x y=D ．2113x y x +=【变式3－1】（23－24九年级·河南平顶山·期中）10．下列结论中，错误的是（ ）A ．若45a c =，则45a c =B ．若16a b b -=，则76a b =C ．若23a cb d ==（b ﹣d ≠0），则23a c b d -=-D ．若34a b =，则a ＝3，b ＝4【变式3－2】（23－24九年级·山东泰安·期中）11．若a cb d=（a 、b 、c 、d 、m 均为正数），则下列结论错误的是（ ）A ．ad bc=B ．2222a cb d =C ．22ad c b ad=D ．a m cb m d+=+【变式3－3】（2024·甘肃陇南·一模）12．某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ） 舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A ．舞蹈社不变，溜冰社减少B ．舞蹈社不变，溜冰社不变C ．舞蹈社增加，溜冰社减少D ．舞蹈社增加，溜冰社不变【题型4 由比例的性质求参数的值】【例4】（23－24九年级·河南郑州·期末）13．已知222a b ck b c a c a b===+++，则k =（ ）A ．1B ．1±C ．1或2-D ．2【变式4－1】（23－24九年级·安徽亳州·阶段练习）14．已知a ，b ，c 满足438324a b c +++==且12a b c ++=，试求a ，b ，c 的值．【变式4－2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）15．已知a ，b ，c 为ABC V 的三边长，且36a b c ++=，345a b c ==．(1)求线段a ，b ，c 的长；(2)若线段x 是线段a ，b 的比例中顶（即a xx b=），求线段x 的长．【变式4－3】（23－24九年级·山东烟台·期中）16．如果()0a c ek b d f b d f===++¹，且()3a c e b d f ++=++，那么k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．13D ．12【题型5 由比例的性质求代数的值】【例5】（23－24九年级·四川眉山·阶段练习）17．如果312234x y z +--==，且18x y z ++=，则2x y z --的值为 ．【变式5－1】（23－24九年级·山东青岛·期末）18．已知()2520b a c b d d +=¹=，则22a c b d++的值为 ．【变式5－2】（23－24九年级·陕西西安·期中）19．已知532a b c==．(1)求a bc+的值；(2)若29a b c +-=，求2a b c -+的值．【变式5－3】（23－24九年级·四川乐山·期末）20．已知a b c 、、满足112234a b c -+-==，试求222a b c +-的最大值 ．【题型6 由比例的性质进行证明】【例6】（23－24九年级·山东淄博·期末）21．已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b=，求a bb +与a b a b -+的值；(2)如果(),a ca b c d b d =¹¹，求证a c b a d c=--；(3)如果a c ab d b +=+，求证ac b d=．【变式6－1】（2024九年级·全国·专题练习）22．已知==ax by cz ，且1111x y z ++=.求证：()3323232a x b y c z a b c ++=++.【变式6－2】（23－24九年级·全国·单元测试）23．已知::a b c d =，且b nd ¹，求证：a a ncb b nd-=-．【变式6－3】（23－24九年级·重庆大渡口·期末）24．材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x ，y ，z 满足y z z x x yk x y z +++===，求2x y z --的值”时，采用了引入参数法k ，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x ，y ，z 之间的关系，从而解决问题.过程如下：解；设y z z x x yk x y z+++===，则有：y z kx +=，z x ky +=，x y kz +=，将以上三个等式相加，得()()2x k z k x y z ++=++.Q x ，y ，z 都为正数，\2k =，即2y zx+=，.\20x y z --=.仔细阅读上述材料，解决下面的问题：（1）若正数x ，y ，z 满足222x y zk y z z x x y===+++，求k 的值；（2）已知()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，a ，b ，c 互不相等，求证：8950a b c ++=.【题型7 由比例的性质比较大小】【例7】（23－24九年级·河北保定·期末）25．若275x y z ==，设y A x y z =++，x z B y +=，x y zC x +-=，则A 、B 、C 的大小顺序为（ ）A ．A B C>>B ．A B C<<C ．C A B>>D ．A C B<<【变式7－1】（23－24九年级·浙江杭州·期中）26．如果a ，b ，c 满足b c a b ==，则a ，b ，c 之间的关系是（ ）A ．a b c=+B ．a b c >+C ．a b c <+D ．222a b c =+【变式7－2】（2024九年级·北京西城·专题练习）27．已知0257a b c ==¹，设1x a b c =++， a cy b +=， a b c z a +-=，试判断x ，y ，z 的大小关系．【变式7－3】（23－24九年级·广东珠海·期末）28．已知a ，b ，c ，d 都是互不相等的正数.（1）若2a b =，2cd =，则b a d c，a c b d （用“＞”，“＜”或“=”填空）；（2）若,a c b d=请判断b a b +和dc d+的大小关系，并证明；（3）令,a b t cd==若分式232a c b da cb d ++-+--的值为3，求t 的值.【题型8 比例的应用】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）29．如图，以O 为支点，木棍OA 所受的重力为G ．根据杠杆原理，在A 处需一竖直向上的拉力F 才能保持木棍不动，若向上的拉力F 与重力G 大小之比为3:7，6cm OD =，则CD 的长为 ．【变式8－1】（2024春·四川成都·九年级校考期中）30．在同一时刻物高与影长成比例，小莉量得综合楼的影长为 6 米，同一时刻她量得身高 1.6米的同学的影长为 0.6 米，则综合楼高为米．【变式8－2】（2024春·广东茂名·九年级统考期中）31．装修一间客厅，用边长5分米的方砖铺地，需要80块，如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？【变式8－3】（2024春·四川成都·九年级成都七中校考期中）32．国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有2.5公里，总建筑面积147万平方米，地上建筑面积127万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体.小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为0.5厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为9.7厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答）知识点3：黄金分割若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中0.618AC AB AB »，BC AB =.AB »0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）【题型9 由黄金分割求值】【例9】（2024·内蒙古包头·三模）33．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 4个结论：①36A Ð=°，②PB =，③PA AD =，④PT PA =．请填写你认为正确的结论序号： ．【变式9－1】（23－24九年级·河北保定·期末）34．如图，已知点C ，D 都是线段AB 的黄金分割点，如果4CD =，那么AB 的长度是（ ）A ．2B ．6-C ．8+D ．2【变式9－2】（23－24九年级·山东青岛·期末）35．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD 的边BC 取中点O ，以O 为圆心，线段OD 为半径作圆，其与边BC 的延长线交于点E ，这样就把正方形ABCD 延伸为黄金矩形ABEF ，若4CE =，则AB = ．【变式9－3】（23－24九年级·河南许昌·期末）36．如图，已知线段2AB =，经过点B 作BD AB ^，使12BD AB =，连接AD ，在AD 上截取DE BD =；在AB 上截取AC AE =，则:=AC AB ．【题型10 黄金分割的应用】【例10】（2024九年级·黑龙江大庆·学业考试）37．古希腊时期，0.618»，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【变式10－1】（2024·广东·二模）38．如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为2cm，则眼梢到鼻翼的距离为cm． 2.236»，结果保留两位小数）【变式10－2】（23－24九年级·山东德州·阶段练习）39．如图1在线段AC 上找一个点B ，B 把AC 分成AB 和BC 两段，其中AB 是较小的一段，满足AB BC BC AC =：：，则B 为线段AC 的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图2，B 为AC 的黄金分割点（AB BC >)，AC 长度为15cm ，则AB 的长度cm ；(结果用根号表示)【变式10－3】（23－24九年级·陕西西安·阶段练习）40．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P 是AB 的黄金分割点（AP BP >），若线段AB 的长为10cm ，则BP 的长为 cm ．（结果保留根号）1．A【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答【详解】解：A ．∵2634´=´，∴四条线段成比例，符合题意；B ．∵2534´¹´，∴四条线段不成比例，不符合题意；C ．∵1423´¹´，∴四条线段不成比例，不符合题意；D ．∵3946´¹´，∴四条线段成比例，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．2．A【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答．【详解】解：Q 45a b =，\:5:4a b =，故选：A ．3．(1)2a =，4b =；(2)c =±．【分析】本题考查了比例及比例中项，解题的关键是正确理解其概念．（1）利用:1:2a b =，可设a k =，2b k =，则410k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、b 的值；（2）根据比例中项的定义得到2c ab =，即28c =，然后根据平方根的定义求解；【详解】（1）解：∵:1:2a b =，∴设a k =，2b k =，∵210a b +=，∴410k k +=，∴2k =，∴2a =，4b =；（2）∵c 是a 、b 的比例中项，∴28c ab ==，∴c =±4．线段AC ，AB ，CD ，BC 成比例，且AB BC AC CD=，理由见解析【分析】根据直角三角形的面积公式，得1122AB CD AC BC ⋅=⋅，整理变形即得答案.【详解】解：线段AC ，AB ，CD ，BC 成比例，且AB BC AC CD =（或AB AC BC CD =）.验证如下：根据三角形的面积公式，得1122AB CD AC BC ⋅=⋅，所以AB CD AC BC ⋅=⋅，即AB BC AC CD =.【点睛】本题以直角三角形为依托，主要考查成比例线段的性质，即若a cb d =，则ad=bc ，反之也成立，即若ad=bc ，则a c b d=.解题的关键是由直角三角形的面积得出AB CD AC BC ⋅=⋅.5．220【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．根据=图上距离比例尺实际距离进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．【详解】解：实际路程为2.2220000km cm =，当比例尺为1:1000时，图示距离为2200002201000cm =，当比例尺为1:500时，图上距离为220000440500cm =，∴440220220cm -=，故答案为：220 ．6．1:30000【分析】本题主要考查了比例尺．根据比例尺=图上距离:实际距离，列比例式求得这两地的实际距离．【详解】解：根据题意得：该规划图的比例尺是120cm :36km 120:36000001:30000==．故答案为：1:30000．7．A【分析】根据比例尺的定义：图上距离与实际距离的比直接计算即可得到答案；【详解】解：∵比例尺为1:50000，实际距离是3千米，∴图上距离300000(1:50000)6cm =´=，故选：A ．8．C【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面积，即可得出答案．【详解】设其缩小后的面积为xm 2 ，则x:667000=(1:2000) 2，x=0.16675m 2，其面积相当于报纸的一个版面的面积.故选C.【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确估计图形的面积，和生活中的物体联系起来是本题的关键.9．B【分析】设3x k =，4y k =．代入选项计算结果，即可得到答案．【详解】解：设3x k =，4y k =，A ．34744x y k k y k ++==，正确，故A 选项不符合题意；B ．34144x y k k y k --==-，原式错误，故B 选项符合题意；C ．44312343x k k k y =⋅==⋅=，正确，故C 选项不符合题意；D ．23241133x y k k x k ++⋅==，正确，故D 选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是利用换元法进行约分消元求值．10．D【分析】根据比例性质，化为乘积变形可判断A 正确，利用先化积，再化比例可判定B ，利用换元计算可判断C ，设比值，取k =1与k ≠1，可判断D ．【详解】解：A 、若45a c =，则54a c =，而45a c =，54a c =正确，不合题意；B 、若16a b b -=，则6（a ﹣b ）＝b ，故6a ＝7b ，则76a b =，正确，不合题意；C 、若23a c b d ==（b ﹣d ≠0）2233a b c d ==，，则()22223333b d b d ac bd b d b d ---===---，正确，不合题意；D、若34ab=，设34a kb k==，，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1，a，b的值不是3与4，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查比例性质，等积化比例，比例化等积，合分比性质，掌握比例性质是解题关键．11．D【分析】把各个选项依据比例的基本性质和合比性质，即可判断求解．【详解】A、∵a cb d=，两边同乘以bd得：ad bc=，故A正确，不合题意；B、∵a cb d=，两边平方得：2222a cb d=，故B正确，不合题意；C、∵a cb d=，两边平方得：2222a cb d=，两边同乘以da得：22ad cb ad=，故C正确，不合题意；D根据a cb d=不能得出a m cb m d+=+，故D不正确，符合题意；故答案为：D.【点睛】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，及比例的合比性质判断是否相同即可．12．D【分析】若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的aa b c++，乙占全部的ba b c++，丙占全部的ca b c++．【详解】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选D．【点睛】本题考查了比例的性质．找出各社团人数占全部人数的比例是解题的关键．13．C【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当0a b c ++¹时，根据等比性质计算得出结果；②当0a b c ++=时，则a b c +=-，代入2c k a b=+计算得出结果．【详解】解：分两种情况：①当0a b c ++¹时，得2221a b c k b c a c a b++==+++++；②当0a b c ++=时，则a b c +=-，22c k a b ==-+；综上所述，k 的值为1或2-．故选：C ．14．5a =，3b =，4c =【分析】本题主要考查了比例的性质，设438324a b c k +++===，得出34a k =-，23b k =-，48c k =-，根据91512a b c k ++=-=，求出3k =，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键．【详解】解：设438324a b c k +++===，则34a k =-，23b k =-，48c k =-，∴91512a b c k ++=-=，解得：3k =，∴5a =，3b =，4c =．15．(1)91215a b c ===，，(2)x =【分析】（1）设345a b c k ===，则345a k b k c k ===，，，再结合题意可列出关于k 的等式，解出k 的值，即可求出线段a ，b ，c 的长；（2）由题意可直接得出912x x =，解出x 的值（舍去负值）即可．【详解】（1）由题意可设345a b c k ===，则345a k b k c k ===，，，∵36a b c ++=，∴34536k k k ++=，解得：3k =，∴91215a b c ===，，；（2）∵a x xb =，∴912x x =，整理，得：2108x =，解得：x =．【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k 法”是解题关键．16．B【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得,,a bk c dk e fk ===，代入()3a c e b d f ++=++，即可求解．【详解】解：Q a c e k b d f===，,,a bk c dk e fk \===，Q ()3a c e b d f ++=++．()3bk dk fk b d f \++=++，3k \=，故选：B ．17．15-【分析】此题考查了比例的性质，设312234x y z k +--===，得出23x k =-，31y k =+，42z k =+，再根据18x y z ++=，求出k 的值，从而得出x ，y ，z 的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】解：设312234x y z k +--===，则23x k =-，31y k =+，42z k =+，18x y z ++=Q ，23314218k k k \-++++=，2k \=，1x \=，7y =，10z =，2271015x y z \--=--=-；故答案为15-．18．25##0.4【分析】先求出2225d a c b ==，再根据比例的性质即可得．【详解】解：()2520a d d c b b +==¹Q ，2252a c d b =\=，2225a cb d +\=+，故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．19．(1)4(2)814【分析】本题主要考查了比例的性质，通过532a b c ==，设出()5320a k b k c k k ===¹，，是解题的关键．（1）设()5320a k b k c k k ===¹，，，则532a b k k c k++=，据此可得答案；（2）设()5320a k b k c k k ===¹，，，由29a b c +-=得到5349k k k +-=，解方程求出94k =，则812103294a b c k k k k -+=-+==．【详解】（1）解：∵532a b c==，∴可设()5320a k b k c k k ===¹，，∴5342a b k k c k++==；（2）∵532a b c==，∴可设()5320a k b k c k k ===¹，，，∵29a b c +-=∴5349k k k +-=．∴94k =，∴812103294a b c k k k k -+=-+==．20．25【分析】设112234a b c k -+-===，得到关于k 的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．【详解】解：设112234a b c k -+-===，∴a -1=2k ，b +1=3k ，c -2=4k ，即a =2k +1，b =3k -1，c =4k +2，∴a 2+b 2−c 2= (2k +1)2+(3k -1)2−(4k +2)2=4k 2+4k +1+9k 2-6k +1-(16k 2+16k +4)=4k 2+4k +1+9k 2-6k +1-16k 2-16k -4=-3k 2-18k -2=-3(k 2+6k +9-9)-2=-3(k +3) 2+25∵(k +3) 2≥0，则-3(k +3) 2≤0，∴a 2+b 2−c 2的最大值为25，故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．21．(1)4a b b+=，12a b a b -=+(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质：（1）先根据已知条件得到14a b a b b +=+=，3a b =，再把3a b =代入a b a b -+中进行求解即可；（2）设a c k b d==，则a kb =，c kd =，再分别计算出a b a -和c d c -的值即可证明结论；（3）求出bc ad =，进而可得a cb d =。
九年级数学相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题教师版例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．相似三角形 一，比例线段 1， 成比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如b a =dc（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。