27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例

EB DC \ DE = DF .
AE DC
总结
知3－讲
本题是证明等积式的典型题.要证明 a = c ，经 bd
常要把它转化为两个等式：a = e 和 e = c . 我们通常
把
e
bf fd 叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过
f
找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它
的推论来构造比例式.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边 的延长线），所得的对应线段成比例.
数学表达式： 如图，∵DE∥BC， AD = AE , AD = AE , BD = CE .
DB EC AB AC AB AC
知3－讲
例4 如图，F是YABCD的边CD上一点，连接BF，
并延长BF交AD的延长线于点E.求证：DE = DF .
即要把对应顶点写在对应位置上．
(2)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序
性．若当△ABC∽△A′B′C′时，
AB = BC AC =k, 则△A′B′C′∽△ABC时， AB BC AC
AB = BC AC = 1 . AB BC AC k
（来自《点拨》）
例2 如图，在△ABC中，DE∥BC. (1)求 AD , AE , DE 的值；
导引：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的 字母应该写在对应的位置上．
解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF. 对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F. ∵AB∶DE＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
(1)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，
（来自《典中点》）
1 知识小结
平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的 功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线 段成比例的基本思路是： (1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：
“ 型”或“ 型”，得到相应的比例式； (2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，
一般从分点或中点出发作平行线．
如△A1B1C1与△ABC相似, 记作“△ A1B1C1 ∽△ABC”
注意：对应顶点写在 在对应位置.
用数学语言表示：（符号）
知1－讲
｝ ∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1 AB = AC = BC A1B1 A1C1 B1C1 △ABC∽△A1B1C1
知1－讲
例1 如图所示，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9， 指出对应边、对应角， 并求出相似比．
故选项C错误．
HE HF
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可 从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位 角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之 间的关系，即平行线分线段成比例．
（来自《点拨》）
知2－练
1 【2016·杭州】如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别
2 易错小结
如图，在△ABC中，DE∥BC，以下结论正确的是( C )
A. AE AD AC BD
B. AE BD AC AB
C. AE AD CE BD
D. AC AD CE BD
易错点：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论时找
不准对应关系.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
BC
3
CE ＝___5___．
（来自《典中点》）
知2－练
3 【中考·扬州】如图，练习本中的横格线都平行，且 相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的 三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm， 则线段BC＝___1_2_cm___.
（来自《典中点》）
知3－导
知识点 3 平行线分线段成比例基本事实的推论
知3－练
1 【2016·兰州】如图，在△ABC中，DE∥BC，
若
AD
2 ,
则 AE
等于(
C)
DB 3
EC
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
3
5
3
5
（来自《典中点》）
知3－练
2 如图，在△ABC中，FG∥DE∥BC，已知DF＝3， AG＝EC＝2，则下列四个等式中一定正确的是( B ) A．FG·DE＝6 B．DB·GE＝6 C．FG:DE＝2:3 D．CE:DB＝3:2
（来自《典中点》）
知3－练
3 如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下
列比例式正确的是( C )
A. AD DE DB BC
B. BF EF BC AD
C. AE BF EC FC
D. EF DE AB BC
（来自《典中点》）
知3－练
4 【2016·锦州】如图，在△ABC中，点D为AC上一 点，且 CD 1 , 过点D作DE∥BC交AB于点E， AD 2 连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15， 10 则EF＝____3____．
知2－导
知识点 2 平行线分线段成比例的基本事实
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在ห้องสมุดไป่ตู้他直线上截得的线段也相等.
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ A1B1=B1C1
A
l1
l2
B
l3 C
A1 ？B1 ？C1
知2－讲
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
几何语言 ∵ l1//l2//l3
（来自《点拨》）
知1－练
1 如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°， ∠A＝60°，则∠C等于( C ) A．40° B．60° C．80° D．100°
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2. 若BC
＝1，则EF的长是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
（来自《典中点》）
l4 l5
A
D
B
E
l1
∴ AB DE
BC EF
C
l2 F
l3
(平行线分线段成比例)
知2－讲
例3 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，
下列结论中错误的是( C )
A.
BH HC
AH HD
C.
HC HE
HD DF
B.
AD BC DF CE
D.
AF DF
BE CE
导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实
(2)△ADE与△ABC相似．理由如下：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
由(1)知 AD AE DE ,
AB AC BC
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
由于三角形是最简单的多边形，因此判定两个 三角形相似可以根据判定两个多边形相似的方法， 即利用相似三角形的定义证出三个角分别相等，三 条边成比例即可．
的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形
中找出比例线段即可判断．
知2－讲
解析：根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比
例的基本事实可得解．
∵AB∥CD∥EF，
BH AH , AD BC , AF BE , HC HD DF CE DF CE
故选项A，B，D正确．
∵CD∥EF，∴ HC
HD ,
AB AC BC
(2)△ADE与△ABC相似吗？
为什么？
导引：(1)直接利用线段的长度求它们的比值；
(2)抓住两个条件判断：①三条边成比例；
②三个角分别相等．
知1－讲
知1－讲
解：(1)由图形可知AB＝9，AC＝6.
AD 3 1 , AE 2 1 , DE 3.5 1 . AB 9 3 AC 6 3 BC 10.5 3
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第1课时 相似三角形及平行线 分线段成比例
1 课堂讲解 相似三角形
平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例基本事实的推论
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复习回顾
1、什么叫相似多边形呢？ 2、你能类似的给相似三角形下一个定义吗？ 3、什么叫相似比？
知识点 1 相似三角形
知1－导
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫相似多边形
2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三 角形叫相似三角形
相似三角形对应边的比，叫做相似比.
知1－讲
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我 们称为相似三角形. 两个相似三角形用“∽”表示，读做“相似于”.
AE DC
E
D
C
F
A
B
解析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥
CD，再根据平行线分线段成比例定理的推论得
出对应边成比例即可得出结论．
知3－讲
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD∥BC. \ DE = EF（平行于三角形一边的直线截其他两
AE EB
边，所得的对应线段成比例）. 同理可得 EF = DF .
交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，
b，c于点D，E，F. 若 AB 1 , 则 DE 等于( B ) BC 2 EF
1 A. 3
B．1 2
C. 2 3
D. 1
（来自《典中点》）
知2－练
2 【2016·济宁】如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相
交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么