第八 采样控制系统分析基础一
自控08 采样系统分析
则
1 e * ( t ) e( kT )e jkws t T k
1 E * ( s ) E ( s jk s ) T k
17
上式描述了采样过程的复频域特征。
如果连续信号e(t)的频谱E(j)是单一的连续频谱，则离散信 号e*(t)的频谱除包含原连续信号主频谱外（幅值为1/T），还 包含无穷多个高频频谱。
τ
对e*(t)取拉氏变换，得
*
0
T
E (s) L e (t ) L e(kT ) (t kT ) e(kT )ekTs k 0 k 0
*
2T 连续信号与采样信号
上式可以将E*(s)与离散时域信号e(kT)联系起来，可以直接看出e*(t)的 时间响应。但是e*(t)仅描述了e(t)在采样时刻的值，所以E*(s)不可能 给出e(t)在两个采样时刻之间的任何信息。
10
3、单位脉冲序列函数 函数的序列。
T (t )
k
下式为 (t ) (t T ) (t kT )
…… -2T -T 0 T 2T ……
单位脉冲序列函数 4、断续信号(采样信号） 将连续的信号经采样后得到断续信号， 利用单位脉冲序列函数可以描述断续信号为：
– 结构简单、控制灵活 – 检测器精度可以做得很高，则控制精度高 – 抗干扰性好：除非扰动和离散信号同时出现才 会受到干扰 – 便于远距离传递。
9
6.2.2 采样信号的数学描述
1、几点假定（理想化） 采样开关应能立即开或闭； 通过采样开关的输出不发生畸变； 采样时间(即采样装置闭合的时间) τ 远小于采样周期T，分 析时可以近似认为趋近于零； 开关闭合时，其输出为常数； 等采样周期，即采样周期T 为常数。 2、单位脉冲函数 (t ) 为单位脉冲函数，脉冲的宽度为无限小、 幅度为无限大，而面积为1。 1 1 1 t 0 0 t (t ) (t ) 0 t 0或t t 0 t 0 0
采样控制系统
第八章采样控制系统§8-1 基本概念重点：采样系统的基本概念难点：离散信号与连续信号的区别连续系统：各变量均为时间t的连续函数。
离散系统：系统中某一处或几处的信号是脉冲序列或数字编码。
离散信号：仅在离散的瞬时上变化，是时间的离散函数，呈现的是脉冲信号或数码信号。
通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形成的离散系统，称为采样控制系统或计算机控制系统。
散控制系统分为：一、采样控制系统1．定义: 指间断地对系统中某些变量进行测量和控制的系统。
2．典型结构：根据采样装置在系统中所处的位置不同,可以构成各种采样系统。
例如：开环采样系统：采样器位于系统闭和回路之外，或系统本身不存在闭合回路。
闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内。
常用误差采样控制的闭环采样系统。
如图，图中：r(t),e(t),y(t)为输入误差，输出的连续信号，S—采样开关或采样器，为实现采样的装置。
T—采样周期。
e﹡(t)—是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。
e*(t)作为脉冲控制器的输入,经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号。
即将脉冲信号e*(t)①采样过程：把连续信号转变为脉冲序列的过程称采样过程，简称采样。
②采样器：实现采样的装置，或采样开关。
③保持器：将采样信号转化为连续信号的装置（或元件）。
④信号复现过程：把脉冲序列--连续信号的过程。
4 .特点：采用系统中既有离散信号，又有连续信号。
采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。
而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。
二．数字控制系统1．定义：系统中含有数字计算机或数字编码元件的系统，是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。
2．组成系统包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态下的被控对象两大部分。
计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号，故需要A/D,D/A实现两种信号的转换。
自动控制原理课件：采样控制系统的分析
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
9
8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
采样控制系统的分析报告
东南大学自动控制实验室实验报告课程名称：热工过程自动控制原理实验名称：采样控制系统的分析院（系）：能源与环境学院专业：热能动力姓名：范永学学号：03013409 实验室：实验组别：同组人员：实验时间：2015.12.15 评定成绩：审阅教师：实验八 采样控制系统的分析一、实验目的1. 熟悉并掌握Simulink 的使用；2. 通过本实验进一步理解香农定理和零阶保持器ZOH 的原理及其实现方法；3. 研究开环增益K 和采样周期T 的变化对系统动态性能的影响；二、实验原理1. 采样定理图2-1为信号的采样与恢复的方框图，图中X(t)是t 的连续信号，经采样开关采样后，变为离散信号)(*t x 。
图2-1 连续信号的采样与恢复香农采样定理证明要使被采样后的离散信号X *(t)能不失真地恢复原有的连续信号X(t)，其充分条件为：max 2ωω≥S式中S ω为采样的角频率，max ω为连续信号的最高角频率。
由于T S πω2=，因而式可为 m axωπ≤T T 为采样周期。
2. 采样控制系统性能的研究图2-2为二阶采样控制系统的方块图。
图2-2采样控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均位于Z 平面上以坐标原点为圆心的单位圆内，且这种系统的动、静态性能均只与采样周期T 有关。
由图2-2所示系统的开环脉冲传递函数为：]25.05.01[)1(25])2(2[)1(25])15.0()1(25[)(21212++--=+-=+-==---S S S Z Z S S Z Z S S e Z z G S T]5.015.0)1([)1(25221T e Z Z Z Z Z TZ Z Z ---+----= ))(1()]21()12[(5.122222T T T T e Z Z Te e Z e T --------++-= 闭环脉冲传递函数为： )]21(]12[5.12)1()]21(12[5.12)()(222222222T T T T T T T T Te e Z e T e Z e Z Te e Z e T z R z C ----------++-+++---++-=）（ 5.12)5.1125()5.115.1325()]21(12[5.12222222++-+-+--++-=-----T e Z e T Z Te e Z e T T T T T T ）（根据上式，根据朱利判据可判别该采样控制系统否稳定，并可用迭代法求出该系统的阶跃输出响应。
采样控制系统的分析
东南大学自动控制实验室实验报告课程名称：热工过程自动控制原理实验名称：采样控制系统的分析院（系）：能源与环境学院专业：热能动力姓名：范永学学号： 03013409 实验室：实验组别：同组人员：实验时间： 2015.12.15 评定成绩：审阅教师：实验八采样控制系统的分析一、实验目的 1. 熟悉并掌握Simulink 的使用； 2. 通过本实验进一步理解香农定理和零阶保持器ZOH 的原理及其实现方法；3. 研究开环增益K 和采样周期T 的变化对系统动态性能的影响；二、实验原理1. 采样定理图2-1为信号的采样与恢复的方框图，图中X(t)是t 的连续信号，经采样开关采样后，变为离散信号)(*t x 。
图2-1 连续信号的采样与恢复香农采样定理证明要使被采样后的离散信号X *(t)能不失真地恢复原有的连续信号X(t)，其充分条件为：max 2ωω≥S式中S ω为采样的角频率，max ω为连续信号的最高角频率。
由于T S πω2=，因而式可为 m axωπ≤T T 为采样周期。
2. 采样控制系统性能的研究图2-2为二阶采样控制系统的方块图。
图2-2采样控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均位于Z 平面上以坐标原点为圆心的单位圆内，且这种系统的动、静态性能均只与采样周期T 有关。
由图2-2所示系统的开环脉冲传递函数为： ]25.05.01[)1(25])2(2[)1(25])15.0()1(25[)(21212++--=+-=+-==---S S S Z Z S S Z Z S S e Z z G S T ]5.015.0)1([)1(25221T e Z Z Z Z Z TZ Z Z ---+----= ))(1()]21()12[(5.122222T T T T e Z Z Te e Z e T --------++-=闭环脉冲传递函数为：)]21(]12[5.12)1()]21(12[5.12)()(222222222T T T T T T T T Te e Z e T e Z e Z Te e Z e T z R z C ----------++-+++---++-=）（ 5.12)5.1125()5.115.1325()]21(12[5.12222222++-+-+--++-=-----T e Z e T Z Te e Z e T T T T T T ）（根据上式，根据朱利判据可判别该采样控制系统否稳定，并可用迭代法求出该系统的阶跃输出响应。
采样控制系统的分析与设计
【例】求f（t）=t的z变换 解：由于
1 F (s) 2 s
[ t0 ]
在s=0处有二阶极点，f(t)的z变换F(z)为
zTe sT d z Tz F ( z) R sT sT 2 ds z e s 0 ( z e ) s 0 ( z 1) 2
k 0
对上列级数求和，写成闭合形式，得
1 z E( z) 1 1 z z 1
• 部分分式法
当连续信号是以拉普拉斯变换式F（S）的形式给出,且 F（S）为有理函数时,可以展开成部分分式的形式，即
Ai F ( s) i 1 s pi
n
Ai 对应的时域表达式 s pi
• 采样控制系统也是一类动态系统； • 该系统的性能也和连续系统一样可以分为 动态和稳态两部分； • 这类系统的分析也可以借鉴连续系统中的 一些方法，但要注意其本身的特殊性； • 采样系统的分析可以采用Z变换方法，也 可以采用状态空间分析方法。
8-2
信号的采样与复现
1、采样：把连续信号变成脉冲或数字序列的过 程叫做采样； 2、采样器：实现采样的装置，又名采样开关； 3、复现：将采样后的采样信号恢复为原来的连 续信号的过程； 4、采样方式： （1）等周期采样：
4、小结
• • • • 采样控制系统的结构； 计算机控制的采样系统的优点； 采样过程和采样定理； 零阶保持器的传函和特性。
8-3
Z变换与反变换
• 线性连续控制系统可用线性微分方程来 描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性 能及稳态性能。 • 对于线性采样控制系统则可用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性 能及稳态性能。 • Z变换是研究采样系统主要的数学工具， 由拉普拉斯变换引导出来，是采样信号 的拉普拉斯变换。
8路数据采集及报警控制系统
目录1.总体设计：1.1 设计思路1.2 课题目的1.3 器件选择2.硬件电路设计：2.1 数据输入模块2.2 模数转换模块2.3 主控电路-单片机2.4 显示模块3.系统程序设计：3.1 程序流程框图3.2 主程序4.总结5.附录1.总体设计：1.1 设计思路我们选择单片机与A/D转换芯片结合的方法实现本设计。
使用的基本元器件是：AT89C52单片机，ADC0809模数转换芯片，74LS164,数码管，按键，电容，电阻，晶振等。
数字电压测量电路由A/D转换、数据处理及显示控制等组成。
A/D转换由集成电路ADC0809完成。
ADC0809具有8路拟输入端口，地址线（23~- 25脚）可决定对哪一路模拟输入作A/D换。
22脚为地址锁存控制，当输入为高电平时，对地址信号进行锁存。
6脚为测试控制，当输入一个2uS宽高电平脉冲时，就开始A/D转换。
7脚为A/D转换结束标志，当A/D转换结束时，7脚输出高电平。
9脚为A/D转换数据输出允许控制，当OE脚为高电平时，A/D转换数据从该端口输出。
10脚为0809的时钟输入端。
通过对单片机p2.5口置低电平控制LED亮灯报警。
1.2 课题目的（1）掌握数据采集系统的设计方法。
（2）结合8051设计一个8路数据采集系统。
1.3 器件选择单片机是一种面向大规模的集成电路芯片，是微型计算机中的一个重要的分支。
此系统是由CPU、随即存取数据存储器、只读程序存储器、输入输出电路（I/O口），还有可能包括定时/计数器、串行通信口、显示驱动电路（LCD和LED驱动电路）、脉宽调制电路、模拟多路转换器及A/D转换器等电路集成到一个单块芯片上，构成了一个最小但完善的计算机任务。
单片机要使用特定的组译和编译软件编译程序，本设计选用80C51单片机。
键盘是一种常见的输入设备，用户可以向计算机输入数据或命令。
根据案件的识别方法分类，有编码键盘和非编码键盘两种。
通过硬件识别的键盘称编码键盘；通过软件识别的键盘成为非编码键盘。
第八 采样控制系统分析基础一-PPT精品文档
1
y 0
d 2
a 0 . 7 5
c 1 . 5
4
b 2 . 5
6
t
d
a x
2
3 t
§8.2 信号复现与零阶保持器
信号复现——从采样信号中恢复连续时间信号 保持器——恢复连续时间信号的工程器件
一、保持器
实现样点值外推功能的装置或者器件称为外推器或者 保持器。
1 2 x ( t ) x ( nT ) x ( nT )( t nT ) x ( nT )( t nT ) n t nT 2
1 x ( nT ) { x ( nT ) x [( n 1 ) T )]} T 1 x ( nT ) { x ( nT ) x [( n 1 ) T )]} T
零阶保持器
将样点幅值保持至下一时刻
x 0 * ( t)
x ( t ) x ( nT ), nT t ( n 1 ) T n
采样开关
采样器
x ( nT ) nT t nT x ( t ) t ( n 1 ) T 0 nT
*
x( t)
x *( t ) t=nT 开关闭合 t=nT + 开 关 打 开
采样信号 1 * x ( t ) x ( nT ) [ 1 ( t nT ) 1 ( t nT )] 矩形近似 n 0 理想采样信号 单位脉冲函数 (t nT)dt1
0
t
xn xn +1 xn +2
一阶保持器
不仅可以保持样点的幅值，而且可以保持采样点的斜 率至下一时刻。
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10z1 30z2 70z3
1 3z1 2z2 10z1
10z1 30z2 20z3
30z2 20z3 30z2 90z3
得到
70 z 3 70z3
X (z) 10z1 30z2 70z3
作z反变换
60z4
60z4 210z4
140 z 5
x(nT) 0 (t) 10 (t T ) 30 (t 2T ) 70 (t 3T)
xn (t) x(nT )
T
(t nT ),
nT t (n 1)T
二、零阶保持器的数学模型
样点值的常值外推，其输入输出关系如图
时间函数 拉氏变换
gh (t) 1(t) 1(t T )
Gh (s)
1 s
1 eTs s
1 eTs s
频率特性
Gh
(
j
)பைடு நூலகம்
1
e jT
j
1 jT 1 jT
1 jT
e 2 (e2 e 2 )
j
T sin( T
2)
e
j
s
T 2
由于 T 2
可写为
s
Gh (
j )
2 s
sin( s ) s
e 2 s
零阶保持器的近似实现
由于
eTs 1 Ts 1 T 2s2
取泰勒级数的前两项
2!
1 eTs Gh (s) s
1 s
(1
1 eTs
)
eTs 1Ts
T 1 Ts
关于采样定理的说明
1、采样定理从理论上指明了从采样信号x*(t) 中恢复 原连续时间信号 x(t) 的条件。对于频谱丰富的时
间信号，频谱成分的上限频率a是不存在的。另
外，理想的低通滤波器也是不存在的。 2、频谱混迭的物理意义 （“车轮效应” ） 一车轮每秒钟转一圈
y sin1t 1 2 sin 2t
一阶后向差分 二阶后向差分 ……
xn x(n) x(n 1) 2 xn xn xn1 x(n) 2x(n 1) x(n 2)
一阶前向差分 二阶前向差分 ……
xn x(n 1) x(n) 2xn xn1 xn x(n 2) 2x(n 1) x(n)
历史时刻、当前时刻、未来时刻之间的数据依赖关系
则可以从离散时间信号x*(t)中将原连续时间信号 x(t)
恢复。否则，会发生频率混迭，从离散时间信号中不
能将原连续时间信号恢复。
证明：
x(nT)
Ts|X()| 低通滤波器
-s
s
0
t
-a 0 a
如果满足条件s > 2a ，镜象频谱与主频谱相互分
离，可以采用一个低通滤波器，将采样信号频谱中的
镜像频谱滤除，来恢复原连续时间信号。
如果不满足条件s > 2a ，采样信号频谱中的镜像频
谱就会与主频谱混迭，采用低通滤波的方法恢复的
信号中仍混有镜像频谱成分，不能恢复成为原连续 时间信号，所发生的信号混迭如图。
时域意义：在原系统一个周期内，至少采 样2次，才能完全复现模拟信号 。
频域意义：采样信号的频率至少大于连续 信号频谱的两倍，才能完全复现连续信号， 防止信号重叠。
第三种方法： 部分分式法
将X(z)分解为对应于基本信号的部分分式，再查表来
求得其z反变换。
注意：由于基本信号的z变换都带有因子z，所以，要
将 X (z) 分解为部分分式
例8－6 z前例 解
X (z) 10z (z 1)(z 2)
X (z)
10
10 10
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
（2）实位移定理
时序后移
Z[x(t mT)] zm X (z)
时序前移
m1
Z[x(t mT)] zm X (z) zm x(mT) zm
（3）复位移定理
m0
Z[x(t) et ] X (z eT )
（4）变换域微分定理
例如
1(t) z z 1
（5）初值定理
Z[t x(t)] Tz d [X (z)] dz
1
{x(nT )
x[(n
1)T )]}
T
••
x(nT )
1
{x(nT )
x[(n
1)T )]}
T
零阶保持器
将样点幅值保持至下一时刻
xn (t) x(nT ), nT t (n 1)T
一阶保持器
不仅可以保持样点的幅值，而且可以保持采样点的斜 率至下一时刻。
x(nT ) x[(n 1)T ]
n0
以z为自变量的 罗朗级数。
收敛条件 z 1
2、典型时间信号的z变换
（1）单位脉冲信号
由于 所以由定义
A 0 (t)dt 1 0
Z[ (t)] x(nT ) zn x(nT) (t) 1 n0
（2）单位阶跃信号
由定义
X (z) x(nT) zn 1(nT) zn 1 z1 z2
取泰勒级数的前三项
1 1 Ts
Gh (s)
无源电网络实现如图
T
1
Ts
2 1
2
T
2
s
2
§8.3 采样信号的z变换
一、z 变换：变换域关系 连续时间信号：x(t) 拉氏变换：X(s) 离散时间信号：x(nT) Z 变换： X(z) 1、z 变换的定义 已知连续时间信号x(t) ，其采样信号为x(nT)， 定义z变换
X (z) Z[x(t)]
例8－1 已知时间函数的拉氏变换为
X (s) 1 s(s 1)
试求z变换 X(z)。 解 展开部分分式
X (s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
作拉氏反变换
x(t) L1[1 1 ] 1(t) et s s 1
作z变换
x(
z
)
Z[1(t
)
e
t
]
1
1 z
作z变换
X (z) x(nT ) zn x(0) x(T ) z1 x(2T ) z2 n0
调制脉冲 (t-nT) 对应于变换算子 z-1
z-1又称为一步延迟因子， z变换算子 z 带有明 确的时间信息。
iii、z变换的收敛和特性
z变换定义为
X (z) x(nT ) zn
第八章 采样控制系统分 析基础
采样控制，又称断续控制、离散控制 早期——采样控制 现代——计算机控制
§8.1 信号的采样与采样定理
一、信号的采样
连续时间信号
采样器
实际采样信号
理想采样信号
采样开关
x*
(t
)
x(nT
0
)
nT t nT nT t (n 1)T
x(t)
x*(t)
t=nT 开关闭合
t=nT+ 开关打开
采样信号 矩形近似
x* (t)
x(nT ) 1 [1(t nT ) 1(t nT )]
n0
理想采样信号
单位脉冲函数
(t nT )dt 1
离散脉冲序列
x*(t) x(nT ) (t nT ) n0
T (t) (t nT) n0
x*(t) x(nT ) (t nT ) x(nT ) T (nT ) n0
b 4
2.5
6 t 3t
§8.2 信号复现与零阶保持器
信号复现——从采样信号中恢复连续时间信号
保持器——恢复连续时间信号的工程器件
一、保持器
实现样点值外推功能的装置或者器件称为外推器或者
保持器。
xn (t) t
nT
x(nT )
•
x(nT )(t
nT )
1 2
••
x (nT )(t
nT ) 2
•
x(nT )
X (z) Z[x(t)] x(nT ) zn n0
证明： 采样信号 作拉氏变换 作算子代换 得到
x(t) x(nT ) (t nT )
n0
X (s) L[ x(nT) (t nT)] x(nT) enTs
n0
n0
z = eTs （置换超越函数）
X (z) Z[x(t)] x(nT ) zn n0
等比级数。
n0
n0
收敛和为
X
(
z)
1
1 z
1
或者
X (z) z z 1
（3）单位斜坡信号 x(t) t 1(t)
由定义 由于
X (z) x(nT ) zn x(nT)nT (nT ) zn
n0
n0
两边对变量z求导
zn
z
n0
z 1
n0
(n)
z n1
1 (z 1)2
两边同时乘以 –Tz ，得到
t 1(t)
Tz (z 1)2
x(0) lim x(t) lim X (z)
t 0
z
（6）终值定理
x() lim x(t) lim (z 1)X (z)
t
z1
（7）卷积和定理
m
Z{ x1[(n i)T ] x2 (iT )} X1(z) X 2 (z) i0
三、z反变换 已知 X(z) 求 x(nT)
采样信号的物理意义
连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间 调制。
单位脉冲序列被连续时间信号作了幅值加 权。
二、香农采样定理 (Shannon)
连续时间信号x(t)
其付立叶变换为X() 其频谱分量中的最高频率成分为a。
对连续时间信号采样
采样频率为s ，
采样后的离散时间信号为x*(t) 。 若
s > 2a
0 a 0.5