第八章计算机采样控制系统
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《采样控制系统》课件
离散时间系统
采样控制系统在离散时间点上对系统 进行采样和调节，其数学模型通常采 用差分方程或离散时间状态方程表示 。
连续时间系统
在连续时间系统下，采样控制系统通 过将连续时间信号转换为离散时间信 号进行处理，其数学模型通常采用积 分方程或微分方程表示。
采样控制系统的稳定性分析
稳定性条件
为了确保采样控制系统的稳定性，需要满足一定的条件，如极点配置、状态反 馈等。
01
02
03
传感器选择
根据控制需求选择合适的 传感器，如光电传感器、 压力传感器等，确保信号 采集的准确性和稳定性。
信号调理电路设计
设计信号调理电路，对采 集的信号进行放大、滤波 等处理，以适应后续的信 号处理。
控制器选择
根据控制需求选择合适的 控制器，如PLC、单片机 等，确保控制算法的实现 和系统的稳定性。
采样控制系统的软件实现
控制算法设计
根据控制需求选择合适的控制算法，如PID控制、模糊控制等，并 进行软件编程实现。
人机界面设计
设计友好的人机界面，方便用户进行系统参数设置、实时监控等操 作。
数据存储与处理
实现数据的存储与处理，方便后续的数据分析和优化。
采样控制系统的调试与测试
系统调试
对硬件和软件进行联合调试，确保系统各部分正常工作。
采样控制系统在智能制造领域的应用前景
智能制造装备
采样控制系统将应用于 智能制造装备中，实现 设备的自动化和智能化 控制，提高生产效率和 产品质量。
工业机器人
通过采样控制系统对机 器人进行精确控制，实 现机器人自主导航、智 能感知和人机交互等功 能。
智能物流系统
利用采样控制系统对物 流系统进行优化和控制 ，实现物流信息的实时 感知和智能调度，提高 物流效率和降低成本。
采样控制系统在离散时间点上对系统 进行采样和调节，其数学模型通常采 用差分方程或离散时间状态方程表示 。
连续时间系统
在连续时间系统下，采样控制系统通 过将连续时间信号转换为离散时间信 号进行处理，其数学模型通常采用积 分方程或微分方程表示。
采样控制系统的稳定性分析
稳定性条件
为了确保采样控制系统的稳定性，需要满足一定的条件，如极点配置、状态反 馈等。
01
02
03
传感器选择
根据控制需求选择合适的 传感器，如光电传感器、 压力传感器等，确保信号 采集的准确性和稳定性。
信号调理电路设计
设计信号调理电路，对采 集的信号进行放大、滤波 等处理，以适应后续的信 号处理。
控制器选择
根据控制需求选择合适的 控制器，如PLC、单片机 等，确保控制算法的实现 和系统的稳定性。
采样控制系统的软件实现
控制算法设计
根据控制需求选择合适的控制算法，如PID控制、模糊控制等，并 进行软件编程实现。
人机界面设计
设计友好的人机界面，方便用户进行系统参数设置、实时监控等操 作。
数据存储与处理
实现数据的存储与处理，方便后续的数据分析和优化。
采样控制系统的调试与测试
系统调试
对硬件和软件进行联合调试，确保系统各部分正常工作。
采样控制系统在智能制造领域的应用前景
智能制造装备
采样控制系统将应用于 智能制造装备中，实现 设备的自动化和智能化 控制，提高生产效率和 产品质量。
工业机器人
通过采样控制系统对机 器人进行精确控制，实 现机器人自主导航、智 能感知和人机交互等功 能。
智能物流系统
利用采样控制系统对物 流系统进行优化和控制 ，实现物流信息的实时 感知和智能调度，提高 物流效率和降低成本。
采样控制系统
第八章采样控制系统§8-1 基本概念重点：采样系统的基本概念难点：离散信号与连续信号的区别连续系统：各变量均为时间t的连续函数。
离散系统：系统中某一处或几处的信号是脉冲序列或数字编码。
离散信号：仅在离散的瞬时上变化，是时间的离散函数，呈现的是脉冲信号或数码信号。
通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形成的离散系统，称为采样控制系统或计算机控制系统。
散控制系统分为：一、采样控制系统1．定义: 指间断地对系统中某些变量进行测量和控制的系统。
2．典型结构：根据采样装置在系统中所处的位置不同,可以构成各种采样系统。
例如：开环采样系统：采样器位于系统闭和回路之外，或系统本身不存在闭合回路。
闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内。
常用误差采样控制的闭环采样系统。
如图，图中：r(t),e(t),y(t)为输入误差，输出的连续信号，S—采样开关或采样器，为实现采样的装置。
T—采样周期。
e﹡(t)—是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。
e*(t)作为脉冲控制器的输入,经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号。
即将脉冲信号e*(t)①采样过程：把连续信号转变为脉冲序列的过程称采样过程，简称采样。
②采样器：实现采样的装置，或采样开关。
③保持器：将采样信号转化为连续信号的装置（或元件）。
④信号复现过程：把脉冲序列--连续信号的过程。
4 .特点：采用系统中既有离散信号，又有连续信号。
采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。
而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。
二．数字控制系统1．定义：系统中含有数字计算机或数字编码元件的系统，是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。
2．组成系统包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态下的被控对象两大部分。
计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号，故需要A/D,D/A实现两种信号的转换。
自动控制原理课件：采样控制系统的分析
特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
9
8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
例8-2：试求函数 f(t)=1(t) 的z变换。
解:
f (kT) =1(kT) =1
(k=0,1,2,3….)
F ( z ) f (kT ) z k 1 1 z 1 1 z 2
k 0
1 z k
通过外，一些高频分量也允许通过。
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8.3
采样控制系统的数学基础
例8-1：求如下系统采样后输入到采样后输出的传递函数
解：取∗ = ，则 ∗ = ，连续对象的输出为
= − ⇒ ∗ = () + − − + − − + ⋯
⇒
(Discrete-time signal)
离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而
得到的，又称采样信号。
脉冲采样（理想情形）
1
0
t
T ( t )
理想采样器 对应脉冲序列 = σ∞
=−∞ ( − )
t
0
T
2T
8.2
采样过程和采样定理
按一定的时间间隔对连续信号采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列
线性采样系统稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于
z平面的单位圆内，即满足特征根皆
i 1，i 1，
2，
，n
问题：高阶系统求取特征根不容易，如何不用求解特征方程的根
就能判别线性采样系统的稳定性呢？
问题：如何推广应用劳斯稳定判据？
首先要通过双线性变换
w 1
z
w 1Байду номын сангаас
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用
08第八章 计算机集散控制系统
但是集中型计算机控制存在三个主要问题：
①.集中的脆弱性:集中控制使危险也集中， 一旦计算机系统发生故障，将导致生产过程 的全面瘫痪； ②.计算机的负荷：由于计算机控制回路多， 计算机的负荷过重，导致控制性能降低； ③ .系统开发周期和人才利用：由于计算机 控制的应用面越来越广，计算机控制系统的 规模和复杂性越来越大，造成开发周期增加， 人力资源难以组织。
进入20世纪70年代后，随着大规模集成电路 的问世，微处理器诞生，以及控制技术﹑显示 技术﹑计算机技术﹑通信技术等进一步发展， 产生了新型的计算机控制系统——集散控制系 统，它按控制功能或按区域分散配置若干个控 制站，每个控制站可控制几个﹑十几个或几十 个回路，从而实现了控制功能分散，使得危险 也得以分散。系统中使用多台屏幕显示器进行 监视﹑操作和管理，系统中各控制站通过完全 双重化的数据通信系统连接起来。
这一阶段的代表产品有美国Honeywell公 司的TDC2000，它是一个具有许多微处理器的 分级控制系统，以分散的控制设备来适应分散 的过程对象，并将它们通过数据高速公路与基 于CRT的操作站相连接，互相协调，实现对工 业过程的控制和监视，达到掌握全局的目的。 系统克服了集中型计算机控制系统的致命弱点， 实现了控制系统的功能分散﹑负荷分散，从而 危险也分散。这个阶段比较著名的产品还有 Bailey公司的NetWork90，Foxboro公司的 Spectrum，日本横河的CENTUM 等。
1975年，美国 Honeywell公司首次向世界 范围推出TDC2000系统，随之世界各大仪表制 造公司也推出各自的集散控制系统，从而使过 程控制进入集散控制系统时期。集散控制系统 的发展大体可分为三个阶段，每个阶段的技术 重点表现如下：
第一阶段：1975～1980年， 以微处理器 为基础的过程控制单元，实现多种控制功能算 法，并实现分散控制：采用带显示器的操作站， 与过程控制单元分离，实现集中监视﹑集中操 作﹑信息综合管理；采用较先进的冗余通信系 统﹑用同轴电缆做传输媒质，实现控制单元与 操作站的通信。
采样控制系统
则有
(t - nT 0, (t nT ) 0)
1 E * ( s) E[ s jn s ] T n
通常E*(s)的全部极点均位于S平面的左半部，因 此可用jω代替上式中的复变量s，直接求得采样信号 的傅氏变换：
1 E * ( j ) E[ j ( n s )] T n
图1-10：输入和输出关系
de de e(t ) |nT △T e(nT ) |nT △t 2 |nT △t 2 dt dt
e(t ) | nT △T e(nT )
n 0
(0 △t T )
eh (t ) e(nT )[1(t (n 1)T ) 1(t nT )]
1.4.1 Z变换定义
设连续时间函数f(t)可进行拉氏变换，其拉氏 变换为F(s)。连续时间函数f(t)经采样周期为T的采 样开关后，变成离散信号f*(t)
f * (t ) f (t ) (t kT ) f (kT ) (t kT )
k 0 k 0
离散信号的拉氏变换为
由图1-10可见，零阶保持器的输出信号是阶梯 信号。它与要恢复的连续信号是有区别的，包含有 高次谐波。若将阶梯信号的各中点连接起来，可以 得到比连续信号退后T／2的曲线。这反映了零阶保 持器的相位滞后特性。
零阶保持器的传递函数
Ts 1 e Eh ( s) e(nT )e nTs s n 0
保持器是一种时域的 外推装置，即根据过去或 现在的采样值进行外推。
图1-9：理想滤波器频率特性
通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的 保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中 最简单、最常用的是零阶保持器。
(自动控制原理)采样控制系统
X(s )= M(s ) N(s ) 的多项式， 其中， 其中，M(s )及 N(s )分别为复变量s 的多项式，并
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
同济大学《自动控制原理》控制工程基础-计算机采样控制系统sun(2)概诉
时的脉冲传递函数G(z).
a 1 1 Gz Z Gs Z Z s s a s s a
Z 1kT eakT
z z z 1 e aT aT z 1 z eaT z 1 z e
9
2018/11/27
脉冲传递函数（8）
2.根据系统的差分方程求系统的Z变换 已知一个系统（或环节）的差分方程 yk a1 yk 1 ... an1 yk n 1 an yk n b0 r k b1r k 1 ...bm1r k m 1 bm r k m 该系统（或环节）的脉冲传递函数，可通过对差分方程的两边 分别求Z变换
1.有采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传递函数等于各 环节的脉冲传递函数之积。 C ( z ) G2 ( z ) X ( z ) X ( z) G1 ( z) R( z) 将X(z)代入C(z)
r t
*
yt
y * (t )
Z y* (t ) Y ( z ) G( z ) Z r * (t ) R( z )
2018/11/27 3
脉冲传递函数（2）
一个采样系统，输出实际上是连续信号。为了能应用脉冲传 递函数描述该系统，可以人为在输出端虚设一个与输入同步采样 的采样开关，以该采样开关的采样脉冲输出信号作为该系统或环 节的输出信号。如下图所示： G(z)
1 i 0
脉冲传递函数的求法
1)由连续系统（或环节）的传递函数G(s)求相应离散系统(或环节） 的脉冲传递函数可以采用下例的部分分式法。
2018/11/27 8
自动控制原理 第8章_采样控制系统
离散控制系统、数字控制系统和采样控 制系统都是同类系统，但严格是有差别的。 一、离散控制系统：内涵最广，它涵盖了采 样和数字控制系统。离散控制处理的是 离散信号。 二、采样控制系统：包括了采样数据信号和 数字信号，如过程控制系统（PCS）。 采样控制处理的是采样信号。 三、数字控制系统：信号是一个数字序列， 如数字仿真系统（DSS）。数字控制处 理的是数字信号。
C ne
j n s t
…………………(8-13) 为采样角频率；
1 T
式中：T 为采样周期，
1 T
ωs
2 T
Cn
T /2 T / 2
T ( t )e
j n t t
dt
…………… (8-14)
理想单位脉冲序列 T ( t ) 的傅氏级数为：
T (t )
e * ( t ) e ( t ) T ( t ) ……………………(8-6)
其中理想的单位脉冲序列 T ( t ) 可以表示为：
T (t )
( t n T ) ………………………(8-7)
实际的控制系统中，当 t 0 时，e ( t ) 0 ，所以式(8-7) 求和下限变为零后代入式（8-6）中得到：
零阶保持器可以实现采样点的常值外推，它的输出是 一个高度为，宽度为的方波，如图8-11所示，零阶保 持器的输出相当于一个幅值为的阶跃函数和滞后时间 的反向阶跃函数之差，即：
e(t ) A(t )
eh (t ) Au(t ) Au(t T )
零阶保持器的传递函数为：
G0 ( s ) L [ eh ( t )] L [ e( t )] A 1 s A A 1 s e
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第八章 计算机采样控制系统
§8.4 采样控制系统的数学模型
或
(n) y(k) c1(n-1) y(k) cn-1y(k) cn y(k) d 0(m) r(k) d1 (m-1) r(k) d n-1r(k) d n r(k)
y (i) (k ), r ( j) (k) (i 0,1,, n; j 0,1,, m) 分别表示输出
一、差分方程
如将连续系统离散化，则可将各阶微分用各阶差分近似代替，从 而得到用输出、输入信号的离散序列及其各阶差分所描述的系统运动 方程，如下所示：
(n) y(k) c1(n-1) y(k) cn-1y(k) cn y(k) d 0 (m) r(k) d1(m-1) r(k) d n-1r(k) d n r(k)
后向差分方程
y(k) a1 y(k - 1) an-1 y(k - n 1) an y(k - n) b0r(k) b1r(k - 1) bm-1r(k - m 1) bmr(k - m)
其中n是差分方程的阶数，等于输出变量序号的最高值与最低值
之差。
表明 E (s) 是s的周期性函数。
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
(2) 采样定理
用 s j 代入上式得
E ( j)
1 T
E( j(
k -
k s
))
根据采样频率 s 的大小
第八章 计算机采样控制系统
§8-3 Z变换和Z反变换
2．求Z变换的方法
(1) 级数求和法 ：根据Z变换定义求得。
例8-1 求单位阶跃函数的Z变换
解 单位阶跃函数在各个采样时刻的值均为1，即1(kT) 1 ，k=0, 1, 2, …，则
Z[1(t)]
1
k 0
z -k
11
z -1
1
§8-2 信号的采样与保持
零阶保持器的幅频特性如图8-9所示 Gh ( j)
0
s
2s
3s
图8-9 零阶保持器的幅频特性
由图8-9可见，其幅值随着频率 的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性，此外，由
相频特性可见，采用零阶保持器还将产生相角滞后，对稳定性不利。
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
零阶保持器
eh (t) eh (t)
T 2
0 T 2T 3T 4T
t
0 T 2T 3T 4T
t
图8-7 零阶保持器的输入和输出信号
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
2．零阶保持器的传递函数
gh (t) 1
由图可见：
gh (t) 1(t) -1(t - T )
0T gh (t)
第八章 计算机采样控制系统
通常把采样周期T当作一个单位，并将 f (kT) 简记为 f (k) ，这样，采样序列的Z
变换即定义为
F (z) Z[ f * (t)] Z[ f (k)] f (k)z -k
k 0
Z变换式只表征了连续函数在采样时刻的特性，而不能反映采样时刻 之间的特性。 Z变换实质上是指经过采样后 f (t)的 Z变换。
脉冲序列的过程。
采样器（采样开关）：用来实现采样过程的装置，可以用一个按一定周期闭合的开关
来表示，其采样周期为T，每次闭合时间为ε，如图8-3所示。
理想的采样器相当
e (t)
e*(t)
于一个理想的单位 脉冲序列发生器
T
0
t
0T
t
图8-3 模拟信号的采样
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
1
z
k0
1 - e-aT z -1 z - e-aT
第八章 计算机采样控制系统
§8-3 Z变换和Z反变换
e-aT z -1 1 ，即 z e-aT 时收敛。
(2) 部分分式法
当连续函数f (t) 的拉氏变换 F(s) 为s的有理函数，可以展开成部分分式，即
相应于F(s) 的Z变换为
n
n阶前向差分为：
n y(k) [(n-1) y(k)]
一阶后向差分为： 二阶后向差分为：
y(k) y(k) - y(k -1)
2 y(k) [y(k)] [ y(k) - y(k -1)] y(k) - 2 y(k -1) y(k - 2)
n阶后向差分为：
T (t) 是一个以T为周期的函数，可以展开为傅立叶级数 ，其复数形式为：
T (t) Ane jkst k -
e (t )
e(t)T
(t)
1 T
e(t)e
k -
jkst
E (s)
1 T
E(s
k -
jk s
)
上式反映了采样函数的拉氏变换式 E (s) 和连续函数拉氏变换式 E(s)之间的关系，这
第八章 计算机采样控制系统
§ 8.1 概述 §8.2 信号的采样与保持 §8.3 Z变换和Z反变换 §8.4 采样控制系统的数学模型 §8.5 采样系统的性能分析
§8.6 采样控制系统的设计
第八章 计算机采样控制系统
§8-1 概 述
定义
离散信号：离散系统中的一处或数处的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的 脉冲序列。 离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行 采样而得到的，故又称为采样信号，相应的离散系统称为采样系统。
解
因为 F(s) a 1 - 1 s(s a) s s a
，由拉氏反变换知，f (t) 1 - e-at
，故由例8-1和
例8-2可知：
F(z) 1 -
1
(1 - e-aT )z -1
z(1 - e-aT )
1 - z -1 1 - e-aT z -1 (1 - z -1 )(1 - e-aT z -1 ) (z - 1)(z - e-aT )
n y(k) [ (n-1) y(k)]
第八章 计算机采样控制系统
§8.4 采样控制系统的数学模型
从而得到相应的系统前向差分方程和后向差分方程如下： 前向差分方程
y(k n) a1 y(k n - 1) an-1 y(k 1) an y(k) b0r(k m) b1r(k m - 1) bm-1r(k 1) bmr(k)
计算机采样控制系统如图8-1所示。
r(t) e(t)
-
e (t) 数字 u (t)
A/D
控制器
D/A
数字计算机
uh (t) 被控 c(t)
对象
测量 元件
图8-1 计算机采样控制系统
第八章 计算机采样控制系统
§8-1 概述
在分析采样控制系统时，把 A/D和D/A的工作过程理想化， 即认为A/D转换相当于一个 每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关，它把连续信号变成数字信号； 而D/A转换则近 似于一个保持器，它把数字信号变成连续信号。
于是，图8-1中的计算机采样控制系统就可以用图8-2的结构图来表示。
r(t)
e(t) e(t) 数字
T
控制器
-
u (t)
uh (t)
保持器
T
被控 对象
c(t)
测量 元件
图8-2 采样控制系统结构图
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
一、采样过程
采样过程：就是按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为时间上离散的
§8-2 信号的采样与保持
为使采样后的信号不丢失原连续信号的信息，或者说为了能将采样后的 离散信号恢复为原连续信号，必须使采样信号的频谱中各部分相互不重叠， 即：
s 2max
香农(Shannon)采样定理 只有当 s 2max 时，采样后的离散信号才能保持原连续信 号的信息，可无失真地恢复为原来的连续信号。
输入信号的各阶前向差分
y (i) (k) r ( j) (k ) 表示输出、输入信号的各阶后向差分。
以输出为例的各阶差分如下：
第八章 计算机采样控制系统
§8.4 采样控制系统的数学模型
一阶前向差分为： y(k) y(k 1) - y(k)
二阶前向差分为：
2 y(k) [y(k)] [ y(k 1) - y(k)] y(k 2) - 2 y(k 1) y(k)
e (t)
T(t) e(t) 调制器 e*(t)
0 T(t)
0 e*(t)
0
单位脉冲序列
T (t) (t - kT) k -
t
e
(t)
e(t ) T
(t)
e(t)
k -
(t
-
kT)
e(kT)
k -
(t
-
kT)
E(s) L[e(t)] e(kT)e-kTs k 0
Gh ( j) Gh ( j)
幅频特性为
Gh ( j)
sin2 T (1 - cosT )2 sin(T / 2)
T
T / 2
相频特性为
Gh
( j)
arctan
-
(1- cosT sin T
)
arctan
-
tan
T 2
-
T 2
§8.4 采样控制系统的数学模型
或
(n) y(k) c1(n-1) y(k) cn-1y(k) cn y(k) d 0(m) r(k) d1 (m-1) r(k) d n-1r(k) d n r(k)
y (i) (k ), r ( j) (k) (i 0,1,, n; j 0,1,, m) 分别表示输出
一、差分方程
如将连续系统离散化，则可将各阶微分用各阶差分近似代替，从 而得到用输出、输入信号的离散序列及其各阶差分所描述的系统运动 方程，如下所示：
(n) y(k) c1(n-1) y(k) cn-1y(k) cn y(k) d 0 (m) r(k) d1(m-1) r(k) d n-1r(k) d n r(k)
后向差分方程
y(k) a1 y(k - 1) an-1 y(k - n 1) an y(k - n) b0r(k) b1r(k - 1) bm-1r(k - m 1) bmr(k - m)
其中n是差分方程的阶数，等于输出变量序号的最高值与最低值
之差。
表明 E (s) 是s的周期性函数。
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
(2) 采样定理
用 s j 代入上式得
E ( j)
1 T
E( j(
k -
k s
))
根据采样频率 s 的大小
第八章 计算机采样控制系统
§8-3 Z变换和Z反变换
2．求Z变换的方法
(1) 级数求和法 ：根据Z变换定义求得。
例8-1 求单位阶跃函数的Z变换
解 单位阶跃函数在各个采样时刻的值均为1，即1(kT) 1 ，k=0, 1, 2, …，则
Z[1(t)]
1
k 0
z -k
11
z -1
1
§8-2 信号的采样与保持
零阶保持器的幅频特性如图8-9所示 Gh ( j)
0
s
2s
3s
图8-9 零阶保持器的幅频特性
由图8-9可见，其幅值随着频率 的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性，此外，由
相频特性可见，采用零阶保持器还将产生相角滞后，对稳定性不利。
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
零阶保持器
eh (t) eh (t)
T 2
0 T 2T 3T 4T
t
0 T 2T 3T 4T
t
图8-7 零阶保持器的输入和输出信号
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
2．零阶保持器的传递函数
gh (t) 1
由图可见：
gh (t) 1(t) -1(t - T )
0T gh (t)
第八章 计算机采样控制系统
通常把采样周期T当作一个单位，并将 f (kT) 简记为 f (k) ，这样，采样序列的Z
变换即定义为
F (z) Z[ f * (t)] Z[ f (k)] f (k)z -k
k 0
Z变换式只表征了连续函数在采样时刻的特性，而不能反映采样时刻 之间的特性。 Z变换实质上是指经过采样后 f (t)的 Z变换。
脉冲序列的过程。
采样器（采样开关）：用来实现采样过程的装置，可以用一个按一定周期闭合的开关
来表示，其采样周期为T，每次闭合时间为ε，如图8-3所示。
理想的采样器相当
e (t)
e*(t)
于一个理想的单位 脉冲序列发生器
T
0
t
0T
t
图8-3 模拟信号的采样
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
1
z
k0
1 - e-aT z -1 z - e-aT
第八章 计算机采样控制系统
§8-3 Z变换和Z反变换
e-aT z -1 1 ，即 z e-aT 时收敛。
(2) 部分分式法
当连续函数f (t) 的拉氏变换 F(s) 为s的有理函数，可以展开成部分分式，即
相应于F(s) 的Z变换为
n
n阶前向差分为：
n y(k) [(n-1) y(k)]
一阶后向差分为： 二阶后向差分为：
y(k) y(k) - y(k -1)
2 y(k) [y(k)] [ y(k) - y(k -1)] y(k) - 2 y(k -1) y(k - 2)
n阶后向差分为：
T (t) 是一个以T为周期的函数，可以展开为傅立叶级数 ，其复数形式为：
T (t) Ane jkst k -
e (t )
e(t)T
(t)
1 T
e(t)e
k -
jkst
E (s)
1 T
E(s
k -
jk s
)
上式反映了采样函数的拉氏变换式 E (s) 和连续函数拉氏变换式 E(s)之间的关系，这
第八章 计算机采样控制系统
§ 8.1 概述 §8.2 信号的采样与保持 §8.3 Z变换和Z反变换 §8.4 采样控制系统的数学模型 §8.5 采样系统的性能分析
§8.6 采样控制系统的设计
第八章 计算机采样控制系统
§8-1 概 述
定义
离散信号：离散系统中的一处或数处的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的 脉冲序列。 离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行 采样而得到的，故又称为采样信号，相应的离散系统称为采样系统。
解
因为 F(s) a 1 - 1 s(s a) s s a
，由拉氏反变换知，f (t) 1 - e-at
，故由例8-1和
例8-2可知：
F(z) 1 -
1
(1 - e-aT )z -1
z(1 - e-aT )
1 - z -1 1 - e-aT z -1 (1 - z -1 )(1 - e-aT z -1 ) (z - 1)(z - e-aT )
n y(k) [ (n-1) y(k)]
第八章 计算机采样控制系统
§8.4 采样控制系统的数学模型
从而得到相应的系统前向差分方程和后向差分方程如下： 前向差分方程
y(k n) a1 y(k n - 1) an-1 y(k 1) an y(k) b0r(k m) b1r(k m - 1) bm-1r(k 1) bmr(k)
计算机采样控制系统如图8-1所示。
r(t) e(t)
-
e (t) 数字 u (t)
A/D
控制器
D/A
数字计算机
uh (t) 被控 c(t)
对象
测量 元件
图8-1 计算机采样控制系统
第八章 计算机采样控制系统
§8-1 概述
在分析采样控制系统时，把 A/D和D/A的工作过程理想化， 即认为A/D转换相当于一个 每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关，它把连续信号变成数字信号； 而D/A转换则近 似于一个保持器，它把数字信号变成连续信号。
于是，图8-1中的计算机采样控制系统就可以用图8-2的结构图来表示。
r(t)
e(t) e(t) 数字
T
控制器
-
u (t)
uh (t)
保持器
T
被控 对象
c(t)
测量 元件
图8-2 采样控制系统结构图
第八章 计算机采样控制系统
§8-2 信号的采样与保持
一、采样过程
采样过程：就是按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为时间上离散的
§8-2 信号的采样与保持
为使采样后的信号不丢失原连续信号的信息，或者说为了能将采样后的 离散信号恢复为原连续信号，必须使采样信号的频谱中各部分相互不重叠， 即：
s 2max
香农(Shannon)采样定理 只有当 s 2max 时，采样后的离散信号才能保持原连续信 号的信息，可无失真地恢复为原来的连续信号。
输入信号的各阶前向差分
y (i) (k) r ( j) (k ) 表示输出、输入信号的各阶后向差分。
以输出为例的各阶差分如下：
第八章 计算机采样控制系统
§8.4 采样控制系统的数学模型
一阶前向差分为： y(k) y(k 1) - y(k)
二阶前向差分为：
2 y(k) [y(k)] [ y(k 1) - y(k)] y(k 2) - 2 y(k 1) y(k)
e (t)
T(t) e(t) 调制器 e*(t)
0 T(t)
0 e*(t)
0
单位脉冲序列
T (t) (t - kT) k -
t
e
(t)
e(t ) T
(t)
e(t)
k -
(t
-
kT)
e(kT)
k -
(t
-
kT)
E(s) L[e(t)] e(kT)e-kTs k 0
Gh ( j) Gh ( j)
幅频特性为
Gh ( j)
sin2 T (1 - cosT )2 sin(T / 2)
T
T / 2
相频特性为
Gh
( j)
arctan
-
(1- cosT sin T
)
arctan
-
tan
T 2
-
T 2