第八章 采样系统

迭代出差分方程的解为：
结果模拟信号采样的结果一样。
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但是，采样一般系统的差分方程是很难求得 的，用迭代法求得的差分方程的时间解又是脉 冲序列，故直接用差分方程分析采样系统是非 常不方便的，通常是将连续系统离散化后，对 传递函数进行Z变换，求出脉冲传递函数及输 出量的Z变换，再用Z反变换的方法可求得采样
，则超前定理可表示为
6.复数偏移定理 设e（t）的Z变换为E（z），则有 7.卷积和定理 设 则有 式中,当n为负数时，
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例8-2 求
解
对应时间函数的Z变换。
查表8-1得
例8-3 用Z变换求积分环节 为使信息不丢失，需加保持器，即：
的差分方程。
结果与前面直接求的差分方程一样。
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五、Z反变换 和拉氏反变换类似，Z反变换可以表示为
前节已经提到过，连续信号e经采样后的离散信号e*为一脉 冲序列。如果采样所得的脉冲序列的脉冲持续时间ε 极短，以 至远小于采样周期及系统连续部分的时间常数，那么就可以 认为ε 趋近于零。在这种情况下，采样过程可看成一个理想单 位脉冲序列发生器对模拟信号的脉冲调制过程。设单位脉冲 序列发生器产生的单位脉冲序列δ T（t）如图8—3所示，则δ T （t）的数学表达式为
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在这种情况下，选择采样频率所依据的最高频率怎么确定 呢?一般可先不考虑采样开关，按连续系统绘出开环波得图， 取A（ω ）＝0.01，即 时的频率为最大频率ω m，则采 样周期T为
这样选取采样周期，连续信号的信息损失几乎为零，故可 将采样系统看成连续系统来分析，其结果非常近似。当然， 若数字控制器的运算速度较慢，也可按 ω m ＝ 10 ω c （甚至更 低，ω c为剪切频率）来确定采样周期，但是，这样有可能使 信号失真严重，系统性能指标变差，因此，要用采样系统分 析方法仔细分析、校正，才能使系统到达较好的性能指标。 连续信号经采样和运算后，输出为一串脉冲信号，如果不 把这串脉冲信号复现成连续信号，则将给系统带来严重失真 ，系统性能指标发生很大改变，特别是系统的快速性会大幅
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迟后定理说明，原函数在时间域中延迟k个采样周期，相当 于其Z变换乘以 。 3.终值定理 设e（t）的Z变换为E（z），且 位圆上和圆外均无极点，则有 在以原点为圆心的单
4.初值定理 设e（t）的Z变换为E（z），且 存在，则有
5.超前定理 设e（t）的Z变换为E（z），则有
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若初始条件
零阶保持器是采用恒值外推的 工作方法，它把前一个时刻nT 的采样信号e(nT)不增不减地一 直保持到下一个采样时刻（n+1） T，从而使采样信号变成阶梯信 由图可见，再现出的信号与原连续信号是有较大 号，如图8— 6所示。 差别的，它包含着高次谐波。若将梯形输出信号各中点连接 起来，可得到一条比原连续信号迟后T/2的曲线，据此可以直 观地看出零阶保持器的迟后特性。
Z反变换的方法有，长除法、部分分式法及留数计算法等， 其中以部分分式法最常用。 例8-3 用部分分式法求 的Z反变换。
解 用部分分式法将E（z）展开为
式中 c1、c2为待定系数，由于典型函数的Z变换的分子上均 有一个z（脉冲函数除外），所以展开时保留分子上的z。查 表8-1，并由线性定理得Z反变换为
§8—4 差分方程和Z变换
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一、差分方程
n阶线性连续系统被采样离散化后，
系统的数学模型可用n阶差分方程来描述，即
式中 n——系统阶数
k——第k个采样周期。
已知采样系统的差分方程和初始条件 ，则可用迭代法求得差分方程的时间解。
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例如，积分环节
在r(t)=1(t)时的输出
c(t)=t，如图所示。采样后的差分方程为：
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§8-3 采样信号的复现
低。因此，要想完整地复现采样信号，就必须在满足采样定 理的条件下，通过图8-5a中虚线所示理想滤波器将采样信号 频谱中的附加高频频谱分量去掉。就可不失真的再现连续信 号。当然理想滤波器实际上是不存在的。因此，在工程上通 常用具有低通滤波特性的零阶保持器来近似代替。
典型的采样控制系统方框图 如图8—1所示。其中，误差 e是时间的连续信号，经过采 样时间为T的采样开关之后， 变成一组脉冲序列e*，脉冲 控制器将离散的误差信号处 理后，得到离散的控制信号， 该信号经保持器变换为连续 信号去控制被控对象。采样 开关每隔时间T开闭一次，每 次闭合时间为ε，则称T为采 样周期，ε为采样时间， ε＜T，f s＝1/T，ω s＝2π/T分别成为采样频率和采样角频 率。这样图8-2 a所示模拟量e被采样后变成了图8-2 b所示的 脉冲序列e*。本图中，采样周期T是固定的，我们称为等周期 采样，另外还有多阶采样、多速采样、及随机采样等，本书 只介绍常用的等周期采样。
若函数是以拉氏变换形式E(s)给出的，则可用部分分式法将 E(s)分解成多个典型函数拉氏变换的代数和的形式，然后再查 对表8-1，求出Z变换。
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四、Z变换的基本定理 与拉氏变换一样，Z变换也有 几个基本定理，熟悉这些基本定理，可以更加方便地 应用Z变换。
1.线性定理
2.迟后定理 设e（t）的Z变换为E（z），则有
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§8-2 采样定理
式中 T——采样周期 n——整数 脉冲调制器（采样器）的输出信 号e*(t)可表示为
在控制系统中，当t＜0时。e（t）＝0。因此式（8-2）可以 改写为 对式（8-3）取拉氏变换得
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为了建立 与E(s)的关系，可求周期函数δ T（t）的富氏级 数，其复数形式为
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另外，从式（8-7）可以知道，采样后连续信号幅值被乘以 1/T，若不加零阶保持器则计算结果将与实际系统不符。加入 零阶保持器后连续信号幅值被乘以T，正好和采样引起的幅值 变化相抵消，即系统的等效开环放大倍数不变。
由于当今计算机的价格已经较低，且运算速度很快，所以工 业数字控制系统均采用计算机作为脉冲控制器，其数/模转换 电路就相当于一个零阶保持器，而模/数转换电路就相当于一 个采样开关。计算机控制系统可以取较大的采样频率 ω s ，故 能很好地复现连续信号，使系统具有优良的性能指标。另外 ，计算机控制系统集成度很高，从而提高了系统的可靠性， 因此，计算机控制系统作为采样控制系统的主流被广泛应用 于各种自动化设备之中。
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§8—5 脉冲传递函数
如果已知系统的脉冲传递函数和输入量的Z变换， 由上式可求出采样系统的离散输出信号为
在实际上，许多采样系统的输出信号是连续信号， 在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可
以在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与
输入端采样开关的相同。
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脉冲传递函数可由下式求得
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为了以后分析的需要，现推导出零阶保持器的传递函数和频 率特性。零阶保持器的单位脉冲响应函数为 由于单位脉冲响应的拉氏变换就是传递函数，故对上式取拉 氏变换可得零阶保持器的传递函数为
零阶保持器的频率特性为
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绘出零阶保持器的频率特性如图8-7所示，其幅值随频率增 高而衰减，因此它是一个低通滤波器。但不是理想滤波器， 它除了允许主频谱通过以外，还通过了一部分高频分量。因 此，零阶保特器所复现的信号并不是毫无畸变的，另外，从 相频特性上可以看到，零阶保持器还会产生相位滞后。因此， 零阶保持器的引入会给系统的稳定性带来不利的影响。 除了零阶保持器以外，还可以有一阶、二阶等保持器，但 由于它们实现起来比较复杂，相位滞后比零阶保持器更大， 故很少应用。 采样信号通过零阶保持器后高频分量已大大降低，又考虑到 控制对象一般都具有低通滤波特性的作用，致使采样带来的 高频分量对系统输出的影响很小。另外，若ω s＞＞ω m，则采 样信号的高频分量集中在保持器幅值近似为零的 n ω s（n＝1 、2……）附近，如图8-7虚线所示，这样，采用信号的高频 分量也将被大幅衰减。也就是说，图8-6中矩形脉冲越多，还 原出来的信号与原信号误差越小，相位迟后也越小。
式中 ——富氏系数 这样，式（8-2）可以写成下式 对上式的两边前拉氏变换，并由拉氏变换的复数位移定理可 得 式（8-7）表明 是s的周期性函数。通常 的全部极点均 位于s平面的左半平面，因此，将s＝jω 代入式（8-7），则可 以得到e*(t)的频谱，即
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该式反映了离散信号频谱与对应连续 信号频谱之间的关系。设连续信号频 谱为有限带宽频谱，其最大频率为ω m， 如图8-4所示。则采样后离散信号的 频谱如图8-5所示，离散信号的频谱 中，n＝0的部分称为主频谱，它与连 续信号频谱是对应的，另外， 还包 含了无穷多个高频频谱，如果采样频 率ω s＞2ω m，则 的主频谱与高频 频谱之间互不重叠，如图8-5a所示， 因此，可以通过图中虚线所示的低通 滤波器，滤掉所有的高频频谱，只保 留主频谱，从而，可以将离散信号不 失真地还原为原来的连续信号。
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例8-4 用长除法求
解
的Z反变换。
用长除法求得
对上式取Z反变换为 结果与例8-3一样。
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从上例看出，长除法求 Z 反变换非常简单、方便，但是， 求出的是离散函数的脉冲序列，要得到离散函数的闭合形式 是比较困难的。 一、基本概念 在线性连续系统理论中，把初始条件为零的情况下系统输 出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，定 义为传递函数。 与此相类似，在线性采样系统理论 中，把初始条件为零的情况下系统的 离散输出信号的 z 变换与离散输入信 号的 z 变换之比，定义为脉冲传递函 数，或称 z 传递函数。它是线性采样 系统理论中的一个重要概念。 对于图8-8所示的采样系统，脉冲传递函数为
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从图中可以看出，采样后为脉冲序列，每个脉冲之间有一 段无信号的时间间隔，在这段时间内系统工作在开环状态。 若常用周期T过大，则包含在被采样信号中的大量信息将因采 样而丢失，因此T是越小越好，但是T过小，若脉冲控制器的 运算速度不够高的话，就会造成系统严重失真，甚至不稳定。 因此保证系统不严重失真而允许的最大采样周期，是一个采 样系统首先要解决的问题。下面我们就介绍解决这一问题的 采样定理。