高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2.2复数的乘法与除法教材习题点拨北师大选修2-2创新
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入 2.2复数的乘法与除法
教材习题点拨北师大版选修2-2
教材习题点拨
练习(P 107)
1.解:(1)（1+3i）（3+2i）=3+2i+9i-6=-3+11i；
（2）（-1-2i）（2i+4）=-2i+4-4-8i=-10i；(3)（21
-+23
i）2=（21
-+23
i）（21
-+23i）=41-43i-43i-43=21-23-i；
(4)(3+2i)(-3+2i)=-9+6i-6i-4=-13.
思路分析:按照复数相乘的法则分项相乘即可.
2.解:(1)i·i 2·i 3·i 4=i 10=-1；
(2)i+i 2+i 3+i 4+i 5+i 6+i 7+i 8=i-1-i+1+i-1-i+1=0.
思路分析:利用公式:i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i 分别计算即可.
3.解:(1)（-2+3i）3=［(-2+3i)(-2+3i)］(-2+3i)=(-5-12i)(-2+3i）=46+9i;
(2)(1+2i)4=［(1+2i)(1+2i)］2=(4i-3)2=-7-24i.
思路分析:灵活利用复数相乘的法则进行计算即可.
4.解:(1)i i
i i i i i i 132
133
1323)32)(32()32(32+-=+
-=+-+=-;(2)10
42231)3)(3()3)(1()1)(1()1
)(2(3112i
i i i i i i i i i i i i i +++=+-++++-++=-++-+i i
i
i 1019
107
101971042)31(5+=+=+++=.
思路分析:综合应用复数的运算法则计算即可.
习题5-(P 107)
A 组
1.解:(1)i+（3+4i）=3+（i+4i）=3+5i；
(2)（1-i）-（1+i）=（1-1）+（-i-i）=-2i；
(3)（2-i）-（3+i）=（2-3）+（-i-i）=-1-2i；
(4)（1-4i）+（2-i）=（1+2）+（-4i-i）=3-5i.
2.解:(1)（1+i）（3+4i）=3+4i+3i-4=-1+7i；
(2)（1-2i）（1+2i）=1+2i-2i+4=5；
(3)（3+i）（3-2i）（1-i）=［(3+i)(3-2i)］(1-i)=(9-6i+6i+2)(1-i)=8-14i;
(4)［（5-4i）+（1+3i）］（5+2i）=（6-i）（5+2i）=32+7i.
思路分析:综合应用复数的加、减、乘运算法则运算即可.
3.解:(1)i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=1+i-1-i=0;
(2)i 4n ·i 4n +1·i 4n +2·i 4n +3=1·i·(-1)·(-i)=-1.
思路分析:注意利用公式i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.
4.解:(1)3
2)32(32-+=∙∙-=-i
i i i =-2i-3;
(2)1
1121)1)(1()1)(1(11+-+=+-++=-+i i i i i i i =i;(3)i i i i i i i i i i i 545354322412)2)(2()2)(2(222
2+-=+-=-+-+=-+--=+-;(4)
i i i i i i i 1131310563)21)(53(53+=+=-+-+=+-+-=--.思路分析:进行复数的除法时,要注意将分母转化为实数.
5.解:(1)（1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;
(2)(3-4i)2=9-12i-12i-16=-24i-7.
思路分析:注意利用公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2.
6.答案:-1.
思路分析:(i i -+11)2=i
i 22-=-1.7.解:i m m i m m i i i mi i mi 5
122152215)12(221)2)(2()2)(1(2121+++-=++-=++-++=+-+,实部与虚部相等,也就是
6
75122152=⇒+=+-m m m .B 组1.答案:A
思路分析：与复数z=3-4i 共轭的复数为3+4i,由于复数的实部和虚部都大于0,因此应该在第一象限.
2.解:(1)z =-3-i (2)z =-3i-2(3)z =1+3i (4)z =3+4i
各对复数对应的点如下图所示A，A′;B,B′;C，C′;D,D′分别对应（1）中的z 和z；
（2）中的z 和z′；（3）中的z 和z；（4）中的z 和z.
思路分析:一个复数的共轭复数实际上就是实部不变、虚部变为相反数时的复数.
3.答案：略.
4.解:419)23(641)3)(3()3)(2(41322++++-=++-++=+-+a
i a a ai ai ai i ai i
i a a a a a i a a a a a a a i a a 222222224368124364334368124369424)9(4)9(])23(6[4+++++-=++++++-=+++++-=,由复数的实部和虚部相等可以得出:
⇒++=++-222436812436433a
a a a a 33-4a+a 2=12+8a ⇒a 2-12a+21=0⇒a=6±15.STS
复数的形成与发展(二)
挪威的测量学家成塞尔(1745—1818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视.德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图像表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a 的点A,纵轴上取对应实数b 的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C 就表示复数a+bi.像这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.
经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为数系大家庭中的一员,从而实数集才扩充到了复数集.
随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且对证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入2_2复数的乘法与除法同步练习北师大版选修2-2
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法同步练习 北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.（2006安徽高考，理1） 复数i i-+331等于（ ） A.i B.-i C.3+i D.3-i答案：思路分析：只要将其分子分母同乘以分母的共轭复数3+i,进行分母实数化,即可将复数式化简.不过如果将分子提出一个复数i,则可直接将分母约去.i i i i i --=-+3)3(331 =i. 2.（2006广东高考，理2文2） 若复数z 满足方程z 2+2=0,则z 3等于（ ） A.±22 B.-22 C.-22i D.±22i答案：D思路分析：先要由z 2+2=0求出z,再将z 3变为z·z 2=-2z,即可求之.由z 2+2=0i z i z 2223±=⇒±=⇒. 3.（2006陕西高考，理2） 复数ii -+1)1(2等于（ ） A.1+i B.-1-i C.1-i D.-1+i答案：D思路分析：先将分子展开,再利用分母实数化化简.)1)(1()1(2121)1(2i i i i i i i i +-+=-=-+=i-1. 4.（2005湖南高考，理1） 复数z=i+i 2+i 3+i 4的值是（ ）A.-1答案：B思路分析：z=i+i 2+i 3+i 4=i-1-i+1=0.5.（2006江西高考，理2） 已知复数z 满足(3+3i)z=3i,则z 等于（ ） A.2323-i B.43-43i C.23+23i D.43+43i 答案：D思路分析：其实两复数相乘所得的积除以一个因式即为另一个因式,然后进行分母实数化.z=43312)33(3333+=-=+i i i i i. 6.复数z=i-11的共轭复数是（ ） A.21+21i B.21-21i C.1-i D.1+i 答案：B思路分析：先将其化简,再求共轭复数;也可直接先求共轭复数,再化简. ∵z=i i i i i 2121)1)(1(111+=+-+=-, ∴i z 2121+==2121-i. 7.复数z=i+2i 2+3i 3+4i 4+…+2 006i 2 006的值为_____________.答案：-1 004+1 003i思路分析：由于等式的右边一共是 2 006项,而从第三项起,每连续四项和,如3i 3+4i 4+5i 5+6i 6=-3i+4+5i-6=-2+2i 均为此值,故除第一、二项外,后面的2 004项的和即可求得.由题意,由于从第三项起,每连续四项的和均为-2+2i,故除第一、二项外,余下2 004项的和即为（-2+2i ）×501,所以,原式=i+2i 2+501×(-2+2i)=i-2-1002+1 002i=-1 004+1 003i.8.已知z∈C ,解方程z z -3i z =1+3i.解：设z=x+yi(x,y∈R ),将z=x+yi 代入原方程,得(x+yi)(x-yi)-3i·(x -yi)=1+3i,整理得x 2+y 2-3y-3xi=1+3i.根据复数相等的定义,得⎩⎨⎧=-+=-)2.(13)1(,3322y y x x由(1)得x=-1,将x=-1代入(2)式解得y=0,或y=3,∴z 1=-1,z 2=-1+3i.思路分析：设复数z 之后由复数相等解方程组即可.综合应用9.计算)12(32132i ii -+++- 1 996. 解：原式=])12[(321)321(2i i i i -+++998=i+（i 22-）998=i+i 998 =i+i 4×249+2=i+i 2=-1+i.思路分析：本题若按复数除法和乘方法则直接计算,则显得十分繁琐,若能结合题目特点,联想结论(1±i)2=±i 和ω的性质,并注意到-2+3i=i(1+23i),计算起来就会简单得多.10.已知11+-z z 为纯虚数,且(z+1)(z +1)=|z|2,求复数z. 解：由(z+1)(z +1)=|z|2⇒z+z =-1,(1) 由11+-z z 为纯虚数,1111+-++-z z z z =0⇒z ·z -1=0.(2) 设z=a+bi 代入(1)(2)得a=21-,a 2+b 2=1, ∴a=21-,b=±23,∴z=21-±23i. 思路分析：先将11+-z z 为纯虚数的条件化简,再设z=a+bi 来求解. 11.已知x,y∈R ,若x 2+2x+(2y+x)i 和3x-(y+1)i 是共轭复数,求复数z=x+yi 和z .解：若两个复数a+bi 与c+di 共轭,则a=c 且b=-d ，由此得到关于x,y 的方程组: ∴z=i 或z=1,z =-i 或z =1.思路分析：由互为共轭复数的概念将复数问题实数化,这是解题的关键.12.已知z=1+i,(1)设ω=z 2+3z -4，求ω.(2)如果122+-++z z b az z =1-i,求实数a,b 的值. 解：(1)∵z=1+i,∴ω=z 2+3z -4=(1+i)2+3)1(i +-4=-1-i. (2)由122+-++z z b az z =1-i,把z=1+i 代入,得1)1()1()1()1(22++-+++++i i b i a i =1-i,即i i a b a )2()(+++ ∴(a+b)+(a+2)i=(1-i)i=1+i,∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+=+.2,1,1,12b a b a a 解得 思路分析：(1)采用代入法求ω.(2)代入化简后,通过复数相等,把复数问题转化为实数问题来解.。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教材习题点拨北师大版选修22
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入教材习题点拨 北师大版选修2-2教材习题点拨练习(P 101) 1.解:(1)1＋2i 实部为1,虚部为2,它是虚数; (2)21-+23i 实部为21-21-,虚部为23,它是虚数; (3)（3-1）i 实部为0,虚部为3-1,它是纯虚数;(4)0实部为0,虚部为0,它是实数.思路分析:依据有关复数的基本概念去判断.2.解:(1)（-2x+3)+(y-4)i=0⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==+-⇒.4,23,4,032y x y x(2)(3x-2y)+(x+2y)i=3-6i ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧-=+=-⇒.852,43,62,323y x y x y x思路分析:(1)复数为零的充要条件是它的实部和虚部都为0.(2)两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部都相等.3.解:A 点表示的复数是4+3i,B 点表示的复数是-3+2i,C 点表示的复数是-4-3i,D 点表示的复数是-3i,E 点表示的复数是3-2i.思路分析:复平面内的点和复数是一一对应的,复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部.4.答案:(1)b=0;(2)a=0;(3)b>0;(4)a<0.思路分析:(1)点Z 位于实轴上,必然是复数的虚部为零;(2)点Z 位于虚轴上,必然是复数的实部为零;(3)点Z 位于实轴上方,必然是复数的虚部大于零;(4)点Z 位于虚轴左方,必然是复数的实部小于零.5.解:(1)|z 1|=2212)5(+-=13;(2)|z 2|=41)5(422=-+;(3)|z 3|=22)1()3(-+=2.思路分析:利用公式|z|=22b a +计算即可.习题51(P 102)A 组1.解:(1)复数（m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为实数的充要条件是:m 2-3m-4=0,可以得出m=4或m=-1;(2)复数(m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为纯虚数的充要条件是:m 2-2m-3=0且m 2-3m-4≠0,可以得出m=3;(3)复数(m 2-2m-3)+(m 2-3m-4)i 为零的充要条件是:m 2-2m-3=0且m 2-3m-4=0,可以得出m=-1.2.解:(1)⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+,7,1.1,7,7,6y x y x xy y x 或 (2)⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--.1,1,4,1,1,5,4,5,043,05422y x y x y x y x y y y x 或或或 思路分析:利用复数为零或复数相等的条件列出方程组,解出相应的未知数即可.3.解:如下图:-1+2i 对应的点为A,23+21i 对应的点为B,3i 对应的点为C,5对应的点为D. 思路分析:复平面的横轴表示实部,纵轴表示虚部,依据相应的数据分别画出各点即可.4.解:(1)|3-4i|=22)4()3(-+=5; (2)|21-23i|=22)23()21(-+=1; (3)|-6|=6;(4)|-5i|=5.思路分析:利用求复数模的公式即可.B 组解:(1)点Z 不在实轴上实际上就是要求m 2-4m-5≠0,由此可以得出m≠5和m≠-1.(2)点Z 位于虚轴上,实际上就是要求m-1=0,由此可以得出m=1.(3)点Z 在实轴下方,实际上就是要求m 2-4m-5<0,由此可以得出-1<m<5.(4)点Z 在虚轴右方,实际上就是要求m-1>0,由此可以得出m>1.STS数的概念的五次扩充数的概念是现代数学的基本概念之一,它是人类由于生产和生活的实际需要而逐步形成并加以扩展的.人类最初为了实际需要,要对某种物体的集合作出量的估计.随着经验的积累,人们逐渐形成了“多少”的概念.但在这个历史时期里,数还没有被人们从具体的事物中分离出来. 随着历史的发展,人们千百万次地重复进行比较和计算,最后才把数与具体事物相分离,引进了数字符号.希腊人已经知道了自然数1,2,……的集N .公元6世纪,印度数学家运用了“0”.我国古代也在筹算中利用空位来表示“0”.引进数0,把自然数集扩充成为扩大的自然数集,即非负整数集.生产、生活的发展,对于像长度、时间、重量等量,仅用自然数就不能把它们完全表示出来,这便促使人们引进正分数,形成非负有理数集,即算术数集.这是数的概念的第二次扩充.希腊人知道了正有理数qp (p,q 为正整数).由于表示具有相反意义的量的需要,在算术数的基础上,引进负数形成有理数集,这是数的概念的第三次扩充.阿拉伯人受印度的影响而发明了代数之后,提出了求解像3x+2=0一类的方程,“负数”也就应运而生了.我国古代数学巨著《九章算术》第八章“方程”章里,提出了“正负术”,完整地叙述了正负数的不同表示法和正负数的加减法则.公元6世纪,希腊数学家毕达哥拉斯在研究用一个正方形的边长作为单位长,去度量这个正方形的对角线时,发现两者是不能用分数表示.为了解决这个矛盾,导致了无理数概念的产生.这是数的概念的第四次扩充.15世纪中叶,欧洲工商业的繁荣与发展提出了大量的、新的数学问题.1545年,意大利数学家卡丹在解三次方程中引用了负数开平方的运算,并引进了新的数——虚数i=1 .但许多数学家都不承认这种新数.1572年意大利邦别利第一次在代数里给复数的运算以正式的论据,1777年数学家欧拉建立了复数的系统理论,对这种数才有了进一步的认识.这是数的概念的第五次扩充.。
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2 复数的四则运算 复数的乘法与除法教案 北师大版选修22
复数复数的乘法与除法一、教学目标：1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。
2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。
3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
二、教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习准备1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2+⨯- （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）（二）、探析新课1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
高中数学第5章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算北师大版选修
2i－[(3＋2i)－(－1＋3i)]
(2) －4＋3i ＝2i－[(3＋1)＋(2－3)i]
＝2i－(4－i)＝－4＋3i.
(3)
－2a＋(5b－
(a＋bi)－(3a－4bi)－5i ＝(a－3a)＋(b＋4b－5)i
5)i
＝－2a＋(5b－5)i.
复数加减法法则的记忆： 法一：实部与实部相加减做为实部，虚部与虚部相加减做 为虚部． 法二：把 i 看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并 同类项．
§2 复数的四则运算
课前预习学案
已知复数 z1＝3＋4i，z2＝－2＋i， (1)z1 对应的向量O→Z1的坐标是什么？z2 对应的向量O→Z2的坐 标是什么？
(2)求出O→Z1＋O→Z2、O→Z1－O→Z2的坐标，那么向量O→Z1＋O→Z2和 O→Z1－O→Z2对应的复数又分别是什么呢？
[提示] (1)O→Z1＝(3,4)，O→Z2＝(－2,1)． (2)O→Z1＋O→Z2＝(1,5)，O→Z1－O→Z2＝(5,3)， 它们对应的复数分别为 1＋5i 和 5＋3i.
1．计算： (1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
பைடு நூலகம்
解析：
序号
结论
理由
原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i (1) －4－10i
＝－4－10i；
(2)
0
原式＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0；
原式＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i (3) －a＋(4b－3)i
＝－a＋(4b－3)i.
复数的乘除运算
计算： (1)(1－2i)(2＋i)(4－3i)； (2)－12＋ 23i－12－ 23i； (3)56＋－65ii； (4)13－－24ii2－42－＋3ii2. [思路导引] 直接利用复数的乘除法法则计算，注意乘法 公式及特殊复数的运算结果的应用．
高中数学 第5章 数系的扩充与复数的引入 2 复数的四则运算课后演练提升 北师大版选修2-2(20
算课后演练提升北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第5章数系的扩充与复数的引入2 复数的四则运算课后演练提升北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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则运算课后演练提升北师大版选修2—2 一、选择题1．复数错误!的共轭复数是( )A．－错误!i B。
错误!iC．－i D．i解析：∵错误!＝错误!＝错误!＝i，∴错误!的共轭复数为－i.答案：C2．设i是虚数单位，复数错误!为纯虚数，则实数a为（)A．2 B．－2C．－错误!D。
错误!解析：1＋a i2－i＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!，i为纯虚数，∴错误!＝0。
∴a＝2。
答案：A3．设a，b∈R，（5＋b i）＋（b－3i）－(2＋a i)＝0,那么复数a＋b i的模为（）A．0 B．6C．3错误!D．2错误!解析：（5＋b i)＋(b－3i)－（2＋a i)＝(5＋b－2）＋(b－3－a）i＝(3＋b）＋(b－a－3）i＝0，∴错误!，∴错误!，∴a＋b i＝－6－3i，∴｜a＋b i｜＝错误!＝错误!＝3错误!。
答案：C4．设z1＝1，z2＝x＋y i,z3＝y＋x i（x＞0，y∈R)，且z1·z3＝z错误!，则z2等于（) A.错误!＋错误!i B。
错误!－错误!iC。
错误!＋错误!i D.错误!－错误!i解析：z22＝z1·z3，所以（x＋y i）2＝y＋x i，即x2－y2＋2xy i＝y＋x i。
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入单元测试 北师大版选修2-2(2021年最新整理)
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第五章 数系的扩充与复数的引入单元检测（时间：45分钟，满分:100分)一、选择题（每题5分，共40分）1．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，若z 1－z 2是纯虚数，则有（ )．A ．a －c ＝0，且b －d ≠0B ．a －c ＝0，且b ＋d ≠0C ．a ＋c ＝0，且b －d ≠0D ．a ＋c ＝0，且b ＋d ≠02．如果一个复数和它的模的和为5＋,那么这个复数是（ ）．A ．115BC ．115+D ．115+ 3．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i,则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的（ )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．ABCD 中，点A ，B ，C 分别对应复数4＋i ，3＋4i ，3－5i ，则点D 对应的复数是( )．A ．2－3iB ．4＋8iC ．4－8iD ．1＋4i5．若x ∈C ,则方程|x ｜＝1＋3i －x 的解是（ ）．A ．12+B ．x 1＝4，x 2＝－1C ．－4＋3iD ．13i 22+ 6．i＝（ ）．A ．14-B ．14C ．12+D ．12 7．i 是虚数单位,若17i 2i +-＝a ＋b i （a ,b ∈R )，则乘积ab 的值是（ ）． A ．－15 B ．－3 C ．3 D ．158．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z＝（ )． A ．iB ．－iC ．±1D ．±i二、填空题(每题5分，共15分）9。
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课件 北师大版选修2-2
【解析】1.因为xi-y=-1+i，所以 则(1+i)x+y=(1+i)2=2i. 答案：2i
x 1,
y
1.
21
2.z1=
(1－3i)(1＋i)＝2－i. 22
设z2=a+2i，z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
因为z1·z2是实数，所以4-a=0，即a=4，所以z2=4+2i.
55
55
49
类型三 复数的除法运算及综合应用 角度1 复数的除法运算 【典例】1.(2018·天津高考)i是虚数单位，复数 6 7 i =________.
1 2i
50
2.(2018·北京高考)在复平面内，复数
数对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1 的共轭复
1 i
复习课件
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课 件 北师大版选修2-2
1
2.2 复数的乘法与除法
2
3
1.共轭复数的概念 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫作互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.
4
(2)表示：通常记复数z的共轭复数为__z_. (3)性质：若z=a+bi，则z· =a2+z b2=|z|2.
59
2.复数 |1＋2i|＋(1 3i)2=________.
1i
【解析】原式= 12( 2)2＋(1(－ 1i3)i2)2
＝ 3＋ 223i＝ 3＋ i－ 3＝ i. 2i
【基础】高中数学第五章数系的扩充与复数的引入22复数的乘法与除法教材基础北师大版选修22
【关键字】基础2.2 复数的乘法与除法高手支招1细品教材一、单数的乘法1.单数乘法的运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个单数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.显然,两个单数的积仍然是一个单数.【示例1】计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).解:先将(-2-i)(3-2i)(-1+3i)前面两式相乘,得(-8+i)(-1+3i),再将所得积与最后一式相乘,得5-25i.状元笔记单数的乘法与多项式的乘法是类似的,只是在运算过程中要把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并.【示例2】计算(a+bi)(a-bi).思路分析:利用单数乘法法则直接得出结果.解:(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2=a2+b2.2.单数乘法的运算律单数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律:即对任何z1,z2,z3∈C,有:(1)交换律:z1·z2=z2·z1证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2=(a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=a1+a2b1i+a1b2i+b2b1i2=(a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,∴z1z2=z2z1.(2)结合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,则(z1·z2)·z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i］(a3+b3i)=［(a2-b1b2)a3-(a1b2+a2b1)b3］+［(a2-b1b2)b3+(a1b2+a2b1)a3］i=（a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-（b1b2b3-b3-b3-b2)i;z1·(z2·z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a3-b2b3)+(a3b2+a2b3)i］=［(a3-b2b3)a1-(a3b2+a2b3)b1］+［(a3-b2b3)b1+(a3b2+a2b3)a1］i=(a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-(b1b2b3-b3-b3-b2)i.(3)乘法对加法的分配律:z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3证明:设z1=a1+b1i,z2=a2b2i,z3=a3+b3i，则z1·(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=(a2+a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)iz1·z2+z1·z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a2+a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)i3.负数的平方根由于(-i)2=i2=-1,这表明,i和-i是-1的两个平方根,或者说,方程x2+1=0有两个根i和-i,这样,负数就可以开平方了.4.共轭单数(1)我们把实部相等,虚部互为相反数的两个单数叫做互为共轭单数.单数 z=a+bi的共轭单数记作,即=a-bi.【示例】 (2005北京春季高考,理1)i-2的共轭单数是( )A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i思路分析:本题考查单数及共轭单数的概念,应首先分清谁为虚部,谁为实部;其次,互为共轭的单数实部相等,虚部互为相反数.答案:D(2)当单数z=a+bi 的虚部b=0时,z==a,也就是说,实数的共轭单数仍是它本身.反过来也成立,即如果单数z 的共轭单数仍是它本身,那么z ∈R.(3)共轭单数的性质:①两个共轭单数z,的积是一个实数,这个实数等于每一个单数的模的平方,即z ·=|z|2=||2=a2+b2;②=z1+z2;③=;④（）=（z2≠0).5.单数的乘方(1)单数的乘方是相同单数的积.根据单数乘法的运算律,实数范围内正整数指数幂的运算律在单数范围内仍然成立,即对任何z1，z2，z3∈C 及m,n ∈N*,有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.【示例】 设ω=+i,求证:(1)1+ω+ω2=0;(2)ω3=1.思路分析:要证明1+ω+ω2=0和ω3=1,须先求出ω2,再由ω2ω求出ω3.证明：(1)因为ω2=（+i)2=-i-=-i,所以,1+ω+ω2=1+（+i ）+（-i ）=0.(2)ω3＝ω2ω=(-i)(+i)=( )2-(i)2=+=1.(2)在计算单数的乘方时,要用到虚数单位i 的乘方,对于i 的正整数指数幂,易知:i1=i,i2=-1,i3=i2·i=-i,i4=(i2)2=1.一般地,如果n ∈N*,我们有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.【示例】 复数z=1+i+i 2+i 3+…+i 2006的值为( )A.0B.1C.iD.1+i思路分析:本题初看起来是一个等比数列的求和,故按等比数列求和公式可解之;然而,本题除此法外,还有一种简捷解法,即利用i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=0,将其中的连续的4倍数项去掉,然后化简.由于z=1+i+i 2+i 3+…+i 2 006共有2 007项,故将后面的2 004项去掉,余下前三项,即z=1+i+i 2+0=i.答案:C二、复数的除法1.复数除法的定义我们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi(x,y∈R )叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商,记作dic bi a ++或(a+bi)÷(c+di). 状元笔记复数除法运算是乘法运算的逆运算;复数集合对乘法、除法(除数不为零)运算封闭,即两复数乘、除运算的结果仍为复数.进行复数除法运算时,通常进行分母实数化,即先将两个复数相除写成分数形式,然后将分子与分母同时乘以分母的共轭复数,再把结果化简,这样可使运算简化.2.复数除法的运算一般地,我们有di c bi a ++=i dc ad bc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a 222222)()())(())((+-+++=++++=-+-+. 由于c+di≠0,所以c 2+d 2≠0.可见,两个复数的商仍是一个复数.【示例】 计算ii 432--. 思路分析:将i i 432--的分子分母同时乘以分母的共轭复数3+4i,使分母有理化,进而化简. 解: i i 432--=i i i i i i i i 51522551025)43)(2()43)(43()43)(2(+=+=+-=+-+-. 高手支招2基础整理本节内容主要阐述了复数的四则运算中的乘法运算、除法运算,复数乘除法的几何意义.本节的知识结构如下:此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高二数学北师大版选修2-2第五章 2.2 复数的乘法与除法 课件(北师大版选修2-2)
i i ห้องสมุดไป่ตู้1
2
Z 一般地，如果 n n N ，有
i i i i
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
第五章 数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法
复数的加法：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数， 则它们和为 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
复数的和仍然为一个复数，其实部为z1、z2的实部和， 虚部为z1、z2的虚部和。 复数加法满足 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
2
1 3 6 练习 1.计算( i) . 1 2 2 4 (2 2i) 练习2.计算 . 1 3i 5 (1 3i)
练习3.
1 3 1 3i i ________ 4 4 2
( 3 i)
3 i 1 3i 8 练习4.计算( ). 2 2 8 8 3i
例1.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
(a bi)(a bi) a b (a, b R).
2 2
概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数 的两个复数。
1、复数的乘法法则： 设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数，
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入课后巩固提升北师大版选修22
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入课后巩固提升北师大版选修22[A 组 基础巩固]1．已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数； ②两个复数不能比较大小；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数； ⑤若a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c 且b ＝d . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．3D ．4解析：根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数．②是假命题，因为两个复数都是实数时，可以比较大小．③是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2.而当x ＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a ，b ∈R.⑤是假命题，因为没有强调a ，b ，c ，d ∈R 这一重要条件．故选A. 答案：A2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0.∴点Z (3m －2，m －1)在第四象限． 答案：D3．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－2或x ＝－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－2解析：由题意得x 2＋x －2≠0，解得x ≠1且x ≠－2. 答案：D4．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．－1或－2解析：∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1. 答案：B5．已知虚数z ＝x ＋y i 的模为1(其中x ，y 均为实数)，则yx ＋2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0 解析：∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1.设k ＝yx ＋2，则k 为过圆x 2＋y 2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，如图所示，∴k ≤13＝33. 又∵z 为虚数，∴y ≠0，∴k ≠0. 又由对称性可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33. 答案：B6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部，虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i7．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为________．解析：易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝－4，a ＝0或a ＝－4，∴a ＝－4.答案：－48．若z ＝k 2－5k ＋6＋(k 2－4)i 对应的点位于第二象限，则实数k 的取值范围是________．解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧k 2－5k ＋6<0，k 2－4>0，∴2<k <3.答案：2<k <39．设z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2－4m ＋3)i ，当实数m 取何值时，(1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数．解析：(1)当m 2－4m ＋3＝0，即m ＝1或m ＝3时，z 是实数． (2)当m 2－4m ＋3≠0，即m ≠1且m ≠3时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2－4m ＋3≠0，即m ＝－1时，z 是纯虚数．10．已知x 2＋y 2－6＋(x －y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．解析：由复数相等的概念，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6＝0， ①x －y －2＝0. ②由②得x ＝y ＋2，代入①得y 2＋2y －1＝0. 解得y 1＝－1＋2，y 2＝－1－ 2. 所以x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. 即⎩⎨⎧x 1＝1＋2，y 1＝－1＋2，⎩⎨⎧x 2＝1－2，y 2＝－1－ 2.[B 组 能力提升]1．已知集合M ＝{1,2，(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －5)i}，N ＝{3i}，且M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( ) A ．－2或－3 B ．－2或4 C ．－2或5D ．－2解析：∵M ∩N ≠∅，∴m 2＋5m ＋6＋(m 2－2m －5)i ＝3i.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2－2m －5＝3.解得m ＝－2. 答案：D2．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：A (6,5)，B (－2,3)，由C 为线段AB 的中点，得C (2,4)，∴C 对应的复数为2＋4i. 答案：C3．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________．解析：由题意可得OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，OC →＝(3，－2)， 所以由OC →＝xOA →＋yOB →得(3，－2)＝(－x,2x )＋(y ，－y )＝(－x ＋y,2x －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.所以x ＋y ＝5. 答案：54．已知向量OZ →与实轴正向夹角为135°，向量OZ →对应复数z 的模为1，则z ＝________. 解析：依题意知Z 点在第二象限且在直线y ＝－x 上， 设z ＝－a ＋a i(a ＞0)． 又|z |＝1，则(－a )2＋a 2＝1， 所以a 2＝12，而a ＞0，所以a ＝22，所以z ＝－22＋22i. 答案：－22＋22i 5．已知z ，ω为复数，且(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝102，求ω.解析：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则由ω＝z2＋i得z ＝(x ＋y i)(2＋i)，故有(1＋3i)(2＋i)(x ＋y i)＝(－1＋7i)(x ＋y i)＝－x －7y ＋(7x －y )i 为纯虚数，且|ω|＝102，故有⎩⎪⎨⎪⎧－x －7y ＝0，7x －y ≠0，x 2＋y 2＝200.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－2.故ω＝－14＋2i 或ω＝14－2i.6．已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x、a∈R，当x在(－∞，＋∞)内变化时，试求|z|的最小值g(a)．解析：|z|2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2＝22x＋2－2x＋2a(2x＋2－x)＋2a2.令t＝2x＋2－x，则t≥2，且22x＋2－2x＝t2－2.从而|z|2＝t2＋2at＋2a2－2＝(t＋a)2＋a2－2，当－a≥2，即a≤－2时，g(a)＝a2－2；当－a<2，即a>－2时，g(a)＝(a＋2)2＋a2－2＝2|a＋1|.。