最新13高阶导数与高阶偏导数汇总
偏导数公式大全24个
偏导数公式大全24个偏导数是多元函数微分学中的重要概念，用于描述函数在特定方向上的变化率。
在实际问题中，偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。
下面是24个常用的偏导数公式，每个公式都有它们的特定应用场景。
1. 常数偏导数公式：对于常数函数f(x)=c，其偏导数为0，即f/x = 0。
2. 幂函数偏导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。
3. 指数函数偏导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。
4. 对数函数偏导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。
5. 三角函数偏导数公式：对于三角函数f(x)=sin(x)，其偏导数为f/x = cos(x)。
类似地，对于cos(x)和tan(x)函数，其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。
6. 反三角函数偏导数公式：对于反三角函数f(x)=asin(x)，其中a为常数，其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。
类似地，对于acos(x)和atan(x)函数，其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2)，-1/sqrt(1+x^2)。
7. 求和公式：对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x)，其偏导数为f/x = g/x + h/x。
8. 积函数公式：对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x)，其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。
9. 商函数公式：对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x)，其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。
10. 复合函数公式：对于复合函数f(g(x))，其中f和g是两个函数，其偏导数为f/x = f/g * g/x。
多元函数高阶导数
多元函数高阶导数作为微积分中的重要概念，导数可以理解为某一函数在某一点处的切线斜率。
在单变量函数中，我们常常利用极限的方法求导。
但在多元函数中，情况就会变得更为复杂。
本文将介绍多元函数的高阶导数，为读者打开一扇理解多元函数导数若干复杂问题的新门径。
1. 多元函数定义多元函数是指将多个变量作为自变量的函数，可以表示为$ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $。
在一元函数中，自变量只有一个，如$f(x) = x^2$。
而在多元函数中，自变量可以是两个或多个，如$f(x,y) = x^2 + y^2$。
2. 偏导数多元函数中，存在若干个自变量，求导时需要指定对某一个自变量求导。
这就是偏导数的概念。
偏导数是指在其他自变量不变的情况下，对某一自变量求导得到的导数。
以二元函数为例，假设有$f(x,y) = x^2 + y^2$，求其在点$(1,1)$处对$x$的偏导数。
我们可以先将函数$ f(x,y) $带入偏导数的定义式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}$$由于我们要在$(1,1)$处求偏导数，因此将$x$代入$1$，得到：$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1 + \Delta x,1) - f(1,1)}{\Delta x}$$化简后得到：$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(1+\Delta x)^2 + 1^2 - (1^2 + 1^2)}{\Delta x} = 2$$同样的，我们可以求出在$(1,1)$处对$y$的偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial y}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(1,1 + \Delta y) - f(1,1)}{\Delta y} = 2$$3. 高阶偏导数如果某一函数的偏导数存在，我们就可以考虑对它进行求导。
偏导数与高阶导数
将点(1,3)代入上式，得
可得
所以
在求定点处的导数时，
先代入固定变量取值，
然后再求导，可简化求导计算。
或
2.偏导数的计算
例4 设
求
解
所以
二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算
例 求函数 的偏导数.
对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
曲线
即
fx (x0, y0),
第二节 偏导数与高阶偏导数
4.偏导数与连续的关系
对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
连续
解
一元函数可导与连续的关系：
可导
由偏导数定义
例
所以，函数在(0, 0) 处对变量 x，y 的偏导数存在.
让 沿直线 而趋于（0,0），
这里 为常数，
当劳动力投入不变时,产量对资本投入的变化率为
当资本投入不变时，产量对劳动力投入的变化率
该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，
Q表示产量.
别表示投入的劳动力数量和资本数量，
分
数为
引例
对另一个变量的变化率.
第二节 偏导数与高阶偏导数
此时沿着平行坐标轴的方向
偏导数存在 连续.
一元函数中在某点可导 连续，
可见，多元函数的理论除了与一元函数的理论有许多类似之处，也是还有一些本质的差别。
二、高阶偏导数
设函数 z = f (x, y) 在区域 D内有偏导函数 与
则称此极限值为z=f (x,y)在点(x0,y0)处对x的
记为
一元函数导数
如果极限存在,
函数有增量
相应
(1)定义
当y 固定在y0 , 而 x 在x0 处有增量△x时,
一偏导数定义及其计算法二高阶偏导数三小结
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 , 在(0, 0)处连续, 但 f x (0, 0) f y (0, 0) 不存在.
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
y( y2 x2) ( x2 y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim
x0
00 x
0.
于是，
f
x
(
x
,
y
)
y( (x
y
2
2 x2) y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
(2) 求 f y ( x, y). 当 x2 y2 0 时， 即 x 0 且 y 0时，
如图
z f ( x0, y)
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.
高阶偏导数
∂z . 的二阶偏导数及 2 ∂y∂x ∂z = 2ex+2y ∂y ∂2 z x+2y = 2e ∂x∂y
3
例12.1.11
f (x, y) =
x2 − y2 xy 2 , x2 + y2 ≠ 0 x + y2 0, x2 + y2 = 0
f x (x, y) =
x4 + 4x2 y2 − y4 y , x2 + y2 ≠ 0 (x2 + y2 )2
证: 记 ϕ ( x ) = f ( x , y0 + ∆y ) − f ( x , y0 ),
ψ ( y ) = f ( x0 + ∆x , y ) − f ( x0 , y ),
f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x , y 0 ) + f ( x 0 , y 0 ) I= . ∆ x∆ y
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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练习题： 练习题： 设
确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 解: 求
方程
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练习题
一 、填空题: 填空题: 1 、设 z = ln tan
x ∂z ∂z ,则 = ________; = _________. ∂x y ∂y ∂z ∂z 2 、设 z = e xy ( x + y ), 则 = _______; = ________. ∂x ∂y y ∂u ∂u 3 、设 u = x z , 则 = __________; = __________; ∂x ∂y ∂u = ____________. ∂z ∂2z y ∂2z 4 、设 z = arctan , 则 2 = ________; 2 = _______; x ∂x ∂y ∂2z = ____________. ∂x∂y
高阶导数与高阶偏导数
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三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一 般 地 ,函 数 f(x)的 n1阶 导 数 的 导 数 称 为
函 数 f(x)的 n 阶 导 数 ,记 作
f(n)(x), y(n), d dx ny n或 dn dfx(nx).
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
fy(x,y)x2x 3y2(x2 2x 3y y2 2)2,
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当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )lxi m00x 0,
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
d2 y dxn
f (n) x.
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注 (1) d x n (d x )n ， d x n d (x n ) ， (dx)n表 示 微 分 的 幂 ， 简记为dxn；
d(xn)指 幂 的 微 分 ， 即 d(xn)n xn 1dx ； 而 d n x 是 x 的 n 阶 微 分 .
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导
导二 函阶
函
数混
数 图
图合 形偏
形
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例 3 设u eax cosby，求二阶偏导数.
第二节偏导数
x y x y
x
2
y
2
解
z arcsin x e
z 1 1 1 e arcsin x e x y 1 x 2 x
x z arcsin x e 2 y y
x y
7
例1
求下列多元函数的偏导数
3
解
z 1 xy
即函数在点
f 0 x, 0 f 0, 0
0, 0 处可导。
由此知，偏导数存在，函数在该点 11 未必连续。
连续 连续
偏导数存在。 偏导数存在。
不 同！
对比一元函数，我们有：可导 但：可导
连续，
连续，
12
偏导数的几何意义（演示）
z x2 y 2 1 5 例4 求曲线 在点 ,1, 2 4 y 1
y
z x y 1 xy
y 1
y y 1 xy
2
y 1
ln z y ln 1 xy
1 x z y ln 1 xy y z 1 xy xy y z y 1 xy ln 1 xy 1 xy
0 0
它的几何意义就是函数曲线上点
x , f x 处的切线的斜率。
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题， 以二元函数
z f x, y 为例，我们分别讨论：
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
3
F x, y , z 0 z f x , y
9
例2 理想气体的状态方程pV RT R为常数 ，求证： p V T 1 V T p
高阶偏导数及泰勒公式
2021/8/24
15
A fxy(x0 1x, y0 2y)xy A f yx (x0 4x, y0 3y)xy
故
f xy (x0 1x, y0 2y) f yx (x0 4x, y0 3y)
令x 0, y 0. 因 f xy , f yx在(x0 , y0 )连续,有,
f xy (x0 , y0 ) f yx (x0 , y0 )
3 从而 uy ax c( y). 与 uy x y b sin x比较可得a 1,b 0.
2021/8/24
20
例3. 设w f (x y z, xyz), f C2, 求 2w .
xz
解: 设 u=x+y+z, v=xyz,
从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数.
f
(x, y) ,
gy
(
x,
y)
lim
y0
g
(
x,
y
y) y
g
(
x,
y)
,
f xy (x,
y)
fx(x,
y)y
lim
y0
f x(x,
y
y) y
f x(x,
y) ,
2021/8/24
9
lim 1 y0 y
lxim0
f
(x
x,
y
y) x
f
(x, y
y)
lim x0
f
(x
x, y) x
f
(x,
y)
2021/8/24
w f (x2 y, y) x
25
例5.
设z
z ( x,
y)由方程x 2
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问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
例 5 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
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例8 yaxlnx ， 求 y(n ) (a0， a1).
fx(x,y)3x2y(x(2x 2 y2y )2 )2 2xx3yx32x2yy2(x22x4yy2)2,
x3
2x3y2
fy(x,y)x2y2(x2y2)2,
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当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0xi m00x 0,
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
lim
y0
0 y
0,
fx(y 0,0) ly i0m fx(0, y ) yfx(0,0) 0,
fy(x 0 ,0 ) lx i0m fy( x ,0 )x fy(0 ,0 )1.
显 然 fx y (0 ,0 ) fy x (0 ,0 ).
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相 应 地 , f ( x ) 称 为 零 阶 导 数 ; f ( x ) 称 为 一 阶 导 数 .
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例1 已知函数 y (x 3 7 x 8 )2(3 0 x 7 )30 求y(90)和y(91).
解 由于函数 y (x 3 7 x 8 )2(3 0 x 7 )30
2u abeaxsinby, xy
2u abeaxsinby. yx
问题： 混合偏导数都相等吗？
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x3y 例 4 设f(x,y)x2y2 (x,y)(0,0)
0
(x,y)(0,0)
求f(x,y)的二阶混合偏导数.
解 当 (x,y)(0,0)时 ,
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导
导二 函阶
函
数混
数 图
图合 形偏
形
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例 3 设u eax cosby，求二阶偏导数.
解 uaeaxcobsy, x x2u2 a2eaxcobsy,
ubeaxsinby; y y2u2 b2eaxcobsy,
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n) u(n)vnu(n1)v n(n1)u(n2)v 2!
n(n1)(nk1)u(nk)v(k) uv(n) k!
n
C u v k (nk) (k) n k0
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莱布尼兹公式
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例7 设 yx2e2x,求 y(20).
x2 (x2
y2 y2 )2
.
所以
2u x 2
2u y2
y2x2 (x2y2)2
(xx22yy22)2
0.
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二、求高阶导数与高阶偏导数
1.直接法: 根据定义逐步求高阶(偏)导数.
例6 设 y a r c t a n x ,求 f ( 0 ) ,f ( 0 ) .
.
解 z 3x2y23y3y, z 2x3y9x2y x;
x
y
2 z 6xy2, x 2
3z x 3
6y2,
2
y
z
2
2x318x;y
2z
2z
x y 6x2y9y21, y x 6x2y9y21.
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
解
y
1
1 x2
y
1
( 1
x2
)
2x (1 x2 )2
y ((12xx2)2)
2(3x2 1) (1 x2 )3
f(0)(1 2xx2)2 x0 0;
f(0)2((13xx22)13)
2.
x0
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2. 高阶导数的运算法则: 设 函 数 u 和 v 具 有 n 阶 导 数 ,则 (1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
13高阶导数与高阶偏导数
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三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一 般 地 ,函 数 f(x)的 n1阶 导 数 的 导 数 称 为
函 数 f(x)的 n 阶 导 数 ,记 作
f(n)(x), y(n), d dx ny n或 dn dfx(nx).
斯方程
2u x2
2u y2
0.
解 因 为 lnx2y21ln (x2y2), 2
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因此 u x x x2 y2 ,
u y
x2
y
y2
,
x2u2 (x2(x2y2)y2x)22x
y2 (x2
x2 y2 )2
,
2u (x2y2)y2y y2 (x2y2)2
展开后的最高次幂项为
所以
330x32 030330x90
y(90) 330 90!,
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y(91) 0 .
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一、高阶偏导数的定义
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fyy(x,y)
纯偏导
y x zx2zyfx(yx,y) ,x y zy2 zxfyx (x,y)
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
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例 2 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
2z yx
、
2z xy
、
2 y
z
2
及
3z x 3
解 设 u e 2 x , v x 2 , 则 由 莱 布 尼 兹 公 式 知
y(20) (e2x)(20)x220(e2x)(19)(x2) 20(201)(e2x)(18)(x2)0 2!
220e2x x2 20219e2x 2x 2019218e2x 2 2!
2 2 0 e2 x (x 2 2 0 x 9 5 ).