高考理科数学导数经典题详解

高考理科数学导数经典题详解
高考理科数学导数经典题详解

1.(15分)已知函数f(x)=21nx+ax2﹣1 (a∈R)

(I)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若a=l,试解答下列两小题.

(i)若不等式f(1+x)+f(1﹣x)<m对任意的0<x<l恒成立,求实数m的取值范围;

(ii)若x1,x2是两个不相等的正数,且以f(x1)+f(x2)=0,求证:x1+x2>2.2.(15分)设函数x

e

x

f x sin

)

(+

=,2

)

(-

=x

x

g;

(1)求证:函数)

(x

f

y=在)

,0[+∞上单调递增;

(2)设))

(

,

(

1

1

x

f

x

P,

22

(,())

Q x g x)0

,0

(

2

1

>

≥x

x,若直线PQ x

//轴,求Q

P,两点间的最短距离.

1 / 17

2 / 17

3.(本小题满分15分) 已知函数()1ln

(02)2x

f x x x

=+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P

关于点M 对称的点Q 也在函数

()y f x =的图像上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;

(Ⅱ)定义21

1

1221()()()()n n i i n S f f f f n n n n

-=-=

=++???+∑

,其中*n ∈N ,求2013S ;

(Ⅲ)在(2)的条件下,令12n n S a +=,若不等式2()1n a

m

n a ?>对

*

n ?∈N ,且2n ≥恒成立,求实数m 的取值范围.

4.(本小题满分15分)

已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,若()

f x y x

=在(0,)+∞上为增函数,则称()f x 为“一阶比增函数”;

若2

()

f x y x =

在(0,)+∞上为增函数,则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的

集合记为1Ω,所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. [来源:.Com]

(Ⅰ)已知函数32

()2f x x hx hx =--,若1(),f x ∈Ω且2()f x ?Ω,求

实数h 的取值范围;

(Ⅱ)已知0a b c <<<,1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出,

求证:(24)0d d t ?+->; (

)

{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,

请问:是否存在常数M ,使得()f x ?∈ψ,(0,)x ?∈+∞,有

()

f x M

成立?若存在,求出M的

最小值;若不存在,说明理由.

5.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x ln x,g(x)=-x2+a x-2.

(Ⅰ)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;

(Ⅱ)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象恰有一个公共点,求实数a的值.

3 / 17

6.(本小题满分12分)

设a≥0,函数f(x)=[x2+(a-3)x-2a+3]e x,g(x)=2-a-x-

4

1 x+

.

(Ⅰ)当a≥1时,求f(x)的最小值;

(Ⅱ)假设存在x1,x2∈(0,+∞),使得|f(x1)-g(x2)|<1成立,求a的取值范围. 7.(本小题满分12分)设函数()(1)(1)1

x

f x ax e a x

=-+-+. (Ⅰ)证明:当0

a=,()0

f x≤;

(Ⅱ)设当0

x≥时,()0

f x≥,求a的取值范围.

4 / 17

5 / 17

8.(本小题满分12分): 已知函数()ln(1)2

a

f x x x =+++ (1)当25

4

a =

时,求()f x 的单调递减区间; (2)若当0x >时,()1f x >恒成立,求a 的取值范围; (3)求证:1111

ln(1)()357

21

n n N n *+>++++

∈+

9.(本小题14分)

已知函数).(ln 2)12(2

1)(2

R a x x a ax x f ∈++-=

(1) 若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行,求a 的值; (2) 求)(x f 的单调区间;

(3) 设,2)(2

x x x g -=若对任意],2,0(1∈x 均存在],2,0(2∈x 使得

),()(21x g x f <求a 的取值范围。

6 / 17

10.(本小题14分)

设函数2

()()f x x x a =--(x ∈R ),其中a ∈R

(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的极大值和极小值;

(Ⅲ)当3a >时,证明存在[]10k ∈-,,使得不等式

22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立

11. (2014年1月青浦)**(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)

小题6分,第(3)小题8分. 设集合1()(0,),()()M f x x f x f x ??=∈+∞=????

.

(1)已知函数2

()(0)1x

f x x x =

>+,求证:()f x M ∈; (2)对于(1)中的函数()f x ,求证:存在定义域为[2,)+∞的函数

()g x ,使得1

()()g x f x x

+=对任意0x >成立.

(3)对于任意()f x M ∈,求证:存在定义域为[2,)+∞的函数()g x ,使得等式

1

()()g x f x x

+=对任意0x >成立.

7 / 17

12. 己知函数()ln 1f x x ax =-+在2x =处的切线斜率为1.

2-

(1)求实数a 的值及函数()f x 的单调区间;

(2) 证明:)2,()1(41

2ln 33ln 22ln *2222≥∈+--<

+???++n N n n n n n

n

2.(1)0≥x 时,0cos 1cos )(≥+≥+='x x e x f x

,所以函数)

(x f y =

8 / 17

在),0[+∞上

单调递增;-----------------------------------------------------6分

(2)因为)()(21x g x f =,所以2sin 211-=+x x e x

---------------------8分

所以Q P ,两点间的距离等于=-12x x 2sin 111+-+x x e x

,------9分 设

)

0(2sin )(≥+-+=x x x e x h x ,则

)0(1cos )(≥-+='x x e x h x ,

)

0(1cos )()(≥-+='=x x e x h x l x ,

0sin 1sin )(≥-≥-='x x e x l x ,

所以01)0()(>='≥'h x h ,------------------------------------12分 所以

)(x h 在)

,0[+∞上单调递增,所以

3)0()(=≥h x h ------------14分

所以312≥-x x ,即Q P ,两点间的最短距离等于

3.---------------15分

3.(1)假设存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上,则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b .

由()(2)2f x f a x b +-=,得21ln

1ln 2222x a x

b x a x

-+++=--+, 即22222ln 0244x ax

b x ax a

-+-+=-++-对(0,2)x ?∈恒成立,所以

220,

440,

b a -=??

-=?解得1,1.a b =??=? 所以存在点(1,1)M ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上. -------5分 (Ⅱ)由(1)得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.

令i x n =

,则()(2)2i i

f f n n

+-=(1,2,,21)i n =???-. 因为1221

()()(2)(2)n S f f f f n n n n =++???+-+-①,

所以1221

(2)(2)()()n S f f f f n n n n

=-+-+???++②,

9 / 17

由①+②得22(21)n S n =-,所以*

21()n S n n =-∈N .

所以20132201314025S =?-=.-------10分

(Ⅲ)由(2)得*

21()n S n n =-∈N ,所以*1

()2

n n S a n n +=

=∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时,2()121ln ln 2

n a

m n m n n m a n n ?>??>?>-

. 所以当*n ∈N 且2n ≥时,不等式ln ln 2

n m

n >-

恒成立min

ln ln 2n m n ??

?>- ?

??. 设()(0)ln x

g x x x

=

>,则2

ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时,()0g x '<,()g x 在(0,)e 上单调递减; 当x e >时,()0g x '>,()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln8

(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3

g g --=

-=>?,所以(2)(3)g g >, 所以当*

n ∈N 且2n ≥时,[]min 3()(3)ln 3

g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-

,得3ln 3ln 2

m >-,解得3ln 2

ln 3m >-. 所以实数m 的取值范围是3ln 2

(,)ln 3

-+∞.-------15分 4.解:(Ⅰ)

1(),f x ∈Ω且2(),f x ?Ω即2()

()2f x g x x hx h x

==--在

(0,)+∞上是增函数,∴0

h ≤2分

而2

()()2f x h h x x h x x

=

=--在(0,)+∞不是增函数,而'

2()1,h h x x =+当()h x 是增函数时0h ≥,∴

()h x 不是增函数时,0h <,综上0h <

4分.

(

)

1(),

f x ∈Ω且

0a b c

<<

<++,

()()4

,f a f a b c a a b c a b c

++<=++++ 4()a

f a d a b c ∴=<++,同理

44(),()b c

f b d f c t a b c a b c

=<=<++++,则有

4()

()()()24a b c f a f b f c d t a b c

++++=+<=++,240d t ∴+-<,又

(),0d d d b a a b ab

-<∴<, 而00b a d >>∴<,0d ∴<,(24)0d d t ∴+->

8分.

10 / 17

(Ⅲ

)

{}

2()(),,(0,),()f x f x k x f x k

ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取

∴对任意()f x ∈ψ,存在常数k ,使得()f x k <,对(0,)x ∈+∞成立.

先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立,假设存在0(0,)x ∈+∞,使得

0()0f x >,记

02

()

0f x m x =>. ()f x 是二阶比增函数,即

2

()

f x x 是增函数,0x x ∴>时,0220

()()

f x f x m x x >=,2()f x mx ∴>, ∴一定可以找到一个10x x >,使得211()f x mx k >>,这与对

(0,)x ∈+∞,()f x k <矛盾.11分

∴()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立. 即任意()f x ∈ψ,()0f x ≤对

(0,)x ∈+∞成立.

下面证明()0f x =在(0,)x ∈+∞上无解:假设存在20x >,使得

2()0f x =,一定存在320x x >>,

3232

()()

0f x f x x x >=,这与上面证明的结果矛盾,()0f x ∴=在(0,)x ∈+∞上无解.

综上,对任意()f x ∈ψ,()0f x <对(0,)x ∈+∞成立,存在

0,(0,)M x ≥∈+∞使,任意()f x ∈ψ,

有()f x M <成立,min 0M ∴=. 15.

5.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)令f ′(x )=ln x +1=0得x =1

e ,

① 当0<t <1e 时,函数f (x )在(t ,1e

)上单调递减,在(1

e ,t +2)上单调递增,

此时函数f (x )在区间[t ,t +2]上的最小值为f (1

e )=-1

e ; ② 当t ≥1

e 时,函数

f (x )在[t ,t +2]上单调递增,

此时函数f (x )在区间[t ,t +2]上的最小值为f (t )=t ln t .

(Ⅱ)由题意得,f (x )-g (x )=x ln x +x 2-a x +2=0在(0,+∞)

上有且仅有一个根,即a=ln x+x+2

x

在(0,+∞)上有且仅有一个根,

令h(x)=ln x+x+2

x

,则h′(x)=

1

x

+1-2

2

x

2

2

2

x x

x

+-

=2

1

x

(x+

2)(x-1),

易知h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

所以a=h(x)mi n=h(1)=3.

6.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)f′(x)=[x2+(a-1)x-a]e x=(x+a)(x-1)e x,

∵a≥1,∴当x∈(-∞,-a)时,f(x)递增,当x∈(-a,1)时,f(x)递减,当x∈(1,+∞)时,f(x)递增.

∴函数f(x)的极大值点为x1=-a,极小值点为x2=1,

而f(1)=(1-a)e≤0,f(-a)=

3

e a

a+

>0,

令h(x)=x2+(a-3)x-2a+3,则其图象的对称轴为x=3

2

a

-

>-

a,h(-a)=a+3>0,

∴当x≤-a时,h(x)=x2+(a-3)x-2a+3>0,∴f(x)>0.

当x>-a时,f(x)的最小值为f(1)=(1-a)e≤0.

∴f(x)的最小值是(1-a)e.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a≥1时,f(x)在(0,+∞)上的值域是[(1-a)e,+∞),当0≤a<1时,f(x)在(0,+∞)上的值域是(0,+∞).

而g(x)=2-a-x-

4

1

x+

≤3-a-2

4

(1)

1

x

x

+

+

?=-a-1,当且

仅当x=1时,等号成立,

故g(x)在(0,+∞)上的值域为(-∞,-a-1],

∴当a≥1时,令(1-a)e-(-a-1)<1,并解得a>

e

e1

-

,当0<a<1时,令0-(-a-1)<1,无解.

因此,a的取值范围是(

e

e1

-

,+∞).

7.

11 / 17

12 /

17

(Ⅱ)由()(1)1x

f x ax a e a '=+-+-,注意到(0)(0)0f f '==.

考点:导数法判断函数的单调性、极值、最值. 分类讨论. 8.

高考真题理科数学导数

2012年高考真题理科数学解析汇编:导数与积分 一、选择题 1 .(2012年高考(新课标理))已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 .(2012年高考(浙江理))设a >0,b >0. ( ) A .若2223a b a b +=+,则a >b B .若2223a b a b +=+,则a b D .若2223a b a b -=-,则a

5 .(2012年高考(山东理))设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 6 .(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 ( ) A . 2π 5 B . 43 C . 32 D . π2 7 .(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( ) A . 14 B . 15 C . 16 D . 17 8 .(2012年高考(大纲理))已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = ( ) A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1 二、填空题 9 .(2012年高考(上海理))已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10.(2012年高考(山东理))设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11.(2012年高考(江西理))计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12.(2012年高考(广东理))曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13.(2012年高考(天津理))已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳 高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常 数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” , 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三:变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围.

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专题复习

高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数. 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.证明不等式恒成立 考试要求: (1)了解导数概念的某些实际背景. (2)理解导数的几何意义. (3)掌握常用函数导数公式,会求多项式函数的导数. (4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值. (5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值. (6)会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则

1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注: ①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的. 例:||)(x x f =在点00=x 处连续,但在点00=x 处不可导,因为x x x y ??= ??| |,当x ?>0时,1=??x y ;当x ?<0时,1-=??x y ,故x y x ??→?0lim 不存在. 注: ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义:

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 例2:设函数),10(323 1)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= (Ⅰ)求函数f (x )的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围.

例3;已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-, 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+ -++> (Ⅰ)求,a b 的值; (Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域; (Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例4:已知R a ∈,函数x a x a x x f )14(2 1121)(23++++=. (Ⅰ)如果函数)()(x f x g '=是偶函数,求)(x f 的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数)(x f 是), (∞+-∞上的单调函数,求a 的取值范围.

例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32 f x x a x a x a =+-+-≥ (I )求()f x 的单调区间; (II )若()f x 在[0,1]上单调递增,求a 的取值范围。子集思想 例6、已知函数232 )1(31)(x k x x f +-=,kx x g -=31)(,且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数. (1) 求实数k 的取值范围; (2) 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范围.

函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念,会求函数的定义域,值域和解析式,特别是定义域的求法; 2、 掌握函数单调性,奇偶性,周期性的判断方法及相互之间的关系,会解决它们之间的综合问题; 3、 掌握指数和对数的运算性质,对数的换底公式; 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质; 5、 掌握函数的零点存在定理,函数与方程的关系; 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用; 7、 熟练掌握导数的计算,导数的几何意义求切线问题; 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系,会利用导数分析函数的单调性,会根据单调性确定参数的取 值范围; 9、 会利用导数求函数的极值和最值,掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点,又是难点,再备考过程中应该大量解出各种题型,总结其解题方法,积累一些常用的小结论,会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、(2019届新余四中、上高二中高三第一次联考)已知函数 .,R n m ∈ (1)若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行,求实数n 的值; (2)试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值; (3)若1=n 时,函数()x f 恰有两个零点,求证:221>+x x 【答案】(1)6n =(2)1ln m n --(3)见解析 【解析】(1)由, ,由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行, 故 2 14 n -=,解得6n =。 (2) ,由()0f x '<时,x n >;()0f x '>时,x n <,所以 ①当1n ≤时,()f x 在[)1,+∞上单调递减,故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ;

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题(文)一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主1. 要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小)值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数,则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析:,所以 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My,f2,点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1,f(1))222,所的纵坐标为,所以,由切线过点,可得点M 解析:因为5???f1?????3'f1?f12以,所以3 答案: 学习好资料欢迎下载 32?3)(1,2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1,4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析:,所以设切线方程,处切线的斜率为点?3)(1, ?3)y??5x?b(1,2b?,将点处的切线为带入切线方程可得,所以,过曲线上点5x?y?2?0方程为:5x?y?2?0答案:点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点,,例,4.已知曲线C:直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解:线直线过原点,C则。由点上, ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在,处,。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?,整曲线C,的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以,(舍),此时,,解得:理得:,或033??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是答案:直线点评:本小题考查导数

高考文科数学导数全国卷

导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分) 设函数f (x )= e x -ax -2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f ′(x )+x +1>0,求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ,文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4. (1)求a ,b 的值; (2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 3、(2015课标全国Ⅰ,文21).(本小题满分12分) 设函数2()ln x f x e a x =-. (Ⅰ)讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数; (Ⅱ)证明:当0a >时,2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分) 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x )( (I)讨论)(x f 的单调性; (II)若)(x f 有两个零点,求的取值范围. 5、((2016全国新课标二,20)(本小题满分12分) 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. (I )当4a =时,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程;

(II)若当()1,x ∈+∞时,()0f x >,求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ,a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间; (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.(12分) 已知函数)f x =(a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 2018全国卷)(12分) 已知函数()1 ln f x x a x x = -+. ⑴讨论()f x 的单调性; ⑵若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,证明: ()()1212 2f x f x a x x -<--. 导数高考题专练(答案) 1 2解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 由已知得f (0)=4,f ′(0)=4. 故b =4,a +b =8. 从而a =4,b =4. (2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ,

高中数学导数题型总结

导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

2012高考数学必考题型解答策略:函数与导数

2012高考数学必考题型解答策略:函数与导数 D

而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合,预计2012年基本上还是这个考查趋势,具体为:(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算,考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题,要特别注意一些新定义试题. (2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识,其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定. (3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用,重点是函数定义域、值域,函数的单调性和奇偶性的应用,指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用,函数的零点判断,简单的函数建模,导数的几何意义的应用,定积分的计算及其简单应用.(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用,重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题,考查函数建模和利用导数解模.

备考建议 基本初等函数和函数的应用:在掌握好基本知识的前提下重点解决函数性质在解决问题中的综合应用、函数性质在判断函数零点中的应用,指数函数、对数函数的图象和性质的应用,数形结合思想的应用. 导数及其应用:要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系,由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的,因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用,特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点),在解决好上述问题后,要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练,这是高考命制压轴题的一个重要考查点. 解答策略 1.讨论函数的性质时,必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题,注意挖掘隐含在实际中的条件,避免忽略实际意义对定义域的影响. 2.运用函数的性质解题时,注意数形结合,

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年:设函数2 ()1x f x e x ax =---。 (1)若0a =, 求()f x 的单调区间; (2)若当0x ≥时()0f x ≥, 求a 的取值范围 2019年:已知函数ln ()1a x b f x x x = ++, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=. (I )求,a b 的值; (II )如果当0x >, 且1x ≠时, ln ()1x k f x x x >+-, 求k 的取值范围. 2019年: 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-. (Ⅰ)求)(x f 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若b ax x x f ++≥2 2 1)(, 求b a )1(+的最大值.

2019: 一卷:已知函数()f x =2 x ax b ++, ()g x =()x e cx d +, 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0, 2), 且在点P 处有相同的切线42y x =+ (Ⅰ)求a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若x ≥-2时, ()f x ≤()kg x , 求k 的取值范围. 2019一卷:设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+, 曲线()y f x =在点(1, (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ; (Ⅱ)证明:()1f x >. 2015一卷:已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ , ()ln g x x =-. (Ⅰ)当a 为何值时, x 轴为曲线()y f x = 的切线; (Ⅱ)用min {},m n 表示m , n 中的最小值, 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x , 讨论()h x 零点的个数.

高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专 题复习 Last revision date: 13 December 2020.

高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数. 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.证明不等式恒成立 考试要求: (1)了解导数概念的某些实际背景. (2)理解导数的几何意义. (3)掌握常用函数导数公式,会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值. (6)会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 在0x 处有增 称为函数,即 f 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ).()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果 )(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的.

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -a . 若a≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ???? 0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ?? 1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ?? ??1a =ln 1 a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ?? 1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数,当(0,]x e ∈时,有()ln f x ax x =+(其中e 为自然对数的底,a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)试问:是否存在实数0a <,使得当[,0)x e ∈-,()f x 的最小值是3?如果存在,求出实数a 的值;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设ln ||()||x g x x =([,0)(0,]x e e ∈- ),求证:当1a =-时,1 |()|()2 f x g x >+; 2. 若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足: ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+,则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知 2()h x x =,()2ln x e x ?=(其中e 为自然对数的底数). (1)求()()()F x h x x ?=-的极值; (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β,且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f (I )求)(ααf 的值;(II )判断),()(βα在区间x f 上单调性,并加以证明; (III )若μλ,为正实数,①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小; ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. (I )求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间; (II )是否存在实数m ,使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立,若存在,求出m 的范围;若不存在,请说明理由. 5.若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- (1)求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间; (2)若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立,求实数a 的取值范围.

高考理科数学导数经典题详解

1.(15分)已知函数f(x)=21nx+ax2﹣1 (a∈R) (I)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若a=l,试解答下列两小题. (i)若不等式f(1+x)+f(1﹣x)<m对任意的0<x<l恒成立,求实数m的取值范围; (ii)若x1,x2是两个不相等的正数,且以f(x1)+f(x2)=0,求证:x1+x2>2.2.(15分)设函数x e x f x sin ) (+ =,2 ) (- =x x g; (1)求证:函数) (x f y=在) ,0[+∞上单调递增; (2)设)) ( , ( 1 1 x f x P, 22 (,()) Q x g x)0 ,0 ( 2 1 > ≥x x,若直线PQ x //轴,求Q P,两点间的最短距离. 1 / 17

2 / 17 3.(本小题满分15分) 已知函数()1ln (02)2x f x x x =+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数 ()y f x =的图像上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由; (Ⅱ)定义21 1 1221()()()()n n i i n S f f f f n n n n -=-= =++???+∑ ,其中*n ∈N ,求2013S ; (Ⅲ)在(2)的条件下,令12n n S a +=,若不等式2()1n a m n a ?>对 * n ?∈N ,且2n ≥恒成立,求实数m 的取值范围. 4.(本小题满分15分) 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,若() f x y x =在(0,)+∞上为增函数,则称()f x 为“一阶比增函数”; 若2 () f x y x = 在(0,)+∞上为增函数,则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的 集合记为1Ω,所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. [来源:.Com] (Ⅰ)已知函数32 ()2f x x hx hx =--,若1(),f x ∈Ω且2()f x ?Ω,求 实数h 的取值范围; (Ⅱ)已知0a b c <<<,1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出, 求证:(24)0d d t ?+->; ( Ⅲ ) 定 义 集 合 {}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 请问:是否存在常数M ,使得()f x ?∈ψ,(0,)x ?∈+∞,有

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

2019年高考数学理科数学 导数及其应用分类汇编

2019年高考数学理科数学 导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 2.【2019年高考天津理数】已知a ∈R ,设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为 A .[] 0,1 B .[] 0,2 C .[]0,e D .[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时,(1)12210f a a =-+=>恒成立; 当1x <时,2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立, 令2 ()1 x g x x =-, 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? , 当1 11x x -= -,即0x =时取等号, ∴max 2()0a g x ≥=,则0a >.

当1x >时,()ln 0f x x a x =-≥,即ln x a x ≤恒成立, 令()ln x h x x = ,则2ln 1()(ln )x h x x -'=, 当e x >时,()0h x '>,函数()h x 单调递增, 当0e x <<时,()0h x '<,函数()h x 单调递减, 则e x =时,()h x 取得最小值(e)e h =, ∴min ()e a h x ≤=, 综上可知,a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3.(2019浙江)已知,a b ∈R ,函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b , 2(1)y x a x =+-', 当a +1≤0,即a ≤﹣1时,y ′≥0,y =f (x )﹣ax ﹣b 在[0,+∞)上单调递增, 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点,不合题意; 当a +1>0,即a >﹣1时,令y ′>0得x ∈(a +1,+∞),此时函数单调递增, 令y ′<0得x ∈[0,a +1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点. 根据题意,函数y =f (x )﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y =f (x )﹣ax ﹣b 在(﹣∞,0)上有一个零点,在[0,+∞)上有2个零点, 如图:

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