高考理科数学导数经典题详解

1．（15分）已知函数f（x）=21nx+ax2﹣1 （a∈R）（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题．（i）若不等式f（1+x）+f（1﹣x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x2＞2．2.（15分）设函数xexf x sin)(+=，2)(-=xxg；（1）求证：函数)(xfy=在),0[+∞上单调递增；（2）设))(,(11xfxP，22(,())Q x g x)0,0(21>≥xx，若直线PQ x//轴，求QP,两点间的最短距离.1 / 172 / 173．（本小题满分15分） 已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中*n ∈N ，求2013S ；（Ⅲ）在（2）的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n amn a ⋅>对*n ∀∈N ，且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围.4．（本小题满分15分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. [来源:.Com](Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；(Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t ⋅+->； (Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由.5.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋a x－2.（Ⅰ）求函数f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值.3 / 176.（本小题满分12分）设a≥0，函数f(x)＝[x2＋(a－3)x－2a＋3]e x，g(x)＝2－a－x－41 x+.（Ⅰ）当a≥1时，求f(x)的最小值；（Ⅱ）假设存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得|f(x1)－g(x2)|＜1成立，求a的取值范围. 7.（本小题满分12分）设函数()(1)(1)1xf x ax e a x=-+-+. （Ⅰ）证明：当0a=，()0f x≤；（Ⅱ）设当0x≥时，()0f x≥，求a的取值范围.4 / 175 / 178．（本小题满分12分）： 已知函数()ln(1)2af x x x =+++ （1）当254a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+9．（本小题14分）已知函数).(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1） 若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2） 求)(x f 的单调区间；（3） 设,2)(2x x x g -=若对任意],2,0(1∈x 均存在],2,0(2∈x 使得),()(21x g x f <求a 的取值范围。

6 / 1710．（本小题14分）设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立11. (2014年1月青浦)**(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分，第(3)小题8分. 设集合1()(0,),()()M f x x f x f x ⎧⎫=∈+∞=⎨⎬⎩⎭.（1）已知函数2()(0)1xf x x x =>+，求证：()f x M ∈; （2）对于（1）中的函数()f x ，求证：存在定义域为[2,)+∞的函数()g x ，使得1()()g x f x x+=对任意0x >成立.（3）对于任意()f x M ∈，求证：存在定义域为[2,)+∞的函数()g x ，使得等式1()()g x f x x+=对任意0x >成立.7 / 1712. 己知函数()ln 1f x x ax =-+在2x =处的切线斜率为1.2-(1)求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；(2) 证明：)2,()1(412ln 33ln 22ln *2222≥∈+--<+⋅⋅⋅++n N n n n n nn2.（1）0≥x 时，0cos 1cos )(≥+≥+='x x e x f x，所以函数)(x f y =8 / 17在),0[+∞上单调递增；-----------------------------------------------------6分（2）因为)()(21x g x f =，所以2sin 211-=+x x e x---------------------8分所以Q P ,两点间的距离等于=-12x x 2sin 111+-+x x e x，------9分 设)0(2sin )(≥+-+=x x x e x h x ，则)0(1cos )(≥-+='x x e x h x ，记)0(1cos )()(≥-+='=x x e x h x l x ，则0sin 1sin )(≥-≥-='x x e x l x ，所以01)0()(>='≥'h x h ，------------------------------------12分 所以)(x h 在),0[+∞上单调递增，所以3)0()(=≥h x h ------------14分所以312≥-x x ，即Q P ,两点间的最短距离等于3.---------------15分3.（1）假设存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上，则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b .由()(2)2f x f a x b +-=，得21ln1ln 2222x a xb x a x-+++=--+， 即22222ln 0244x axb x ax a-+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立，所以220,440,b a -=⎧⎨-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以存在点(1,1)M ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上. -------5分 （Ⅱ）由（1）得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.令i x n =，则()(2)2i if f n n+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-. 因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n n n =++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，9 / 17由①+②得22(21)n S n =-，所以*21()n S n n =-∈N .所以20132201314025S =⨯-=.-------10分（Ⅲ）由（2）得*21()n S n n =-∈N ，所以*1()2n n S a n n +==∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时，2()121ln ln 2n am n m n n m a n n ⋅>⇔⋅>⇔>-. 所以当*n ∈N 且2n ≥时，不等式ln ln 2n mn >-恒成立minln ln 2n m n ⎛⎫⇔>- ⎪⎝⎭. 设()(0)ln xg x x x=>，则2ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)e 上单调递减； 当x e >时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln8(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3g g --=-=>⋅，所以(2)(3)g g >， 所以当*n ∈N 且2n ≥时，[]min 3()(3)ln 3g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-，得3ln 3ln 2m >-，解得3ln 2ln 3m >-. 所以实数m 的取值范围是3ln 2(,)ln 3-+∞.-------15分 4.解：(Ⅰ)1(),f x ∈Ω且2(),f x ∉Ω即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞上是增函数，∴0h ≤2分而2()()2f x h h x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而'2()1,h h x x =+当()h x 是增函数时0h ≥，∴()h x 不是增函数时，0h <，综上0h <4分.(Ⅱ)1(),f x ∈Ω且0a b c<<<a b c<++，则()()4,f a f a b c a a b c a b c++<=++++ 4()af a d a b c ∴=<++，同理44(),()b cf b d f c t a b c a b c=<=<++++，则有4()()()()24a b c f a f b f c d t a b c++++=+<=++，240d t ∴+-<，又(),0d d d b a a b ab-<∴<， 而00b a d >>∴<，0d ∴<，(24)0d d t ∴+->8分.10 / 17(Ⅲ){}2()(),,(0,),()f x f x k x f x kψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取∴对任意()f x ∈ψ,存在常数k ，使得()f x k <，对(0,)x ∈+∞成立.先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立，假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记02()0f x m x =>. ()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数，0x x ∴>时，0220()()f x f x m x x >=，2()f x mx ∴>， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与对(0,)x ∈+∞，()f x k <矛盾.11分∴()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立. 即任意()f x ∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立.下面证明()0f x =在(0,)x ∈+∞上无解:假设存在20x >，使得2()0f x =，一定存在320x x >>，3232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾，()0f x ∴=在(0,)x ∈+∞上无解.综上，对任意()f x ∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，存在0,(0,)M x ≥∈+∞使，任意()f x ∈ψ，有()f x M <成立，min 0M ∴=. 15.5.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）令f ′(x )＝ln x ＋1＝0得x ＝1e ，① 当0＜t ＜1e 时，函数f (x )在(t ，1e)上单调递减，在(1e ，t ＋2)上单调递增，此时函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f (1e )＝－1e ； ② 当t ≥1e 时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，此时函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f (t )＝t ln t .（Ⅱ）由题意得，f (x )－g (x )＝x ln x ＋x 2－a x ＋2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，即a＝ln x＋x＋2x在(0，＋∞)上有且仅有一个根，令h(x)＝ln x＋x＋2x，则h′(x)＝1x＋1－22x＝222x xx+-＝21x(x＋2)(x－1)，易知h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以a＝h(x)mi n＝h(1)＝3.6.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f′(x)＝[x2＋(a－1)x－a]e x＝(x＋a)(x－1)e x，∵a≥1，∴当x∈(－∞，－a)时，f(x)递增，当x∈(－a，1)时，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f(x)递增.∴函数f(x)的极大值点为x1＝－a，极小值点为x2＝1，而f(1)＝(1－a)e≤0，f(－a)＝3e aa+＞0，令h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3，则其图象的对称轴为x＝32a-＞－a，h(－a)＝a＋3＞0，∴当x≤－a时，h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3＞0，∴f(x)＞0.当x＞－a时，f(x)的最小值为f(1)＝(1－a)e≤0.∴f(x)的最小值是(1－a)e.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上的值域是[(1－a)e，＋∞)，当0≤a＜1时，f(x)在(0，＋∞)上的值域是(0，＋∞).而g(x)＝2－a－x－41x+≤3－a－24(1)1xx++⋅＝－a－1，当且仅当x＝1时，等号成立，故g(x)在(0，＋∞)上的值域为(－∞，－a－1]，∴当a≥1时，令(1－a)e－(－a－1)＜1，并解得a＞ee1-，当0＜a＜1时，令0－(－a－1)＜1，无解.因此，a的取值范围是(ee1-，＋∞).7.11 / 1712 /17（Ⅱ）由()(1)1xf x ax a e a '=+-+-，注意到(0)(0)0f f '==．考点：导数法判断函数的单调性、极值、最值. 分类讨论. 8.13 / 179. 解：（1）32)3()1(2)12()(///=∴=++-=a f f xa ax x f（2）ax x x x ax x x x a ax x f 12)0()1)(2(2)12()(2121==>--=++-=①当a ≤0时 ∵ax-1<0 ∵x>0 ∴单增区间（0，2）单减区间（2，+∞）②当ax x a 1221021=<=<<时 ∴单增区间：（0，2），（+∞,1a）单减区间：（2，a 1）③当ax x a 122121=>=>时单增区间：),2(),1,0(+∞a单减区间：)2,1(a④单增在时当),0()(0)2(21)(212/+∞∴>-==x f xx x f a14 / 17(3)由已知 只需max max )()(]2,0[x g x f ，x <∈有时 由已知g(x)max =0 由（2）可知①当2ln 222)2()(]2,0[)(21max +--==∴≤a f x f x f a 单增在时2112ln 02ln 222≤<-∴<+--∴a a 只需②时当21>a单增在)1,0()(a x f在单减)2,1(a为所求综上12ln 210)(0ln 2221ln 222ln 211ln 21ln ln 21ln 2221)1()(max max ->∴>∴<∴<---∴<--∴<-∴-=>>∴>---==∴a a x f a a a a ea a aa af x f10. ①a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x 3+2x 2-x f(2)=-2, f /(2)=-5 ∴切线方程：5x+y-8=0 ②f(x)=-x(x-a)2=-x 3+2ax 2-a 2x f /(x)=-3x 2+4ax-a 2=-(3x-a)(x-a) 令f /(x)=0 解得a x ax ==或315 / 17)(274)3()(00)(),(),3(3)3,(03/=-=↓↑↓-+-+∞-∞>a f a a f x f x f a a a aa a x a 极大值极小值3/274)3(0)()(00)(),3(3)3,(),(0a a f a f x f x f aa a a a a x a -==↓↑↓-+-+∞-∞<极大值极小值③1cos ,1cos ,]0,1[,13,322≤-≤--∈>>x k x k k aa 时当由②知，)cos ()cos (,]1,()(22x k f x k f x f -≥-↓-∞要使在只要k k x x x k x k -≤--≤-2222cos cos ,cos cos 即设2)(,41)21(cos cos cos )(max 22=--=-=x g x x x x g 1,1222-=∴-≤≥∴≥-∴k k k k k 存在或 11.【证明】(探究性理解水平/函数性质的综合运用） （1）由2()1x f x x =+可得，2211()111xxf x x x ==++，……………………… 3分 因此1()()f x f x =.又0x >，所以()f x M ∈. ……………………………… 4分 （2）由2()1x f x x =+=11x x +， 设函数()1()g x x x=≥2，当x >时，1x x +=2. …………………………… 8分 则1()g x x +=11x x+=21x x +=()f x . ……………………………10分16 / 17即存在定义域为[)2,+∞的函数()g x ，使得等式1()g x x+=()f x 对任意0x >成立.（3）当0x >时，设1x x+=t ,则2t ≥， 可得210x tx -+=，解得x =， ……………………………12分 设函数()g x=(2x f +()x ≥2，当0x >时，1x x +=2. ………13分 则1()g x x +=11()2x x x xf f ++-=.……………………14分 当01x <≤时，x≤1x，1()g x x +=11()2x x x x f +-+=1()f x =()f x ………16分 当1x >时，x >1x ，1()g x x +=11()2x x x x f ++-=()f x . ……………18分即存在定义域为[)2,+∞的函数()g x ，使得等式1()g x x+=()f x 对任意0x >成立.12.解：（1）由已知：1()f x a x'=-，∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a=1．于是11()1xf x x x-'=-=， 当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x)为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<， f (x)为减函数，即f (x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)．（2）要证明2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n n n --+++<+(n ∈N*，n≥2)．只须证22222ln 22ln 32ln 21232(1)n n n n n --+++<+， 只须证2222222ln 2ln 3ln 21232(1)n n n n n --+++<+． 由（Ⅰ）当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，f (x)为减函数， f (x)=lnx-x+1≤0，即lnx≤x -1， ∴ 当n≥2时，22ln 1n n <-，17 / 1722222ln 11111111(1)1n n n n n n n n n -<=-<-=-+++， 222222ln 2ln3ln 23n n +++<111221⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭111331⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭1111n n ⎛⎫⋅⋅⋅+-+ ⎪+⎝⎭211211212(1)n n n n n --=--+=++，∴ 2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n n n --+++<+．。