导学案032数列的综合运用
《数列的综合应用》教案
个 性 化 教 案授课时间 备课时间 年级高三学生姓名 教师姓名课题数列的进一步认识教学目标 （1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n 项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。
（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题教学重点 1、数列求和的几种常见方法2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题教学设计教学内容 一、检查并点评学生的作业。
检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。
二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。
三、讲授新内容 数列求和数列求和的常用方法 1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和； （2）一些常见的数列的前n 项和：2)1(1+=∑=n n k nk )12)(1(6112++=∑=n n n k nk 2213)1(41+=∑=n n k nk 2、倒序相加法如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
等差数列的前n 项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；例：n S =1*2+2*4+3*8+……+n*n 2①2n S =1*4+2*8+3*16+……+（n-1）*n 2+n*12+n ② ①-②得 -n S =2-（4+8+16+……+n 2）-n*12+n 即：n S =（n-1）12+n -64、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
数列的综合应用教案
数列的综合应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN11 =+1、等差数列{}n a 中,若124a a +=, 91036a a +=,则10S =______.2. 设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,21179d -<<-, 则当n S 取最大值时,n 的值为_ __. 3.在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项的和，且8776,S S S S ><，给出下列命题：①此数列公差0<d ；②69S S <；③7a 是各项中最大的一项；④7S 是S n 中的最大项⑤{}n a 是递增数列。
其中真命题的序号是 。
4.等差数列{}n a 前n 项和为n s ，若5359a a =，则95s s =____________. 5.办公大楼共23层，现每层派一人集中到第k 层开会，要使这23位参加会议的人员上下楼梯所走路程的总和最少，则k 的值 。
6.若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a ⋅+的取值范围是____________. 7.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知1133331,3,17,12,{},{}n n a b a b T S a b ==+=-=求的通项公式8.已知在数列｛a n ｝中，11=a ，d a a qa a n n n n +==+-212122,(q, d ∈R, q ≠0)（1）若q=2，d=－1，求a 3，a 4并猜测a 2006；（2）若{}12-n a 是等比数列，且{}n a 2是等差数列，求q ，d 满足的条件。
数列的综合应用教学设计
数列的综合应用教学设计数列的综合应用一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》（人教A版），第二章内容结束之后的综合练习。
在课本中没有专设章节。
内容从教材习题2.5中A组的第4题中体现。
本章五节内容分别讲授了等差数列、等比数列以及这两种数列的性质、通项公式、前N项和等基础内容。
让学生在此基础之上，了解高考中出现频率较多的一些特殊数列。
在实际教学中，本节内容应该分为五个阶段：第一阶段学生要充分掌握基本数列的知识点，可用提问的方式进行复习回顾。
第二阶段，对于特殊数列有关例题首先要引导学生观察，找到与基本数列的相似处，从而决定构造为基本数列中的等差数列或等比数列，大胆提出猜想。
第三阶段从猜想入手，开始构造。
运用基本数列的形式和性质得到新的数列。
构造出的新数列必须满足基本数列成立的条件。
验证猜想的正确性。
第四阶段根据题目要求从构造出的新数列找出所求项。
第五阶段，老师和学生一起归纳题型。
学生在老师的引导下结题，提高主动性，学习的灵活性。
从而提高对本节知识的兴趣。
二、学情分析对于高一年级的学生来说。
之前的学习中已经接触到了函数内容。
以及在本节内容的学习之前，已经有了数列的基础。
学生已经具备了一定的分析能力，函数构造基础等。
对于本节授课内容来说，学生在一般很难自己分析出来，有一定的难度。
所以需要老师的正确引导，但是在复习的基础上不宜直接灌输解题方法。
应该带领学生一起观察、分析、猜想、证明。
从而加深学生对本节内容的理解，也可让学生自己尝试找到新的解法，建立自己的思维模式。
三、设计思想在授课中，必须要求学生掌握基本数列（等差数列和等比数列）的内容。
以此引导学生，分析特殊数列。
并且根据之前学习三角函数时用到的“构造”理念。
将特殊数列构造为基本数列，再运用基本数列的知识点来解题。
课堂中，以例题分析为主，让学生学会观察特殊数列的结构，分析如何构造出适合的基本数列的形式。
讲课过程中，以启发性为主，让学生主动分析。
高考数学一轮复习 数列的综合运用导学案
数列的综合应用一、课前学习1．数列{}n a 满足n a =，则{}n a 中的最大项为第项，最小项是第项。
2．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15,1054≤≥S S ，则7S 的最大值为.3．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且213-=n n S ，则=++++13221n n a a a a a a .4．设平面内有)3(≥n n )(n f 表示这n 条直线交点的个数，则=)4(f ；当4≥n 时，=)(n f .5．设数列1{2}n -按“第n 组有n 个数()n N •∈”的规则分组如下：（1），（2，4），（8，16，32），…，则第100组中的第一个数__________. 二、合作学习 例1．已知函数()(,xf x a b ax b=+为常数且0)a ≠满足(2)1f =且()f x x =有唯一解。
（1）求()f x 的表达式；（2）记1()(*,1)n n x f x n N n -=∈>且1(1)x f =，求数列{}n x 的通项公式；（3）记1n n n y x x +=，数列{}n y 的前n 项的和为n S ，求证：43n S <。
例2．设向量a =（2,x ），b =（12,-+x n x ）（n N +∈），函数=y a b ⋅在[0，1]上的最小值与最大值的和为na ，又数列{nb }满足：1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb ．（1）求n a 和n b 的表达式；（2）n n n b a c ⋅-=，试问数列{n c }中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立？证明你的结论.例3．幂函数y =2(,)n n n P t t （n = 1,2,……）与x 轴正半轴上的点n Q 及原点O 构成一系列正1n n n P Q Q -∆（Q 0与O 重合），记1||n n n a Q Q -=。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。
二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。
2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。
3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。
4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。
5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。
2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。
2. 第二课时：等比数列的应用举例。
3. 第三课时：数列的求和公式及应用。
4. 第四课时：数列的通项公式的应用。
5. 第五课时：数列在函数中的应用。
6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。
六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。
2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。
七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。
2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。
3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。
人教B版高中数学必修五导学案-数学必修五学案：数列的综合应用
数列的综合应用1、在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近1的项是 2、数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈，则5a =3、等差数列{a n }中，a m+n = α，a m-n = β，则其公差d 的值为4、在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +=+，则101a 的值为5、在等比数列{}n a 中，117a a ⋅=6，144a a +=5，则1020a a 等于 6、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95S S 的值为 7、在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为8、等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和S 9等于9、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项11、设数列的通项公式为72-=n a n ，则=+++1521a a a12、数列{}n a 中，1a =15，2331-=+n n a a （*N n ∈），则该数列中相邻两项的乘积是负数的是13、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图1所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示这n 堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；()_____f n =（()f n 的答案用n 表示）.14、等差数列}{n a 中,,0,0,020042003200420031<⋅>+>a a a a a 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 为15、已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，1a =1-，41-=b ，用k S 、'k S 分别表示数列{}n a 、{}n b 的前k 项和（k 是正整数），若k S +'k S =0，则k k b a +的值为15、设正数数列{}n a 前n 项和为n S ，且存在正数t ，使得对所有正整数n 有2n n a t tS +=，则通过归纳猜测可得到n S ＝18、已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列，（1）求通项公式n a（2）设2n an b =，求数列n b 的前n 项和n s19、已知等差数列{}n a 的第二项为8，前10项和为185。
数列的综合应用导学案(重点班)
6.2 数列通项、求和、综合应用一．知识点整理：1、求通项方法整理 （1）．形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N 且n ≥2)方法 叠加法，即当n ∈N ，n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1． 形如a na n －1＝f (n )(n ∈N 且n ≥2) 方法 用叠乘法，即当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1．注意 n ＝１不满足上述形式，所以需检验．（2）．形如含a n ，S n 的关系式方法 利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，将递推关系转化为仅含有a n 的关系式(如果转化为a n不能解决问题，则考虑转化为仅含有S n 的关系式)． 注意 优先考虑n ＝1时，a 1＝S 1的情况． （3）．归纳猜想方法 列出前几项，找到数列的规律(如周期性)，利用归纳猜想得数列的项． 2、求和方法整理 （1）．形如a n ±b n 的形式 方法 分组求和法．（2）形如1a n (a n +d )或1n ＋d ＋n等形式（①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k )；③1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)；④1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n ).） 方法 采用裂项相消法．（3）形如a n b n 形式(其中a n 为等差，b n 为等比)方法 采用错位相减法．（4）首、尾对称的两项和为定值的形式方法 倒序相加法．3．数列的单调性方法1 转化为函数的单调性，如利用图象分析．注意 图象分析时，数列图象为离散的点． 方法2 利用a n ＋1－a n 与0的关系(或a n ＋1a n 与1的关系，其中a n ＞0)判断(或证明)数列的单调性．4．数列的最值方法1 利用a n ＋1－a n 与0的关系(或a n ＋1a n与1的关系，其中a n ＞0)判断数列的单调性．方法2 若第m 项为数列的最大项，则⎩⎨⎧a m ≥a m ＋1，a m ≥a m －1．若第m 项为数列的最小项，则⎩⎨⎧a m ≤a m ＋1，a m ≤a m －1．二．回归课本1．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ． (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2n a n －1(n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ． 2．已知数列{a n }中，a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，则a n ＝ ．3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝23a n －1＋1 (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．4．已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＝2a n －1a n －1＋2 (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．5．(1)已知数列{a n }中，a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n 2(n ＋1)，则a n ＝ ．(2)已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2，则a n ＝ ．6．已知数列{a n }中，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n－1，12≤a n＜1，若a 1＝67，则a 2014的值为 ．7．(1)数列1＋2，1＋2＋4，1＋2＋4＋8，…，1＋2＋4＋…＋2n 的前n 项的和为 ．(2)数列a n ＝1n (n ＋2)的前n 项的和为 ．(3)数列a n ＝(2n －1)·3n 的前n 项的和为 ．(4)设f (x )＝9x 9x ＋3，则f (120)＋f (220)＋f (320)＋…＋f (1920)的值为 ．8．(1)数列{a n }通项公式为a n ＝an 2＋n ，若{a n }满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，且a n ＞a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围为 ．(2)已知数列a n ＝(12)n －2，b n ＝λa n －n 2，若数列{b n }是单调递减数列，则实数λ的取值范围为 ．9．求数列a n ＝4n 2(45)n －1(n ∈N *)的最大项．数列的综合应用（高考要求B ）三．典型例题：题型一分组转化求和例1等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n}(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋1＝(12)n (n ∈N *).(1)求证：数列{a 2n }与{a 2n －1}(n ∈N *)都是等比数列；(2)若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，令b n ＝(3－T 2n )·n ·(n ＋1)，求数列{b n }的最大项.题型二 错位相减法求和例2设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝2S n＋n＋1(n∈N*)，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝na n＋1－a n，数列{b n}的前n项和为T n，n∈N*，证明：T n<2.设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.题型三裂项相消法求和例3已知等差数列{a n}，公差d>0，前n项和为S n，S3＝6，且满足a3－a1,2a2，a8成等比数列.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n·a n＋2，求数列{b n}的前n项和T n.已知等差数列{a n}是递增数列，且满足a4·a7＝15，a3＋a8＝8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝19a n－1a n (n≥2)，b1＝13，求数列{b n}的前n项和S n.题型四数列的实际应用例4 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M 的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M 的价值为上年年初的75%.(1)求第n 年年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M 更新.(1)设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额地分成n 次付清，若每期利率r 保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是________元.(2)气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天.四．课后练习 一、填空题1.已知在数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝________.2.在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 015的值等于________.3.数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2012等于________.4.数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012＝________.5.设S n ＝12＋16＋112＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)，且S n ＋1·S n ＋2＝34，则n 的值是________.6.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1，前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，不等式S 2n－S n >m16恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为____________________.二、解答题7.在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <k对任意n ∈N *恒成立.若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由.8.某产品在不做广告宣传且每千克获利a 元的前提下，可卖出b 千克.若做广告宣传，广告费为n (n ∈N *)千元时比广告费为(n －1)千元时多卖出b2n 千克.(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b 表示销售量S ； (2)试写出销售量S 与n 的函数关系式；(3)当a ＝50，b ＝200时，要使厂家获利最大，销售量S 和广告费n 分别应为多少？。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案章节一：数列的概念与性质1.1 数列的定义1.2 数列的性质1.3 数列的通项公式1.4 等差数列与等比数列章节二：数列的求和2.1 等差数列求和2.2 等比数列求和2.3 数列的错位相减法2.4 数列的分组求和章节三：数列的极限3.1 数列极限的定义3.2 数列极限的性质3.3 数列极限的运算3.4 无穷小与无穷大章节四：数列的收敛性与发散性4.1 数列的收敛性4.2 数列的发散性4.3 数列收敛性的判断方法4.4 数列发散性的判断方法章节五：数列的应用5.1 数列在数学分析中的应用5.2 数列在概率论中的应用5.3 数列在数论中的应用5.4 数列在其他领域的应用《数列综合应用举例》教案（续）章节六：等差数列的应用6.1 等差数列在数学分析中的应用6.2 等差数列在物理中的应用6.3 等差数列在经济学中的应用6.4 等差数列在其他领域的应用章节七：等比数列的应用7.1 等比数列在数学分析中的应用7.2 等比数列在生物学中的应用7.3 等比数列在金融学中的应用7.4 等比数列在其他领域的应用章节八：数列的插值与逼近8.1 数列插值的概念与方法8.2 数列逼近的概念与方法8.3 等差数列与等比数列的插值与逼近8.4 数列插值与逼近在其他领域的应用章节九：数列的级数展开9.1 数列级数的概念9.2 数列级数的收敛性与发散性9.3 数列级数展开的方法9.4 数列级数展开在数学分析中的应用章节十：数列的应用实例分析10.1 数列在数学建模中的应用10.2 数列在信号处理中的应用10.3 数列在数据分析中的应用10.4 数列在其他学科中的应用实例分析《数列综合应用举例》教案（续）章节十一：数列与函数的关系11.1 数列与函数的定义11.2 数列与函数的性质11.3 数列与函数的转化11.4 数列与函数在数学分析中的应用章节十二：数列的线性表征12.1 数列的线性表征方法12.2 数列的线性表征性质12.3 数列的线性表征应用12.4 数列的线性表征在其他领域的应用章节十三：数列的矩阵表示13.1 数列矩阵表示的概念13.2 数列矩阵表示的性质13.3 数列矩阵表示的运算13.4 数列矩阵表示在数学分析中的应用章节十四：数列的变换与映射14.1 数列变换的概念与方法14.2 数列映射的概念与方法14.3 等差数列与等比数列的变换与映射14.4 数列变换与映射在其他领域的应用章节十五：数列研究的现代方法15.1 数列研究的现代方法概述15.2 数列研究的计算机方法15.3 数列研究的随机方法15.4 数列研究的其他现代方法重点和难点解析本教案《数列综合应用举例》涵盖了数列的基本概念、性质、求和、极限、收敛性与发散性，以及数列在各个领域的应用。
初中数学教案数列的综合应用与数学归纳法
初中数学教案数列的综合应用与数学归纳法初中数学教案：数列的综合应用与数学归纳法在初中数学中，数列是一个非常重要的概念。
数列的综合应用可以帮助学生提高数学解题能力，而数学归纳法是解决数列问题的一种常用方法。
本教案将重点介绍数列的综合应用和数学归纳法的规则和使用方法。
一、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于实际生活中。
例如，数列可以用来描述某一事件随时间变化的规律，也可以用来计算各种数值之间的关系等等。
下面举例说明数列的综合应用。
例1：某商品的价格每天下降10元，第一天的价格是100元，请问第n天的价格是多少？解析：该题可以用数列来解决。
设第n天的价格为an，则an = 100 - 10(n-1)。
这个数列的通项公式可以通过观察数列前几项的规律得到。
例如，第一天的价格是100元，第二天是90元，以此类推。
因此，第n天的价格为100 - 10(n-1)元。
例2：有一架高空跳伞的直升机，每次跳伞的时候，跳伞台下方的高度会减少500米。
如果起始高度为2000米，问第n次跳伞时的高度是多少米？解析：该题也可以用数列来解决。
设第n次跳伞时的高度为hn，则hn = 2000 - 500(n-1)。
观察前几次跳伞时的高度变化规律，可以得到数列的通项公式为2000 - 500(n-1)。
以上两个例子展示了数列在实际问题中的应用。
通过使用数列，我们可以将复杂的问题转化为简单的计算，从而更好地解决实际问题。
二、数学归纳法的规则和使用方法数学归纳法是解决数列问题时常用的方法之一。
它的基本思想是：通过证明第一个命题成立，以及如果第k个命题成立，则第k+1个命题也成立，从而得出整个数列的命题成立。
下面介绍数学归纳法的规则和使用方法。
步骤一：证明第一个命题成立首先，需要证明数列中第一个命题成立。
即，验证当n = 1时，数列的某一特性是否成立。
步骤二：假设第k个命题成立假设当n = k时，数列的某一特性成立。
步骤三：证明第k+1个命题成立通过假设第k个命题成立，并使用这个假设进行推理，证明当n = k+1时，数列的某一特性也成立。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过对数列综合应用的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 等差数列的应用：等差数列的求和公式、等差数列的通项公式等。
2. 等比数列的应用：等比数列的求和公式、等比数列的通项公式等。
3. 数列的极限：数列极限的定义、数列极限的性质等。
4. 数列的收敛性：收敛数列的定义、收敛数列的性质等。
5. 数列的应用举例：如数列在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的基本概念、性质和应用。
2. 运用案例分析法，分析数列在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
4. 设置课后习题，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
四、教学步骤1. 引入数列的基本概念，讲解等差数列和等比数列的定义和性质。
2. 引导学生运用数列知识解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
3. 讲解数列的极限和收敛性，分析数列在实际中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论，分享数列在实际问题中的应用案例。
5. 通过课后习题，检查学生对数列知识的掌握程度。
五、教学评价1. 课后习题的完成情况，检验学生对数列知识的掌握。
2. 课堂讨论的参与度，评估学生的团队协作能力和思维水平。
3. 学生对数列应用案例的分析，评估学生的实际应用能力。
4. 定期进行教学质量调查，了解学生的学习需求，调整教学方法。
六、教学资源1. 教学PPT：制作数列综合应用的教学PPT，包含数列的基本概念、性质、应用案例等内容。
2. 案例素材：收集数列在实际问题中的应用案例，如人口增长、放射性衰变等。
3. 课后习题：编写具有代表性的课后习题，检验学生对数列知识的掌握。
4. 教学视频：寻找相关的教学视频，如数列的极限、收敛性的讲解等，辅助学生理解难点内容。
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数列的综合运用考纲要求能运用数列的等差关系式或等比关系解决实际问题.考情分析1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式．2.常与其他知识的交汇命题，考查学生的转化化归能力如与函数、不等式、解析几何等交汇考查．3.各种题型都有可能出现.教学过程基础梳理1．等比数列与等差数列比较表2.(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系．双基自测1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是 ( ) A．800 B．820C．840 D．8602．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为 ( )A．0 B．1C．2 D．不能确定4．5·12汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向北川中学捐赠《三维设计》系列丛书三万册，计划以后每年比上一年多捐5 000册，则截至到2012年，这5年共捐________万册．5．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π36，则这个多边形的边数为________．典例分析考点一、等差数列与等比数列的综合应用[例1] (2010·福建高考)数列{a n}中，a1＝13，前n项和S n满足S n＋1－S n＝⎝⎛⎭⎪⎫13n+1(n∈N*)(1)求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．变式1．(2012·北京东城区综合练习)在等比数列{a n}中，a n>0(n∈N*)，公比q ∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当S11＋S22＋S33＋…＋S nn最大时，求n的值．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．考点二数列在实际问题中的应用【例2】在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司许诺第一年月工资数为1 500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司许诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1元)？并说明理由．(参考数据log1.052.3＝17.1)变式2. 银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多． (计算结果精确到千元，参考数据：1.110≈2.594,1.310≈13.786)．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？答案：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋r)n，属于等比模型．考点三、数列与函数、不等式、解析几何的交汇问题【例3】►(2012·南昌模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.变式3.(2011·福建)已知等比数列{a n}的公比q＝3，前3项和S3＝133.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若函数f(x)＝A sin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．【例4】(2011·陕西)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x 轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n.记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(2≤k≤n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.【例5】(2011·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.数列与其它知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题．函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题．如恒成立，最值问题等．二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题．考题范例(12分)(2012·青岛月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)．求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n.规范解答：∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，(2分)∴数列{1S n }是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列，∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n.(4分)将S n ＝12n代入a n ＝－2S n ·S n －1， 得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12 n ＝1，12n －2n 2n ≥2.(7分)∵S 2n ＝14n 2<14n n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n ＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋…＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1214n ；(10分) 当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1. 综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n .(12分)一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解． 两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． (2)数列与不等式结合时需注意放缩． (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．本节检测1．(2012·长沙模拟)设{a n }、{b n }分别为等差数列与等比数列，a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．a 3<b 32．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6的值为( )A ．±4 2B ．－4 2C ．4 2D ．无法确定3．(2012·青岛模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A ．(2,4)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D ．(－1，－1)4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．645．(2011·上海高考)设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同6．(2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 7． (2011·浙江高考)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R)，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．自我反思。