六年级奥数专题讲义：多位数的运算

六年级奥数专题讲义：多位数的运算多位数的运算,涉及利用99999k 个＝10k-1,提出公因数,递推等方法求解问题．一、99999k 个＝10k-1的运用在多位数运算中,我们往往运用99999k 个＝10k-1来转化问题；如：200433333个×59049我们把200433333个转化为20049999个9÷3,于是原式为200433333个×59049=（20049999个9÷3）×59049=20049999个9×59049=（200410000个0-1）×19683=19683×200410000个0-19683而对于多位数的减法,我们可以列个竖式来求解；200491968299999999个+1如：2004919999199991968299999999119683196829998031611968299980317+-+个个个,于是为199991968299980317个．简便计算多位数的减法,我们改写这个多位数．原式=200433333个×2×3×3×20083333个3=200433333个×2×3×20089999个9=2003199998个9×（200810000个0-1）=2003199998个9×200810000个0-2003199998个9=2003920089200392003920030200392003019999799999999911999981999979998000011199997999800002+-+个个个个个个个,于是为2003920030199997999800002个个.2．计算11112004个1－22221002个2=A ×A,求A ．【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有1111n 个1,从而找出突破口.11112004个1－22221002个2=11111002个100001002个0－11111002个1=11111002个1×（100001002个0-1） =11111002个1×（99991002个9）=11111002个1×（11111002个1×3×3）=A 2所以,A ＝33331002个3.3．计算66662004个6×66662003个6×25的乘积数字和是多少?【分析与解】我们还是利用9999k 个9=100001-k 个0来简便计算,但是不同于上式的是不易得出凑成9999k 个9,于是我们就创造条件使用：66662004个6×666672003个6×25=[23×（20049999个9）]×[23×（20049999个9）+1]×25=[23×（100001-2004个0）]×[23×（100002004个0）+1]×25 =13×13×[2×100002004个0-2]×[2×（100002004个0）+1]×25 =259×[4×100004008个0-2×100002004个0-2] =1009×99994008个9-509×20049999个9=100×40081111个1-50×20041111个1=400812004511110055550-个个(求差过程详见评注)=12004511110555502004个个所以原式的乘积为12004511110555502004个个那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024． 评注：对于400812004511110055550-个个的计算,我们再详细的说一说．400812004511110055550-个个=200512003120050200451111000011110055550+-个个个个=20041200312005920045111109999111110055550++-个个个个=2004120031200441111044449111101+个个个=2004120045111105555个个4．计算199821998222222222⨯个个的积?【分析与解】 我们先还是同上例来凑成k 99999个；199821998222222222⨯个个＝19982199892999922229⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭个个＝1998219980210000122229⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭个个＝1998419980110000144449⎛⎫⨯-⨯⎪ ⎪⎝⎭个个 ＝19984199841998014444000044449⎛⎫⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个个个＝1997419975144443555569⨯个个(求差过程详见评注) 我们知道944444个能被9整除,商为：049382716．又知1997个4,9个数一组,共221组,还剩下8个4,则这样数字和为8×4=32,加上后面的3,则数字和为35,于是再加上2个5,数字和为45,可以被9整除． 84444355个4能被9整除,商为04938271595；我们知道55559个5能被9整除,商为：061728395；这样9个数一组,共221组,剩下的1995个5还剩下6个5,而6个5和1个、6,数字和36,可以被9整除． 555566个5能被9整除,商为0617284．于是,最终的商为： 22004938271622106172839549382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284个个评注：对于199841998044440000个个-199844444个计算,我们再详细的说一说．199841998044440000个个-199844444个 ＝199741998444439999个个9+1-199844444个＝199741998444435555个个5+1 ＝1997419974444355556个个5.二、提出公因式有时涉及乘除的多位数运算时,我们往往需提出公因式再进行运算,并且往往公因式也是和式或者差式等．5.计算：（1998+19981998+199819981998+…19981998个199819981998）÷（1999+19991999+199919991999 (19981999)个199919991999）×1999【分析与解】19981998个199819981998＝1998×19981001个100110011001原式＝1998（1+10001+100010001+ (19981001)个100110011001）÷［1999×（1+10001+100010001+…19981001个100110011001）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?【分析与解】 我们可以先求出1993×123的乘积,再计算与(1000000—1)的乘积,但是1993×123还是有点繁琐．设1993×123=M ,则(1000×123＝)123000<M<(2000×123=)246000,所以M 为6位数,并且末位不是0；令M ＝abcdef则M ×999999＝M ×（1000000-1）＝1000000M-M＝000000abcdef -abcdef＝()1999999abcdef f -+1－abcdef＝()()()()()()()1999999abcdef f a b c d e f -------+1 ＝()()()()()()()19999991abcdef f a b c d e f -------+那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f －1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f +1)=9×6=54．所以原式的计算结果的数字和为54．评注：M ×k 99999个的数字和为9×k ．(其中M 的位数为x,且x ≤k)．7．试求9×99×9999×99999999×…×99999256个×99999512个×999991024个乘积的数字和为多少?【分析与解】 通过上题的计算,由上题评注：设9×99×9999×99999999×…×99999256个×99999512个×999991024个＝M,于是M×999991024个类似的情况,于是,确定好M 的位数即可；注意到9×99×9999×99999999×…×99999256个×99999512个＝M,则M<10×100×100013×100000000×…×256010000个×010000512个＝010000k 个其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023；即M<0100001023个,即M 最多为1023位数,所以满足的使用条件,那么M 与999991024个乘积的数字和为1024×9=10240—1024=9216．原式的乘积数字和为9216．三、递推法的运用有时候,对于多位数运算,我们甚至可以使用递推的方法来求解,也就是通常的找规律的方法．8．我们定义完全平方数A 2=A×A ,即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：1234567654321×49是一个完全平方数,求它是谁的平方?【分析与解】 我们不易直接求解,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝112；12321＝1112；1234321＝11112…… 于是,我们归纳为1234…n…4321=（1111n 个1）2所以,1234567654321：11111112；则,1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以,题中原式乘积为7777777的平方．评注：以上归纳的公式1234…n…4321＝（1111n 个1）2,只有在n<10时成立．9.①2004420038444488889个个=A 2,求A 为多少?②求是否存在一个完全平方数,它的数字和为2005？【分析与解】 方法一：问题①直接求解有点难度,但是其数字有明显的规律,于是我们采用递推(找规律)的方法来求解： ①注意到有2004420038444488889个个可以看成48444488889n 个n-1个,其中n ＝2004；寻找规律：当n=1时,有49=72； 当n=2时,有4489=672；当n=3时,有444889=6672； …… …… 于是,类推有2004420038444488889个个=22003666667个方法二：下面给出严格计算： 2004420038444488889个个=4444400002004个2004个0+20048888个8+1；则4444400002004个2004个0+20048888个8+1＝11112004个1×（4×0100002004个+8）+1＝11112004个1×［4×（999992004个+1）+8］+1 ＝11112004个1×［4×（999992004个）+12］+1＝（11112004个1）2×36+12×11112004个1+1＝（11112004个1）2×62+2×（6×11112004个1）+1＝（666672003个6）2②由①知4444488889 n 个n-1个8＝266667n-1个6,于是数字和为(4n+8n 一8+9)=12n+1=2005；于是,n=167,所以4444488889 167个166个8=266667166个6,所以存在,并且为4444488889 167个166个8.10．计算66662008个6×9×33332008个3的乘积是多少?【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162； 66×9×33=19602； 666×9×333=1996002； …… …… 于是,猜想6666n 个6×9×3333n 个3=1996n 个19990000n-1个02 66662008个6×9×33332008个3=9962007个199900002007个02评注：我们与题l 对比,发现题1为66662008个6×9×3×33332004个3使用递推的方法就有障碍,9999k 个9=10k—l 这种方法适用面要广泛一点．练习1．设N=66662000个6×9×77772007个7,则N 的各位数字之和为多少?练习2．乘积99991999个9×99991999个9的积是多少?各位数字之和又是多少?练习3．试求11112008个1×11112008个1的各位数字之和是多少?。