直线的参数方程的几何意义

课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题
教学重难点 分 析
与直线的参数方程有关的典型例题
教 学 过 程
知识要点概述
过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数），
其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量，
的几何意义是直线上点到M 的距离.此时,若t>0,则
的方向向上;若t<0,则
的方向向下;若t=0,则点与点M 重合.
由此，易得参数t 具有如下 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为
B A t t ,，则
性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t
性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为
2
B
A t t +，若0M 是线段A
B 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。

精编例题讲练
一、求直线上点的坐标
例1．一个小虫从P （1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是−3，在y 轴方向的分速度是4，问小虫3s 后的位置Q 。

分析：考虑t 的实际意义，可用直线的参数方程⎩
⎪⎨
⎪
⎧x = x 0 +at ，y = y 0 +bt (t 是参数)。

解：由题意知则直线PQ 的方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x = 1 − 3 t ，
y = 2 + 4 t ，其中时间t 是参数，将t =3s 代入得Q
（−8，12）。

例2．求点A （−1，−2）关于直线l ：2x −3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。

解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ⎩
⎪⎨
⎪⎧x = −1 −
2
13
t ，
y = −2
+ 313
t (t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d =
5
13
， ∴ t = AA ' = 10
13
， 代入直线的参数方程得A ' (−
3313，413
)。

点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。

二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例1.设直线经过点
(1,5),倾斜角为
,
1)求直线和直线的交点到点的距离; 2)求直线和圆
的两个交点到点
的距离的和与积.
解:直线的参数方程为( t 为参数)
1)将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为
2)将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的两根为,则==10.可知均为负值,所以=
点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。

三求直线与曲线相交的弦长
例1过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.解因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，则可设AB的方程为
(为参数)
代入整理得
由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。

∴===.
例2 已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积.
解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是(t为参数)
即(t为参数)
把它代入抛物线的方程,得
解得
由参数t的几何意义得
点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.
四、求解中点问题
例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标.
解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得:
cos,
所以,直线的参数方程为(t为参数)
代入,整理得
中点M的相应的参数是=
所以点M的坐标为
点评:在直线的参数方程中,当t>0,则的方向向上;当t<0,则的方向向下,所以A,B 中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.
解：将直线l 的方程化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x =1 −2
2t '，y =2 + 2
2t '
，代入 2x +y −2 =0得 t ' = 32
2，
∴ PQ = | t '| =
32
2。

点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。

例2．经过点P (−1，2)，倾斜角为
4
的直线 l 与圆 x 2 +y 2 = 9相交于A ，B 两点，求
PA +PB 和PA · PB 的值。

解：直线l 的方程可写成⎩⎪⎨⎪⎧x = −1 + 2
2
t ，y =2 + 2
2 t
，代入圆的方程整理得：t 2
+
2t −4=0，设点
A ，
B 对应的参数分别是t 1 ，t 2，则t 1 +t 2 = −2，t 1 ·t 2 = −4，由t 1 与t 2的符号相反知PA +PB
= |t 1| +|t 2| = | t 1 −t 2| =
(t 1 +t 2)2−4 t 1 ·t 2 = 32，PA · PB =| t 1 · t 2 | = 4。

点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的
异同。

七、求直线与曲线相交弦的长
例1．已知抛物线y 2 = 2px ，过焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，求证：
AB =
2p
sin 2 θ。

分析：弦长AB = |t 1 −t 2|。

解：由条件可设AB 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x = p 2 +t cos θ，y = t sin θ
(t 是参数)，代入抛物线方程，
解：因为直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为
6
π
，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+-=6sin
06cos 4ππt y t x ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 2123
4，（t 为参数），代入圆方程，得 7)2
1
()234(22=++
-t t ，整理得09342=+-t t （1）设A 、B 所对应的参数分别为21,t t ，所以3421=+t t ，921=t t ， 所以||||21t t AB -=.324)(21221=-+=
t t t t
（2）解方程09342
=+-t t 得，3,3321==t t ，
所以A P 033||1==t ，B P 0.3||2==t
解：因为直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为
6
π
，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+=6sin 46cos 2ππt y t x ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t
y t x 214232，（t 为参数）， （1） 设直线l 上与已知点)4,2(0P 相距为4的点为M 点，且M 点对应的参数为t ，则
||0M P 4||==t ，所以4±=t ，将t 的值代入（1）式，
当t ＝4时，M 点的坐标为)6,322(+； 当t ＝－4时，M 点的坐标为)2,322(-，
综上，所求M 点的坐标为)6,322(+或)2,322(-.
点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用
直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易。

解：直线l 过点)0,1(0P ，倾斜角为
4
π
，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=t y t x 22221，
（t 为参数），因为直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 x y 22=中，得：)221(2)22(
2t t +=，整理得0222
1
2=--t t ， 06)2(2
1
4)2(2>=-⨯⨯--=∆，设这个二次方程的两个根为21,t t ，
由韦达定理得2221=+t t ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得
22
2
1=+=
t t t M ，易知中点M 所对应的参数为2=M t ，将此值代入直线的参数方程得，M 点的坐标为（2，1）
点评：对于上述直线l 的参数方程，A 、B 两点对应的参数为21,t t ，则它们的中点所对应的参数为
.2
2
1t t +。