直线的参数方程的几何意义
直线的参数方程的几何意义
直线的参数方程的几何意义直线的参数方程是用变量表示直线上的每一个点的坐标的一种表示方法。
在二维空间中，直线的参数方程可以用以下形式表示：x = x0 + nt, y = y0 + mt，其中n和m是常数。
在三维空间中，直线的参数方程可以用以下形式表示：x = x0 + nt, y = y0 + mt, z = z0 + pt，其中n、m和p是常数。
直线的参数方程的几何意义体现在以下几个方面：1.直线的方向向量：直线的参数方程中的常数n、m和p是直线的方向向量的分量。
直线上的每一个点都可以通过起点坐标加上方向向量的分量与参数的乘积得到。
2. 直线的斜率：在二维空间中，直线的参数方程可以转化为斜截式方程y = mx + c的形式，其中m代表直线的斜率。
直线的斜率是直线上两个不同点之间纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
3. 直线的截距：在二维空间中，直线的参数方程可以转化为截距式方程y = mx + c的形式，其中c代表直线与y轴的交点坐标。
直线的截距可以通过将参数方程中x等于零得到。
4.直线的方向：直线的参数方程中的常数n、m和p可以决定直线的方向。
当n、m和p都不为零时，直线是斜的，方向由斜率来确定；当其中一个常数为零时，直线平行于一个坐标轴，方向由与之平行的轴来决定；当两个常数为零时，直线垂直于一个坐标轴，方向由与之垂直的轴来决定。
5.直线上的点的坐标：直线的参数方程中的变量t可以取不同的值，对应于直线上的不同点。
通过给定不同的t值，可以得到直线上的各个点的坐标。
直线上的点的坐标可以通过代入参数方程中的t值来计算。
总之，直线的参数方程能够描述直线的方向、斜率、截距以及直线上各个点的坐标。
利用参数方程，可以方便地求解与直线相关的问题，如直线与其他几何图形的交点、直线的长度等。
同时，参数方程也是研究曲线、平面、空间之间关系的重要工具。
直线参数方程中参数的几何意义
到点 的距离
例１ 求直线２ｘ＋ｙ一３＝０的参数方程
解 ：直线２ｘ＋ｙ一３＝０过点（０，３）和 （１，１）。
若选 取直线 上点 （０，３）为基本 起点 ，向量ａ＝ （１，一２）为直线的基本向量 ，
ｆ．．－ ‘
则直线的参数方程为｛一 （ 为参数 ）； ｔｙ ｊ—Ｚｔ
若选 取直线 上点 （１，１）为基点 起点Ｍｏ，向量口： （一１，２）为直线 的基本向量 ，
为这 一 说 法 值 得 商 榷 。
事实上 ，由直线上一点和直线 的一个方 向向量
可以确定一条直线的位置 ，所以只要确定直线上一
点的坐标和它 的方 向向量的坐标 就可 以确定直线的
一 个参数方程 。
设 为直 线上一 点 ，其坐标 为 （ ｙｏ），ｎ＝ ａ，ｂ）
为直线的方向向量，则直线的参数方程为：｛ Ｌｙ＝ｙｏ＋ｔ￣ｔ
（２）表示过点（３，、／了 ）且方向向量为（一 ，
２
＾ ／ ＾
一
）的直 线 。
２
教材第３６页 中的例 １（已知直线ｆ： ＋ｖ一１：０与抛
物线ｙ＝ｘ￣ Ａ，Ｂ两点 ，求线段Ａ曰的长 和点 （一１，２）
￣＿ＩＪＡ，Ｂ两点的距 离之积 。）可以有如下解法 ：
解 ：由于 题 目涉 及 点 到Ａ，Ｂ的距 离 ，故 选 取 肘
｛ ｎ＋把？ （ｆ为参数）
［ｙ＝ｙｏ＋ｔｓｌｎａ
．——－—
若ｔ＞Ｏ，则尬 与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位 向量口同向，点 在 止 方 ；
若ｔ＝０，则点 与 重合 ；若ｔ＞０，则 与 单位 向量 Ｐ
反向 ，点 疮 下方 。
＿ ＋ — — — —
————
由于尬 ＝ｔｅ，所 以ｌ尬 Ｉ＝ｌｔｌｌｅｌ＝Ｉｔｌ，所 以Ｉｔｌ表示点
直线参数方程中参数t的几何意义及简单应用
直线参数方程中参数t的几何意义及简单应用直线参数方程是指用参数t表示直线上的点的坐标的方程，通常形式为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中，a、b、c是直线的方向向量，(x0, y0, z0)是直线上的一个点。
参数t的几何意义是表示直线上的点在直线上的位置。
当t=0时，表示直线上的点是(x0, y0, z0)，当t=1时，表示直线上的点是(x0+a, y0+b, z0+c)。
当t取不同的值时，表示直线上的点在不同的位置。
直线参数方程的简单应用有以下几个方面：1. 直线的长度：直线的长度可以通过参数方程计算得出。
设直线上的两个点为P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，则直线的长度为：L = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]可以将直线的参数方程代入上式，得到：L = √[(a²+b²+c²)t² + 2(ax0+by0+cz0)t + (x0²+y0²+z0²)]2. 直线的夹角：直线的夹角可以通过参数方程计算得出。
设直线L1的方向向量为a，直线L2的方向向量为b，则直线L1和L2的夹角为：cosθ = (a·b) / (|a||b|)其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。
可以将直线的参数方程代入上式，得到：cosθ = [(a1a2+b1b2+c1c2) / √(a1²+b1²+c1²)√(a2²+b2²+c2²)]3. 直线的平移：直线的平移可以通过参数方程进行计算。
设直线L的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线L沿着向量v平移，则新的直线L'的参数方程为：x' = x0 + at + vxy' = y0 + bt + vyz' = z0 + ct + vz其中，(vx, vy, vz)是向量v的坐标。
直线的参数方程的几何意义
直线的参数方程的几何意义1.直线的位置和方向：参数方程可以通过调整参数的取值范围，描述直线在坐标系中的位置和方向。
例如，对于二维平面上的直线，参数方程可以表示直线在坐标系中的位置，以及直线与坐标轴的夹角。
对于三维空间中的直线，参数方程则可以表示直线在空间中的位置和方向。
2.直线的长度和斜率：参数方程可以通过参数的取值范围的选择，可以表示直线的长度和斜率。
例如，在二维平面上的直线的参数方程中，当参数的取值范围是0到1时，直线的长度就是参数方程中点的坐标与起点坐标的距离。
斜率则可以通过参数方程中的斜率函数导出来。
3.直线上的点的坐标：直线的参数方程可以通过给定参数值来求得直线上任意一点的坐标。
这使得我们可以通过参数方程计算直线上的点的坐标，进而研究直线上的点的性质和行为。
例如，通过参数方程可以计算直线上的点的坐标，并进一步研究这些点的集合的几何性质。
4.直线的切线和法线：参数方程可以通过求导数来计算直线上每一点的切线和法线。
这使得我们可以通过参数方程推导出直线上每一点的切线和法线的方程式，并进一步研究它们的性质和关系。
例如，通过参数方程可以推导出直线上每一点的切线的斜率和法线的斜率，从而进一步研究直线的曲率和切线与法线的关系。
在实际应用中，直线的参数方程在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以用来表示直线、曲线和曲面，从而用来模拟和绘制各种图形。
在物理学中，参数方程可以用来描述粒子的运动轨迹，从而用来研究粒子的位置、速度和加速度等动力学性质。
在工程学中，参数方程可以用来描述机械系统的运动路径和轨迹，从而用来优化设计和控制系统。
总之，直线的参数方程是一种描述直线位置和形状的方式，它可以通过给定参数的取值范围，将直线上的每一个点都用一个参数表示出来。
直线的参数方程不仅可以描述直线的位置和方向，还可以计算直线上每一点的坐标、切线和法线等几何性质，应用广泛，具有重要的几何意义。
直线的参数方程的几何意义
乐恩特教育个性化教学辅导教案•/ A 到直线丨的距离d = L ， ••• t = AA' = H ，代入直线的参数方程得 A'（? 33, 4）13 13点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求岀交点，再用中点公式，而此处 则是充分利用了参数 t 的几何意义。
二求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离7T例1.设直线.经过点丄J （1,5）,倾斜角为 」，1） 求直线.和直线'-2）求直线.和圆；；'.-比的两个交点到点的距离的和与积.x=l+-£解：直线.的参数方程为 1） 将直线.的参数方程中的直线一 的交点到点2） 将直线.的方程中的x,y根为；；,则_（t 为参数）■ - - I 」，得t= _ ] H J .所以，直线.•和 |;|= （10+673） 「‘一上，得 -11' 设此方程的两厂飞=:. =10.可知卜：气均为负值，所以点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异 同。
三 求直线与曲线相交的弦长例1过抛物线一°：的焦点作斜角为3■I 的直线与抛物线交于A 、B 两点，求|AB|.3 —JI解？因直线的倾角为-，则斜率为一1，又抛物线的焦点为 F （1，0），则可设AB 的方程为X- 1-——I 2Vs -2??（ t 为参厂 2 x = ?1 ?亍 t ，解：由条件，设直线 AA'的参数方程为33 （t 是参数），y = ?2 + — t L ^13代入：「一斗二整理得由韦达定理得 t l + t2= J T ■ , t l t2=— 16。
...|胡二(厂対=J(f】+g异-4菇=血^ =7血.例2已知直线L:x+y-仁0与抛物线y=J交于A,B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积.3开解：因为直线L过定点M,且L的倾斜角为-，所以它的参数方程是X=-l+f COS —即匚 (t为参数)由参数t的几何意义得点评:本题的解答中，为了将普通方程化为参数方程，先判定点M(-1,2)在直线上，并求岀直线的倾斜角，这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求岀交点坐标，再用距离公式求交点距离简便一些.四、求解中点问题4例1,已知经过点P(2,0),斜率为J的直线和抛物线「丄■■相交于A,B两点，设线段AB的中点为M,求点M的坐标.解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为住，由已知可得:a = - sina =-COS代入：-'',整理得^-15/-50 = 0所以，直线的参数方程为4y=-t5(t为参数)中点M的相应的参数是(t为参数)解得45A=-l-把它代入抛物线的方程，得" I /'：' '•-t = —2 =16所以点M的坐标为4点评:在直线的参数方程中，当t>0,则I的方向向上；当t<0,则U 的方向向下，所以A,B中4+心点的M所对应的t的值等于_ ,这与二点之点的中点坐标有点相同2例2.已知双曲线x2 ? : = i，过点P (2, I)的直线交双曲线于Pl, P2，求线段P l P2的中点M的轨迹方程。
直线参数方程x的几何意义应用
直线参数方程x的几何意义应用直线是几何学中非常重要的概念，而直线的参数方程是一种用参数表示直线上的点的方法。
x的几何意义是指在直线上取不同的x值时对应的点在几何空间中的位置和性质。
下面介绍一些直线参数方程x的几何意义的应用。
1. 直线的位置：通过改变参数的取值范围，可以获得直线上的不同部分。
例如，在参数方程x=a*t中，通过改变参数a的值，可以获得直线上以不同点为起点的不同直线段。
当a为0时，直线上的点为起点；当a为正数时，直线上的点在起点之后，当a为负数时，直线上的点在起点之前。
2. 直线的方向：通过改变参数的变化规律，可以得到直线的不同方向。
例如，在参数方程x=cos(t)中，t表示一个角度，当t逐渐增大时，x的值在[-1,1]之间变化，对应的点在平面上画出一条正弦曲线，其中x值的变化取决于t的增大方向和速度。
这样的参数方程描述了一条直线的周期性运动。
3. 直线的长度：通过参数方程可以计算直线的长度。
例如，在参数方程x=2t中，t的取值范围为[0,1]，则对应的直线的长度为2。
这种方法可以应用于坐标轴上的线段，以及任意维度空间中的线段。
4. 直线的交点：通过求解直线的参数方程，可以确定直线的交点。
例如，给定两个直线的参数方程为x=a*t和y=b*t，通过解方程组可以得到直线的交点的值。
此外，通过参数方程可以判断两条直线是否平行或重合。
5. 直线的区域：直线的参数方程可以用来描述直线所围成的区域。
例如，给定一个参数方程为x=2t，y=3t，z=t的直线，通过改变参数的取值范围，可以在三维空间中画出一段直线，并得到这段直线所围成的区域。
直线参数方程x的几何意义应用非常广泛，以上只是其中的一些例子。
在实际问题中，我们可以利用直线参数方程来描述和分析直线的性质，从而解决具体的几何问题。
直线参数方程c的几何意义应用
直线参数方程c的几何意义应用直线的参数方程c是描述直线上各点坐标的一种方式。
在几何学中，直线参数方程c的几何意义可以从多个角度来解释和应用。
1. 直线的方向和斜率直线参数方程c通常包含参数t，表示直线上的点在参数t变化时的位置。
通过观察参数t的系数，可以得出直线的方向和斜率。
例如，如果参数方程为 c: (x, y) = (a + bt, c + dt)，其中a、b、c 和d为常数，那么直线的斜率就是 b/d。
这个斜率可以告诉我们直线的倾斜方向和陡峭程度。
2. 直线的截距直线参数方程c还可以帮助我们计算直线和坐标轴的交点，从而得到直线的截距。
例如，如果参数方程为 c: (x, y) = (a + bt, c + dt)，那么当t为0时，直线与y轴交点的坐标为 (a, c)，而当t为0时，直线与x轴交点的坐标为 (a, c)。
3. 直线的长度和方向向量直线参数方程c可以帮助我们计算直线的长度和方向向量。
根据参数方程中的点坐标，我们可以使用距离公式来计算直线的长度。
例如，如果参数方程为 c: (x, y) = (a + bt, c + dt)，我们可以计算点A(a, c)和点B(a + b, c + d)之间的距离。
这个距离可以作为直线的长度。
同时，直线的方向向量可以通过参数方程的系数得到。
对于上述参数方程，直线的方向向量为 (b, d)。
4. 直线的平行和垂直关系直线参数方程c可以帮助我们判断两条直线之间的平行和垂直关系。
如果两条直线的参数方程分别为 c1: (x, y) = (a1 + b1t, c1 + d1t) 和 c2: (x, y) = (a2 + b2t, c2 + d2t)，那么这两条直线平行的条件是b1/b2 = d1/d2。
而这两条直线垂直的条件是 b1d2 - b2d1 = 0。
5. 直线与其他几何图形的关系直线参数方程c在几何学中还有许多其他的应用。
例如，我们可以使用参数方程来描述直线与平面的交点、直线与曲线的切点、直线与圆的交点等等。
怎样用直线的参数方程中参数的几何意义解题
备考指南解析几何中的长度（距离）问题通常较为复杂，且运算量较大.此时若巧妙地设出直线的参数方程，从其参数的几何意义入手，便能大大加快解题的速度，提升运算结果的准确率.过点P 0（x 0,y 0），倾斜角为α的直线参数方程为{x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α.(t 为参数)对任意参数为t ，直线上任意点M ，有t = P 0M ，当M 在P 0的上方时，t >0；当M 在P 0的下方时，t <0；当M 与P 0重合时，t =0,||P 0M =|t |.若已知直线上的点，我们便可引入参数，设出直线的参数方程，根据直线的参数方程中参数的几何意义进行求解，下面举例说明.例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(-17,0),F 2(17,0),点M 满足||MF 1-||MF 2=2，记M 的轨迹为C .（1）求C 的轨迹方程；（2）设点T 在直线x =12上，过点T 的两条直线分别与C 交于A ,B 和P ,Q ，且||TA ∙||TB =|TP |∙|TQ |，求直线AB 的斜率和直线PQ 的斜率之和.解：（1）x 2-y 216=1(x ≥1)；(过程略）（2）设T æèöø12,m ，AB 倾斜角为α，PQ 的倾斜角为β，直线AB 参数方程为ìíîïïx =12+t cos α,y =m +t sin α,(t 为参数)①直线PQ 参数方程为ìíîïïx =12+t cos β,y =m +t sin β,(t 为参数)②将①代入x 2-y 216=1(x ≥1)得()16cos 2α-sin 2αt 2+()16cos α-2m sin αt -()m 2+12=0，由直线的参数方程中参数的几何意义，设||TA =|t 1|,||TB =|t 2|,结合图形可知，A ,B 均在点T 的同侧，所以||TA ∙||TB =t 1t 2=m 2+12sin 2α-16cos 2α，同理可得||TP ∙||TQ =m 2+12sin 2β-16cos 2β，由||TA ∙||TB =|TP |∙|TQ |得m 2+12sin 2α-16cos 2α=m 2+12sin 2β-16cos 2β，得sin 2α=sin 2β，又0<α<π,0<β<π，且α≠β所以α+β=π，tan α+tan β=0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.||TA 、||TB 、||TP 、|TQ |均是与点T 有关的距离，容易联想到直线的参数方程中参数的几何意义，于是设出直线AB 、PQ 的参数方程，利用直线参数方程中参数的几何意义来解题.这样能回避运用两点间距离公式、根与系数的关系、倾斜公式，讨论角的取值范围带来的繁琐运算.例2.已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，直线y =4与y 轴交点为P ，与C 的交点为Q ，且||QF =54|PQ |.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ,N 两点，且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上，求l 的方程.解：（1）C 的方程为y 2=4x ；（过程略）（2）设l 的倾斜角为α，中点为P (x 0,y 0)，因为l ′与l 垂直，所以l ′的倾斜角为π2+α，设l 的方程为{x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α,(t 为参数)①l ′的方程为ìíîïïx =x 0+t cos (α+π2),y =y 0+t sin (α+π2),(t 为参数)②将①代入y 2=4x 得sin 2αt 2-4cos αt +y 20-4x 0=0，PA ,PB 对应的参数分别为t 1与t 2，则t 1t 2=y 20-4x 0sin 2α，得||PA ∙||PB =4x 0-y 20sin 2α，同理可得||PM ∙||PN =4x 0-y 20sin 2æèöøπ2+α=4x 0-y 20cos 2α，由A ,M ,B ,N 四点共圆得||PA ∙||PB =|PM |∙|PN |，所以4x 0-y 20sin 2α=4x 0-y 20cos 2α，又点P (x 0,y 0)不在l 上，所以4x 0-y 20≠0，可得sin 2α=cos 2α，所以tan 2α=1，即tan α=±1，又l 过点F （1,0），所以l 方程为x -y -1=0或x +y -1=0.本题若采用常规方法，需运用弦长公式及两点间的距离公式，运算量很大.由四点共圆可联想到圆中相交弦定理，得到||PA ∙||PB =|PM |∙|PN |，再利用直线的参数方程中参数的几何意义，建立关于P 点坐标以及α的关系式，便可求得直线的方程.综上所述，利用直线的参数方程中参数的几何意义，能有效地简化运算，提升解题的效率.在运用参数方程解题时一定要注意：（1）采用直线参数方程的标准形式（参数的系数的平方和为1）；（2）结合图形找到所求距离对应的参数.（作者单位：湖南省地质中学）涂应良53。
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乐恩特教育个性化教学辅导教案课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点 分 析与直线的参数方程有关的典型例题 教 学 过 程知识要点概述过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量，的几何意义是直线上点到M 的距离.此时,若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点与点M 重合.由此，易得参数t 具有如下 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为B A t t ,，则性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为2BA t t +，若0M 是线段AB 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。
精编例题讲练一、求直线上点的坐标例1．一个小虫从P （1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是−3，在y 轴方向的分速度是4，问小虫3s 后的位置Q 。
分析：考虑t 的实际意义，可用直线的参数方程⎩⎨⎧x = x 0 +at ，y = y 0 +bt(t 是参数)。
解：由题意知则直线PQ 的方程是⎩⎨⎧x = 1 − 3 t ，y = 2 + 4 t，其中时间t 是参数，将t =3s 代入得Q（−8，12）。
例2．求点A （−1，−2）关于直线l ：2x −3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。
解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ⎩⎨⎧x = −1 −213t ，y = −2+313t (t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d =513， ∴ t = AA ' = 1013， 代入直线的参数方程得A ' (−3313，413)。
点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。
二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为,1)求直线和直线的交点到点的距离; 2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.解:直线的参数方程为( t 为参数)1)将直线的参数方程中的x,y 代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为2)将直线的方程中的x,y 代入,得设此方程的两根为,则==10.可知均为负值,所以=点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。
三求直线与曲线相交的弦长例1过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.解因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，则可设AB的方程为(为参数)代入整理得由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。
∴===.例2 已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是(t为参数)即(t为参数)把它代入抛物线的方程,得解得由参数t的几何意义得点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些.四、求解中点问题例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB 的中点为M,求点M的坐标.解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得:cos,所以,直线的参数方程为(t为参数)代入,整理得中点M的相应的参数是=所以点M的坐标为点评:在直线的参数方程中,当t>0,则的方向向上;当t<0,则的方向向下,所以A,B 中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.例2．已知双曲线x2−y22= 1，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M 的轨迹方程。
分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t 1 +t 2=0。
解：设M (x 0，y 0)为轨迹上任一点，则直线P 1P 2的方程是⎩⎨⎧x = x 0 +t cos θ，y = y 0 +t sin θ(t 是参数)，代入双曲线方程得：(2cos 2θ −sin 2θ) t 2 +2(2x 0cos θ −y 0sin θ)t + (2x 02 −y 02 −2) = 0，由题意t 1 +t 2=0，即2x 0cos θ −y 0sin θ =0，得tan θ =2x 0y 0。
又直线P 1P 2的斜率 k = tan θ =y −y 0x −x 0，点P （2，1）在直线P 1P 2上， ∴1 −y 02 −x 0 = 2x 0y 0，即2x 2 −y 2 −4x +y = 0为所求的轨迹的方程。
五,求点的轨迹问题例1．已知双曲线 ，过点P （2，1）的直线交双曲线于P 1，P 2，求线段P 1P 2的中点M 的轨迹方程。
分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t 1 +t 2=0。
解：设M (x 0，y 0)为轨迹上任一点，则直线P 1P 2的方程是(t 是参数)，代入双曲线方程得：(2cos 2θ −sin 2θ) t 2 +2(2x 0cos θ −y 0sin θ)t + (2x 02 −y 02 −2) = 0，由题意t 1 +t 2=0，即2x 0cos θ −y 0sin θ =0，得。
又直线P 1P 2的斜率 ，点P （2，1）在直线P 1P 2上， ∴，即2x 2−y 2−4x +y = 0为所求的轨迹的方程。
六、求定点到动点的距离例1．直线l 过点P (1，2)，其参数方程为⎩⎨⎧x =1 −t ，y =2 +t(t 是参数)，直线l 与直线 2x +y −2 =0交于点Q ，求PQ 。
解：将直线l 的方程化为标准形式⎩⎨⎧x =1 −22t '，y =2 + 22t '，代入 2x +y −2 =0得 t ' = 322，∴ PQ = | t '| =322。
点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。
例2．经过点P (−1，2)，倾斜角为 π4 的直线 l 与圆 x 2 +y 2 = 9相交于A ，B 两点，求P A +PB 和P A · PB 的值。
解：直线l 的方程可写成⎩⎨⎧x = −1 + 22 t ，y =2 + 22 t，代入圆的方程整理得：t 2+2t −4=0，设点A ，B 对应的参数分别是t 1 ，t 2，则t 1 +t 2 = −2，t 1 ·t 2 = −4，由t 1 与t 2的符号相反知P A +PB = |t 1|+|t 2| = | t 1 −t 2| = (t 1 +t 2)2−4 t 1 ·t 2 = 32，P A · PB =| t 1 · t 2 | = 4。
点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。
七、求直线与曲线相交弦的长例1．已知抛物线y 2 = 2px ，过焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，求证：AB =2psin 2 θ。
分析：弦长AB = |t 1 −t 2|。
解：由条件可设AB 的方程为⎩⎨⎧x = p 2 +t cos θ，y = t sin θ(t 是参数)，代入抛物线方程， 得 t 2sin 2θ −2pt cos θ −p 2= 0，由韦达定理：⎩⎨⎧t 1+t 2= 2p cos θsin 2θ ，t 1·t 2= − p2sin 2θ， ∴ AB = |t 1 −t 2| = (t 1 −t 2)2 −4 t 1· t 2 =4p 2cos 2θsin 4θ +4p 2sin 2θ = 2p sin 2θ。
例2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A ，B 两点，若F A =2FB ，求则椭圆的离心率。
分析：F A =2FB 转化成直线参数方程中的 t 1= −2t 2或|t 1| =2|t 2|。
解：设椭圆方程为 x 2a 2 + y 2b 2 = 1，左焦点F 1（c ，0），直线AB 的方程为⎩⎨⎧x = −c + 12 t ，y = 32t，代入椭圆整理可得：(14b 2 +34a 2)t 2 −b 2ct −b 4 = 0，由于t 1= −2t 2，则⎩⎨⎧t 1 +t 2 = b 2c14b 2 +34a 2 = − t 2 ①，t 1·t 2 = −−b 414b 2 +34a 2 = −2 t 22 ②，①2×2+②得：2c 2= 14b 2 +34a 2，将b 2 =a 2 −c 2代入， 8 c 2 = 3 a 2 + a 2 −c 2，得e 2 =c 2a 2=49，故e = 23。
在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。
知识巩固训练应用一：求距离例1、直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6π，且与圆722=+y x 相交于A 、B 两点。
（1）求弦长AB.（2）求A P 0和B P 0的长。
应用二：求点的坐标例2、直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为6π，求出直线l 上与点)4,2(0P 相距为4的点的坐标。
应用三：解决有关弦的中点问题 例3、过点)0,1(0P ，倾斜角为4π的直线l 和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 点的坐标。
教师课 后小结签字教学主任： 教学组长： 学生/家长：解：因为直线l 过点)0,4(0-P ，倾斜角为6π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=6sin 06cos 4ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 21234，（t 为参数），代入圆方程，得 7)21()234(22=++-t t ，整理得09342=+-t t （1）设A 、B 所对应的参数分别为21,t t ，所以3421=+t t ，921=t t ， 所以||||21t t AB -=.324)(21221=-+=t t t t（2）解方程09342=+-t t 得，3,3321==t t ，所以A P 033||1==t ，B P 0.3||2==t解：因为直线l 过点)4,2(0P ，倾斜角为6π，所以直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=6sin 46cos 2ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 214232，（t 为参数）， （1） 设直线l 上与已知点)4,2(0P 相距为4的点为M 点，且M 点对应的参数为t ，则||0M P 4||==t ，所以4±=t ，将t 的值代入（1）式，当t ＝4时，M 点的坐标为)6,322(+； 当t ＝－4时，M 点的坐标为)2,322(-，综上，所求M 点的坐标为)6,322(+或)2,322(-.点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易。