椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆的参数方程
图1-2
故当 sin(
) 1时，d 取得最小值
方法二:把直线 l 平移至l ' ,l '与椭圆相切, 此时的切点 P 就是最短距离时的点. 即设：
l
y
l'
l ': x y m 0
P
O
x y m 0 由 2 x 2 y 1 3
m 2
解：因为点P（x,y)在椭圆 ：
椭圆参数方程的应用
x =2cosθ (θ为参数) y = sinθ
x y2 1 上，可设 4
2
O
A
x
则|AP|=
2 2 (2 cos 1)2 (sin )2 = 3(cos - )2
2 当cosθ= 时，|AP| min = 3
6 3
3
3
4 5 此时,x= ,y= 3 3 4 5 6 ± 即当点P的坐标为 （ ）时， |AP| min = 3 3 3
o
F1
x
参数方程: x b cos (为参数) y a sin
课堂练习
1. 将下列参数方程化为普通方程,普通方程化 为参数方程:
x 6 cos x 3cos (为参数) （） 1 { y 2sin (为参数） (2) y 8 sin
联想到
B
O
A M
N
x
sin 2 cos 2 1
x2 y 2 2 1 2 a b
将两个方程变形，得： 所以有：
x cos a
y sin b
由此可知,点M的轨迹是椭圆. 我们把方程
2 2 x y x a cos 2 1(a b o) 2 叫做椭圆 ( 为参数 ) a b
椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆的参数方程中参数的几何意义椭圆的参数方程中参数的几何意义是指，椭圆的参数方程为x=a cos t，y=b sin t，其中a和b均为正数， t为参数。
其中，参数t 代表椭圆上的点与椭圆圆心所连直线的倾角，即t是一条从圆心出发的射线与x轴的夹角。
a表示椭圆主轴的长度，b表示椭圆次轴的长度，其中a和b的比值称为离心率，离心率越小，椭圆越趋向于圆形；离心率越大，椭圆形状越扁平。
椭圆的边界由椭圆轮廓上的所有点组成，这些点在参数方程中用参数t表示。
通过改变参数t的值，可以得到椭圆轮廓上的所有点，从而确定整个椭圆的形状和大小。
因此，椭圆的参数方程中的参数t、a、b以及离心率，都代表了椭圆的重要几何特征，可以用于描述、计算和绘制椭圆的形状。
椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆的参数方程中参数的几何意义：红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ)所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。
周长椭圆周长计算公式：L=T（r+R）T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。
几何关系点与椭圆点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1；点在圆内：x02/a2+y02/b2<1；点在圆上：x02/a2+y02/b2=1；点在圆外：x02/a2+y02/b2>1；跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。
直线与椭圆y=kx+m①x2/a2+y2/b2=1②由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1相切△=0相离△<0无交点相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2）求中点坐标根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。
|AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2]手绘法1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。
2、：连接AC。
3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。
4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。
5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。
6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。
用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。
圆和椭圆的参数方程
圆和椭圆的参数方程知识点：1.圆的参数方程圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角，如下图：（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
（2）圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数.2.椭圆的参数方程（1）设点M 的坐标(x,y)，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取ϕ为参数，那么 x=ON=|OA|cos ϕ， y=NM=|OB|sin ϕ 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ①，引为点M 的轨迹参数方程，ϕ为参数。
（2）椭圆的参数方程也可由12222=+b y a x （a>b>0）三角换元直接得出，即令ϕcos =a x，ϕsin =by。
（3）椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数），参数有明显几何意义，但是离心角ϕ与∠MOX 一般不同。
一、圆的参数方程的应用①距离和最值问题（22）（2017广州一测理）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 (Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.解： (Ⅰ) 由消去得,所以直线的普通方程为. 由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,则点到直线的距离为xOy l 3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t )x :.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC l C C l 3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t t 40+-=x y l 40+-=x y 4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ22cos 2sin =+ρρθρθ222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y C 2222+=+x y x y ()()22112-+-=x y C ()1,1ααP P l =d =当时, , 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为法2: 设与直线平行的直线为, 当直线与圆相切时,解得或(舍去),所以直线的方程为. 所以直线与直线的距离为所以曲线上的点到直线的距离的最大值为2/.圆()()22124x y -++=上的点到直线210x y -+=的最短距离是_______.4．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 .22222.(1,0),(1,0)(3)(4)4.A B x y P PA PB P --+-=+（三星）平面上两点，在圆上取一点，求使取得最小值时点的坐标备注：注意P 点的坐标的求法，三角函数问题=sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭παmax =d C l l :0l x y b '++=l 'C =0b =4b =-l '0x y +=l l 'd ==C l2223.5,4,3.ABC AB BC AC P ABC PA PB PC ∆===∆++（三星）已知的三边长，点是内切圆上一点，求的最小值与最大值备注：也可以用三角函数来做②参数的几何意义2. （二星）（2014年高考新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 备注：参数方程的应用解：（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1c o s ,s i n )D t t+由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同。
2.3.1椭圆的参数方程
A. 圆 B. 椭圆 C.直线 D. 线段
圆心(0,0)半径为r圆的x2+y2=r2参数方
x
y
r r
cos（为参数）中θ的几何意义是 sin
θ 是点OP的旋转角 ∠AOP=θ
动画演示 y P
θ
O
A x
问新题课抛探出究3探究本质
如何从参数角度解释椭圆规的原理？
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示. 在一个十字形的金属板上有两条相互垂直的导槽，在直尺上 有两个固定A、B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺 上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭 圆.你能说明它的构造原理吗？(提示：用直尺AB和横槽所成 的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程. )
变式:已知A,B两点是椭圆
x2
y2
9
4
1
与坐标
轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上
求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
题型二：利用参数方程求轨迹方程
例2.求椭圆 x2 y2 1 上任意一点和定点 16 9
Q（6，0）连线的中点M轨迹方程，并说明点M轨迹是什 么？
解：设椭圆上任一点P（4cosθ ，3sinθ ），PQ的 中点M（x，y），则由中点坐标公式可知
x 4cos 6 2
y 3sin 0 2
消去参数θ ，得
(x 3)2 4
所以：点M的轨迹是一个椭圆.
y2 9 4
1
动画演示
知识整理 课堂小结
1.椭圆的参数方程及参数的几何意义
((212.))椭焦焦(a圆点点的在在b 参xy轴0轴数) 上上方a程xbx2222 和 byay就普2222 通是11方点Mxxyy的baabcs离csoiionnss（（心为角为参参数数））
椭圆的参数方程
知识总结
1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ圆的参数方程
x a cos (为 参 数) y b sin
2 .在椭圆的参数方程中，a>b>0常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
作业：课时训练9《椭圆的参数方程》
2 2
b tan a
cos sin
a a2 b2 b a 2 b2
b tan a
a b
2
2
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为 M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系. 设∠XOA=θ
2
2
(2)
y x 1 16
2
2
x cos (2) ( 为参数) y 4sin
把下列参数方程化为普通方程
x 3cos x 8cos (3) (是参数) (4) (是参数) y 5sin y 10sin
(3)
2
y2 4
解：设点P(3cos , 2sin ) (0
2
)
SAOB面积一定, 需求SAPB最大即可
即求点P到线AB的距离最大值 O x y 线AB的方程为 1 2 x 3 y 6 0 3 2 | 6cos 6sin 6 | 6 d | 2 sin( ) 1|
椭圆参数方程中参数的几何意义教案
椭圆的参数方程中参数的几何意义教学重难点：椭圆参数方程中参数的几何意义教学用具：多媒体辅助教学教学方法：由于学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此采用教师讲解的方法，只要学生理解就可以了教学过程：1、焦点在x 轴上的椭圆参数方程的推导 因为22()()1x y a b+=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==， 即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩)(为参数ϕ， 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义思考：类比圆的参数方程中参数θ的意义，椭圆的参数方程中参数ϕ的意义是什么？圆的标准方程：222r y x =+ 圆的参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x )(为参数θ 椭圆的标准方程：12222=+b y a x 椭圆的参数方程：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x )(为参数ϕ圆的参数方程中θ是Ox 轴逆时针旋转到OP 的旋转角即θ=∠AOP ，那么椭圆的参数方程中ϕ是不是上图中Ox 轴逆时针旋转到OM 的旋转角呢？请大家看右边图片如图，以原点为圆心，分别以a 、b (0)a b >>为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆半径的交点，过点A 作AN O x ⊥，垂足为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时M 的轨迹的参数方程. 分析：动点A 、B 是如何动的？M 点与A 、B 有什么联系？如何选取参数较恰当？解：设M 点坐标为(,)x y ，ϕ=∠AOx ，以ϕ为参数， 则ϕϕcos cos a OA ON x ===ϕϕsin sin b OB NM y ===，当半径OA 绕O 点逆时针旋转一周时，就得到点M 的轨迹，它的参数方程是)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ① 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆。
(完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结
完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结概述椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。
在数学中，椭圆可以通过参数方程和极坐标方程进行描述和表示。
本文将详细介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，包括定义、推导以及应用等方面。
参数方程定义椭圆的参数方程通常由两个参数表示，分别是水平方向的参数t和垂直方向的参数u。
以坐标点(x,y)表示的椭圆上的任意一点，其参数方程可以用如下形式表示：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
参数方程推导为了推导出椭圆的参数方程，我们可以从椭圆的标准方程出发，即：x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心点坐标。
我们可以通过引入参数u，将标准方程中的变量x和y表示为：x = a * cos(u)y = b * sin(u)通过将x和y的表达式代入标准方程中，可以得到：a * cos(u) - h)^2 / a^2) + ((b * sin(u) - k)^2 / b^2) = 1进一步整理可得：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = 1因为`(cos(u))^2 + (sin(u))^2 = 1`，上式化简为：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = (cos(u))^2 / a^2 + ((sin(u))^2 /b^2) * (a^2 / b^2) = 1比较原式与化简式，可得：a^2 = 1b^2 = a^2 / b^2由此，我们得到了椭圆的参数方程。
极坐标方程定义椭圆的极坐标方程由一个参数θ表示，以坐标点(r,θ)表示的椭圆上的任意一点，其极坐标方程可以用如下形式表示：r(θ) = a * b / sqrt((b * cos(θ))^2 + (a * sin(θ))^2)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
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椭圆：
椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
椭圆的参数方程中参数的几何意义：
红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ)
所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。
周长
椭圆周长计算公式：L=T（r+R）
T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。
几何关系
点与椭圆
点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1；
点在圆内：x02/a2+y02/b2<1；
点在圆上：x02/a2+y02/b2=1；
点在圆外：x02/a2+y02/b2>1；
跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。
直线与椭圆
y=kx+m①
x2/a2+y2/b2=1②
由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1
相切△=0
相离△<0无交点
相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2）
求中点坐标
根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。
|AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2]
手绘法
1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。
2、：连接AC。
3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。
4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。
5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。
6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。
用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。
此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确。