不等式问题中含参问题知识分享

（2）当0<a<1时，求函数f(x)的最小值.
【审题指导】解答此题要明确a=2与0<a<1的区别，在利用
基本不等式求最值时，要注意等号是否取到，若取不到，应
怎样求最值.
【规范解答】（1）把a=2代入f(x)=x a ,
x 1
得f(x)=x+ 2 =(x+1)+ 2-1
x 1
x 1
∵x∈［0,+∞),∴x+1>0, 2>0,∴x+1+ 2 2 2.
【规范解答】方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的 对称轴为x=a. ①当a∈(-∞,-1)时，f(x)在［-1，+∞)上单调递增， f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当a∈［-1,+∞)时，f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为［-3,1］.
【例2】已知函数f(x)=log3
mx2 x2
8x 1
n
的定义域为R，值域为
［0，2］，求m,n的值.
【审题指导】定义域为R等价于 mx2 8＞x 0n恒成立，值域为
x2 1
［0，2］可转化为 mx2 ∈8x［1n,9］求解.
x2 1
【规范解答】令y=mx
2 x2
8x 1
n
,
∵函数f(x)的定义域为R，∴对任意实数x∈R,y>0恒成立，
22 12
5
当点M与点B（2，3）重合时，w取得最大值，
即wmax（=（2 0）2 （3 0）故2）2wm1i3n,= wmax54=，13.
【例6】 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β)，且
0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
【审题指导】审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系，
x 1
x 1
当且仅当x+1= 2 ，即x=
x 1
2-1时，f(x)取最小值.
此时，f(x)min=2 2-1.
(2)当0<a<1时，
f(x)=x+1+ a -1若x+1+ a 2 a ,
x 1
x 1
则当且仅当x+1= a 时取等号，
x 1
此时x= a-1<0（不合题意），因此，上式等号取不到.
设x1>x2≥0，则
方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,
由已知，得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞)上恒成立，
0,
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或 a 1解, 得-3≤a≤1.
g 1 0.
即所求a的取值范围为［-3,1］.
【例4】 设函数f(x)= x a ，x∈［0,+∞).
x 1
（1）当a=2时，求函数f(x)的最小值；
2x y 2 0,
【例5】已知实数x,y满足 x 2y 4 0,
3x y 3 0.
求w=x2+y2的最大值和最小值.
【审题指导】可知x,y的约束条件是线性的.
∵w=x2+y2=（x-0）2+（y-0）2,∴w为可行域内动点（x,y）
到原点O（0，0）的距离的平方.
2x y 2 0
【例1】关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根，一个小1，
一个大于1，求实数k的取值范围.
【审题指导】本题考查一元二次方程根的分布问题，因 为此方程有两根，所以2k≠0,即k≠0，另外要注意对k 的讨论. 【规范解答】 ∵关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个不同实根， ∴2k≠0.又∵一个小于1，一个大于1， ∴设f(x)=2kx2-2x-3k-2,则当k>0时，f(1)<0, 即2k-2-3k-2<0,整理得k>-4, ∴k>0; 当k<0时，f(1)>0,即2k-2-3k-2>0, 整理得k<-4,∴k<-4. 综上所述，当k∈(-∞,-4)∪(0,+∞)时，方程2kx2-2x3k-2 =0的两根，一个小于1，一个大于1.
以及根与系数的关系的应用.
【规范解答】由已知不等式可得a<0，且α、β为方程
ax2+bx+c=0的两根，
∴由根与系数的关系可得
b a
0,①
c
a
0.②
方法一：∵a<0,
∴由②得c<0，则cx2+bx+a<0可化为xb2+ ax+ >0.
cc
①÷②，得 b ห้องสมุดไป่ตู้ 1 1) 0.
c
由②得 a 1 1 ·1 0.
①
由题意知f(x)∈［0,2］，则y∈［1,9］.
即关于y的不等式①的解集为［1，9］.
∴
m n 10 mn 16 9
,此 时nm满5足5.
故所求mmmn=0156,.n=5.
【例3】 已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R)，当x∈［-1,+∞)时， f(x)≥a恒成立，求a的取值范围. 【审题指导】解答此类题要正确理解好f(x)≥a恒成立的意义， 一是可转化为f(x)min≥a，二是重新构造新函数F(x)=f(x)a≥0恒成立.
c
∴ 1 为, 1方程 x2 b的x 两a根 .0
cc
又∵0<α<β,∴ 0 1 1 .
∴不等式
x2 b x的 a解集0 为{x|x<
cc
或x> 1},
1
即不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x1< 或x1> }.
即mx2+8x+n>0恒成立.
当m=0时，不等式化为8x>-n，不可能恒成立；
当m≠0时，必有m 604, 4mn 0,即mmn01, 6. 由y= mx2 8x得 （n m-y)x2+8x+(n-y)=0.
x2 1
∵x∈R,∴Δ=82-4(m-y)(n-y)≥0,
即y2-(m+n)y+mn-16≤0
【规范解答】画出不等式组 x 2y 4 0
3x y 3 0
表示的平面区域，如图所示的△ABC，
包括边界及其内部.
∵w=x2+y2=（x-0）2+（y-0）2表示
的是可行域内的动点M（x,y）到
原点O（0，0）的距离的平方，
∴当点M在边AC上滑动，且OM⊥AC时，w取得最小值，于
是wmin=(d02=0 2 )2 4 ;
f(x1)-f(x2)=x1+
a x1 1
x
2
x
a 2
1［1(x-1
x2
)
∵x1>x2≥0,∴x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1,
］, a
x1 1(x2 1)
∴(x1+1)(x2+1)>1,而0<a<1,
∴
<1,∴f(x1)-f(x2)>0,
a
∴f(xx)1在1［(x02，1+) ∞)上单调递增，∴f(x)min=f(0)=a.