2018版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的通项公式课件苏教版必修5
知识点三
等差数列的性质
思考
还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋„＋100的吗？
通项公式.
引申探究
1.在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}
中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap
n m
题型探究
类型一 求等差数列的通项公式
例1 甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行
速度：
时间t(s)
距离s(cm)
1
9.8
2
19.6
3
29.4
„
„
？
49
„
„
60
？
(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的
关系吗？
解答
(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长 时间？
第2章 §2.2
等差数列
2.2.2 等差数列的通项公式
学习目标
1.掌握等差数列通项公式的推导及应用.
2.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.
3.能运用等差数列的性质解决有关问题.
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
等差数列的通项公式
思考
等差数列{an}中，首项为a1，公差为d，如何用a1，d表示an?
(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项公式an?
答案
设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d.
梳理 等差数列通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d )，其图象为一条
解答
a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1. 令an＝4n－1＝135，∴n＝34， ∴135是数列{an}中的第34项. 令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5(m，n∈N*). ∴4m＋19是数列{an}中的第m＋5项.
(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项 吗？并说明你的理由.
解答
∵ap，aq是数列{an}中的项，
∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)
＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，
其中2p＋3q－1∈N*，
∴2ap＋3aq是数列{an}中的第2p＋3q－1项.
类型二
等差数列通项公式及推广形式的应用
命题角度1 列方程(组)求基本量
例2 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
解答
反思与感悟
把已知条件转化为关于 a1 ， d 的方程组求解，是一种常用思想， 称为方程思想.灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量.
跟踪训练2
解答
等差数列{an}为递减数列，且a2＋a4＝16，a1a5＝28，求
数列{an}的通项公式.
答案
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1) ＝a1＋d＋d＋d＋„＋d＝a1＋(n－1)d.
(n－1)个
梳理 一般地，an＝a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式.
知识点二
等差数列通项公式的几何意义
思考
已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项公式an＝a1＋
解答
当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588(cm).
s 49 当 s＝49 cm 时，t＝ ＝ ＝5(s). 9.8 9.8
反思与感悟
由于 an ＝ am ＋ (n － m)d ，要求通项公式，只需求出该数列的任意 一项和公差.
跟踪训练1 已知等差数列{an}：3,7,11,15，„. (1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由；
解答
取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)， 求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p. 它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列. 由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p， 所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
反思与感悟
从通项公式代数特点上看， an ＝ kn ＋b(k， b 为常数， n∈N*)⇔{an}
是等差数列.其中公差为k.借助这一性质可以迅速判断某数列是否为
等差数列，但不宜用来证明.证明要用定义：an＋1－an＝d，n∈N*.
3 个. 跟踪训练3 若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有____
①{|an|}；②{an＋1－an}；
③{pan＋q}(p，q为常数)；④{2an＋n}. 设an＝kn＋b， 则an＋1－an＝k，故②为常数列，也是等差数列. pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋(pb＋q)， 故③为等差数列.
答案 解析
2an＋n＝2(kn＋b)＋n＝(2k＋1)n＋2b，
故④为等差数列.
①不一定是等差数列，如 an ＝ 2n － 4 ，则 {|an|} 的前 4 项为 2,0,2,4 ，显然
{|an|}不是等差数列.
类型三 例4
解答
等差数列性质的应用
已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的
答案
利用1＋100＝2＋99＝„.
梳理
在有穷等差数列中，与首末两项 “等距离 ”的两项之和等于
首项与末项的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝„.
注意到上式中的序号1＋n＝2＋(n－1)＝„，
有：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an ＝ ap＋aq .特别地，若m＋n＝2p，则a ＋a ＝ 2ap .
a1＋a5＝16， a2＋a4＝a1＋a5＝16，所以 a1a5＝28，
又a1>a5，故a1＝14，a5＝2，d＝－3，
故an＝14－3(n－1)＝17－3n.
命题角度2 等差数列的通项公式与一次函数关系
例3
已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么
这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
【高中】高中数学第2章数列2322等比数列的性质学案苏教版必修5
【关键字】高中第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题．如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.【解析】结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.【答案】0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a＝1.【答案】 12．在等比数列{an}中，a2＝3，a6＝27，则a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]在等比数列(1)若a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a6＝32，求log1＋log2＋…＋log8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log1＋log2＋…＋log8＝log1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.【解】(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】 法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q2，a q，a ，aq ，aq 2. [再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：】【解】 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用探究n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n可知． 探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？ 【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18， (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n . 【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n . 【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0， ∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列．2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列． [再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？ 【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *， ∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)． 由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×23＋12＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________．①a 1，a 3，a 9成等比数列；②a 2，a 3，a 6成等比数列；③a 2，a 4，a 8成等比数列；④a 3，a 6，a 9成等比数列．【解析】 ∵3＋9＝2×6，∴a 26＝a 3·a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列． 【答案】 ④2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50， ∴a 4a 5a 6＝±52， 又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】 依题意可设这四个数分别为：4－d24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，4－d 24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14.∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a，即a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.【答案】 －74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：】【解析】 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4. 【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】 由题意知a ＋c ＝2b ， ∴5b ＝10，b ＝2， ∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ， ∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4. 【答案】 －47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， ∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 【解析】 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列． 【解析】 a ，b ，c 成等比数列，则b a ＝cb， 即b 2＝ac,2log x b ＝log x a ＋log x c ，即2log b x ＝1log a x ＋1log c x， 即1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列． 【答案】 ③2．(2016·启东高二检测)设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论： ①0<q <1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确的编号为________．【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1a 100－1<0，可知a 99，a 100一个大于1，一个小于1，因为a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q <1，而且a 99>1，a 100<1，又a 99·a 101＝a 2100<1，①③正确；T 198＝a 1a 2…a 99a 100…a 197·a 198＝(a 99a 100)99>1，②不正确；T 199＝a 1a 2…a 100…a 198a 199＝(a 100)199<1，故④正确．【答案】 ①③④3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 ∵b n ＝a n ＋1， ∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1， ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1， 代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
【数学】2.2 等差数列及其通项公式 课件1
所以等差数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d（n∈N*）
…
等差数列的通项公式推导2（叠加）
a2 a1 d
a4 a3 d an1 an2 d
an an1 d
叠加得
a3 a2 d
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
…
若p=q呢?
若m n 2 p, 则有am an 2ap
例题分析
练习 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，
可得a1+a20=10
小结 ★掌握等差数列的通项公式，并能运用公 式解决一些简单的问题
an=a1+(n－1)d
★ 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力
等差数列的性质
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数） 2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项 ac b 2b= a+c
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d a p aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
am an a p aq
2a1 ( p q 2)d mn pq
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2， 则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2 提示1: 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6) 2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
高二数学必修5第二章 数列2-3课件(共22张PPT)
2.3 等差数列前n项和公式
第一页，编辑于星期一：一点 二十分。
本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的 宝石数为引子，研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公式。 问题探究一：用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加以巩 固。问题探究二：公式的灵活应用，知三求二，用变式2、3加以巩固。
第十一页，编辑于星期一：一点 二十分。
第十二页，编辑于星期一：一点 二十分。
(II)在等差数列 an中,已知: d 4 , n 20 , sn 460
求
a1
及
a 20
.
解: 利用 公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1= -15
再根据
a20= 61
第十三页，编辑于星期一：一点 二十分。
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校
通”工程中的总投入是多少？
第十四页，编辑于星期一：一点 二十分。
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列{an},表示从 2001年起各年投入的资金，其中 那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
高中数学苏教版必修5《第2章2.1数列》课件
2
1．数列的概念 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做 这个数列的 项 ．项数有限的数列叫做 有穷 数列，项数无限的数列 叫做 无穷 数列．
3
2．数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为 __{a_n__} __，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为 首项 )，a2称为第2 项，…，an称为第n项．
思路探究：利用二次函数的单调性，求得k的取值范围．
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[解] ∵an＝n2＋kn，其图象的对称轴为n＝－2k， ∴当－2k≤1，即k≥－2时， {an}是单调递增数列． 另外，当1<－2k<2且－2k－1<2－－2k， 即－3<k<－2时，{an}也是单调递增数列(如图所示)． ∴k的取值范围是(－3，＋∞)．
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1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所 对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的
函数不一定单调．
2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，
一般地，若
an－1≤an， an＋1≤an，
则an为最大项；若
an－1≥an， an＋1≥an，
则an为最小
令an＝1，得n2－221n＝1， 而该方程无正整数解， ∴1不是数列{an}中的项．
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(2)假设存在连续且相等的两项为an，an＋1， 则有an＝an＋1， 即n2－221n＝n＋12－221n＋1， 解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和 第11项．
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数列的性质
[探究问题] 1．数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最 大(小)项？ [提示] 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函 数与数列的差异，数列{an}中，n∈N*.
必修5课件2.2.2等差数列的通项公式
2在数列 an 中, 如果对于任意的正整数n n 2, 都有
an 1 an 1 an , 那么 an1 an an an1 n 2. 2 这表明, 这个数列从第2 项起 , 后一项减去前一项所 得的差始终相等, 所以数列 an 是等差数列.
an1 an 1 所以有 an . 2
2 . 2 . 2 等 差 数 列的 通 项 公 式
观察等差数列 an : 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ,
如何写出它的第 项呢 ? 100
我们有 a1 4 , a2 7 4 3 , a3 10 4 3 2 ,
a4 13 4 3 3 ,
an a1 n 1 d .
证 因为 an 为等差数列, 所以当n 2时, 有
a2 a1 d , a3 a1 d , an an1 d .
将上面 n 1 个等式的两边分别相加 , 得
an a1 n 1 d , 所以 an a1 n 1 d .
例6 如图, 三个正方形的边 AB, BC , CD的长组成等差数 列, 且AD 21cm, 这三个正方 形的面积之和是179cm 2 C B A D 21cm 1求AB, BC , CD 的长 ; 2以 AB, BC , CD 的长为等差数列的前三 ,以第10 项为边长 项 的正方形的面积是多少 ? 解 1 设公差为d d 0, BC x , 则 AB x d , CD x d . x d x x d 21 , x 7, x 7,舍去. 解得 则 或 2 2 2 x d x x d 179, d 4 d 4 所以 AB 3 cm, BC 7 cm, CD 11 cm.