2020年浙江省高一(下)期中数学试卷解析版
x）的其中一个单调递增区间的是（ ）
A.
B.
C.
D.
．
8. 已知平面向量 ， 满足| |=2，| |= ，且|x +（1-2x） |（x∈R）的最小值 ，则| +y |
（y∈R）的最小值为（ ）
A.
B. 1
C. 2
D. 1 或 2
9. 设函数 f（x）=ex+ax2+bx+c（a，b，c 为非零实数），且 f（a）=ea，f（b）=eb，若
_______ ；
_______．
12. 函数
的定义域为______；值域为______．
13. 已知数列{an}的前 n 项的和为 Sn，且
，则 an=______，数列
的前 n
项的和 Tn=______． 14. 已知△ABC 中，三边是连续的三个自然数；若最小边为 3，则最小角的正弦值为
______；若最大角是最小角的两倍，则最大边的长为______．
【解析】解：∵a＞b＞0， ∴当 0＜c＜1 时，logca＜logcb，ca＜cb，当 c＞1 时，logca＞logcb，ca＞cb，
∴ac＞bc， ＜
故选：C． 利用不等式的性质即可判断出． 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】 该题考查正弦定理及其应用，运用正弦定理涉及多解时要注意判断取舍，往往用到知识 “大边对大角”，
3.【答案】D
【解析】解：∵函数
，
∴f（-3）=（-3）2=9， f（f（-3））=f（9）=9-5=4． 故选：D． 求出 f（-3）=（-3）2=9，从而 f（f（-3））=f（9），由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，解题时要认真审题，注意函数性质 的合理运用．
4.【答案】C
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1. 已知全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 A={1，4，5}，集合 B={2，4，6}则（∁UA ）∩B=（ ）
A. {4}
B. {2，6}
C. {2，4，6}
D. {2，3，6}
2. 已知等比数列{an}，若 a5=2，a9=32，则 a4•a10=（ ）
，
，
则 C=（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 60° 或 120°
D. 30° 或分图象如右图，则该函数的解
析式可能是（ ）
A. f（x）=x（ex-e-x） B. f（x）=ln（ex+e-x）
C.
D. f（x）=ln|x|+1
7. 将函数
的图象向左平移 个单位后得到 g（x）的图象，下列是 g（
A. ±16
B. 16
C. ±64
D. 64
3. 已知函数
，则 f（f（-3））=（ ）
A. -8
B. 9
C. 81
D. 4
4. 已知 a＞b＞0，且 c＞0，且 c≠1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. logca＞logcb
B. ca＞cb
C. ac＞bc
D.
5. 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A=60°，
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21. 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若
且
．
（Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）若角 C 的平分线交 AB 于点 D，求线段 CD 长度的取值范围．
22. 已知数列{an}满足：a1=3，2an+1=an2-2an+4． （Ⅰ）求证：an+1＞an；
（Ⅱ）求证：
（n∈N*）
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1.【答案】B
答案和解析
【解析】解：∁UA={2，3，6}， 则（∁UA）∩B={2，6}， 故选：B． 结合集合交集，补集的定义进行计算即可．
本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键．比较基础．
2.【答案】D
【解析】解：等比数列{an}中，∵a5=2，a9=32， ∴a4•a10=a5•a9=2×32=64． 故选：D． 利用等比数列的性质直接求解． 本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题．
15. 若 a，b 均为正实数，且满足 a+2b=1，则
的最小值为______．
16. 在△ABC 中，|BC|=2，点 P 为△ABC 所在平面内一个动点，则
的
最小值为______．
17. 设非零实数 a、b 满足 a2+b2=1．若函数
存在最大值 M 和最小值 m，则
M-m=______． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）
由正弦定理可求 sinC= ，利用大边对大角可求 C 为锐角，利用特殊角的三角函数值即
可得解，
【解答】
解：在△ABC 中，∵A=60°，
，
，
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∴由正弦定理，得
，即
，
∴解得 sinC= ，
又 a＞c， ∴A＞C，C=30°， 故选 A.
6.【答案】B
【解析】解：根据函数的对称性，函数 f（x）为偶函数，选项 A 为偶函数，且选项 A 经过原点，排除 A， 在（0，+∞）上函数单调递增，x→+∞时，f（x）→+∞，选项 C 中的 f（x）当 x→+∞时， f（x）→0，排除 C， f（x）＞0，D 选项当 x∈（0，1）时，f（x）＜0，排除 D． 故选：B． 根据函数的性质，采用排除法． 本题考查了根据函数的图象判断函数的解析式，可以灵活运用所学的函数的性质，结合 函数图象上的特殊点来处理，本题属于中档题．
a＜-1，则 b 的最小值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 若函数 f（x）=x2+（m-2）x+|x2-（m+2）x+2|的最小值为 0，则 m 的取值范围为（
）
A. （-∞，1]
B.
C.
D.
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二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）
11. 计算：
18. 已知集合 A={x∈R|（x+a）（x-3）＜0}，集合
．
（Ⅰ）若 a=1，求 A∩B； （Ⅱ）若 A∩B=∅，求 a 的取值范围．
19. 已知函数
，
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）若
且
，求 sin2α 的值；
20. 已知函数 f（x）=ax2+x+1+a． （Ⅰ）若函数 y=f（x）+x 有唯一的零点，求 a 的值； （Ⅱ）设 a＞0，若对任意的 x∈[1，2]，不等式 2x≤f（x）恒成立，求 a 的取值范围 ．
2020年浙江省温州市高一(下)期中数学试卷解析版
A. a+c＞b+c
B. ac＞bc
C. a2＞b2
D.
3. 已知 α∈（ ，π），sinα= ，则 tan（α+ ）=（ ）
A.
B. 7
C.
D. -7
4. 能得出 ＜ 成立的是（ ）
A. 0＞b＞a
B. b＞a＞0
C. a＞0＞b
5. 在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是( )
A.
B.
D. a＞b＞0
4.【答案】D
【解析】解：由 ＜ 得 - = ＜0，
则当 a＞b＞0 时，不等式 ＜0，成立，
其余不成立， 故选：D． 根据不等式的性质和关系进行求解判断即可． 本题主要考查不等式的关系和性质的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键．
得通项公式为
．
故选 C．
2.【答案】B
【解析】解：利用不等式的基本性质可得：
∵a＞b＞0，∴a+c＞b+c，a2＞b2，
，∴A，C，D 正确
∵a＞b＞0，∴c＞0 时，ac＞bc；c=0 时，ac=bc；c＜0 时，ac＜bc，故 B 错误
故选：B．
利用不等式的基本性质可得，当 a＞b＞0 时，a+c＞b+c，a2＞b2，
（1）当 m=5 时，求不等式 f（x）＞0 的解集； （2）若不等式 f（x）＞x2 的解集为 R，求实数 m 的取值范围．
22. 已知
，
且 sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，
，
（1）求 tanα； （2）求 α+β 的值．
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23. 已知{an}是公差为 2 的等差数列，且 a1+a2+a3=12，{bn}是公比为 3 的等比数列，且 ．
2020年浙江省宁波市高一(下)期中数学试卷解析版
17. 若关于 x 的不等式 0＜（x-2a）（3x+4a）＜2x2 正整数解只能为 5，则整数 a 的值为 ______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分） 18. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S5=30，S10=110．
21. 如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数
的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且 x≥0}．
（Ⅰ）若 a=-1，b=2，求 f（x）的定义域； （Ⅱ）当 a=1 时，若 f（x）为“同域函数”，求实数 b 的值； （Ⅲ）若存在实数 a＜0 且 a≠-1，使得 f（x）为“同域函数”，求实数 b 的取度分别为北纬 30°和南纬 60°，即
，可求
得
；
步骤二：经测量计算，∠CAB=α，∠CBA=β，计算|AC|；
步骤三：利用以上测量及计算结果，计算|OC|．
请你用解三角形的相关知识，求出步骤二、三中的|AC|及|OC|的值（结果均用 α，β
，R 表示）．
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5. 设{an}为等比数列，给出四个数列：①{2an}；②{an2}；③ ；④{log2|an|}，其
中一定为等比数列的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
6. 设实数 x，y 满足
，则 x+2y 的最小值为（ ）
A. 1.5
B. 2
C. 5
D. 6
7. 等比数列的前 n 项、前 2n 项、前 3n 项的积分别为 A，B，C，则（ ）
浙江省2020学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)
，为了获得函数
的图象，只需将
的图象
（
）
A.
向左平移
个单位长度
B.向右平移
个单位长度
C.向左平移
个单位长度
D.向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】
【剖析】
由题意联合函数的分析式可得函数图像的平移变换方法
.
【详解】注意到
，
故获得函数
的图象，只需将
的图象向右平移
个单位长度.
应选：D.
【点睛】此题主要考察三角函数的平移变换，属于基础题.
角用已知角配凑成β=（α+β）﹣α，是解题的重点，属于较难题．
17.若两个非零向量，知足，则向量与的夹角余弦值为_______.
- 8 -
【答案】
【分析】
【剖析】
由题意联合平行四边形的性质和向量的夹角公式整理计算可得两向量夹角的余弦值.
【详解】不如设，则，，
由平行四边形的性质有：，
即：.
据此可得：，
余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
-12-
sinα、cos（α+β）
值，再利用两角和差
正弦公式求
得β＝
[（α+β）﹣α]的值．
【详解】∵α、β
为锐角，cosα
，∴sinα
，
sin（α+β）
sinα，∴α+β为钝角，
【
，
∴cos（α+β）
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
?
?
．
故答案为.
浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷
2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。
浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(含答案解析)
浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数z 的虚部为（ ）A B ．CD ．2．已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k = A ．92-B ．0C ．3D ．1523．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8010030a b A ===︒，，，则B 的解的个数是（ ） A ．2B ．1C ．0D ．不确定4．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（ ）A ．1B C ．2D ．5．已知向量a →，b →不共线，且向量a b λ→→+与()21a b λ→→+-的方向相反，则实数λ的值为 A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或12-6．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1B C D ．27．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交8．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，记e 是与a b +方向相同的单位向量，则a 在a b +方向上的投影向量为（ ）A ．13eB ．CD 9．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =二、多选题10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos b c A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是（ ）A ．34AC = B ．8AB = C ．18CD BD = D ．ABD ∆的面积三、填空题11．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =___________. 12．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），45,1ABC AB AD ∠=︒==，DC BC ⊥则这块菜地的面积为__________．13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为_________.14．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos 3A =，sinBC =，并且a =ABC 的面积为___________.15．设P 为ABC ∆所在平面上一点，且满足34PA PC mAB +=(0)m >.若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积为__________. 16．如图，圆O 是半径为1的圆，12OA =，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC BC →→⋅的取值范围是___________.四、解答题17．如图所示，已知P 是ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）设平面PBC 平面PAD l =，求证：//l BC .18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ，求△ABC 的面积．19．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .（1）设BO xAB yAC =+，求x y +的值；（2）若6AB AC AO EC ⋅=⋅，求ABAC的值. 20．设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.参考答案1．B 【分析】 由虚部定义可得. 【详解】由虚部定义可知，z 虚部为故选: B. 2．C 【详解】试题分析：由题意得，23(23,6),(2,1)a b k c -=--=，因为(23)a b c -⊥，所以(23)4660a b c k -⋅=--=，解得3k =，故选C. 考点：向量的坐标运算. 3．A 【分析】通过正弦定理求得5sin 8B =，分别判断在锐角和钝角时，是否存在即可. 【详解】 由正弦定理知，sin sin a bA B =，即 80100sin 30sin B =，解得5sin 8B =， 又(0,)B π∈，由三角函数性质知角B 由两个解， 当角B 为锐角时，满足A B π+<，即存在；当角B 为钝角时，cos B =51sin()082B A ⎛+=⨯=> ⎝⎭， 则满足A B π+<，即存在；故有两个解. 故选：A 【点睛】关键点点睛：当正弦值可以取两个解时，需要讨论其存在情况. 4．B 【详解】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高考点：圆锥的面积 5．B 【分析】根据题意，得出()21a b k a b λλ→→→→⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦且0k <，化简后得出()211λλ-=，0k λ=<，即可求出实数λ的值. 【详解】解：由题可知，a →，b →不共线，且向量a b λ→→+与()21a b λ→→+-的方向相反，则()210a b k a b k λλ⎧⎡⎤+=+-⎪⎣⎦⎨<⎪⎩，即()210a b ka k b k λλ⎧+=+-⎪⎨<⎪⎩， 则()1210kk k λλ=⎧⎪=-⎨⎪<⎩，即()2110k λλλ⎧-=⎨=<⎩，解得：12λ=-或1λ=（舍去）.即实数λ的值为12-.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题. 6．A 【详解】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A. 考点：复数的运算与复数的模. 7．C 【详解】试题分析：A ．l 与l 1，l 2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．考点：点、线、面的位置关系．8．C【分析】利用向量投影的定义求解.【详解】由题设可得22242a b a b+⋅=-⋅+，即13a b⋅=，则()14133a a b⋅+=+=，设a与a b+的夹角为α，则4cos3 a a bα⋅+=.又22a b +=+，故4cos 3a α=因为e 是与a b +方向相同的单位向量，所以a 在ab +. 故选: C 9．D 【详解】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z =，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用． 10．ACD 【分析】首先根据余弦定理，并结合条件判断2C π=，并根据二倍角公式得到3cos 4CAD ∠=，依次计算,AC AB 的值，根据面积比值ACDADBS S ∆∆，判断C 和D. 【详解】解析：在ABC ∆中，根据余弦定理得，222cos 2b c a bA bc c+-==，即222b a c +=，所以2C π=.由倍角公式得21cos 2cos 18BAC CAD ∠=∠-=，解得3cos 4CAD ∠=.在Rt ACD ∆中，3cos 4AC AD CAD =∠=，故选项A 正确在Rt ABC ∆中，1cos 8AC BAC AB ∠==，解得6AB =.故选项B 错误； 11sin 2211sin 22ACD ADBCD AC AC AD CADS S BD AC AB AD BAD ∆∆⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠，解得18CD AC BD AB ==，故选项C 正确；在ABD ∆中，由3cos 4BAD ∠=得，sin BAD ∠=，所以1sin 2ABD S AD AB BAD ∆=⋅⋅∠1162=⋅⋅D 正确故选：ACD 【点睛】本题考查判断命题的真假，重点考查正余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，数形结合分析问题的能力，属于中档题型. 11．3 【分析】由题知1与其共轭复数1均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案. 【详解】∵实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根为1， ∴其共轭复数1也是方程的根.由根与系数的关系知，()()()()1111bc ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，∴ 2b =-，3c =. 故答案为：3 【点睛】本题考查方程复数根的特点的应用，熟练掌握实系数方程的虚根成对原理（需明确两根为共轭复数）和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题. 12．2+【分析】按斜二测画直观图的原则，找到四边形ABCD 的四个顶点在平面直角坐标系下对应的点，即把直观图中的点还原回原图形中，连接后得到原图形，然后利用梯形面积公式求解． 【详解】如图，直观图四边形的边BC 在x '轴上，在原平面直角坐标系下在x 轴上，长度不变.点A 在y '轴上，在原平面直角坐标系图形中在y 轴上，且A B ''长度为直观图中的2倍. 在直观图四边形中//AD x '轴，所以在原平面直角坐标系下//A D x ''轴，长度不变. 所以在原平面直角坐标系中A B C D ''''为直角梯形. 在直观图四边形中,过点A 作AE x ⊥轴, 垂足为E ，则在直观图中，ABE △为等腰直角三角形且1AB AD ==,BE ,则1BC =所以在原平面直角坐标系中1B C ''=,2,1A B A D ''''==所以梯形A B C D ''''面积为111222⎛⨯+⨯= ⎝⎭故答案为:2+13．24316π【详解】试题分析：设底面ABCD 的中心为E ，则PE 为正四棱锥的高，4,2,PE AB ==12AE AC ==O ，由O 一定在线段PE 上，连结OA ，设球的半径为R ，在Rt AOE ∆中，222OA AE OE =+即()224R R =+-，解之得94R =，所以球的体积积为3492433416V ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.【名师点睛】本题考查.球的切接问题与球的表面积与体积，属中档题；与球有关的组合体是高考常考题型之一，解决这类问题的常用方法：1.球与旋转体的组合体通常通过作出它们的轴截面解题；2.球与多面体的组合体，通常过多面体的一条侧棱和球心，或切点、接点作出截面，把空间问题转化为平面问题求解.14【分析】由题知sin A ,进而根据sin B C ，()sin sin B A C =+sin C C =，再结合22sin cos 1C C +=得sinC =，cos C =sin B C =理得c =. 【详解】因为0A π<<，2cos 3A =，所以sin A ==()sin sin sin cos cos sin C B A C A C A C ==+=+2sin 3C C =+，sin C C =结合22sin cos 1C C +=，得sinC ，cos C =于是sin B C ==由a sin sin a cA C=，得c =故ABC的面积1sin 2S ac B ==.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和与差的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理、三角形面积公式．解三角形中公式较多，掌握这些公式是解题基础，要善于从已知条件出发选用恰当地公式进行计算．本题属于中档题． 15．14 【详解】由34PA PC mAB += 得34777m PA PC AB +=，设34777mPD PA PC AB =+=，（如图所示）于是可得点D 在边AC 上，//AB PD ，且34AD DC =，则47DA CA=，由//AB PD ， 所以ABP ABD S S ∆∆= ，所以8ABD S ∆=，又因为ABD ABC DAS S CA∆∆=，所以847ABC S ∆=，则14ABC S ∆=点睛：本题考查平面向量的运算、向量共线及数形结合思想方法的应用.解题时可以利用直线向量参数方程的一般形式，即,,A B P 三点共线时，存在实数t 满足()1OP tOA t OB =+- ，反之也成立.然后将问题转化为平面几何中的三角形相似问题，重点在于将问题合理进行转化 16．1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC .设θ为OA →和BC →的夹角.求出 211cos 22AC BC BC BC θ→→→→⋅=-,利用二次函数即得解.【详解】解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC .设θ为OA →和BC →的夹角.则AC BC OC OA BC OC BC OA BC →→→→→→→→→⎛⎫⋅=-⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭cos cos OC BC BCO OA BC θ→→→→=⋅⋅∠-⋅⋅211cos 22BC BC θ→→=-，221111cos 2222BC BC BC BC θ→→→→-≥-2111228BC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， （当cos 1θ=即0θ=时取等） 因为[]0,2BC →∈，所以当12BC →=时，AC BC →→⋅有最小值18-. 221111cos +2222BC BC BC BC θ→→→→-≤2111228BC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， （当cos 1θ=-即θπ=时取等）当2BC →=时，211+22BC BC →→有最大值为3， 即AC BC →→⋅有最大值3，所以AC BC →→⋅的取值范围是1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型211cos 22AC BC BC BC θ→→→→⋅=-，再利用二次函数的图象和性质求解. 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用线面平行的性质定理证明； 【详解】证明：（1）如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ， 可以证得//NE AM 且NE AM =，所以四边形MNEA 是平行四边形，所以//MN AE .又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，所以//MN 平面PAD .（2）因为//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD . 又因为平面PBC 平面PAD l =，所以//BC l . 【点睛】基本位置关系（垂直、平行）的证明利用判定定理.18．（1）A ＝60°；（2）【分析】(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；(2)利用三角形内角关系求出sin C ，结合正弦定理求出,a c 关系，利用余弦定理可求,a c . 【详解】(1)acos C －b －c ＝0，由正弦定理得sin Acos C ＝sin B ＋sin C ，即sin Acos C ＝sin(A ＋C)＋sin C ，又sin C≠0－cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B所以sin C ＝sin(A ＋B)×17＋12由正弦定理得，sin 7sin 5a A c C ==. 设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcos B ， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5， 故S △ABC ＝12acsin B ＝【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键. 19．（1）12-；（2【分析】（1）由,,E O C 三点共线，得1(1)(1)3AO t AE t AC tAB t AC =+-=+-，又由AO mAD =，得()222m m m AO AB AC AB AC =+=+，由此解得3412t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得到本题答案；（2）根据平面向量数量积的运算，逐步化简，即可得到本题答案. 【详解】（1）因为,,E O C 三点共线，所以1(1)(1)3AO t AE t AC tAB t AC =+-=+-，设AO mAD =，所以()222m m mAO AB AC AB AC =+=+， 所以13212m t m t ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3412t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；所以1144AO AB AC =+，11314444BO BA AO AB AB AC AB AC =+=-++=-+， 所以12x y +=-；（2）因为1166()43AO EC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=⨯+-+ ⎪⎝⎭22312233AB AB AC AC ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭ 2213||||22AB AB AC AC =-+⋅+又6AB AC AO EC ⋅=⋅， 所以2213||||022AB AC -+=，得||3||AB AC =，即ABAC=【点睛】本题主要考查平面向的数量积和平面向量的线性运算，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力. 20．（1）（2）22min2,0(){2,03aa f x a a -≥=<(3) 当26(,)22a ∈时，解集为(,)a +∞;当62(,)22a ∈--时，解集为223232(,][,)33a a a a a --+-⋃+∞;当[a ∈时，解集为)+∞.【详解】(3)。
2020年浙江省台州市联谊五校高一(下)期中数学试卷解析版
= =2，a1a2=2，
∴an+2=2an，a2=2． ∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，公比为 2．首项分别为：1，2． ∴S2018=（a1+a3+……+a2017）+（a2+a4+……+a2018） =（1+2+22+……+21008）+（2+22+……21009）
=+
=3•21009-3． 故选：B．
解：对于 A，若{an}是等差数列，且首项 a1=0，当 d＞0 时，
，当 n→+∞时，
|Sn|→+∞， 则{an}不是“L 数列”，故 A 错误； 对于 B，若{an}是等差数列，且公差 d=0，Sn=na1，当 a1≠0 时，当 n→+∞时，|Sn|→+∞， 则{an}不是“L 数列”，故 B 错误；
6.【答案】D
【解析】【分析】 本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用正弦定理、余弦定理直接求解． 【解答】 解：由在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，知： 在 A 中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，故 A 正确；
在 B 中，由正弦定理得：
18. 已知 为单位向量，
．
（1）求|2 + |．
（2）求
与 的夹角 θ 的余弦值；
19. 如图，在圆内接△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，满足 acosC+ccosA=2bcosB． （1）求 B 的大小； （2）若点 D 是劣弧 上一点，a=2，c=3，cos∠CAD= ，求线段 AD 长．
2019-2020学年浙江省杭州二中高一(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年浙江省杭州二中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1.的内角的对边分别为若成等比数列，且，则()A. B. C. D.2.设a=sin(−810°)，b=tan(33π8)，c=lg15，则它们的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<a<b3.函数y=sin(2x+π6)图象的一个对称中心为()A. (π2,0) B. (−π12,0) C. (π12,0) D. (π6,0)4.已知等差数列{a n}中，a2+a4=16，则a3的值等于()A. 4B. 8C. ±4D. ±85.设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为()A. B. C. D.6.已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.海上两个小岛A、B到海洋观察站C的距离都是a km，小岛A在观察站C北偏东20°，小岛B在观察站C南偏东40°，则A与B的距离是()A. a kmB. √3akmC. √2akmD. 2akm9.在等比数列{a n}中，a5−a1=15，a4−a2=6，则a3=()A. −4B. 4C. −4或4D. −8或810.下列说法正确的是()A. 命题“若x2>1，则x>1”否命题为“若x2>1，则x≤1”B. 命题“若x0∈R，x02>1”的否定是“∀x∈R，x02>1”C. 命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D. 命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题二、单空题（本大题共7小题，共28.0分）11.函数f(x)=log2(1+x)√1−x的定义域是______ ．12.若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．13.若函数f(x)={(14)x, −1≤x<04x, 0≤x≤1则f(12)=______ ．14.已知下面各数列{a n}的前n项和S n的公式，且S n=3n−2.则数列{a n}的通项公式是______ ．15.设a，b∈R，关于x的方程(x2−ax+1)(x2−bx+1)=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[12,√2]，则ab的取值范围为______．16.已知a，b∈[0,1]，则S(a,b)=a1+b +b1+a+(1−a)(1−b)的最小值为______．17.已知函数f(x)={xx+2,x∈(12,1]−12x+14,x∈[0,12],g(x)=asin(π3x+3π2)−2a+2(a>0)，给出下列结论：①函数f(x)的值域为[0,13]；②函数g(x)在[0,1]上是增函数；③对任意a>0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是59≤a≤45．其中所有正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）18.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(−1,0)，点C(0,5)，另抛物线经过点(1,8)，M为它的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB．19.已知数列{a n}为等差数列，a2=2，a6=6，数列{b n}为等比数列，b2=a4，公比q=2．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)求数列{a n−b n}的前n项和S n．20.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?21.已知等差数列{a n}满足：a3=9，a5+a7=30，{a n}的前n项和为S n．(1)求a n及S n；(2)已知数列{b n}的第n项为b n，若b n，12b n+1，a n(n∈N∗)成等差数列，且b1=3，设数列{1b n}的前n项和T n.求数列{1bn}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．解：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a，则b=a，则由余弦定理可知有cosB=，故答案为B．考点：余弦定理点评：本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．2.答案：B解析：解：a=sin(−810°)=−sin(720°+90°)=−1，b=tan(33π8)=tanπ8=sinπ41+cosπ4=√221+√22=√2−1．c=lg15=−lg5∈(−1,0)．∴a<c<b．故选：B．利用诱导公式化简三个数值，然后比较大小．本题考查诱导公式的应用，函数值的大小比较，基本知识的考查．3.答案：B解析：本题考查正弦函数的对称性，求得其对称中心为(12kπ−π12,0)是关键，考查赋值法的应用，属于基础题．利用正弦函数的对称性质可知，2x+π6=kπ，从而可得函数f(x)的图象的对称中心为(12kπ−π12,0)，再赋值即可得答案．解：由2x+π6=kπ，得：x=12kπ−π12，k∈Z．所以函数f(x)的图象的对称中心为(12kπ−π12,0)，k∈Z．当k=0时，(−π12,0)就是函数的图象的一个对称中心，故选：B．4.答案：B解析：解：由等差数列的性质可得2a3=a2+a4，又∵a2+a4=16，∴2a3=16解得a3=8故选：B由等差数列的性质可得2a3=a2+a4，代入已知数据计算可得．本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．5.答案：A解析：主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类讨论．解：根据题意，等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则可知，故选A．6.答案：D解析：试题分析：对函数f(x)判断△=m2−16<0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和−4进行讨论可得答案．解：当△=m2−16<0时，即−4<m<4，显然成立，排除C当m=4，f(0)=g(0)=0时，显然不成立，排除A；当m=−4，f(x)=2(x+2)2，g(x)=−4x显然成立，排除B；故选D考点：一元二次函数、不等式点评：本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．7.答案：A解析：试题分析：∵运算，∴(x−a)⊗x≤a+2转化为(x−a)(1−x)≤a+2，∴−x2+x+ax−a≤a+2，a(x−2)≤x2−x+2，∵任意x>2，不等式(x−a)⊗x≤a+2都成立，∴a≤.令f(x)=，x>2，则a≤[f(x)]min，x<2，而f(x)=，当且仅当x=4时，取最小值．∴a≤7.选A．考点：1.不等式的解法及应用；2.函数恒成立问题的应用8.答案：B解析：解：根据题意画出图形，得出∠ACB=120°，AC=BC=akm，在△ABC中，利用余弦定理得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos∠ACB=a2+a2+a2=3a2，则AB=√3akm．故选B根据题意画出图形，找出∠ACB的度数，以及AC与BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理即可求出AB的长．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9.答案：C解析：解：设等比数列的公比为q，则∵a5−a1=15，a4−a2=6，∴a1q4−a1=15，a1q3−a1q=6，∴q 2+1=52q∴q =2或q =12， ∴a 1=1或a 1=−16∴a 3=±4故选：C ．先假设公比，根据条件，列出方程，求得等比数列的首项与公比，再利用等比数列的通项求a 3的值． 本题重点考查等比数列的通项，解题的关键是构建方程组，求出等比数列的首项与公比．10.答案：D解析：解：A.命题“若x 2>1，则x >1”否命题为“若x 2≤1，则x ≤1”，∴A 错误．B .命题“若x 0∈R ，x 02>1”的否定是“∃x ∈R ，x 2≤1”，∴B 错误．C .“若x =y ，则cosx =cosy ”正确，即原命题正确，则逆否命题也正确，∴C 错误．D .命题“若x =y ，则cosx =cosy ”的逆命题为命题“若cosx =cosy ，则x =y ”，为假命题，当x =−y 时，结论满足cosx =cosy ，∴D 正确． 故选：D ．根据四种命题的定义以及命题真假之间的关系即可得到结论．本题主要考查四种命题之间的关系以及命题真假之间的关系，比较基础．11.答案：(−1,1)解析：解：根据题意，得{1+x >01−x >0，解得−1<x <1， 故答案为：(−1,1)．通过分析，解{1+x >01−x >0即可．本题考查函数的定义域，注意解题方法的积累，属于基础题．12.答案：20 cm ，30 cm解析：设较大的三角形的周长为x cm ，则较小的三角形的周长为(50−x)cm.由题意得=，解得x =30，50−x =50−30=20．13.答案：2解析：解：∵f(x)={(14)x , −1≤x <04x, 0≤x ≤1，∴f(12)=412=2．故答案为：2． 由f(x)={(14)x , −1≤x <04x , 0≤x ≤1，知f(12)=412，由此能求出结果．本题考查分段函数的函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答． 14.答案：a n ={1,n =123⋅3n ,n ≥2解析：解：∵S n =3n −2， ∴n =1时，a 1=S 1=3−2=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3n −2)−(3n−1)+2=23⋅3n ， ∴a n ={1,n =123⋅3n ,n ≥2．故答案为：a n ={1,n =123⋅3n ,n ≥2．由已知条件，利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2能求出结果．本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的合理运用．15.答案：[4,274]解析：解：设方程(x 2−ax +1)(x 2−bx +1)=0的4个实数根依次为m ，mq ，mq 2，mq 3， 由等比数列性质，不妨设m ，mq 3为x 2−ax +1=0的两个实数根，则mq ，mq 2为方程x 2−bx +1=0的两个根，由韦达定理得，m 2q 3=1，m +mq 3=a ，mq +mq 2=b ，则m 2=1q 3，故ab=(m+mq3)(mq+mq2)=m2(1+q3)(q+q2)，=1q3(1+q3)(q+q2)=q+1q+q2+1q2，设t=q+1q，则q2+1q2=t2−2，因为q∈[12,√2]，且t=q+1q在[12,1]上递减，在(1,√2]上递增，当q=12时，t=52，当t=√2时，t=3√22所以t∈[2,52]，则ab=t2+t−2=(t+12)2−94，所以当t=2时，ab取到最小值是4，当t=52时，ab取到最大值是274，所以ab的取值范围是：[4,274].故答案为：[4,274].利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据q 的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．16.答案：13−5√52解析：解：∵a，b∈[0,1]，∴S(a,b)=a1+b +b1+a+(1−a)(1−b)=1−ab(1−ab)(1+a)(1+b)，令T=ab(1−ab)(1+a)(1+b)，X=√ab，则T=ab(1−ab)(1+a)(1+b)=ab(1−ab)1+a+b+ab<1+2ab+ab=X2(1−X2)(1+X)2=x2(1−X)1+x，令f(X)=x2(1−X)1+x，X∈[0,1]，可得：f′(X)=−2X(X 2+X−1)(1+X)2，X∈[0,1]，X∈[0,√5−12)时，f′(X)>0，X ∈(√5−12,1]时，f′(X)<0， 故当X =√5−12时，f(X)取最大值5√5−112， 故S(a,b)=a 1+b +b 1+a +(1−a)(1−b)的最小值为1−5√5−112=13−5√52， 故答案为：13−5√52 S(a,b)=1−ab(1−ab)(1+a)(1+b)，令T =ab(1−ab)(1+a)(1+b)，X =√ab ，则T =f(X)=x 2(1−X)1+x ，X ∈[0,1]，利用导数法，求出函数的最值，可得答案．本题考查的知识点是导数在求函数最值中的应用，构造法，转化思想，函数的最值及其几何意义，难度较大．17.答案：①②④解析：解：①当x ∈(12,1]时，f(x)=x x+2=1−2x+2单调递增，∴f(12)<f(x)≤f(1)，即15<f(x)≤13． 当x ∈[0,12]时，由函数f(x)=−12x +14单调递减，∴f(12)≤f(x)≤f(0)，即0≤f(x)≤14． ∴函数f(x)的值域为[0,13].因此①正确．②g(x)=−acos π3x −2a +2，∵x ∈[0,1]，∴0≤πx 3≤π3，因此cos πx 3在[0,1]上单调递减， 又a >0，∴g(x)在[0,1]上单调递增，因此正确．③由②可知：g(0)≤g(x)≤g(1)，∴−3a +2≤g(x)≤−52a +2．若任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解，则必须满足f(x)的值域[0,13]⊆{g(x)|x ∈[0,1]}．∴−3a +2≤0，−52a +2≥13，解得a =23，因此③不正确；④存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则{g(x)min ≤f(x)max g(x)max ≥f(x)min由③可知：g(x)max =g(1)=−52a +2，g(x)min =g(0)=−3a +2，∴−3a +2≤13，−52a +2≥0，解得59≤a ≤45， ∴实数a 的取值范围是59≤a ≤45.正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．①当x ∈(12,1]时，利用f(x)=x x+2=1−2x+2单调递增，可得f(12)<f(x)≤f(1)．当x ∈[0,12]时，函数f(x)=−12x +14，利用一次函数的单调性可得f(12)≤f(x)≤f(0)． 即可得到函数f(x)的值域．②利用诱导公式可得g(x)=−acos π3x −2a +2，利用余弦函数的单调性，进而得出g(x)在[0,1]上单调性．③由②可知：g(0)≤g(x)≤g(1)，若任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解， 则必须满足f(x)的值域[0,13]⊆{g(x)|x ∈[0,1]}.解出判定即可．④存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则{g(x)min ≤f(x)max g(x)max ≥f(x)min解出即可． 本题综合考查了分段函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题． 18.答案：解：(1)∵A(−1,0)，C(0,5)，D(1,8)在二次函数y =ax 2+bx +c 的图象上，∴{a −b +c =0c =5a +b +c =8，解得：{a =−1b =4c =5，∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5，(2)过点M 作平行与y 轴的直线交BC 于N ，∵B 点的坐标为：(5,0)，∴BC 的方程为：x 5+y 5=1，当x =2，y =3，故N 点的坐标为(2,3)，函数y =−x 2+4x +5的顶点为(2,9)，则MN =6，∴△MCB 的面积=△MCN 的面积+△MNB 的面积=12MN ⋅OB =15．解析：(1)由A ，C ，D 三点在抛物线上，代入函数y =ax 2+bx +c 的解析式，构造方程组，解得抛物线的解析式；(2)过点M 作平行与y 轴的直线交BC 于N ，则△MCB 的面积=△MCN 的面积+△MNB 的面积=12MN ⋅OB．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，三角形的面积，是二次函数图象与性质比较综合的应用，难度中档．19.答案：解：(1)设数列{a n}为等差数列，公差为d，由a2=2，a6=6，可得a1+d=2，a1+5d=6，解得a1=d=1，可得a n=n，n∈N∗；数列{b n}为等比数列，b2=a4，公比q=2，可得2b1=4，解得b1=2，则b n=2n，n∈N∗；(2)a n−b n=n−2n，前n项和S n=(1+2+3+⋯+n)−(2+4+⋯+2n)=12n(n+1)−2(1−2n)1−2=12n(n+1)−2n+1+2．解析：(1)设数列{a n}为等差数列，公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、首项和公比，可得所求通项公式；(2)可得a n−b n=n−2n，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里；因为所以设追击时间为t，则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解．21.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，因为a5+a7=30，又∵a5+a7=2a6，∴a6=15；∴d=a6−a36−3=2，又a3=9，∴a n=a3+(n−3)d=9+(n−3)×2=2n+3，∴a1=5，∴S n=n(a1+a n)2=n(5+2n+3)2=n2+4n．(2)由(1)知b1=3，∵b n，12b n+1，a n成等差数列，∴a n+b n=2×12b n+1(n∈N∗)，∴b n+1−b n=a n，∴b n−b n−1=a n−1(n≥2,n∈N∗)，故b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b2−b1)+b1=(a n−1+a n−2+⋯+a1)+b1=(n−1)[2(n−1)+3+3]2+3=(n−1)(n+3)+3=n2+2n=n(n+2)(n≥2,n∈N∗).又因为b1=3满足上式，∴b n=n(n+2)(n∈N∗).∴1b n=1n(n+2)=12(1n−1n+2).故T n=12(1−13+12−14+⋯+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)=3n2+5n4(n+1)(n+2)．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，依题意，可求得d及a1，从而可求a n及S n；(2)依题意，可求得b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b2−b1)+b1=n(n+2)，利用裂项法可得1b n =12(1n−1n+2)，从而可得数列{1b n}的前n项和T n．本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，(2)中求得b n=n(n+2)是关键，考查裂项法求和，属于难题．。
2019-2020学年浙江省温州市高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省温州市高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinA+sinC的最大值为()A. 2B. √3C. 12D. √322.在△ABC中，已知AB=√3，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是()A. √32B. 2√3 C. √32或√34D. √3或2√33.递增的等比数列{a n}中，若a1+a2+a3=13，a1⋅a2⋅a3=27，则前5项的和S5等于()A. 11B. 121C. 242D. 2434.已知y=f(x)的图象和y=sin(x+π4)的图象关于点P(π4,0)对称，现将f(x)的图象向左平移π4单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)的表达式为()A. y=−sin14x B. y=−cos14xC. y=−sin(4x−π4) D. y=−cos(4x−π4)5.已知α∈(0,π)，且3cos2α−8cosα=5，则sinα=()A. √53B. 23C. 13D. √596.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，面积为3π的扇形，则该圆锥的底面半径为()A. 4B. 3C. 2D. 17.对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N∗，a n与a n+1中至少有一个不小于M，则记作{a n}>M，那么下列命题正确的是()A. 若{a n}>M，则数列{a n}各项均大于或等于MB. 若{a n}>M，{b n}>M，则{a n+b n}>2MC. 若{a n}>M，则{a n2}>M2D. 若{a n}>M，则{2a n+1}>2M+18.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3=1，S6=3，则S12=()A. 15B. 10C. 8D. 69.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC的形状是()．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 已知向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3)，则∠APB =( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°二、单空题（本大题共3小题，共12.0分） 11. 函数的图象为C ，如下结论中正确的是__________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线对称； ②图象C 关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有S n =3n −2，则通项公式a n = ______ ．13. 已知锐角△ABC 外接圆的半径为1，∠B =45°，则B −A ⃗ ⋅B −C ⃗ 的取值范围是______ 三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）14. 点C 在线段AB 上，且=，则= ，= ．15. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，如表给出了的部分数据：n1 2 3 4……S nt1019652则数列的公比q = ，首项a 1= ．16. 已知角α的终边经过点(4a,3a)(a <0)，则cosα= (1) ，tan(π−2α)= (2) ． 四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17. 已知点A(0,1)，B(2,−1)，C(−1,3)，向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)， (1)求点D 坐标；(2)若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ，μ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cosC(acosB +bcosA)=c ．(1)求角C ；(2)若c =2√7，△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(B −C)=1−cosA ，且b ，a ，c 成等比数列．求： (1) sinB ·sinC 的值； (2) A 的值；(3) tanB +tanC 的值．20.已知数列{a n}，{b n}是正项数列，{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且a1=b1=1，a2=b2+1，a3=b3−2．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)求数列{a n+1b n【答案与解析】1.答案：B解析：解：由题意可得2B =A +C ，又A +B +C =π 故B =π3，故A +C =2π3，故sinA +sinC =sinA +sin(2π3−A)=sinA +sin 2π3cosA −cos 2π3sinA =sinA +√32cosA +12sinA =32sinA +√32cosA =√3(√32sinA +12cosA)=√3sin(A +π6)，又A ∈(0,2π3)，所以A +π6∈(π6,5π6)，故sin(A +π6)∈(12,1]，√3sin(A +π6)∈(√32,√3]，故sinA +sinC 的最大值为√3， 故选B由题意可得A +C =2π3，原式=sinA +sin(2π3−A)，由三角函数的运算公式可得原式=√3sin(A +π6)，由A ∈(0,2π3)，可得式子的取值范围，可得最大值．本题考查三角函数的最值的求解，涉及等差数列的性质，属中档题．2.答案：C解析：解：在△ABC 中，∵AB =c =√3，AC =b =1，∠B =30°， ∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即1=a 2+3−3a ， 解得：a =1或a =2，当a =1时，a =b ，即∠A =∠B =30°，此时∠C =120°，△ABC 的面积S =12acsinB =√34；当a =2时，满足a 2=c 2+b 2，即△ABC 为直角三角形，△ABC 的面积S =12bc =√32．则△ABC 面积是√34，或√32．故选：C ．利用余弦定理列出关系式，把c ，b ，以及cos B 的值代入求出a 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查等比数列通项公式以及前n 项和公式，属于基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项a 1，公比q ，由此能求出前5项的和S 5． 解：递增的等比数列{a n }中，设公比为q ， ∵a 1+a 2+a 3=13，a 1⋅a 2⋅a 3=27，∴{1+a 1q +a 1q 2=13a 1⋅a 1q ⋅a 1q 2=27q >0, 解得a 1=1，q =3， ∴前5项的和S 5=1×(1−35)1−3=121．故选：B ．4.答案：B解析：本题考查三角函数图像的变换，考查了函数的对称性，若函数y =f(x)的图象和y =g(x)的图象关于点P(a,b)对称，满足f(x)+g(2a −x)=2b ，f(x)=2b −g(2a −x)，属于基础题． 根据对称知识求出函数f(x)，然后利用平移和伸缩变换求出函数y =g(x)的表达式即可． 解：若函数y =f(x)的图象和y =sin(x +π4)的图象关于点P(π4,0)对称， 则f(x)=0−sin(π2−x +π4)=−cos(x −π4)，将f(x)的图象向左平移π4个单位后，得到函数y=−cosx的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=−cos14x的图象，所以y=g(x)的表达式为：y=−cos14x，故选B．5.答案：A解析：本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属基础题．依题意，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可．解：∵3cos 2α−8cos α=5，∴3(2cos2α−1)−8cos α=5，即3cos2α−4cos α−4=0，(3cos α+2)(cos α−2)=0，α∈(0,π)，即cos α=−23，又α∈(0,π)，sin α>0，∴sin α=√1−cos2α=√53，故选A．6.答案：D解析：解：设圆锥底面半径为r，母线长为R．由圆锥底面周长为2πr=2π3R，解得：R=3r，又根据已知：3π=12⋅2π3R2，解得R=3，所以解得：r=1．故选：D．设圆锥底面半径为r，母线长为R，利用扇形的面积公式，弧长公式即可计算得解．本题考查扇形的面积公式，弧长公式的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为1.5，列{a n}各项均大于或等于M不成立，故A不正确；B中，数列{a n}为1，2，1，2，1，2…，{b n}为2，1，2，1，2…，M可以为1.6，而{a n+b n}各项均为3，则{a n+b n}>2M不成立，故B不正确；C中在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为−3，此时{a n2}>M2不正确，C错误；D中，若{a n}>M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故{2a n+1}> 2M+1正确．故选：D．举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若{a n}>M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故可得D正确．本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{a n}>M．8.答案：B解析：解：在等差数列{a n}中，由S3=1，S6=3，得S9−S6=2(S6−S3)−S3，∴S9=6，再由(S12−S9)+(S6−S3)=2(S9−S6)，可得(S12−6)+(3−1)=2(6−3)，∴S12=10．故选：B．由已知利用等差数列的性质求得S9，进一步利用等差数列的性质求解．本题考查等差数列想性质，是基础的计算题．9.答案：C解析：由正弦定理，得a 2+b 2<c 2，∴cosC =<0，则C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．10.答案：D解析：解：向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3)， 可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3×1−1×√3=−2√3， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+3=2， 可得cos∠APB =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−2√32×2=−√32， 由0°≤∠APB ≤180°， 可得∠APB =150°， 故选：D ．运用向量的坐标表示和向量的夹角公式，计算可得所求角．本题考查向量数量积的坐标表示和夹角公式，考查运算能力，属于基础题．11.答案：①②③解析：本题考查了正弦函数的图象与性质，，故①正确，，故②正确，由，∴f(x)的增区间为)，令k =0得增区间为，故③正确，由y =3sin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象C ，故④错误，故答案为①②③．12.答案：{n,n =12⋅3n−1,n ≥2解析：解：∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且有S n =3n −2， ∴a 1=3−2=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3n −2)−(3n−1−2)=2⋅3n−1， n =1时，2⋅3n−1=2≠a 1， ∴a n ={n,n =12⋅3n−1,n ≥2．故答案为：{n,n =12⋅3n−1,n ≥2．利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求解． 本题考查数列的前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意公式公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的合理运用．13.答案：(2,1+√2]解析：解：由正弦定理可得，asinA =csinC =2 ∴a =2sinA ，c =2sinC ， ∵∠B =45°，∴ac =4sinAsinC =4sinAsin(135°−A)=4sinA ×√22(sinA +cosA) =2√2(sin 2A +sinAcosA)=2√2(1−cos2A 2+12sin2A) =√2(sin2A −cos2A)+√2=2sin(2A −π4)+√2∵锐角△ABC ，∠B =45° ∴0<A <12π，0<3π4−A <12π，解可得，π4<A <π2， ∴π4<2A −π4<3π4，∴√22<sin(2A −π4)≤1，∴2√2<ac ≤2+√2 B −A ⃗ ⋅B −C⃗ =√22ac ∈(2,1+√2] 故答案为：(2,1+√2)由正弦定理可得a =2sinA ，c =2sinC ，结合三角形的内角定理及和差角公式，辅助角公式对ac =4sinAsinC 进行化简可求ac 的范围，然后由向量数量积的定义即可求解本题考查平面向量的数量积运算，涉及正弦定理在解三角形中的应用，属中档题．14.答案：35−25解析：解析：因为C 在线段AB 上，且=，所以与方向相同，与方向相反，且=，=，所以=，=−．15.答案：324解析：解：由表格可得：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S 2=10，S 3=19， ∴公比q ≠1，可得a 1(1−q 2)1−q=10，a 1(1−q 3)1−q=19，联立解得：a 1=4，q =32． 故答案为：32，4．由表格可得：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S 2=10，S 3=16，利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：−45−247解析：解：∵角α的终边经过点(4a,3a)(a <0)，则r =2+9a 2=−5a ，cosα=4a −5a =−45， tanα=3a4a =34，tan(π−2α)=−tan2α=−2tanα1−tan 2α=−321−916=−247，故答案为：−45；−247．由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的正切公式，求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的正切公式，属于基础题． 17.答案：解：(1)∵点A(0,1)，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)， 向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)+(0,1)=(−4,3)， 即点D 坐标为(−4,3)；(2)∵点A(0,1)，B(2,−1)，C(−1,3)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(−4,2)=(2λ,−2λ)+(−μ,2μ)， 即{2λ−μ=−4−2λ+2μ=2解得：λ=−3，μ=−2．解析：(1)向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合已知中点A(0,1)，向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，可得点D 坐标； (2)由已知可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，构造关于λ，μ的方程组，解得答案．本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，平面向量的数量积运算，方程思想，难度中档．18.答案：解：(1)由已知2cosC(acosB +bcosA)=c ．正弦定理得：2cosC(sinAcosB +cosAsinB)=sinC 即2cosC ⋅sinC =sinC ∵0<C <π，sinC ≠0 ∴cosC =12，∴C =π3．(2)由，△ABC 的面积为6√3，即12absin π3=6√3，∴ab =36由余弦定理得：c2=b2+a2−2abcosC，∴4×7=b2+a2−ab即(a+b)2=28+3ab．∴a+b=2√34.△ABC的周长a+b+c=2√34+2√7．解析：(1)利用正弦定理和和与差公式即可角C(2)根据余弦定理，△ABC的面积，求解a+b的值即可，本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．19.答案：解：(1)∵cos(B−C)=1−cosA，可得：cos(B−C)−cos(B+C)=1，∴解得：cosBcosC+sinBsinC−cosBcosC+sinBsinC=1，∴2sinBsinC=1，解得：sinB⋅sinC=12．(2)∵cos(B−C)≤1，1−cosA≤1，∴cosA≥0，A不是钝角．∵b，a，c成等比数列．即：a2=bc，由正弦定理得：sin2A=sinBsinC=12．∴由A为三角形内角，sinA>0，sinA=√22，∴A=π4，(3)∵cos(B−C)=1−cosA=1−cosπ4=1−√22，∴cosBcosC+sinBsinC=1−√22，∴cosBcosC=1−√22−sinBsinC=1−√22−12=1−√22，∴tanB+tanC=sinBcosC+cosBsinCcosBcosC=sin(B+C)cosBcosC=sinAcosBcosC=√221−√22=−2−√2．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角形内角和定理，等比数列的性质，正弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由三角形内角和定理化简已知可得：cos(B−C)−cos(B+C)=1，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2sinBsinC=1，即可解得sinB⋅sinC=12．(2)由cos(B−C)≤1，1−cosA≤1，可得cosA≥0，A不是钝角，利用等比数列的性质可得a2=bc，由正弦定理得：sin2A=sinBsinC=12，可求sinA=√22，即可解得A的值．(3)利用三角函数恒等变换的应用可求cosBcosC=1−√22，由两角和的正弦函数公式化简所求后代入即可得解．20.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a1=b1=1，a2=b2+1，a3=b3−2．∴1+d=q+1，1+2d=q2−2.q>0，联立解得：d=q=3．∴a n=1+3(n−1)=3n−2，b n=3n−1．(2)a n+1b n =3n−2+(13)n−1．∴数列{a n+1b n }的前n项和T n=n(1+3n−2)2+1−(13)n1−13=3n2−n2+32−32×(13)n．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=b1=1，a2=b2+1，a3= b3−2.可得1+d=q+1，1+2d=q2−2.q>0，联立解出即可得出；(2)a n+1b n =3n−2+(13)n−1.利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2020年浙江省杭州高一(下)期中数学试卷解析版
D.
9. 已知等差数列{an}，Sn 是它的前 n 项和，满足 S15＞0，S16＜0，且对任意的正整数 n
，都有 an2≥ak2 成立．则正整数 k 的值为（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
10. 若锐角△ABC 满足（ + ） = ，则 tanC 的取值范围是（ ）
A. （0， ）
B. （ ，1）
D. 4
5. 下列函数中，其图象可能为如图是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数
， ，则下列说法正确的是
A. 的最小正周期是
B. 在区间 上是增函数
C. 图象关于点
对称
D. 图象关于直线
对称
7. 已知函数 f(x)＝|log2x|，若存在实数 k，使得关于 x 的方程 f(x)＝k 有两个不同的实根
∴1=- ，-2= ，
∴a=-1，b=1 则 ab=-1 故选：C． 由 a＜0 且-1，2 是方程 ax2+bx+2=0 的根，根据方程的根与系数关系可求 a，b 本题主要考查了二次不等式与二次方程的根之间关系的相互转化，属于基础试题
4.【答案】B
【解析】解：由正弦定理，sinA= sinC 化为 a= c， 由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB，
，则 的最大值是______．
16. 若关于 x 的不等式|x-m|-x2+1＞0 在 x∈[0，2]上恒成立，则 m 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共 4 小题，共 50.0 分）
17. 已知函数 f（x）=4sinx•cos（x- ）．
（Ⅰ）求 f（ ）的值及函数 f（x）的最小正周期： （Ⅱ）求函数 f（x）的单调递增区间．
2020年浙江省宁波市鄞州中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
解：因为 且 ，
由正弦定理 可得： ，
则 ，
又 为锐角三角形，
则 ，解得： ，
即 ，
即 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题.
9．B
【解析】
试题分析：令 ，则 ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，即 是以 为首项， 为公差的等差数列， 是以 为首项， 为公差的等差数列∴ ， ， ．
19．过点 作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B两点.
（1）当 取最小值时，求出最小值及直线l的方程；
（2）当 取最小值时，求出最小值及直线l的方程.
20．（1）解关于x不等式 .
（2）若对于 ，不等式 恒成立，求x的取值范围.
21．已知数列 中, .
（1）求证： 是等比数列,并求 的通项公式 ；
A．若 ,则 有一解B．若 ,则 有两解
C．若 ,则 有两解D．若 ,则 有两解
6．已知数列 满足 ，那么 等于（）
A． B． C． D．
7．若关于 的不等式 有实数解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．在锐角 中，角 所对的边长分别为 ，若 且 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
（2）数列 满足 ,数列 的前 项和为 ,若不等式 对一切 恒成立,求 的取值范围.
22．己知数列 是各项均不为0的等差数列， 为其前n项和，且满足 ， ，数列 的前n项和为 .
（1）求数列 的通项公式及数列 的前n项和 .
（2）是否存在正整数 ，使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.
9．数列 满足 ，若 ，则 （）