浙江省高中数学联赛试题及参考答案

1
2018
− 1
= ______________。
解 z3 + 1 = 0 ⇒ (z + 1)(z2 − z + 1) = 0 ⇒ z2 − z + 1 = 0 ，所以
z
z
2018
−1
+
z
1
2018
−1
= z( z2021)82+0181 = ( z(3z)637)213z425 z+ 1
取值范围。 解 1 设 f (x) = x2 + ax + b ，对于 b ≥ 1 ⇒ f (0) ≥ 1，
所以只要考虑 b < 1。……………………………………………………5 分
（1）当 − a ≤ 0 时，即 a ≥ 0, 此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对 2
任意 b < 1有 f (1) =1 + a + b > f (0) =b, 所以 f (1) =1 + a + b ≥ 1，
A(
x1 ,
y1 ),
B( x2
,
y2
)
，联立
x2
+
9
y2
−
9
， =0
得 (1 + 9k 2 )x2 + 18kmx + (9m2 − 9) = 0 ，得到 x1 + x2 =− 11+8k9mk 2 。
所以
AB
的中点坐标为
(−
1
9km + 9k
2
,
1
m + 9k
2
)
，…………………………10
分
AB
1≤i≤n
1≤i< j≤n
1≤ j≤n
Tn ≥ n 。
当 n = 2 时，不妨设 a1 < a2, b1 < b2, a2 < b2 。
T2 = b2 − a1 + b2 − a2 + b1 − a1 + b1 − a2 − a2 − a1 − b2 − b1 ，
当 a1 < b1 ⇒ T 2 = b1 − a1 + b1 + b2 + b1 − a2 > 2 ；……………………5 分
解 将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为 a,b, c ，则
a2 + b2 = 10 b2 + c2 = 8 ⇒ a2 + b2 + c2 = 12 ，所以四面体外接球的半径为 3 。 a2 + c2 = 6
二、解答题
11. （本题满分 20 分）已知动直线 l 与圆 O ：x2 + y2 = 1相切，与椭圆 x2 + y2 = 1 9
−
2018 4
=5 16
(52018
− 1)
−
2018 4
=52019 16
−
8077 16
。
3.
已知α , β
∈
3π 4
,π
， cos(α
+
β)
=
4, 5
sin
α
−
π 4
= 12 , 13
则
cos
β
+
π 4
=__________。
解
由α,β
∈
3π 4
,π
，
cos(α
+
β)=
4, 5
得 sin(α
+β)
= − 3 பைடு நூலகம்cos(α 5
−π) 4
= − 5 13
，所以
cos
β
+
π 4
= cos(α
+
β
)
cos(α
−
π 4
)
+
sin(α
+
β
)
sin(α
−
π 4
)
= − 56 65
。
4. 在八个数字 2,4,6,7,8,11,12,13 中任取两个组成分数。这些分数中有 个既约分数。
设 AB 的中点为 O 。由极化恒等式得
PA ⋅ PB = 1 {(PA + PB)2 − (PA − PB)2} = 1 {(2PO)2 − 102} ≥ 1 {36 − 100} = −16 。
4
4
4
此时 PA+PB = 6。
7. 在△ ABC 中，AB + AC = 7 ，且三角形的面积为 4，则 sin ∠A 的最小值为______。
解得 a ≥ 1。………………………………………………………………10 分
（2）当 0 < − a ≤ 1 时，即 −1 ≤ a < 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右 22
端点取得，而对 b = 0 有 f (1) = 1 + a < 1, f (− a ) = −a2 < 1。
的中垂线方程为
y
−
1
m + 9k
2
= − 1 ( k
x
+
1
9km + 9k
2
)
，化简得
x
+
ky
+
1
8km + 9k
2
= 0 ．
8km O 到直线中垂线的距离 d = 1+ 9k 2 。……………………………………15 分
1+ k2
8km
将
m 1+ k2
= 1代入 d
=
1+ 9k2 1+ k2
，得 d
相交于不同的两点 A, B 。求原点到 AB 的中垂线的最大距离。
解 依题意可设 l : y =kx + m(k ≠ 0) ．
因为直线 l 与圆 O 相切，所以，O 到直线 l 的距离为 1，即
m
= 1 ………………………………………………………………5 分
1+ k2
=y kx + m,
这样的直线必与椭圆交于不同的两点
2018 年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案
1.
已知 a 为正实数，且 f (x)=
1 a
−
1 是奇函数，则 ax +1
f
(x)
的值域为_______。
解
由
f
(x)
为奇函数可知
1 a
−
1 ax +
1
=−
1 a
+
1 a−x +
1
,
解得
a
=
2
，即
f (x)=
1 2
−
1 2x +
1
，
由此得 f (x) 的值域为 (− 1 , 1) 。 22
2018
∑ 2. 设数列{an} 满足= a1 1, a= n+1 5an +1（ n = 1, 2,），则 an =___________。 n=1
解
由 an+1 =
5an
+1
⇒
an+1
+
1 4
=
5(an
+
1) 4
⇒
an
=
5n − 1 ，所以 44
∑2018
an
n=1
=1 (51 4
+ 52
+ + 52018 )
同理 x 1009 x1007
=
x 1009 x1008
• x 1008 x1007
≤
x 1011 • x1010
x 1012 x1011
=
x 1012 x1010
⇒ x1007 x > 1012 1 。
类似可证明： x1006 x 1013> 1, x1005x 1014 > 1,, x1x 2018 > 1。……………………15 分
将 2n （ n ≥ 2 ）个不同整数分成两组 a1, a2 ,, an;b1,b2 ,,bn 。证明
∑ ∑ ai − bj −
(| a j − ai | + | bj − bi |) ≥ n 。
1≤i≤n
1≤i< j≤n
1≤ j≤n
∑ ∑ 证明 令 T=n
ai − bj −
(| a j − ai | + | bj − bi |) ，下面用归纳法证明
24
（3）当 1 < − a ≤ 1时，即 −2 ≤ a < −1 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和 22
左端点取得，而对 b = 0 有 f (0) =b < 1, f (− a ) = −a2 < 1。………………15 分
24
（4）当 − a ≥ 1 时，即 a ≤ −2 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得， 2
x = −3, x = 1 ，共 3 个解。 3
9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ，则 x 的取值范围为 ______________。 解 由 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ⇒ ( x − y − 2)2 + ( y − 3)2 =1。令
8k = 1+ 9k2
．由均值不等式，1 + 9k 2 ≥ 6 k
，故
d ≤ 4 ，当且仅当 k = 1 时取等号。
3
3
所以，当 k = 1 , | m |=