(浙江专用)2020高考数学二轮复习 特色专题 高考新元素教案

特色专题 高考新元素一 创新型问题新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小，求解此类问题，要求学生有临场阅读，提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．“新定义”问题新定义问题是指在特定情景下，用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．[典型例题](1)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个(2)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”．若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( )A ．(－ ∞，0] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 【解析】 (1)法一：不妨设a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．法二：设a 1，a 2，a 3，…，a k 中0的个数为t ，则1的个数为k －t ，由2m ＝8知，k ≤8且t ≥k －t ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧t ≤k ≤2t k ≤8t ≤4k ，t ∈N.当t ＝1时，k ＝1，2，当t ＝2时，k ＝2，3，4，当t ＝3时，k ＝3，4，5，6，当t ＝4时，k ＝4，5，6，7，8， 所以“规范01数列”共有2＋3＋4＋5＝14(个)． 法三：前同法二．问题即是⎩⎪⎨⎪⎧t ≤k ≤2tk ≤8t ≤4k ，t ∈N表示的区域内的整点(格点)的个数，如图整点(格点)为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范01数列”共有14个．(2)方程ax 2－3x －a ＋52＝－x 在区间[1，4]上有解，显然x ≠1，所以方程ax 2－3x －a ＋52＝－x 在区间(1，4]上有解，即求函数a ＝2x －52x 2－1在区间(1，4]上的值域，令t ＝4x －5，则t ∈(－1，11]，a ＝8tt 2＋10t ＋9，当t ∈(－1，0]时，a ≤0；当t ∈(0，11]时，0<a ＝8t ＋10＋9t≤82t ×9t＋10＝12，当且仅当x ＝3时取等号． 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，故选C. 【答案】 (1)C (2)C[对点训练]1．定义“上升数”是一个数中右边的数字比左边的数字大的自然数(如123，568，2479等)，任取一个两位数，这个两位数为“上升数”的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析：选B.两位数10，11，12，…，99共90个，其中十位数为1的“上升数”为12，13，…，19共8个，十位数为2的“上升数”为23，24，…，29共7个，…十位数为8的“上升数”为89，只有1个，则所有两位数中的“上升数”共8＋7＋6＋…＋1＝8（8＋1）2＝36个，则两位数为“上升数”的概率P ＝3690＝25，选B.2．(经典考题)定义“函数y ＝f (x )是D 上的a 级类周期函数”如下：函数y ＝f (x )，x ∈D ，对于给定的非零常数a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有af (x )＝f (x＋T )恒成立，此时T 为f (x )的周期．若y ＝f (x )是[1，＋∞)上的a 级类周期函数，且T ＝1，当x ∈[1，2)时，f (x )＝2x(2x ＋1)，且y ＝f (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫56，＋∞B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞D ．[10，＋∞)解析：选C.因为x ∈[1，2)时，f (x )＝2x(2x ＋1)， 所以当x ∈[2，3)时，f (x )＝af (x －1)＝a ·2x －1(2x －1)，当x ∈[n ，n ＋1)时，f (x )＝af (x－1)＝a 2f (x －2)＝…＝a n －1f (x －n ＋1)＝a n －1·2x －n ＋1(2x －2n ＋3)，即x ∈[n ，n ＋1)时，f (x )＝an －1·2x －n ＋1(2x －2n ＋3)，n ∈N *，同理，当x ∈[n －1，n )时，f (x )＝an －2·2x －n ＋2(2x －2n ＋5)，n ∈N *.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以a >0且an －1·2n －n ＋1(2n －2n ＋3)≥a n －2·2n－n ＋2·(2n －2n ＋5)，解得a ≥103.故选C.3．(经典考题)设S 为实数集R 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b 3|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)解析：对于整数a 1，b 1，a 2，b 2，有a 1＋b 13＋a 2＋b 23＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)3∈S ，a 1＋b 13－(a 2＋b 23)＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)3∈S ，(a 1＋b 13)·(a 2＋b 23)＝(a 1a 2＋3b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)3∈S ，所以①正确．若S 为封闭集，且存在元素x ∈S ，那么必有x －x ＝0∈S ，即一定有0∈S ，所以②正确． 当S ＝{0}时，S 为封闭集，所以③错误．取S ＝{0}，T ＝{0，1，2，3}时，显然2×3＝6∉T ，所以④错误． 答案：①②“新运算”问题新运算问题是在原有运算的基础上定义了一种新运算，在准确把握信息本质的基础上，将这种新运算转化为早已熟悉的运算，从而进一步运用已有的知识去分析、解决问题．[典型例题](经典考题)当x ≠1且x ≠0时，数列{nxn －1}的前n 项和S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nxx －1(n ∈N *)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x ＋x 2＋x 3＋…＋x n (n ∈N *)按等比数列的求和公式，先求得x ＋x 2＋x 3＋…＋x n＝x －x n ＋11－x，两边都是关于x 的函数，两边同时求导，(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x n ＋11－x ′，从而得到S n＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝1－（n ＋1）x n ＋nxn ＋1（1－x ）2，按照同样的方法，请从二项展开式(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n出发，可以求得，S n ＝1×2×C 1n ＋2×3×C 2n ＋3×4×C 3n ＋…＋n (n ＋1)×C nn (n ≥4)的值为________．(请填写最简结果)．【解析】 依题意，对(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋C 3n x 3＋…＋C n n x n 两边同时求导，得n (1＋x )n－1＝C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋n C n n xn －1，①取x ＝1，得C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C nn ＝n ×2n －1，②②×2得，2C 1n ＋2×2C 2n ＋2×3C 3n ＋…＋2n C nn ＝n ×2n，③ 再对①式两边同时求导， 得n (n －1)(1＋x )n －2＝1×2C 2n ＋2×3C 3n x ＋…＋n (n －1)C n n xn －2，取x ＝1，得1×2C 2n ＋2×3C 3n ＋…＋n (n －1)C nn ＝n (n －1)×2n －2，④③＋④得1×2C 1n ＋2×3C 2n ＋3×4C 2n ＋…＋n (n ＋1)C nn ＝n ×2n＋n (n －1)×2n －2＝n (n ＋3)×2n－2.【答案】 n (n ＋3)×2n －2[对点训练]1．(经典考题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解析：选B.若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确，由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．2．(经典考题)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n(n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值． 解：(1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n＝a m . 所以{a n }是“H 数列”．(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d . 因为{a n }是“H 数列”， 所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ， 即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1. 因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d的值为－1.二 古代算术与现代高考我国是有着五千年文明的古国，具有丰富的文化基础，在数学领域里具有深厚的数学渊源，其中《九章算术》中的一些理论推动着当今科学和数学的发展，随着我国经济建设蓬勃发展，现今部分高考数学试题也在古代算术的基础上，结合现代高考元素应运而生，这些试题是古代算术与现代高考结合的经典范例，是传统文化与现代科学的有机融合．[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝______，y ＝______．(2)(经典考题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________．【解析】 (1)因为z ＝81，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.(2)如图，单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成，所以，正六边形的面积S 6＝6×12×1×32＝332.【答案】 (1)8 11 (2)332[对点训练]1．(名师原创)《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道 “竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为( )A.72 B.3733 C.6766D.1011解析：选C.设从最下节往上的容量构成等差数列{a n }，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝4a 9＋a 8＋a 7＋a 6＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝44a 1＋26d ＝3， 解得a 1＝9566，d ＝－766.中间为第五节，即a 5＝a 1＋4d ＝9566＋4×(－766)＝6766.故选C.2．(名师原创)《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513) A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸解析：选D.连接OA 、OB ，OD ，设⊙Ο的半径为R ， 则(R －1)2＋52＝R 2， 所以R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513.所以∠AOD ＝22.5°， 即 ∠AOB ＝45°.所以S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB ＝45π×132360－12×10×12≈6.33平方寸．所以该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.3．(名师原创)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为________．解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：(5.4－x )×3×1＋π·(12)2x ＝12.6，解得x ＝1.6.答案： 1.6三 学科间的渗透数学是自然科学的皇后，这是德国大数学家高斯提出的，说明了数学与自然科学的关系十分密切，数学知识经常渗透到各学科领域，彰显出数学学科应用于人们生活生产中的伟大魅力．[典型例题]放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克【解析】 因为M ′(t )＝－130ln 2×M 02－t 30， 所以M ′(30)＝－130ln 2×M 02－3030＝－10ln 2，解得M 0＝600，所以M (t )＝600×2－t30，所以t ＝60时，铯137的含量为M (60)＝600×2－6030＝600×14＝150(太贝克)，故选D.【答案】 D[对点训练]1．(名师原创)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA 分子是一个有着数百个至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由四种不同的碱基A ，C ，G ，U 占据，各种碱基能够以任意次序出现，若有一类RNA 分子由100个碱基组成，则共有多少种不同的RNA 分子( )A ．400种B ．1004种 C ．4100种 D ．A 4100种解析：选C.100个碱基组成的长链共有100个位置，每个位置从A 、C 、G 、U 中任选一个填入，有4种方法．所以共有不同的RNA 分子的个数为＝4100.故选C.2．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．8B ．6C ．4D ．3解析：选B.利用图形进行求解．因为反弹时反射角等于入射角，所以∠1＝∠2. 又因为tan ∠1＝1－1313＝2，所以tan ∠2＝2.又tan ∠2＝HC CF ，所以HC ＝43，所以DG ＝16.从此以后，小球的反射线必与EF 或FG 平行，由图可知，P 与正方形的边碰撞的次数为6.3．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍．解析：当A 0＝0.001，A ＝1 000时，M ＝lg A －lg A 0＝lg 1 000－lg 0.001＝lg1 0000.001＝lg 106＝6； 设9级地震的最大振幅是A 9，5级地震的最大振幅是A 5，则9＝lg A 9－lg A 0，5＝lg A 5－lg A 0，所以lg A 9－lg A 5＝4，即lg A 9A 5＝4，所以A 9A 5＝104＝10 000.答案：6 10 000。