(精心整理)分式的性质与运算
分式数学知识点归纳总结
分式数学知识点归纳总结一、分式的定义和基本性质1. 分式是由分子和分母组成的数，分子和分母都是整数，并且分母不为零。
2. 分式可以表示有理数，有理数包括整数和分数。
3. 分式可以看作是代数式的特殊形式，其中分母不为零。
4. 分式的分子和分母可以约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零数。
5. 分式可以相加、相减、相乘和相除，也可以化简和合并。
6. 分式的大小比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。
二、分式的化简和合并1. 化简分式：化简分式是指对分式的分子和分母进行约分，使分数的值保持不变的基础上，得到最简分数。
2. 合并分式：合并分式是指将两个分式相加或者相减，得到一个最简分式。
三、分式的加减乘除性质1. 分式的加法性质：分式相加时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相加，分母保持不变。
2. 分式的减法性质：分式相减时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相减，分母保持不变。
3. 分式的乘法性质：分式相乘时，分子相乘，分母相乘。
4. 分式的除法性质：分式相除时，将除数分子分母互换，再将所得的分式作为乘数分式进行运算。
四、分式的大小比较1. 分式的大小比较：分式大小的比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。
对于两个分式a/b和c/d来说，若a/b<c/d，则ad<bc；若a/b>c/d，则ad>bc。
2. 分式的大小比较练习：比较分式大小时，可以将分式通分进行比较，也可以将分式转化为小数进行比较。
五、分式方程的解法1. 分式方程的定义：分式方程是含有分式的代数方程。
2. 分式方程的解法：对于分式方程的解法，首先要通过分式的化简和合并，将分式方程化为最简分式方程，然后可以通过分式方程的乘法性质和除法性质进行求解。
六、分式在实际应用中的问题求解1. 分式在应用问题中的运用：分式在实际生活中有着广泛的应用，包括比例、百分数、利率、比率、工程问题等。
2. 分式应用问题求解：在实际应用问题中，我们可以将问题中的条件转化为分式形式，然后通过分式的运算法则进行求解。
专题 分式性质与运算(知识点精讲)(学生版)
专题08分式性质与运算重难突破知识点一分式有意义及值为0的条件1、分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母．注意：三要素（1）形如A B 的式子；（2）A ，B 均为整式；（3）分母B 中含有字母.2、分式有意义、无意义的条件（1）当分母0B =时，分式A B无意义；（2）当分母0B ≠时，分式A B 有意义．注意：①分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0；②分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子的值是否为0无关.3、分式的值（1）分式值为0：分子为0且分母不为0，即00A B =⎧⎨≠⎩；（2）分式值为正：分子分母同号，即00A B >⎧⎨>⎩或00A B <⎧⎨<⎩；（3）分式值为负：分子分母异号，即00A B >⎧⎨<⎩或00A B <⎧⎨>⎩．注意：①分式的值为0必须同时满足两个条件：分子的值为0；分母的值不为0.②必须在分式有意义的前提下，才能谈分式的值是多少，也就是说，必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值是否等于0.典例1（2020•姑苏区一模）若分式3x x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围为()A ．3x >B ．0x ≠且3x ≠C ．0x D ．3x ≠典例2（2021春•罗湖区校级期中）已知分式2(3)(1)1x x x -+-的值为0，那么x 的值是()A ．1-B ．3C ．1D ．3或1-知识点二分式基本性质1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用字母表示：a a m b b m ⋅=⋅，a a m b b m÷=÷（0m ≠）其中m 是不等于0的整式．注意：（1）分式的符号法则将分式、分子、分母的符号改变其中的任意两个，其结果不变.速记口诀：分式变形用性质，变形牢记要两同；分子、分母同乘除，非零整式且相同.（2）分式的基本性质是分式约分和通分的依据.2、分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式．约分通常要把分式化为最简分式或整式．典例1（2021春•光明区期中）若把分式3xy x y -中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值()A ．扩大为原来的5倍B ．扩大为原来的10倍C ．不变D ．缩小为原来的15倍典例2（2020春•铜仁市期末）下列各式，正确的是()A ．632x x x=B ．a x a b x b +=+C ．1()x y x y x y -+=-≠-D ．22a b a b a b+=++知识点三分式的运算1、分式的乘除法（1）乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．用式子可以表示为：b d bd a c ac⋅=．（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子可以表示为：b d b c bc a c a d ad÷=⋅=．（3）乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方．用式子可以表示为：(n n n b b a a =（n 是正整数，b ≠0）2、分式的通分（1）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.（2）通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式归纳总结
分式归纳总结分式是数学中常见的一种表达方式，它由一个分子和一个分母组成，分子和分母都是数或者代数式。
在日常生活和学习中，我们经常遇到各种各样的分式，学会对分式进行归纳总结，可以帮助我们更好地理解和应用分式。
一、分式的基本概念和性质1. 分式的定义：分式是由分子和分母用横线分隔表示的数或者代数式。
2. 分式的性质：分式可以进行加、减、乘、除等运算。
分式可以化简为最简形式，即分子与分母没有公因数。
二、分式的分类和举例1. 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，如1/2、3/4等。
2. 假分式：分子的绝对值大于等于分母的绝对值，如5/4、7/2等。
3. 显分式：分子为非零数，如3/1、4/1等。
4. 隐分式：分子为零，如0/5、0/9等。
三、分式的运算与应用1. 分式的加法和减法：对于相同分母的分式，可以直接对分子进行加或减。
对于不同分母的分式，需要先通分再进行运算。
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/202. 分式的乘法和除法：将分子与分母分别相乘或相除。
例如：(2/3) * (3/4) = 6/12 = 1/2(4/5) / (2/3) = (4/5) * (3/2) = 12/10 = 6/53. 分式的应用：分式在实际生活中有很多应用，如比例、百分数、利润分成等问题。
例如：根据工资比例计算两人的收入比例：小明工资是2000元，小红工资是3000元，求两人工资的比例。
小明的工资比例为：2000 / (2000+3000) = 2000 / 5000 = 2/5小红的工资比例为：3000 / (2000+3000) = 3000 / 5000 = 3/5四、分式的化简与扩展1. 分式的化简：通过约分化简一个分式，使得分子与分母互质。
例如：8/12 = 2/3，可以将分式8/12化简为2/3。
2. 分式的扩展：将一个分式拆分为多个分式的和或差，扩展了分式的表达形式。
八年级上册分式
八年级上册分式一、分式的基本概念与性质1.分式的定义：分式是指形如a/b的表达式，其中a和b都是整式，b不为零。
a称为分子，b称为分母。
2.分式的基本性质：（1）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。
（2）分式的分子与分母同时加减同一个整式，分式的值不变。
（3）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个有理数，分式的值不变。
二、分式的运算1.分式加减法：分式加减法是将两个或多个分式的分子进行加减运算，分母保持不变。
需要注意的是，分母必须相同，否则需要先进行通分。
2.分式乘除法：分式乘除法是将两个分式的分子相乘（或相除），分母相乘（或相除）。
同样需要注意，分子和分母的运算结果必须为整式。
3.乘法公式在分式中的应用：乘法公式如平方差公式、完全平方公式等，在分式运算中也同样适用。
三、分式方程及其解法1.分式方程的定义与特点：分式方程是指含有分式的等式，其中未知数的次数不低于1。
分式方程的特点是分母中含有未知数。
2.分式方程的解法：求解分式方程的一般步骤为去分母、移项、合并同类项、化简、求解。
需要注意的是，解分式方程时要防止分母为零的情况。
3.解分式方程的注意事项：在解分式方程时，要遵循分式方程的求解法则，同时注意化简和计算过程中的细节。
四、分式不等式及其解集1.分式不等式的定义与特点：分式不等式是指含有分式的不等式，其中未知数的次数不低于1。
分式不等式的特点是分母中含有未知数。
2.分式不等式的解法：求解分式不等式的一般步骤为去分母、移项、合并同类项、化简、求解。
需要注意的是，解分式不等式时要防止分母为零的情况。
3.分式不等式的应用：分式不等式在实际问题中具有广泛的应用，如不等式的求解、实际问题中的优化问题等。
五、分式在实际问题中的应用1.数学模型建立：分式在数学模型建立中具有重要作用，如波动问题、生长问题等。
2.实际问题分析与解决：分式在实际问题中可以用来表示数量关系、比例关系等，从而帮助分析问题和解决问题。
第一讲分式的基本性质与运算
分式的基本性质和运算【知识归纳】1、 分式概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式． 注意：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．（分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式B A 才有意义；当B=0时，分式BA 无意义） 【例】：1．式子①x 2②5y x +③a -21④1-πx 中，是分式的有（ ） A 、①②B 、③④C 、①③D 、①②③④2.当x 取什么值时，下列分式有意义．（1）54+x x ， （2）422+x x .【练习】：1. 若分式1-x x 无意义,则x 的值是( ) A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1±2.如果分式x211-的值为负数,则的x 取值范围是( ) A 、21≤x B 、21<x C 、21≥x D 、21>x 2、 要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零．【练习】：1．分式13-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A 、分式的值为零 B 、分式无意义 C 、若31-≠a 时,分式的值为零 D 、若31≠a 时,分式的值为零 2.（1）当_______时,分式534-+x x 的值为1.（2）当______时,分式51+-x 的值为正.3．x 取什么值时，分式)3)(2(5+--x x x （1）无意义？（2）有意义？ （3）值为零？4．2001-2003年某地的森林面积（单位：公顷）分别是321,,S S S ，2003年与2002年相比，森林面积增长率提高了多少？（用式子表示）5．学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，那么这笔钱全部用来买钢笔可以买多少支？3、 分式的基本性质分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是：C B C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷= （0≠C ） 【例】约分：（1）d b a c b a 42342135-， （2）23)(4)(2x y y y x x -- ， （3）2222)()(z y x z y x -+--.【练习】：1．对于分式11-x ，永远成立的是（ ） A 、1211+=-x x B 、11112-+=-x x x C 、2)1(111--=-x x x D 、3111--=-x x 2.下列各分式正确的是( )A 、22a b a b =B 、b a b a b a +=++22C 、a a a a -=-+-11122D 、x xxy y x 2168432=-- 3.若)0(54≠=y y x ,则222y y x -的值等于________. 4.化简分式xx ---112的结果是________. 5.将分式的分子与分母中各项系数化为整数,则b a b a 213231++=__________. 6.把下列各式约分: (1)432304ab b a ， (2)22112m m m -+- ， (3)42)()(a b b a --.7．已知：分式xyy x -+1的值是m ，如果分式中y x ,用它们的相反数代入，那么所得的值为n 则n m ,的关系是什么？8．有四块小场地：一块边长为a M 的正方形，一块边长为b M 的正方形，两块长a 为M ，宽为b M 的长方形．另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为2（a +b ）M ，试用最简单的式子表示出大长方形场地的周长．【例】通分：方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积。
分式的归纳总结
分式的归纳总结分式是数学中一个重要的概念，被广泛应用于各个领域，包括代数、几何和物理等。
它是一个以分数形式表示的数，由一个分子和一个分母组成。
在本文中，我们将对分式的基本概念、性质和求解方法进行归纳总结。
一、基本概念分式由一个分子和一个分母组成，分母不为零。
分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。
我们可以用a/b来表示一个分式，其中a为分子，b为分母。
二、分式的性质1. 两个分式的乘法：两个分式相乘时，我们将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，即(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。
2. 两个分式的除法：两个分式相除时，我们将分子除以分母得到新的分式，即(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。
3. 两个分式的加法：两个分式相加时，我们需要找到相同的分母，然后将分子相加，分母保持不变，即(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / (bd)。
4. 两个分式的减法：两个分式相减时，我们需要找到相同的分母，然后将分子相减，分母保持不变，即(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / (bd)。
三、分式的求解方法1. 化简分式：化简分式是指将分式的分子和分母约分到最简形式。
我们可以找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，得到最简形式的分式。
2. 分式的乘除运算：对于分式的乘法和除法，我们可以直接按照上述的性质进行计算。
3. 分式的加减运算：对于分式的加法和减法，我们需要找到相同的分母，然后按照上述的性质进行计算。
四、应用举例1. 在代数中，我们经常遇到分式方程的求解。
通过将方程中的分式化简或进行乘除加减运算，可以求得方程的解。
2. 在几何中，分数可以用来表示比例和比率。
比如，对于一个圆的面积与周长的比例，我们可以将它表示为一个分式的形式。
3. 在物理中，分式可以用来表示速度、加速度等物理量的比值。
【初中数学】初二数学分式的性质重要知识点
【初中数学】初二数学分式的性质重要知识点【—
初中第二天
数学分式的性质知识要领】在代数式的计算中，分式的性质知识要领运用还是很广泛的。
分数的性质
1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式
的值不变。
用式子表示为：a/b=(a*c)/(b*c)，a/b=(a÷c)/(b÷c)(a,b,c为整式，且b、
c≠0)。
2.分数缩减：一个分数的分子和分母的公因式的缩减。
这种变形称为分数缩减。
分数
约化的关键是确定分数中分子和分母的公因子。
3.分式的约分步骤：
（1）如果一个分数的分子和分母都是单个项或多个因子的乘积，则减少它们的公因子。
(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式提取方法：系数取分子和分母系数的最大公因式，字母取分子和分母共用
的字母，索引取公因式的最小索引，这是它们的公因式。
4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
5.一般分数：将几个不同的分母分数转换成与原始分数相同的分母分数，称为分数的
一般分数。
6.分式的通分步骤：
首先找到所有分数的最简公分母，然后将所有分数的分母转换为最简公分母。
同时，
每个分数根据分母展开的倍数展开其分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数是每个因子系数的最小公倍数、同一字母的最高幂和单个字母的幂的乘积。
分式的约分和通分是一组相反的运算过程，但其的最终目的都是一致的。
分式知识点归纳总结
分式知识点归纳总结一、基本概念1. 分式的定义分式是由分子和分母组成的表达式，分子和分母都是整式。
通常写作a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不为0。
例如：3/4，7x/5y等都是分式。
2. 分式的分类根据分子和分母的形式，分式可以分为以下几类：a) 真分式：分子的次数小于分母的次数，例如：2/3。
b) 假分式：分子的次数大于或等于分母的次数，例如：x^2+1/x。
c) 反比例函数：分子和分母中都含有变量，例如：x/y。
3. 分式的性质a) 若分子和分母互换位置，分式的值不变，这就是分式的对称性质。
b) 分式的值只有在分母不为0时才有定义，即分式的定义域是除了分母为0的所有实数。
二、分式的化简1. 分子分母的最小公因式分式的化简首先要找出分子分母的最小公因式，然后进行约分。
例如：将分式6x^2y/9xy化简为2x/3。
2. 分式的通分当分母不同时，可以通过通分将分母变为相同的多项式，从而进行比较、运算。
例如：将1/2+2/3进行通分，得到3/6+4/6=7/6。
3. 整式转化为分式可以将整式转化为分式，只需将分子为整式，分母为1的形式即可。
例如：将5x^2+3x+1转化为分式为(5x^2+3x+1)/1。
三、分式的运算1. 分式的加减法分式的加减法需要先进行通分，然后对分子进行加减，最后合并分子。
例如：(2/3)+(3/4)，首先通分为8/12+9/12=17/12。
2. 分式的乘法分式的乘法是将分子乘以分子，分母乘以分母，然后进行约分。
例如：(2/3)*(3/4)=6/12=1/2。
3. 分式的除法分式的除法需要将除号改为乘以被除数的倒数，然后进行乘法运算。
例如：(3/4)÷(2/3)=(3/4)*(3/2)=9/8。
四、分式的应用1. 分式的实际问题在实际问题中，分式常用于解决各种比例、速度、浓度等问题，可以帮助我们解决生活中的实际问题。
2. 分式与方程分式的化简与运算经常用于解决各种方程，需要将方程中的分式进行合并、化简、求值等操作。
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分式的性质与运算
1.1 分式的基本概念和性质1．分式的基本概念：
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【例1】 ⑴代数式1312,,,,
34
a b m n
b x a π+-+中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
⑵ 当x = 时，分式
2x x +有意义；当x 时，分式21
1
x +有意义．
⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？
①213x x -+ ②()()661x x x --+ ③()()216
41x x x -+- ④288x x + ⑤()
22
255x x --
⑷当x 时，分式233x x --的值为1；如果分式1
21
x x -+的值为1-，则x 的值是 ．
⑸当x 时，分式48x -的值为正数；当 时，分式48x
x
--的值为负数．
【例2】 ⑴ 当x 取何值时，分式11x x
-
有意义？
⑵ 使代数式32
34
x x x x ++÷
--有意义的x 值是 ．
⑶若不论x 为何值，分式
21
2x x c
++总有意义，则c ．
经典例题
1.2 分式的基本运算
注：零指数幂及负整数指数幂都属于分式．
【例3】 ⑴计算：()222
2
2x xy y x y
xy x xy x -+--÷；
⑵计算：2
21
11
x x x -
--； ⑶计算：
22
12239a a
a a a a
-+÷---； 经典例题
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⑷计算:2233x y x y
x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷
⎪⎢⎥+⎝⎭⎣
⎦;
⑸计算：()22
221031525965a a a a a a
-+÷--+-．
【例4】 ⑴先化简：22211a a a a a a --⎛
⎫-÷
⎪+⎝
⎭，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值．
⑵已知：2
380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+--
-++的值．
【例5】 化简：2
22222
2
2112
22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦
【例6】 化简22
32233223222244
113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--
+++-+--+-．
1.3 分式的拆分
分式计算技巧--------分式的拆分
分式拆分的基本模型11
a b ab a b
+=+，这种模型在计算中运用十分广泛。
而复杂的题型通常将
这种形式包容在其中。
如：()()b c
a b a c ---初看不符合基本模型，若对分子稍加变形则马上出
现基本模型。
()()b c a c a b -=---所以原式变为()()()()
11
a c a
b a b a
c a b c a ---=+----
【例7】 ⑴化简：
222
111
3256712
x x x x x x ++++++++； ⑵
化简
：
222222
b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++---
--+--+--+---．
经典例题
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⑶已知,,a b c 为实数，且111,,345ab ab ca a b b c c a ===+++，那么
abc
ab bc ca
++的值为 ．
【例8】 仿照例子解题：
例子：若2
15111
M N x
x x x -+=+--恒成立，求M N 、的值． 解题过程如下： 2
15111
M N x
x x x -+=+--， ()()1115M x N x x ∴-++=-，
则15Mx M Nx N x -++=-， 即51Mx Nx N M x ++-=-+，
51M N N M +=-⎧∴⎨-=⎩
解得：32M N =-⎧⎨=-⎩
请你按照上面的方法解题： 若
2
8
224
M N x x x x --=+--恒成立，求M N 、的值．
【例9】 已知()()
237231111x x A B
x x x x -+=++-+-+，其中A B 、为常数，求42A B -的值．
1.4 课后练习【演练1】 ⑴当x 时，分式
2335x x ++有意义，当x 时，分式23
35
x x ++无意义．
⑵当x 时，分式11
x x -+的值为零．
⑶当x 时，分式1
2x
-的值为正． ⑷分式2
3
a a
b +++的值为零，则a ，b ．
⑸已知分式()()
811
x x x -+-的值为0，求x 的值．
⑹若分式221
23
b b b ---的值是0，则b 的值是（ ）
A.1
B.1-
C.1±
D. 2
【演练2】 化简：
()
()
()
()
22222
2
2
2
a b c b c a a c b
a b a
----+
+-+-
【演练3】 ⑴ 化简：()42243216424
2416844
m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+
⑵ 化简：()23332322211+1
2212211
x x x x x x x x x x +-+-+++-+--
⑶化简：()()
42242233664224
12b a a a b b a ab b a b a b a a b b ---⎛
⎫-÷ ⎪-+---++⎝⎭．
【演练4】 ⑴ 化简：()()()()()()
a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++．
⑵ 化简：
222222a b c b c a c a b
a a
b a
c bc b ab bc ac c ac bc ab
------++
--+--+--+．
【演练5】 已知()22221111
x x A B C
x x x x x +-=++
--，其中A B C 、、为常数，求A B C ++的值．
【演练6】 已知：1,2,3xy yz zx
x y y z z x
===+++，
求x y z ++的值．。