2012届高考第二轮复习数学解法指导：第3讲 解答题题型分析及增分策略

第3讲 解答题题型分析及增分策略高考解答题一般有六大方向：三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何、数列与不等式、解析几何、不等式与函数及导数．一般来说，前三题属于中低档题，第四题属中档偏难题，后两题属难题．三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在前三题中出现的概率较高，掌握解这几类题的解法是大多数学生成功的关键．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．能否做好解答题，是高考成败的关键．1． 三角函数与平面向量三角部分解答题是每年高考的必考题目，主要通过三角恒等变换考查三角函数的求值、三角函数的性质及解三角形．试题呈现以下特点：（1）利用三角函数公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数等）求值；（2）通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数（一般化为y ＝A sin （ωx ＋φ）＋k （A ≠0，ω≠0）），然后再研究三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等．（3）利用正、余弦定理及恒等变换解三角形（也包括利用三角形求解与测量、航海有关的实际问题）；（4）利用向量的工具作用，与向量结合在一起命制综合题，体现了在知识交汇点处命题的指导思想．这类问题求解时，首先利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换．【例1】 已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.（1）若A ＝5π12，求边c 的大小；（2）求AC 边上高的最大值．点评：本题考查利用正、余弦定理及恒等变换解三角形，解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程、进而求解．最后还要检验是否符合题意．针对训练已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫1，sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，n ＝⎝⎛⎭⎫2，2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6（其中ω为正常数）． （1）当ω＝1，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，求m ∥n 时tan x 的值；（2）设f （x ）＝m ·n －2，若函数f （x ）的图象的相邻两个对称中心的距离为π2，求f （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值． 2． 概率与统计概率解答题为每年高考的必考内容，主要考查互斥事件和对立事件的关系、古典概型和几何概型．要求学生能准确理解题意，迅速确定是古典概型还是几何概型，然后用概率公式求解．对于古典概型，要准确列出所有基本事件的个数和所求事件包含的基本事件个数．对于几何概型，一定要明确其与面积（体积、长度等）的关系．对于较复杂的问题，可以借助图形和表格帮助分析．【例2】 为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据如下（单位：人）（1）求x ，y ；（2）若从高校B ，C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率． 点评：本题主要考查了古典概型，解决古典概型要紧扣古典概型的定义．古典概型具有两个特点：①有限性；②等可能性．古典概率的计算公式是P （A ）＝mn ，其中n 是基本事件的总个数，m 是事件A 包含的基本事件的个数．另外，在用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．针对训练从3名男生和2名女生中选取2人参加比赛．求： （1）2人都是男生的概率；（2）所选2人至少有1名女生的概率． 3． 立体几何立体几何解答题主要分两类：一类是空间线面关系的判定和推理证明，主要是证明平行和垂直，求解这类问题要依据线面关系的判定定理和性质定理进行推理论证；另一类是空间几何量（空间角、空间距离、几何体体积与面积）的计算．求解这类问题，常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之．一般解题步骤是“作、证、求”．【例3】 已知三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，∠BAC ＝90°，AB ＝AA 1＝2，AC ＝1，M ，N 分别是A 1B 1，BC 的中点．（1）证明：MN ∥平面ACC 1A 1；（2）若点P 在线段BN 上，且三棱锥P AMN 的体积V P AMN ＝521，求NPPB的值． 点评：本题第（1）问是证明线面平行问题，证明直线与平面平行，往往要通过直线与直线平行来实现；第（2）问是求两线段长之比，解答此问，要合理转化，使之转化为求面积之比．针对训练如图所示，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C ，D 的点，AE ＝3，圆O 的直径为9.（1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；（2）求二面角DBCE 的平面角的正切值． 4． 数列与不等式高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点：（1）与等差、等比数列基本量有关的计算，可根据题意列方程（方程组）或利用等差、等比数列的性质求解；（2）与求和有关的题目，首先要求通项公式，并根据通项公式选择恰当的求和方法（如错位相减法、裂项相消法、分组求和法等）．（3）含S n 的式子，要根据题目特征利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2进行转化；（4）与递推数列有关的问题，要能合理转化，使之构造出新的等差、等比数列；（5）与数列有关的不等式问题，可根据数列的特征选择方法（如比较法、放缩法、数学归纳法等）；（6）与函数有关的问题，应根据函数的性质求解．【例4】 已知函数f （x ）＝14x＋2（x ∈R ）． （1）试证明函数f （x ）的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，14对称；（2）若数列{a n }的通项公式为a n ＝f ⎝⎛⎭⎫n m （m ∈N *，n ＝1,2，…，m ），求数列{a n }的前m 项和S m ；（3）设数列{b n }满足：b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，设T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1.若（2）中的S m 满足对任意不小于2的正整数n ，S m <T n 恒成立，试求m 的最大值．点评：1.数列是特殊的函数，因此数列往往与函数结合，利用函数的性质描述数列的特征．有时也可借助解析几何中的点与曲线的关系来说明数列的性质，其实质就是得到数列的通项、前n 项和公式或者得到递推式．2．数列与不等式的结合主要是借助数列的增减性和不等式的性质将数列问题转化为不等式问题，要注意数列中的自变量n ∈N *.针对训练假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2009年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.084≈1.36，1.085≈1.47，1.086≈1.59）5． 解析几何解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法，往往以中档偏难题或以压轴题形式出现，主要考查学生逻辑推理能力．运算能力，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力．突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法．【例5】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）的长轴长为4.（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆焦点坐标； （2）若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM ，k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．点评：本题第（1）问考查了椭圆的定义，直线与圆的位置关系的判定．常常利用比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断直线与圆的位置关系；第（2）问考查了直线与椭圆的位置关系，处理这类问题常常运用“设而不求”的思想方法，然后运用一元二次方程根的判别式和韦达定理或者运用“点差法”解题．本题灵活运用了“点差法”，简单、快捷．针对训练在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F .设过点T （t ，m ）的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），其中m >0，y 1>0，y 2<0.（1）设动点P 满足|PF |2－|PB |2＝4，求点P 的轨迹； （2）设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；（3）设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）． 6． 不等式与函数及导数导数是研究函数性质的强有力工具，利用导数解决函数问题不但避开了初等函数变形技巧性强的难点，而且使解法程序化，变“技巧”为“通法”．因此在求与函数有关的问题（比如函数图象的切线、函数的极值、函数的最值、函数的单调性等）及与不等式有关的问题时，要充分发挥导数的工具性作用，优化解题策略，简化运算过程．【例6】 已知函数f （x ）＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2. （1）求函数f （x ）的表达式．（2）当m 满足什么条件时，函数f （x ）在区间（m,2m ＋1）上单调递增？（3）若P （x 0，y 0）为f （x ）＝ax x 2＋b 图象上任意一点，直线l 与f （x ）＝axx 2＋b 的图象切于点P ，求直线l 的斜率k 的取值范围．点评：本题考查函数的极值点、函数的单调区间、函数图象的切线与导数的关系，考查分析问题和解决问题的能力．值得注意的是：f ′（x ）＝0是函数有极值的必要不充分条件，如果f ′（x ）左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果f ′（x ）左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果f ′（x ）左右两边符号相同，那么这个根不是f （x ）的极值点．针对训练设函数y ＝f （x ）在（a ，b ）上导函数为f ′（x ），f ′（x ）在（a ，b ）上的导函数为f ″（x ），若在（a ，b ）上，f ″（x ）<0恒成立，则称函数f （x ）在（a ，b ）上为“凸函数”，已知f （x ）＝112x 4－16mx 3－32x 2.（1）若f （x ）在区间（－1,3）上为“凸函数”，试确定实数m 的值；（2）若当实数m 满足|m |≤2时，函数f （x ）在（a ，b ）上总为“凸函数”，求b －a 的最大值．参考答案方法例析【例1】 解：（1）∵1＋cos B ＝3sin B ，∴2sin ⎝⎛⎫B －π6＝1，sin ⎝⎛⎫B －π6＝12， ∴B －π6＝π6或5π6（舍），得B ＝π3.又∵A ＝5π12，∴C ＝π4.∵c sin C ＝b sin B ，得c ＝63. （2）设AC 边上的高为h ， ∵S △ABC ＝12b ·h ＝12h ，S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ，∴h ＝32ac . 又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，∴ac ≤1， ∴h ＝32ac ≤32，当a ＝c 时取到等号． ∴AC 边上的高h 的最大值为32. 针对训练 解：（1）∵m ∥n ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， sin x cos π6－cos x sin π6＝sin x cos π3＋cos x sin π3，则32sin x －12cos x＝12sin x ＋32cos x ， 3－12sin x ＝3＋12cos x ， ∴tan x ＝3＋13－1＝2＋ 3. （2）f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. ⎝⎛或f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx ⎝⎛ 12sin ωx ＋ ⎭⎫32cos ωx ＝2⎝⎛ 34sin 2ωx －34cos 2ωx ＋ ⎭⎫12sin ωx cos ωx ＝－32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＝⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3 ∵函数f （x ）的图象的相邻两个对称中心的距离为π2，∴f （x ）的最小正周期为π.又ω为正常数， ∴2π2ω＝π，解得ω＝1， 故f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以－π3≤2x －π3≤2π3.故当x ＝0时，f （x ）取最小值－32. 【例2】 解：（1）由题意知x 18＝236＝y54，所以x ＝1，y ＝3；（2）记从高校B 抽取的2人为b 1，b 2，从高校C 抽取的3人为c 1，c 2，c 3，则从高校B ，C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（b 1，b 2），（b 1，c 1），（b 1，c 2），（b 1，c 3），（b 2，c 1），（b 2，c 2），（b 2，c 3），（c 1，c 2），（c 1，c 3），（c 2，c 3）共10种．设选中的2人都来自高校C 的事件为M ，则M 包含的基本事件有（c 1，c 2），（c 1，c 3），（c 2，c 3）共3种，因此P （M ）＝310，故选中的2人都来自高校C 的概率为310.针对训练 解：“从3名男生和2名女生中选取2人参加比赛”的基本事件有（男1，男2），（男1，男3），（男2，男3），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（男3，女1），（男3，女2），（女1，女2）共10种．（1）记“2人都是男生”为事件A ，故A 包含的基本事件数为3，∴由古典概型的概率公式得P （A ）＝310；（2）记“所选2人至少有1名女生”为事件B ，事件B 包含的基本事件个数为7， ∴P （B ）＝710( 或事件B 与事件A 对立，故P （B ）＝1－P （A ）＝1－310＝⎭⎫710. 【例3】 解：（1）证明：设AC 的中点为D ，连接DN ，A 1D .∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴DN12AB . 又∵A 1M ＝12A 1B 1，A 1B 1AB ，∴A 1M DN ，∴四边形A 1DNM 是平行四边形， ∴A 1D ∥MN .∵A 1D ⊂平面ACC 1A 1，MN ⊄平面ACC 1A 1， ∴MN ∥平面ACC 1A 1. （2）∵V P AMN ＝V MAPN ＝521， 又M 到底面ABC 的距离＝AA 1＝2， ∴13×S △APN ×AA 1＝521. ∴S △APN ＝514. ∵N 为BC 中点，∴S △ABN ＝12S △ABC ＝12×12×AB ×AC ＝12.∵P 点在线段BN 上时，PN BN ＝S △APN S △ABN ＝57，此时NP PB ＝52.针对训练 （1）证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上，∴AE ⊥CD .在正方形ABCD 中，CD ⊥AD .又∵AD ∩AE ＝A ，∴CD ⊥平面ADE . ∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE .（2）解法一：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD ⊥DE .∴CE 为圆O 的直径，即CE ＝9. 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，DE 2＝CE 2－CD 2＝81－a 2， 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2－AE 2＝a 2－9， 由81－a 2＝a 2－9，解得a ＝3 5.∴DE ＝AD 2－AE 2＝6.过点E 作EF ⊥AD 于点F ，作FG ∥CD 交BC 于点G ，连接GE .由于CD ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF ⊥CD .∵AD ∩CD ＝D ， ∴EF ⊥平面ABCD . ∵BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥EF .∵BC ⊥FG ，EF ∩FG ＝F ， ∴BC ⊥平面EFG . ∵EG ⊂平面EFG ， ∴BC ⊥EG .∴∠FGE 是二面角DBCE 的平面角． 在Rt △ADE 中，AD ＝35，AE ＝3，DE ＝6， ∵AD ·EF ＝AE ·DE ， ∴EF ＝AE ·DE AD ＝3×635＝655.在Rt △EFG 中，FG ＝AB ＝35， ∴tan ∠EGF ＝EF FG ＝25.故二面角DBCE 的平面角的正切值为25.解法二：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD ⊥DE .∴CE 为圆O 的直径，即CE ＝9. 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，DE 2＝CE 2－CD 2＝81－a 2，在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2－AE 2＝a 2－9， 由81－a 2＝a 2－9，解得a ＝3 5.∴DE ＝AD 2－AE 2＝6.以D 为坐标原点，分别以ED ，CD 所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0,0,0），E （－6,0,0），C （0，－35，0），A （－6,0,3），B （－6，－35，3）．设平面ABCD 的法向量为n 1＝（x 1，y 1，z 1），则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·D A →＝0，n 1·D C →＝0，即⎩⎨⎧－6x 1＋3z 1＝0，－35y 1＝0，取x 1＝1，则n 1＝（1,0,2）是平面ABCD 的一个法向量．设平面BCE 的法向量为n 2＝（x 2，y 2，z 2），则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·E B →＝0，n 2·E C →＝0，即⎩⎨⎧－35y 2＋3z 2＝0，6x 2－35y 2＝0.取y 2＝2，则n 2＝（5，2,25）是平面BCE 的一个法向量． ∵cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝(1，0，2)·(5，2，25)1＋0＋4·5＋4＋20＝529，∴sin 〈n 1，n 2〉＝229. ∴tan 〈n 1，n 2〉＝25.故二面角DBCE 的平面角的正切值为25.【例4】 （1）证明：设点P 0（x 0，y 0）是函数f （x ）的图象上任意一点，其关于点⎝⎛⎭⎫12，14的对称点为P （x ，y ）． 由⎩⎨⎧x ＋x 02＝12，y ＋y 02＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－x 0，y ＝12－y 0，第 10 页 共 14 页 金太阳新课标资源网∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1－x 0，12－y 0. 由点P 0（x 0，y 0）在函数f （x ）的图象上，得y 0＝14x 0＋2.∵f （1－x 0）＝141－x 0＋2＝4x 04＋2·4x 0＝4x 02(4x 0＋2)，12－y 0＝12－14x 0＋2＝4x 02(4x 0＋2)， ∴点P ⎝⎛⎭⎫1－x 0，12－y 0在函数f （x ）的图象上． ∴函数f （x ）的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，14对称． （2）解：由（1）可知，f （x ）＋f （1－x ）＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫k m ＋f ⎝⎛⎭⎫1－k m ＝12（1≤k ≤m －1），即f ⎝⎛⎭⎫k m ＋f ⎝⎛⎭⎫m －k m ＝12. ∴a k ＋a m －k ＝12.由S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m －1＋a m ，① 得S m ＝a m －1＋a m －2＋…＋a 1＋a m ，② 由①＋②，得2S m ＝（m －1）×12＋2a m＝m －12＋2×16＝m 2－16， ∴S m ＝112（3m －1）．（3）解：∵b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n （b n ＋1），③∴对任意的n ∈N *，b n >0.④ 由③④得1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1，∴Tn ＝⎝⎛⎭⎫1b 1－1b 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1b n －1b n ＋1 ＝1b n －1b n ＋1＝3－1b n ＋1. ∵b n ＋1－b n ＝b n 2>0，∴b n ＋1>b n . ∴数列{b n }是单调递增数列． ∴T n 关于n 递增．∴当n ≥2，且n ∈N *时，T n ≥T 2. ∵b 1＝13，b 2＝13⎝⎛⎭⎫13＋1＝49， b 3＝49⎝⎛⎭⎫49＋1＝5281，金太阳新课标资源网∴T n ≥T 2＝3－1b 3＝7552.∴S m <7552，即112（3m －1）<7552.∴m <23839＝6439.∴m 的最大值为6. 针对训练 解：（1）设中低价房的面积形成的数列为{a n }， 由题意可知{a n }是等差数列， 其中a 1＝250，d ＝50.则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数， ∴n ≥10.∴到2018年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．（2）设新建住房面积形成数列{b n }， 由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·（1.08）n －1. 由题意可知a n >0.85b n ，有250＋（n －1）·50>400·（1.08）n －1·0.85.当n ＝5时，a 5<0.85b 5，当n ＝6时，a 6>0.85b 6， ∴满足上述不等式的最小正整数n 为6. ∴到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【例5】 解：（1）由b ＝21＋1，得b ＝2，∴又2a ＝4，∴a ＝2，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为（2，0），（－2，0）．（2）由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设M （x 0，y 0），N （－x 0，－y 0），P （x ，y ）．M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2.由题意知它们的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0. k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1. 故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.针对训练 解：由题设得A （－3,0），B （3,0），F （2,0）． （1）设点P （x ，y ），则|PF |2＝（x －2）2＋y 2，|PB |2＝（x －3）2＋y 2.金太阳新课标资源网由|PF |2－|PB |2＝4，得（x －2）2＋y 2－（x －3）2－y 2＝4，化简得x ＝92.故所求点P 的轨迹为直线x ＝92.（2）由x 1＝2，x 129＋y 125＝1及y 1>0，得y 1＝53，则点M ⎝⎛⎭⎫2，53，从而直线AM 的方程为y ＝13x ＋1；由x 2＝13，x 229＋y 225＝1及y 2<0，得y 2＝－209，则点N ⎝⎛⎭⎫13，－209， 从而直线BN 的方程为y ＝56x －52.由⎩⎨⎧y ＝13x ＋1，y ＝56x －52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103.所以点T 的坐标为⎝⎛⎫7，103. （3）由题设知，直线AT 的方程为y ＝m 12（x ＋3），直线BT 的方程为y ＝m6（x －3）．点M （x 1，y 1）满足⎩⎨⎧y 1＝m12(x 1＋3)，x 129＋y125＝1，得(x 1－3)(x 1＋3)9＝－m 2122·(x 1＋3)25.因为x 1≠－3，则x 1－39＝－m 2122·x 1＋35，解得x 1＝240－3m 280＋m 2，从而得y 1＝40m80＋m 2.金太阳新课标资源网点N （x 2，y 2）满足⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝m6(x 2－3)，x229＋y 225＝1，x 2≠3，解得x 2＝3m 2－6020＋m 2，y 2＝－20m20＋m 2. 若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m >0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D （1,0）．若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝40m80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2， 直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点（1,0）．【例6】 解：（1）因为f ′（x ）＝a (x 2＋b )－ax ·2x (x 2＋b )2，而函数f （x ）＝ax x 2＋b在x ＝1处取得极值2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a (1＋b )－2a ＝0，a 1＋b＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1.所以f （x ）＝4xx 2＋1即为所求．（2）由（1）知f ′（x ）＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝－4(x －1)(x ＋1)(1＋x 2)2.令f ′（x ）＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，则f （x ）的增减性如下表：可知，f （x ）的单调增区间是[－1,1]， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12m ＋1≤1m <2m ＋1⇒－1<m ≤0.所以当m ∈（－1,0]时，函数f （x ）在区间（m,2m ＋1）上单调递增． （3）由条件知，过f （x ）的图象上一点P 的切线l 的斜率k 为：金太阳新课标资源网k ＝f ′（x 0）＝4(1－x 02)(1＋x 02)2＝4×－1－x 02＋2(1＋x 02)2＝4⎣⎡⎦⎤2(1＋x 02)2－11＋x 02. 令t ＝11＋x 02，则t ∈（0,1]，此时，k ＝8⎝⎛⎭⎫t －142－12，由图象性质知：当t ＝14时，k min ＝－12； 当t ＝1时，k max ＝4.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，4. 针对训练 解：由函数f （x ）＝112x 4－16mx 3－32x 2，得f ″（x ）＝x 2－mx －3.（1）若函数f （x ）在区间（－1,3）上为“凸函数”，则有f ″（x ）＝x 2－mx －3<0在区间（－1,3）上恒成立，由二次函数的图象，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ f ″(－1)＝1＋m －3≤0，f ″(3)＝9－3m －3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ≥2，解得m ＝2.（2）当|m |≤2时，f ″（x ）＝x 2－mx －3<0恒成立⇔|m |≤2时，mx >x 2－3恒成立． 当x ＝0时，f ″（x ）＝－3<0显然成立；当x >0，x －3x <m ，因为m 的最小值为－2，所以x －3x <－2，解得0<x <1；当x <0，x －3x>m ，因为m 的最大值为2，所以x －3x>2，解得－1<x <0， 综上可得－1<x <1，（b －a ）max ＝1－（－1）＝2.。