分式的基本性质及运算复习讲义
1第一讲讲稿分式的概念、性质及运算(一)
第一讲 分式的概念、性质及运算（一）分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容． 解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：1．化整为零，分组通分； 2，步步为营，分步通分；3．减轻负担，先约分再通分； 4．裂项相消后通分等。
典型例题1.若a d d c cb b a ===，则dc b ad c b a +-+-+-的值是 0或-2 ． 点拨：引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系．设a d d c c b b a ====k,则d ak =，2c dk ak ==，3b ck ak ==，4a bk ak ==，有41k =，1k =±.当1k =时，a b c d ===，原式= 0；当1k =-时，原式= 2-.2.已知=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠=++y x z z x y z y x xyz z y x 11111100，则， -3 . 原式=3x x y y z z x y z y z x z x y x y z++++++++- =3x y z x y z x y z x y z++++++++-= 3- 3．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = . 点拨：由条件得323x x x =-.原式= 3- 4.已知432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． 解：设432z y x ==＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ．∴原式＝545443224322==+-⨯-⨯+k k k k k k k k ． 说明：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法．5.已知31=+xx ，的值求1242++x x x ． 分析： 1)1(111222224-+=++=++x x xx x x x ，可先求值式的倒数，再求求值式的值． 解：∵ 1)1(12224-+=++x x xx x 8132=-=， ∴ 811242=++x x x ． 6.已知13ab a b =+,14bc b c =+,15ac a c =+,求代数式abc ab bc ca++的值. 解: 由13ab a b =+,得3a b ab +=,即113a b+=……① 同理可得 114b c +=……②, 115a c+=……③①+②+③得22212a b c ++=, ∴1116a b c ++=， ∴6bc ac ab abc++=. ∴abc ab bc ca ++=16. 点拨:巧妙地取倒数是解答此题的关键.由此看来, 对于复杂的分式求值题应考虑从多个角度变形已知条件,当然,这离不开细致的观察、比较和日常方法的积累.7. 化简：2221113256712x x x x x x ++++++++ 分析： 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．解原式=111(2)(1)(3)(2)(4)(3)x x x x x x ++++++++ = 111111()()()122334x x x x x x -+-+-++++++ =1114x x -++= 2354x x ++ 说明 本题利用111()(1)1x n x n x n x n =-++++++将每个分式展开，这样前后两个分式就有可以相互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．8.化简：222223253452851223a a a a a a a a a a a a ++-----+--+++-- 分析：直接通分算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．解原式=222211236112a a a a a a a a +++++--+-++ 22362412626123a a a a a a a a -+----+--+-- =11(21)(3)12a a a a ⎡⎤⎡⎤++--+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 11(32)(22)23a a a a ⎡⎤⎡⎤-+-+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=1111()()1223a a a a -+-++-- =84(1)(2)(2)(3)a a a a a -+++-- 说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．9. 化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+ .(a ，b ，c 互不相等) 分析：本题的关键是搞清楚分式22a b c a ab ac bc ----+的变形，其他两项类似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解原式=()()()()()()()()()()()()a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b -+--+--+-++------ =111111a c a b b a b c c b c a+++++------=0说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用11A B AB A B +=+ 10. 若1abc =，求111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值。
新苏科版8下期末2014.6分式的基本性质及运算复习讲义(修改版)
八下期末复习讲义——分式的基本性质及运算一、知识梳理1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式A B叫做 。
2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。
3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。
4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式，分式的值 。
5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。
6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。
7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ；异分母的分式相加减，先 ， 再 。
8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。
9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的运算。
二、基础练习1、下列各式中，24,2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。
2、当x 时，分式31-+x x 有意义；当x 时，分式32-x x 无意义； 当x 时，分式392--x x 的值为零。
3、填空：（1）b a ab b a 2)( =+； （2）21()a a a c ++= ； （3）()()222x y x y x y+=≠-； 4、若分式1232-a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。
5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。
6、当2a =-时，求分式43a a +的值；7、约分：12122++-a a a8、计算：（3、4两小题写出最简公分母）（1）4233m m +-- （2）1122a a -+-（3）22222x x xx x +-⋅- （4）2222222x y x xy y x y x y -++⋅+-三、课后练习基础部分A ：1、填空：()b ab a =； 231()3xy x y =；2、化简112---a a ，其结果为（ ） A ．1+a B. 1-a C .a -1 D.1--a 3、化简1xx y x ÷⋅，其结果为（ ） A. 1 B.xy C.x y D.yx4、通分：)2)(1(++a a a ，31a +；5、计算：（1）22494n m nm --－2294m n m n +-； （2）2211x x x +÷-6、化简求值：22121-÷--a a a ，其中1a =。
分式-复习课件-(共34张PPT)
x2
1 x2
2
9
变: 已知 x2 – 3x+1=0 ,求 x2+
x
x
的1x2值. 的1x2 值.
变:已知 x+ 1=3 ,求
x
x2 /x2 的值. x4+x2+1 /x2
1
x2
1 x2
1
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子， 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达： a c ac b d bd
27xy2
-2(a-b)2 -8(b-a)3
关键找出分子和 分母的公因式
m2+4m+4
(3)
m2 - 4
关键找出分母的
2.通分
最简公分母
(1) x 与 y (2)
6a2b
9ab2c
a-1
6
a2+2a+1 与 a2-1
约分与通分的依据都是: 分式的基本性质
整体代入法化简思想：
【【例例11】】已已知知：：1x
a0 1
an
1
an
(a 0)
(1)(3)3 1 (3)3
1 27
(2)(3a)2 b2 (a2b2 )3 解：原式= 32 a2b2 a6b6
6、用科学记数法表示：
例： 0.00065 6.5104
(1) 0.000030
3.0 105
7、约分
:
例(1)
6x2y 12 xy 2
(2) x 1 2x 1 3x 2 x 1 1 x x 1
复习回顾一:
1.解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
2.解分式方程的一般步骤
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
《分式的乘除》 讲义
《分式的乘除》讲义一、分式的概念在开始学习分式的乘除运算之前，我们先来了解一下什么是分式。
如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 不能为 0，因为除数不能为 0。
例如，1/x 就是一个分式，而 2/3 虽然形式类似，但由于分母 3 是常数，不含有字母，所以它不是分式。
二、分式的基本性质分式的基本性质是分式运算的重要依据。
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）例如，对于分式 2/3x，如果分子分母同时乘以 2，就变成 4/6x，分式的值不变。
利用分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分。
约分是把一个分式的分子和分母的公因式约去，使分式化为最简分式或整式。
通分是把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母分式。
三、分式的乘法分式的乘法法则为：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。
用式子表示为：（A/B)×（C/D) ＝ AC/BD例如：（2x/3y)×（5y/7x) ＝（2x×5y)／（3y×7x) ＝ 10xy/21xy在进行分式乘法运算时，先约分再相乘可以简化计算。
四、分式的除法分式的除法法则为：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
用式子表示为：（A/B)÷（C/D) ＝（A/B)×（D/C) ＝ AD/BC例如：（4x/5y)÷（8y/15x) ＝（4x/5y)×（15x/8y) ＝ 6x²/y²同样，在进行分式除法运算时，也可以先将除法转化为乘法，然后进行约分和计算。
五、分式乘除的应用分式的乘除在实际生活中有很多应用。
分式讲义
一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a+⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸n nna ab b⎛⎫=⎪⎝⎭（n是正整数）⑹1nnaa-=（0a≠，n是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
《分式总复习》课件
经典例题解析
例题一
计算 $frac{x}{x + y} + frac{y}{x - y} frac{2xy}{x^2 - y^2}$。
解析
首先将所有项的分母统一 为 $(x + y)(x - y)$，然后 进行约分和加减运算。
解析
根据已知条件，通过等式 的性质和分式的加减法进 行证明。
特点
通常形式为 ax/b = c (其中 a、b、c 是已知数，b ≠ 0)。
复杂分式方程
定义
复杂分式方程是含有多个分式的 方程。
特点
通常形式为 f(x)/g(x) = h(x)/i(x) ( 其中 f(x)、g(x)、h(x)、i(x) 是多项 式函数)。
解法
通过消去分母，将方程转化为整式 方程或使用其他数学方法求解。
约分和通分是分式中的重要概念 ，但学生常常难以理解和掌握。 约分是将分子和分母中的公因式 约去，通分则是将两个或多个分
式化为同分母。
分式的加法与减法
在进行分式的加法和减法时，需 要寻找分母的公倍数，将分母统 一后再进行计算。这一过程对学
生来说较为复杂，容易出错。
分式的乘法与除法
在进行分式的乘法和除法时，需 要寻找分子和分母的公因式，进 行约分后再进行计算。这一过程
分式的性质
总结词
分式具有一些重要的性质，这些性质包括基本性质、等价变换性质和运算性质。
详细描述
分式的基本性质是分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零整式；等价 变换性质是分式的等价变换不改变分式的值；运算性质是分式的加、减、乘、除 等运算应先进行括号内的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。
分式的约分与通分
分式讲义
分式讲义【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2一、分式定义题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有：题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.二、分式的基本性质1．分式的基本性质：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.对应训练1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 2．下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a bc c-++=-; ④m n m nm m ---=-中,成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 3．不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+4．分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-．6．通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -．7．已知13x x +=，求2421x x x ++的值．8．下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b--，23x -，0•中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ______；是有理式的有___ ______． 9．下列分式，当x 取何值时有意义．（1）2132x x ++； （2）2323x x +-．3．下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x +4．当x ______时，分式2134x x +-无意义．5．当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零．6．当x ______时，分式435x x +-的值为1；当x _______时，分式435x x +-的值为1-．7．分式24xx -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 8．有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1xπ-中，是分式的有（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 9．分式31x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若13a -≠时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零10．当x _______时，分式15x -+的值为正；当x ______时，分式241x -+的值为负． 11．下列各式中，可能取值为零的是（ ） A ．2211m m +- B ．211m m -+ C ．211m m +- D ．211m m ++12．使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1± 13．已知123x y x-=-，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．三、分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算： （1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；输入n 计算n （n+1）n>50 Yes No 输出结果m （2）已知：432zy x ==，求22232zy x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.四、分式其他类型试题：例1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，……． 根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数）例2： 观察下面一列分式：2345124816,,,,,...,x x x x x---根据你的发现，它的第8项是 ，第n 项是 。
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分式的基本性质及运算复习
班级 姓名
一、知识梳理
1、一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式A B
叫做 。
2、分式的 时，分式有意义；分式的 时，分式的值为0。
3、用具体的数值代替分式中的字母，按照分式的运算关系计算，所得的结果就是 。
4、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 的整式， 分式的值 。
5、根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分。
6、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的 。
7、同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ；
异分母的分式相加减，先 ， 再 。
8、分式乘分式,用 的积做积的分子，用 的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相 。
9、分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 ，如果有括号，先进行括号内的运算。
二、基础练习
1、下列各式中，2
4,2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。
2、当x 时，分式31-+x x 有意义；当x 时，分式3
2-x x 无意义； 当x 时，分式3
92--x x 的值为零。
3、填空：（1）b
a a
b b a 2)( =+； （2）x x xy x )(22 =+； （3）222)(xy y xy = ； （4）21()a a a
c ++= ； （5）()n mn m m =+2 ； （6）()()222x y x y x y +=≠-；
4、若分式12
32
-a a 的值为负数，则a 的取值范围为 。
5、请你写一个关于x 的分式，使此分式当3=x 时，它的值为2。
6、分式11+x 、12
x -的最简公分母是 。
7、当2a =-时，求分式43a a
+的值； 8、约分：12122++-a a a
9、计算：
（1）
4233m m +-- （2）1122
a a -+-
（3）22222x x x x x
+-⋅- （4）2222222x y x xy y x y x y -++⋅+-
三、例题选讲.
例1、（1）已知2-=x 时，分式a
x b x +-无意义，4=x 时，分式的值为零， 则a b += ；
（2）若把分式22y
x y x -+中的字母x 和y 同时变为原来的3倍，分式的值 ； （3）当整数m = 时，分式1
4+m 的值是整数。
例2、计算：（１）154222
a a a -++-+； （2）222412()2144x x x x x x x ---⋅-+-+
例3、化简求值：1a
a a a a 21122+-÷--，其中2=a .
例4、已知：10a +>
（1）计算：112a a a a +-++； （2）比较1a a +与12
a a ++的大小。
四、课后练习
基础部分：
1、填空：()b ab
a =； 231()
3xy x y =；
2、化简112
---a a ，其结果为（ ） A ．1+a B. 1-a C .a
-1 D. 1--a
3、化简1x
x y x ÷⋅，其结果为（ ） A. 1 B.xy C.x y D.
y x 4、通分：)2)(1(++a a a ，3
1a +；
5、计算：（1）22494n m n
m --－2294m n
m n +-； （2）221
1x x x +÷-
6、化简求值：22
1
21
-÷--a a a ，其中1a =。
提高部分
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后括号内）
1．下列各式中与分式a
a b --的值相等的是（ ）.
（A）
a
a b
--
(B)
a
a b
+
(C)
a
b a
-
(D)
a
b a
-
-
2．如果分式
21
1
x
x
-
+
的值为零，那么x应为（）.
（A）1 （B）-1 （C）±1 （D）0
3．下列各式的变形：①
x y x y
x x
-+-
=；②
x y x y
x x
-++
=-；③
x y x y
y x x y
-++
=
--
；
④y x x y
x y x y
--
=-
++
．其中正确的是（）.
（A）①②③④（B）①②③（C）②③（D）④
4．计算
2
2
16
(4).
816
x
x
x x
-
-
-+
的结果是（）.
（A）x+1 (B)-x-4 (C)x-4 (D)4-x
5．分式
2
1
,,
234
b x
a b ab
的最简公分母是（）.
（A）24a2b3 (B)24ab2 (C)12ab2(D)12a2b3
6．如果分式
111
a b a b
+=
+
，那么
a b
b a
+的值为（）.
（A）1 （B）-1 （C）2 （D）-2
7．已知实数a，b满足ab-a-2b+2=0，那么
a b
ab
+
的值等于（）.
（A）
3
2
（B）
2
2
b
b
+
（C）
1
a
a
+
（D）
321
22
b a
b a
++
或或8．如果把分式
x
x y
+
中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）.
(A)扩大3倍 (B)不变 (C)缩小3倍 (D)缩小6倍
二、填一填
9．在代数式
22
11(1)
,,,,5,,9,
31
a b b a b x
x
a a
b y x
π
++
+
-+
中，分式有个．10．当x= 时，分式
2
x x
x
-
的值为0．
11．已知
2
2222
2
M xy y x y
x y x y x y
--
=+
--+
，则M= ．
12．不改变分式的值，使分子、分母首项为正，则 x y x y
-+--= ． 13．化简：22
ax ay x y +-＝ ． 14．已知11x -有意义，且2111
A x x =--成立，则x 的值不等于 ． 15．计算：2
23.9y xy x
-= ． 三、做一做
16．约分
（1）343233220aby z a y z - （2）22969
x x x -++.
17．通分
（1）
22x y x y -+与2()xy x y +； （2）2249mn m -与2323m m -+.
18．已知
234x y z ==，求23452x y z x y ++-的值．
19．计算：
1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)
x x x x x x x x +++++++++++.。