分式的基本性质
初中数学《分式的基本性质》教案
初中数学《分式的基本性质》教案一、教学内容本节课选自初中数学教材第九章第二节，主要详细讲解分式的基本性质。
内容包括分式的定义、分式的基本性质、分式的简化以及分式在生活中的应用等。
二、教学目标1. 理解并掌握分式的定义，能够识别并运用分式的基本性质。
2. 学会简化分式，并能运用简化后的分式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：分式的基本性质的理解与应用。
教学重点：分式的定义、简化分式的方法以及分式的实际应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、教学课件。
2. 学具：学生用书、练习本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用生活中的例子（如水果分配、时间计算等）引出分式的概念。
2. 知识讲解（1）分式的定义：讲解分式的构成，分子、分母、分数线等。
（2）分式的基本性质：讲解分式的分子分母同乘（除）一个不等于0的数，分式的值不变。
（3）简化分式：讲解如何将分式简化，并举例说明。
3. 例题讲解结合教材例题，详细讲解分式的简化过程。
4. 随堂练习（1）让学生独立完成练习题，巩固分式的简化方法。
（2）小组讨论，解决实际问题，培养学生的合作意识。
5. 课堂小结六、板书设计1. 分式的定义2. 分式的基本性质3. 简化分式的步骤4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目2x^2 / 4x, (x+1)^2 / (x+1), 6x^3 / 3x^2（2）运用分式的性质，解决实际问题。
2. 答案（1）简化后的分式分别为：x / 2, x+1, 2x（2）实际问题答案根据具体情况而定。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生探索分式在生活中的其他应用，提高学生的创新意识和应用能力。
重点和难点解析1. 分式的基本性质的理解与应用。
2. 简化分式的方法。
3. 实际问题的解决。
4. 板书设计。
5. 作业设计与答案。
一、分式的基本性质的理解与应用分式的分子分母同乘（除）一个不等于0的数，分式的值不变。
分式的基本性质
在研究溶液的酸碱度时，分式经常被用来表示氢离子浓度和溶液的酸碱度之间的关系，帮 助我们更好地理解溶液的酸碱性质。
在数学中的应用
极限
在研究函数的极限时，分式经常被用 来表示函数的极限值和自变量之间的 关系，帮助我们更好地理解函数的极 限概念和性质。
导数
在研究函数的导数时，分式经常被用 来表示函数的导数值和自变量之间的 关系，帮助我们更好地理解函数的导 数概念和性质。
分式与分数的转换方法
将分式转换为分数
将分式的分子和分母分别表示为两个整数的比值，然后将它们转换为分数。
将分数转换为分式
将分数中的分子和分母分别表示为两个整数的比值，然后将它们转换为分式。
分式与分数的运算关系
加减法
分式与分数的加减法运算需要将 分母相同的分式进行合并，然后 将分子相加减。
乘法
分式与分数的乘法运算需要将分 子与分子相乘，分母与分母相乘 ，然后将结果相乘。
2023
分式的基本性质
目 录
• 分式概念 • 分式的基本性质 • 分式的特殊情况 • 分式与分数的关系 • 分式的实际应用
01
分式概念
分式的定义
定义
分式是不同于整式的另一种代数 形式，通常由一个分母和一个或 多个分子组成。分母通常是一个 整式，分子可以是整式或多项式 。
数学符号表示
一般用"f(x)/g(x)"表示一个分式 ，其中f(x)是分子，g(x)是分母。
简单分式与复合分式
根据分式的结构，将分式分为简单分式和复合分式。简单分式是指分子和分母没有公因式的分式；复合分式是指分子和分 母有公因式的分式。
分式的作用与意义
描述关系
分式常用于描述两个量之间的比例关系，这种关系在科学、工 程、经济和其他领域中非常重要。
分式的基本性质
根据分式的基本性质，可以得到：
a a b b
a a b b
这就是说，分子与分母同时改变符号，分式的值不变。
根据有数的除法法则，我们知道：
2 2 3 3
分式也有类似法则：
2 2 3 3
a a b b
a a b b
这就是说，只改变分子（或分母）的符号，分子本身的符号也要改 变，分式的值才不变。
x y （3） （4） ax 5 y ( x y) bx
分析：分子或分母符号的改变相当于分子与分母的商的符号的改变，可通过改 变分式本身的符号，使分式的值不变。当分子或分母是多项式时，应改变整个 分子或分母的符号，而不是仅仅变第一项的符号。
例题2 不改变分式的值，把下列分式 的分子与分母的各项系数都化为整数：
（1）
x x2 4
（2）
x 1 1 x x2
分析：要使分式的分子与分母的最高次项的系数为正数，一般先将分子，分母 的多项式按降幂排列，如果分子，分母的首项是负数，那么就提出负号，然后 按符号法则运算。
（1）2 a
2 a b 3 2 b 3
（2） 0.01x 0.5 0.3 x 0.04
分析：要把分子，分母的各项系数都化为整数，首先要求出分子，分母中所有 分数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子，分母同乘以这 个最小公倍数。
例题3 不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母的最高次项的系数都为正数：
①分子与分母同时改变符号， 分式的值不变。 ②只改变分子（或分母）的 符号，分子本身的符号也要 改变，分式的值才不变。
概括：分子，分母与分式本身 的符号，改变其中任何两个， 分式的值不变。
分式的基本性质
解分式方程 $\frac{x}{2} - \frac{3x}{4} = 1$
解
将方程两边同时乘以4，得 $2x + 3 = 7$，解得 $x = 2$。
解
将方程两边同时乘以4，得 $2x - 3x = 4$，解得程的步骤 • 整理方程：将方程中的分式转化为整式，通过通分、约分等方式简化方程。 • 确定未知数的值或取值范围：根据简化后的方程，确定未知数的值或取值范围。 • 检验：将求得的未知数的值代入原方程进行检验，确保方程的根的正确性。 • 注意事项 • 在解分式方程时，需要注意方程的化简和约分，避免出现计算错误。 • 在求出未知数的值或取值范围后，需要进行检验，确保根的正确性。 • 当方程的根的个数多于1个时，需要注意解的取舍，确保得到正确的解。
分式除法是指一个分式除以另一 个分式。在进行分式除法时，需 要将除数的分子和分母颠倒，然 后将颠倒后的除数与被除数相乘 。
分式的运算性质应用举例
求解分式方程
通过使用代入消元法或加减消元法，可以将分式方程转化为整式方程，从而求解出未知数的值。
简化分式
通过使用分式的加法、减法、乘法和除法，可以将一个复杂的分式简化成一个简单的分式。
分数的定义可以扩展到复数范围， 但在高中数学中通常只涉及有理数 分式的讨论。
分式的形式
1 2
最简分式
分子和分母没有公共因子，且分子和分母的最 高次数相同。
真分式
分子和分母都是多项式，且分子和分母的次数 不同。
3
假分式
分子和分母的次数相同，或分子和分母有公共 因子。
分式的基本性质
分式的值不等于零
分式的值是分子与分母相除的结果，当分母为零时，分式 的值不存在，即分式不等于零。
《分式的基本性质》 知识清单
《分式的基本性质》知识清单一、分式的概念如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 的值不能为 0，因为分母为 0 时，分式无意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1）／（x 2）都是分式，而 1/2 就不是分式，因为它的分母 2 不含字母。
二、分式有意义、无意义和值为 0 的条件1、分式有意义的条件：分母不为 0。
即当B ≠ 0 时，分式 A/B 有意义。
例如：对于分式 1/（x 1)，当x 1 ≠ 0，即x ≠ 1 时，分式有意义。
2、分式无意义的条件：分母为 0。
即当 B ＝ 0 时，分式 A/B 无意义。
比如：对于分式 2/（x ＋ 3)，当 x ＋ 3 ＝ 0，即 x ＝－3 时，分式无意义。
3、分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0。
即当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式 A/B 的值为 0。
举例来说，若分式（x 2）／（x ＋ 5）的值为 0，则 x 2 ＝ 0 且 x＋5 ≠ 0，解得 x ＝ 2。
三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C ，A/B ＝ A÷C/B÷C （C ≠ 0）例如：分式2/3 ，分子分母同时乘以5 得到10/15 ，分式的值不变。
又如：分式 10/15 ，分子分母同时除以 5 又变回 2/3 。
四、约分1、定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2、约分的关键：确定分子与分母的公因式。
公因式的确定方法：（1）系数：取分子和分母系数的最大公因数。
（2）字母：取分子和分母相同字母的最低次幂。
例如：对于分式 8x/12x²，系数的最大公因数是 4，相同字母 x 的最低次幂是 x，所以公因式是 4x ，约分后得到 2/3x 。
分式的基本性质(约分)
10 x + 1) （ 原式 = ( x + 1)( x − 1)
10 = x −1
经讨论可知： 可为 可为2、 、 、 经讨论可知：x可为 、3、6、11分
作 业：
第9页：6
2
公分母8a 公分母 2b2
(3)
− 15(a + b ) 5(a + b) ⋅ 3(a + b) 3(a + b) 3a + 3b = = = − 25(a + b ) 5(a + b) ⋅ 5 5 5
公分母 5（a+b） （ ）
化简下列分式(约分 化简下列分式 约分) 约分
x + 2x +1 (4) x2 + x
2
约分的步骤
（1）约去系数的最 ） 大公约数 （2）约去分子分母 ） 相同因式的最低次幂
=
( x + 1) x( x + 1)
2
=
x +1 x
在约分化简时同学甲和同学 乙出现了分歧 同学甲
5xy 5xy 1 同学乙 = = 2 20x y 4x ⋅ 5xy 4x
你更认同哪个同学的解法呢？为什么？ 你更认同哪个同学的解法呢？为什么？
例题讲解2: 约分练习 例题讲解
− 8ab c − 4ab × (2bc) = 1、 = 2 − 4ab × (3a ) − 12a b
2
a 2、
+ 4a + 4 − a2 + 4 (a + 2)2 = 2 − (a − 4)
2
2 bc 3a
友情提示:约分时 分 友情提示 约分时,分 约分时 子或分母若是多项式, 子或分母若是多项式 能分解则必须先进行 因式分解. 因式分解
分式的基本性质与运算
分式的基本性质与运算1. 分式的基本性质分式是数学中一种特殊的表示形式，由分子和分母组成，分子与分母之间用分数线分隔。
分式在代数运算中有着重要的地位，它具备以下基本性质：1.1. 分式的定义域分式的定义域是指使分式中的分母不为零的实数集合。
因为在分式运算中，分母为零的情况是不合法的，会导致分式无法计算。
所以在定义分式运算时，需要排除分母为零的情况。
1.2. 分式的约束条件分式的约束条件是指对分子和分母的进行约束，使分式保持在最简形式。
一个约束条件是分子与分母的最大公约数为1，即分子和分母没有共同的因子。
另一个约束条件是分式的分子没有负号，而负号只出现在分式的整体前面。
1.3. 分式的唯一性分式在满足定义域和约束条件的前提下，具备唯一性。
即给定一个分式，它的分子和分母确定后，分式的值也就确定了。
这个性质在分式的运算中是非常重要的，保证了分式的计算结果是确定的。
2. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
下面分别对这四种运算进行讨论。
2.1. 分式的加法两个分式的加法可以通过通分的方式来实现。
通分是指使两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加。
通分的方法是将两个分式的分母取最小公倍数，然后分别将分子乘以相应的倍数。
最后得到的分式就是它们的和。
2.2. 分式的减法分式的减法与加法类似，也可以通过通分来实现。
通分的方法与加法相同，只是将分子相减而不是相加。
最后得到的分式就是它们的差。
2.3. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子相乘，分母相乘来实现。
最后得到的分式就是它们的乘积。
2.4. 分式的除法分式的除法可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的倒数来实现。
倒数是指将分子和分母交换位置得到的新的分式。
最后得到的分式就是它们的商。
3. 分式的简化与展开在分式的运算中，有时需要将分式进行简化来得到最简形式。
分式的简化可以通过约分来实现，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
《分式的基本性质》 知识清单
《分式的基本性质》知识清单一、分式的概念形如\（＼frac{A}｛B}＼）（＼（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母，＼（B≠0\））的式子叫做分式。
其中\（A\）叫做分子，＼（B\）叫做分母。
例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{1}｛x ＋ 2}＼），＼（＼frac{m 1}｛m^2 ＋ 1}＼）等都是分式。
需要注意的是：1、分式的分母中必须含有字母。
2、分母的值不能为零，否则分式无意义。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
例如，对于分式\（＼frac{x}｛y}＼），当\（y≠0\）时，分式有意义。
对于分式\（＼frac{1}｛x ＋ 2}＼），当\（x ＋2≠0\），即\（x≠ 2\）时，分式有意义。
三、分式的值为零的条件分式的值为零，需要同时满足两个条件：1、分子为零。
2、分母不为零。
例如，对于分式\（＼frac{x 1}｛x ＋ 1}＼），当\（x 1 ＝ 0\）且\（x ＋1≠0\）时，分式的值为零。
解得\（x ＝ 1\）。
四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于\（0\）的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A×C}｛B×C}＼），＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A÷C}｛B÷C}＼）（＼（C≠0\））例如：＼（＼frac{x}｛y} ＝＼frac{x×2}｛y×2} ＝＼frac{2x}｛2y}＼）五、约分约分是把一个分式的分子与分母的公因式约去。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
找公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式\（＼frac{6xy}｛9x^2}＼）进行约分。
先确定系数的最大公因数为\（3\），字母\（x\）的最低次幂为\（1\），＼（y\）的最低次幂为\（1\）。
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转化 分式除法
乘法
例2 （课本P11） 计算:
(1)
a2 a2
? ?
4a 2a
? ?
4 1
?aa2
?1 ?4
(2)
1 49? m2
?
m2
1 ? 7m
这道例题的分式的分子、分母是多项 式，应先把多项式分解因式，再进行约 分.结果的分母如果不是单一的多项式， 而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
最后的结果应是最简分式或整式
2 ? b 3a ? 9
3x2 y ?7a 2b ? 14 xb 4ab 2 6xy a
4 ? a2 ? a ? 2 ?a ? 2 4 ? 4a ? a 2 2a ? 4 a ? 1
a2 ? 4 ? a2 ?1 a 2 ? 2a ? 1 a 2 ? 4a ? 4
y2 ? 6 y ? 9 ? (3 ? y) y? 2
3b 2 ? bc ?(? 2a ) 16a 2a 2 b
可以互相讨论下，但要小声点
9
（三）例题设计
例1（课本P11）计算:
(1)
4x 3y
?2yx3
(2)
ab 3 2c2
?
?
5a 2b2 4cd
例1 （课本P11）计算:
(1)
4 3
x y
? 2
y x3(Βιβλιοθήκη )ab 3 2c 2?
?
5a 2b2 4 cd
? 这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进
行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简， 还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运 算符号，在计算结果 .
用字母表示为：
A ? A?C A ? A? C （C≠0） B B， ?C B B ? C
2、分式的约分
（1）把一个分式的分子和分母的公因式 约去,不改变分式的值，这种变形叫做分 式的约分。
（2）如果分式的分子或分母是多项式,先 分解因式，再约去公因式.
（二）类比与归纳
根据分数的乘除法的法则计算：
2x ? 6 4 ? 4x ? 4 x2
?
(x ? 3) ?(x ? 3)(x ? 2) 3? x
? 8x2 y4 ? 3x
?
(?
x2 y )
4y6
6z
y2 ? 4 y ? 4 ? 1 ? 12 ? 6 y 2y ? 6 y ? 3 9 ? y2
a 2 ? 6a ? 9 ? 3 ? a ? a 2
4 ? b2
? ? 例3（补充）计算:
m2 ? 16 ? m2 ? 4m 12 ? 3m
这道例题是分式除以整式，类比有理 数除法的运算法则，除以一个数，等于 乘以这个数的倒数.
整式可以看作分母为1
例4(课本P13) 计算:
2x ? 5x? 3
3 ?x 25x2 ? 9 5x ? 3
(乘除按从左到右顺序)
(乘除混合运算，统一为 乘法运算)
（六）课堂作业 课本P27习题16.2第1(2)(4)、2(2)、3题
3x ?16 y2 8 y 27x2
xy2 ? ? 3x2 y2 2z2 4az 2
3ab 2 2x3 y
?(?
8xy 9a 2b
)
?
3x (? 4b)
2x ? 6 ?2x ? 4 x2 ? 4x ? 4 x ? 3
x2 ? 9 y2 ? x ? 3y x2 ? 6xy ? 9 y2 3x2 ? 9xy
a? c ?? bd
分式乘分式，把分子的积作为积的分子， 分母的积作为积的分母。
用符号语言表达： a ? c ? ac b d bd
a? c ?? bd
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒 位置后，与被除式相乘。
a
用符号语言表达：
?
c
?
a
?
d
?
ad
b d b c bc
大家有疑问的，可以询问和交流
第2课时
第5课时 16.2.1 分式的乘除
（一）教学目标
理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运
（算二. ）教学重点、难点
重点：分式乘除法的混合运算
难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算
突破难点的方法： 类比的方法得出分式的基本性质，使学生在理解
的基础上灵活地将分式变形 .
（四）教学过程六环节
（一）创设情景（复习+问题）
（二）形成概念（类比 +归纳） （三）例题设计（原 1+补3） （四）配套练习（课本 P4+补充）
（五）归纳小结（ 3点+1个） （六）课后作业（课本 P8-1,2,3,8,13)
（一）复习回顾
1.分式的基本性质： 一个分式的分子与分母同乘（或除以） 一个 不为0的整式 ，分式的值 ___不__变______
例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、 变号法则是学生学习中重点，也是难点， 故补充例题，突破符号问题.
（四）课堂练习
1.课本P13第2(1)(2)、3 2.（补充）计算：
a 2 ? 6a ? 9 ? 3 ? a ? a 2 4 ? b2 2 ? b 3a ? 9
3.计算 （课本P13）
（1）
3a ? 3b 10ab
?
25a 2b3 a 2 ? b2
（2）
x2 ? 4 y2 x2 ? 2xy? y2
?
x? 2y 2x2 ? 2xy
（3） 4 x2 ? 4 xy ? y2 ?（4 x2 ? y2）
2x? y
（五）归纳小结
1.分式的乘法法则和除法法则 2. 分式除法转化为乘法； 3.分式的分子分母都是多项式的, 先把多项式 进行因式分解,再约分,化为最简分式； 4.如果除式是整式,则把它的分母看做”1”.
（1） 2? 4 35
（2） 2 ? 4 35
2 ? 4＝2? 4 3 5 3? 5
2 ? 4＝2? 5＝2? 5 3 5 3 4 3? 4
【分数的乘除法法则 】
两个分数相乘 , 把分子相乘的积作为积的分子 , 把分母相乘的积作为积的分母 .
两个分数相除 , 把除式的分子分母颠倒位置后 , 再与被除式相乘 .