一阶非齐次线性微分方程
一阶非齐次线性微分方程解的结构
一阶非齐次线性微分方程解的结构
结构方程是描述系统的物理性质的最基本的数学表达式，它是系统的命令和动态解释的基础。
一阶非齐次线性微分方程(FLDE)是微分方程在研究系统动态性质时最常用的工具。
一
阶非齐次线性微分方程的特点是它的形式简单，只包含一阶阶导及一元函数，可以用来描
述动态系统的行为特征，但也可以用来描述更复杂的系统结构。
一阶非齐次线性微分方程的一般形式：
$$No\quad x n+1= A x n +B$$
其中，$x_n$是描述状态的变量，$A$是系统状态及输入之间的关系的系数矩阵，$B$是系
统的输入矩阵。
借助此方程，可以分析出对系统状态$x_n$有效控制的方法。
状态$x_n$可以通过输入信号$B$控制，当$B$设置为一个特定的值时，状态$x_n$可以驱动系统实现所需的结果。
在控制理论中，一阶非齐次线性微分方程可以用来解决调节问题，特别是用来设计控制器，从而控制系统的输出。
对系统控制有很大的作用，特别是通过控制控制任务，实现自动控
制的需要。
另外，一阶非齐次线性微分方程可以用来处理系统的不稳定性动态，例如系统的振荡运动，以及系统的偏差问题，从而使系统达到稳定的状态，从而提高系统的精度和准确性，确保
系统的正常运行。
总之，一阶非齐次线性微分方程在系统结构分析、动态控制和稳定性问题处理方面都有重
要用途。
它不仅有可解释性，而且能够处理复杂的系统动态，提高系统的稳定性，为系统
控制提供有效的解决方案。
(整理)一阶线性非齐次方程解法推倒.
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如 ()()dyP x y Q x dx+= (1)的方程称为一阶线性方程.这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上是连续的.当()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dyP x y dx+= (2)方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解. 形如 ()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3)的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解. 2 主要结果定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()n ndy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦(4)则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(4)化为 ()()()nn d F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+=()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+=(6)则它的通解为 1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (7)定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0n ndy F x F x y dx⎡⎤+=⎣⎦(8)则它的通解为 ()nCy F x =(9) 证明 在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证. 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 则它的通解为 ()Cy F x = (11)定理3 若一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12)当1n =时,其通解为[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰(13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上是连续的. 证明 若1n =,方程(12)变为 ()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= (15)此方程为可分离变量的微分方程.分离变量得[]()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式.若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln ()nz F y -=,则定理3 若一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+=(0,1)n ≠(12)则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+=[]()()n d F x y y Q x dx =方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式'()()()n n n dy F x F x y Q x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明 将方程(12)化为 ()()()n nn d F x dy F x y Q x y dx dx ⎡⎤⎣⎦+= 方程两端除以n y ,得到 1()()()nn nn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.。
一阶线性非齐次微分方程
一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程是微分方程中的一种重要类型，它具有以下形式：$$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$$其中，$P(x)$和$Q(x)$是已知的函数。
解一阶线性非齐次微分方程的方法是利用积分因子法和常数变易法。
一、积分因子法对于形如$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$的一阶非齐次线性微分方程，我们可以通过引入积分因子$\mu(x)$将其转化为齐次线性微分方程。
而积分因子$\mu(x)$的选择与方程的系数有关。
对于一阶线性非齐次微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$，我们可以选择积分因子$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$。
这样，原方程可以变形为$\frac{{d}}{{dx}}(e^{\int P(x) dx}y) = e^{\int P(x) dx}Q(x)$。
通过对上述方程两边同时积分，可以得到解$y = e^{-\int P(x)dx}(\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx + C)$，其中$C$为任意常数。
二、常数变易法对于一阶线性非齐次微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$，我们可以通过常数变易法来求解。
假设原方程的解为$y = u(x)v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$是待定的函数。
利用求导法则，将$y = u(x)v(x)$代入原方程，可以得到$u'(x)v(x) +u(x)v'(x) + P(x)u(x)v(x) = Q(x)$。
将上式重新整理，可以得到$u(x)v'(x) + u(x)P(x)v(x) = Q(x) -u'(x)v(x)$。
根据等式两边函数对$x$的导数的性质，我们可以得到$u(x)v'(x) =Q(x) - u'(x)v(x) - u(x)P(x)v(x)$。
一阶非齐次线性微分方程
一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程是根据一定的条件，求解一元非齐次线性微分方程的一种数学方法。
它对应于求解非齐次线性微分方程：\frac{dy}{dx} + p(x) y = f(x)其中，p(x)与f(x)是任意给定的函数。
一、一阶非齐次线性微分方程特点1、一阶非齐次线性微分方程不仅比较容易，而且可以解决实际问题的微分方程问题；2、与一阶齐次线性微分方程的求解不同，一阶非齐次线性微分方程的求解不能利用特殊函数完全解出，需要转向积分法；3、一阶非齐次线性微分方程的求解，应考虑到它的特殊性，即方程的右面f(x)变化，此时，无穷多的解中，只有一个满足某种条件的解能够成功使空间内满足它对应的微分方程；4、在计算实际问题时，首先应考虑到它在初值条件上的解，再将次解代入到微分方程中，以满足微分方程的求解。
二、求解一阶非齐次线性微分方程的方法1、逻辑划分法：首先将一阶非齐次线性微分方程表示为一组数字方程，然后把它分解为两个独立系统，一组求解未知函数的数学方程，一组求解未知函数的微分方程；2、背景计算：即首先确定方程的右边形式，以及它的特殊解，然后考虑满足初始条件的解，以此计算出未知变量；3、数值求解法：将微分方程化为差分方程，采用某种数值近似方法，求得近似解；4、积分法：即采用某种泰勒展开的方法，将某个特定的范围上的特殊方程拆分为无穷多的更简单的抽象型方程，然后利用这些方程的积分来求一阶非齐次线性微分方程的解。
三、案例讲解下面我们以一元非齐次线性微分方程：\frac{dy}{dx} + 4y = x^3初值y(1)=0为例，来讲解一阶非齐次线性微分方程的解法。
1、逻辑划分法：将上述微分方程数学形式转换成数学形式：\frac{dy}{dx} + 4y = x^3可以划分为两个系统：第一组求解未知函数的微分方程：\frac{dy}{dx} + 4y =0第二组求解未知函数的方程：y = \frac{x^3}{4}2、背景计算法：接下来，我们来考虑满足初始条件的解。
一阶线性非齐次方程求解
一阶线性非齐次方程求解
一阶线性非齐次方程是特殊的一阶微分方程，该方程有解析解。
它
一般表示为y'+P(x)y=Q(x)，其中P(x),Q(x)为任意可微分函数，y为未
知函数。
求解该方程需要要满足如下条件：
（1）首先要判断方程的积分因子是否存在，如果存在，可以用变量变
换解决；
（2）如果积分因子不存在，则可以采用Fredholm定理或某种分离变量技巧；
（3）最后可以尝试特殊解法，即双曲函数解，或采用线性阶梯积分法；
（4）有些可以将非齐次方程分解成N个适当变量形式，用级数方法求
解该系统不定方程，然后再得到解析解；
（5）另外还可以利用不定积分来求解，它只能是非齐次的线性方程，
将大的非齐次现象转化为一系列小的非齐次问题连续求解；
（6）有一种求解方法是将一阶线性非齐次方程转化成常微分方程组，
再用通用积分技巧求解；
（7）然后可以考虑Green函数的方法，就是用Green函数的概念，用
合适的积分形式得到解析解；
（8）最后可以采用拉格朗日法，它用于求解无解或解不存在的非齐次方程，它可以将线性方程组转化为容易求解的系统等价方程。
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0,则方程称为齐次的;如果Q x()不恒等于零,则方程称为非齐次的。
a)首先,我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次,我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x(),即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() , '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于就是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之与y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。
解:]23)1([1212dx e x c ey dx x dxx ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知,若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需套用公式。
以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如()()dyP x y Q x dx+= (1) 的方程称为一阶线性方程、这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上就是连续的、当()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dyP x y dx+= (2)方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程、方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解、 形如()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程、它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解、现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解、 2 主要结果定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()n ndy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦ (4) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(4)化为 ()()()nnd F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+= ()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+= (6) 则它的通解为 1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (7) 定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0nndy F x F x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (8) 则它的通解为 ()n Cy F x =(9) 证明 在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证、 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 则它的通解为 ()Cy F x = (11) 定理3 若一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰ (13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上就是连续的、 证明 若1n =,方程(12)变为()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= (15)此方程为可分离变量的微分方程、分离变量得[]()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式、若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln()nz F y -=,则定理3 若一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+= []()()n d F x y y Q x dx =g方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式'()()()n n n dy F x F x y Q x y dx⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n nn d F x dy F x y Q x y dx dx⎡⎤⎣⎦+=方程两端除以n y ,得到 1()()()nn nn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1n n n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=-令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、。
一阶线性非齐次方程解法推倒
一阶线性非齐次方程解法推倒
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程
方程
dy dx
P x y Q x
+=
()()
1
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果
Q x()≡0，则方程称为齐次的；
如果
Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程
dy dx
P x y
+=
()0
2
的通解问题。
分离变量得dy
y
P x dx =-()
两边积分得ln()ln y P x dx c
=-+
⎰
或
y c e P x dx
=⋅-⎰()
其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx
=⋅-⎰()
两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()
⋅=-⎰
两边求导得dy
dx
u e uP x e
P x dx P x dx ='-
-⎰-⎰
()()
()
代入方程1得。
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一阶非齐次线性方程的解
一阶非齐次线性方程比较两个方程： .)()(x q y x p y =+' ,0)(=+'y x p y 请问，你有什么想法？我想：它们的解的形式应该差不多。
但差了一点什么东西呢？
⎰-=dx
x p Ce y )(⎰-=dx
x p e x C y )()(行吗?!
)()(x q y x p y =+' 则可微且待定函数令,)(,)()(x C e
x C y dx x p ⎰=-
,)()()())(()()()(⎰⎰⎰----'='='dx x p dx x p dx x p e x C x p e x C e x C y 怎么办？
得的表达式代入方程中及将,y y ', )()()()()()()()()(x q x p e x C e x C x p e
x C dx x p dx x p dx x p =+-'⎰⎰⎰---故
,)()()(x q e x C dx x p ='⎰-即
,)()()(⎰='dx x p e x q x C
上式两边积分，求出待定函数
C dx e x q x C dx x p +=⎰⎰)()()(
)(为任意常数C
通解为得一阶非齐线性方程的中代入,)()(⎰=-dx x p e x C y ,
))(()()(C dx e x q e y dx x p dx x p +=⎰⎰⎰-以上的推导过程称为“常数变易法”。
这种方法经常用来
由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。
=+'y x p y )(⎰-=dx
x p Ce y )(⎰+=⎰⎰-)
C dx e x q e y dx x p dx x p )()()(()
()(x q y x p y =+'
解 2 12
.cos 的通解求方程例x e xy y x =-' ,cos )(,2)(2x e x q x x p x =-=因为所以，方程的通解为
)cos ()()( 222C dx xe e e
y dx x x dx x +=⎰⎰⎰---)cos ( C 222+=⎰-dx e
x e e x x x )
cos ( C 2+=⎰xdx e x . 2
)sin (C x e x +=
解.的通解求方程例 23y x y dx dy +=不是线性方程
原方程可以改写为 12,y x y dy dx =-这是一个以y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中
12,)(,)(y y q y y p =-=故原方程的通解为
)()()( 121⎰+=⎰⎰---C dy e y e x dy y dy y . 2
13Cy y +=
=+'y x p y )(⎰-=dx
x p Ce y )(⎰+=⎰⎰-) C dx e x q e y dx x p x x p )(d )()(()
()(x q y x p y =+'⎰+=⎰⎰-) C dy e y q e x dy y p dy y p )()()(()
()(y q x y p x =+'。