第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

代入原方程,得 代入原方程,
1 − 2 A − 3( Ax + B ) = 3 x + 1 ⇒ A = −1, B = , 3 1 ∗ 所以特解 y = − x , 3 1 −x 3x 即原方程的通解为 y = C1e + C 2 e − x + . 3
8
′′ − 3 y′ + 2 y = xe2x 的通解. 例5 求方程 y 特征方程 λ2 − 3λ + 2 = 0 , 解 特征根 λ1 = 1，λ 2 = 2 ，
非齐次特解形式: x = asin pt + bcos pt h , b=0 代入④可得: a = 2 2 k −p 因此原方程④之解为
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
(2)的通解 那么方程(1) 的通解, (1)的通解为 Y ( x ) 是 (2) 的通解, 那么方程(1)的通解为
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
11
的通解, 例7 求微分方程 y ′′ + 4 y ′ + 4 y = e β x 的通解 ,
为实数. 其中 β 为实数.
特征方程 λ2 + 4λ + 4 = 0 , 特征根 λ1, 2 = −2 ， 解 对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e −2 x .
1 ） 若 β = −2 , 则设特解为 y ∗ = Ax 2e −2 x ,
7
∗
的通解. 例4 求微分方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 3 x + 1 的通解.
解 特征方程 λ2 − 2λ − 3 = 0 特征根
λ1 = 3，λ 2 = −1
Y = C1e 3 x + C 2e − x ,
对应齐次方程通解
不是特征根, 因为 r = 0 不是特征根, 故设特解 y ∗ = Ax + B ,
rx
可以证明,方程 具有如下形式的特解 具有如下形式的特解: 可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:
y∗ = xker x ( Acosω x + Bsinω x)
其中 A, B 是待定系数， 是待定系数，
0 k= 1
r ± ω i 不是特征根 ; r ± ω i 是特征根 .
14
的通解. 例8 求微分方程 y ′′ + 2 y ′ + 2 y = 10 sin 2 x 的通解.
所以设特解为y = x ( Ax + B)e = ( Ax + Bx )e ,
2 2x 3 2 2x
∗
1 代入方程, 代入方程 得 6 Ax + 2 B = x , 解得 A = , B = 0 , 6
1 3 3x 所以特解 y = x e , 6
∗
从而方程的通解为 y = ( C 1 + C 2 x ) e
16
例10.第5节例6 (P354)中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 F = H sin pt 的 用 求物体的运动规律. 作 , 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程
d2 x 2 + k x = hsin pt 2 dt • 当p ≠ k 时, 齐次通解: p , :
∗
④
X = C1 sin k t + C2 cos k t = Asin ( k t +ϕ )
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
∗
(1) (2)的通解 那么方程(1)的通解为 的通解, Y ( x ) 是 (2) 的通解, 那么方程(1)的通解为
y =Y + y .
1
∗
二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 非齐次
所以设特解为y = x ( Ax + B)e = ( Ax + Bx )e ,
2 2x 3 2 2x
∗
注意：实际计算时 ， 只要将 Q( x ) = Ax 3 + Bx 2 代入 注意：实际计算时，
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
现即 Q′′( x) = P ( x) , 即得 6 Ax + 2 B = x . m 这样比代入原方程要简便得多。 这样比代入原方程要简便得多。
y = x ( A cos 2 x + B sin 2 x ) ，
代入原方程, 代入原方程,得 4 B cos 2 x − 4 A sin 2 x ≡ 10 sin 2 x ，
∗
A = − 5 2 4 B = 0 , 所求通解为 所求通解为 ⇒ − 4 A = 10 B = 0 5 y = C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x − x cos 2 x . 2
代入原方程,得 代入原方程,
( −2 A + 4 B ) cos 2 x + ( −4 A − 2 B ) sin 2 x ≡ 10 sin 2 x ，
A = −2 − 2 A + 4B = 0 , ⇒ − 4 A − 2 B = 10 B = −1
所求通解为 所求通解为
y = e − x (C1 cos x + C 2 sin x ) − 2 cos 2 x − sin 2 x .
1 1 2 −2 x ∗ 代入原方程, 代入原方程,得 A = , 即特解为 y = x e , 2 2 1 2 −2 x −2 x + x e ； 此时原方程的通解为 y = (C 1 + C 2 x )e 2
Q( x) = Ax , Q′′ = P (x) , 2A = 1 m
2
12
′′ + 4 y ′ + 4 y = e β x y
x = t ( asin k t + bcos k t ) h 代入④可得: a = 0, b = − 2k
方程④的解为
18
∗
h x = Asin ( k t +ϕ ) − t cos k t 2k
自由振动 强迫振动
随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 可无限增大, 这时产生共振现象 . 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;
y =Y + y .
问题归结为求方程(1)的一个特解. 问题归结为求方程 的一个特解. 的一个特解 只讨论 f (x) 的两种类型. 的两种类型. 用待定系数法求解. 待定系数法求解. 求解
2
∗
求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
2）若 β ≠ −2 , 则设特解为 y = Ae
∗
βx
,
1 代入原方程,得 A = 代入原方程, , 2 (β + 2)
1 即特解为 y = eβ x , ( β + 2) 2
∗
此时原方程的通解为
y = (C1 + C 2 x )e
−2 x
1 βx e . + 2 ( β + 2)
13
2、f ( x) = e (M cosω x + N sinω x) 型
∗
′′ = Q′′( x )e r x + 2λ Q′( x )e r x + λ2Q( x )e r x (y )
∗
代入方程 y′′ + ay′ + by = f ( x ) ,
整理并约去 e
rx
,得
Q′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x)
(*)
4
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rx
5

′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
且 2r + a = 0 , 则令 Q ( x ) = x 2 Qm ( x ) , 即
y = x Qm ( x)e
2
∗
rx