第五章面板数据模型

Chaper5 面板数据模型

在联立方程模型中，我们已接触到面板数据模型，它仅是作为一种特殊的联立模式来讨论的。不同时间，到不同个体不加区别，仅是一种普通样本，采用POLS 方法处理。不同时间段和不同个体的特征没有考虑，而这些特征往往有明确的经济背景。本章以存在不可观测效应（Unobserved effect ）的现代观点重新阐释面板数据模型。

不可观测效应的含义是，从不同时间抽取的样本数据中，存在一个相对时间不变的不可观测的因素，称为异质性。例如，样本个体选择家庭而言，认知、动机、遗传等；样本个数选择企业而言，管理水平，创新能力等。如何处理这些潜在因素？除了前述的代理变量和多指标工具变量法外，合理应用面板数据的特征就是本章讨论的问题。此外，面板数据作为截面数据和时间序列数据动态混合，能反映模型的动态结构，故也可作为分析的内容加以讨论。深入的分析面板数据是学习时间分析之后，本章只是一个初步。合理运用面板数据，能给我们带来很多有意义的统计信息和模型。请看例： 例1：职业培训的评价:

欲评价培训的效果，（或实施某一政策的效果），一个标准的评价模型是：

it i it it t it U C prog Z y ++++=1δγθ

这里t 为二期，t=1,2; t θ表示随时间变化的项，it Z 是可观察的影响因素Y 的随机变量；it prog 是虚拟变量，参加第二期培训为1,其它为0；i C 为个人是否选择接受培训的选择，它是不可观测的，是一个与个人相关的与t 无关的潜在因素。又为了消除政策因素外的其它影响，又在每个时间段中将Y 分成控制组B 和对照组A 两部分。在t=1,无人处在控制组，在t=2，部分人处在控制组部分人处在对照组。并再设置一个虚拟变量2d ，表示如t=2，处在控制组为1, 其余为为0。模型构成为：

it i it it t t it U C prog Z d y +++++=12δγβθ，

则参数1δ就反映了政策因素对Y 的贡献。检验：

0H ：1δ＝0.接受0H 说明培训效果不是很显著。

例2：R ＆D 的分布滞后模型

it i it it it it t t it U C RD RD RD Z d patents ++++++++=--551102δδδγβθΛ

这里it RD 是厂商i 在t 期用于R ＆D 的投入，滞后过去的投入对现在的影响。

it patents 是专利收入，i C 是不可观测的企业i 内在的与时间段无关的因素；则1δ，

2δ，3δ，4δ，5δ反映的就是技术研究投入对企业的贡献。面板数据有广泛的来

源，有大量的应用背景，并针对不同的问题设计的各种不同的模型。

先回忆联立方程模型中的PD 模型的假设条件：t t t U X y +=β，T t ,,1Λ= 假定：Pols1: 0)(='t t U X E ，T t ,,1Λ=; Pols2:

k X X E t t T

t ='∑

=)(1

，T t ,,1Λ=

Pols3:

2'2'22'

.()(),().()0

t t t t t t t s s a E u X X E X X u t b E u u z z σσ==?=

注意，Pols1并没有要求s X 与t U 不相关，t s ≠；Pols2仅仅是排除t X ，

T t ,,1Λ=的完全共线性，以保证β可识别。

于是可行一致的Pols 估计??

? ??'??? ??'=∑∑∑∑==-==N i T

t it it N i T t it it y X X X 111

11?β＝()()Y X X X ''-1，在假定Pols3下

()

[]N X X E A i

i /)(?var 12-'=σβ，所以

()

12)(??var -'=X X A σβ

，

K NT u N

i T

t it -=∑∑==/??11

2

2

σ，又当t X （1×K ）向量有某些解释变量同t U 相关，令t Z （1×L 向量，L ≥K ）是工具变量，且满足工具变量的假定条件，那么P2SLS 估计为：

1）t X on t Z ，得t X ?，T t ,,1Λ=； 2）t y on t

X ?，得P2sls β?估计为： ()[]

()[]Y Z Z Z Z X ZX Z Z Z X '''''=--1

1?β

下面在上述PD 模型的基础上，扩展各种特色的PD 模型和估计检验方法。

第一节 不可观测效应模型和严格外生性假定

设不可观测效应模型（UEM ）为：it i it it U c X y ++=β，T t ,,1Λ=。这里，

i c 作为不可观测的与时间无关的个体特有的潜在变量（latent variable ）也称为不可观测的差异性（unobserved heterogenity ）。它是面板数据基本模型的特色。

由于i c 是一个不可观测的个体特有的随机变量，关键是要看i c 与解释变量

it X 是否相关：若认为i c 与it X 不相关，则作为随机效果处理，将i c 与it U 合并it V ＝

i c ＋it U ；若认为i c 与it X 相关，则作为固定效果处理。

面板数据现代观点的另一个重要特点是，时间不是给定的，即可观测的it

X 可无限抽样。从而存在当前结果it y 对未来原因t s X is ≥,的反馈（feedback ），导致it X 与is X 之间复杂相关关系，为消除这种复杂性，引入严格外生性假定：

对T t ,,1Λ=，有),,,|(21i it i i it c X X X y E Λ＝),|(i it it c X y E ＝i it c X +β 含义是，一旦it X 和i c 给定，那么对t s ≠，is X 对it y 没有边际影响（直观理解是，it y 取与如前的it X 相关，而与其它的时间s 无关）。

由于i c 不可观测，一个更严格的外生性假定：

),,|(21iT i i it X X X y E Λ＝)|(it it X y E ＝βit X

Θ),,|(21iT i i it X X X y E Λ＝βit X ＋),,|(21iT i i i X X X c E Λ

∴如果()i iT i i i c E X X X c E ≠),,|(21Λ，即i c 与某一it X 相关，则更严格的外生

假定就不成立。

∴UEM 模型在严格外生假定下，实际应用中能被用误差项it U 表述成：

),,,|(21i it i i it c X X X U E Λ＝0, T t ,,1Λ= （1）

于是，推出),(it is U X E '＝0, T t s ,,1,Λ=? （2）

注：（1）意味着i c 和it X ，t ?与it U 都是不相关的，而（1）,（2）i c 与某it

X

相关没有要求i c 与it X t ?是相关的，但不影响估计的一致性，会影响检验。一般，在UEM 下，我们总假定更强的（1）成立。

于是，UEM 可以改写成：it i it it V c X y ++=β，T t ,,1Λ=

it V 称为复合误差。

如果 ),(it is

V X E '＝0, （3） 那么我们就可以采用Pooled OLS 方法，得到POLS β

?。这当然不是本章的意思。因为复合误差it V 有许多信息没有提取出来。用“粗”的POLS 方法显然能得到β的一致估计。但在有限样本时，估计很差，而且统计推断需要用稳健的方法矩阵估计和采用稳健的检验量形式。这样，面板数据就没有提供任何其它帮助。又当it X 中如果包含某项与i c 含有it y 的滞后项1-it y ，由于1-it y 与i c 相关，从而条件（3）就不成立，Pooled OLS 估计就不再是一致的，就不能用了。

对于面板数据的基本模型，在更强的假定条件下，可采用不同的统计方法，能取得更好的估计和推断效果。最基本的有随机效果（RE ）、固定效果（FE ）和一阶差分（FD ）三种方法。

第二节 随机效果方法

一、关于模型与估计

对模型it it it V X y +=β；it V ＝i c ＋it U ；T t ,,1Λ=， 假定RE1：（a ）),|(i i it c X U E =0, T t ,,1Λ=

（b ）)|(i i X c E =0=)(i c E ,

i X '=()it i i X X X ,,21Λ,且i X 中包含有截距项，如设it X ＝1.所以无妨设 )(i C E ＝0,不失一般性。条件（b ）意味着i c 是与t 无关的个体特征。

从而,0)(='i i c X E ∴,0)(='it it

V X E 将it it it V X y +=β接到T t ,,1Λ=写成紧凑的矩阵式：

i Y ＝????? ??iT i y y M 1＝????? ??iT i X X M 1β＋???

?

?

??iT i V V M 1＝i X β＋i V ，

i V ＝i c T J ＋i U

又设Ω＝,0)(='i t V V E

假定RE2：秩)(1i i X X E -Ω'＝k, Ω＝)(i t V V E ' 进一步，对复合误差的方差和协方差有如下信息： （1）)(2it U E ＝2u σ，T t ,,1Λ= （与个体无关） （2）)(is it U U E ＝0, s t ≠? （与时间不相关） 从而，)(2it V E ＝)(2i C E ＋2)(it i U c E ＋)(2it U E ，

由RE1.a )(it i U C E =0，又记)(2i C E ＝2C σ，则)(2it V E ＝2

C σ＋2u σ。 同样，对于s t ≠?，)(is it V V E ＝)(it i U C E +)(is i U C +＝2C σ

因此，有Ω＝)(i t V V E '＝???

?

?

?

?++222

22

2U

C U C

U C σσσσσσO

＝2u σT I ＋2

C σT

T J J '，称为

随机效果结构。其中，1100T I ??

?

= ?

?

??L M O

M K

，1

11T T J ???

?= ? ??

?M

又把（1）,（2）用统一的条件期望的形式表达成如下 假定：RE3. （a ）),|(i i i i c X U U E '=2u σT I ,

（b ）)|(2i i X C E =2

C σ,

注：假定RE3,条件比（1）（2）更强。

1、在假定RE1-3下，模型满足联立式GLS 方法的一切条件，如果我们知道2C σ和

2u σ的估计，那么可得Ω?＝2?u σT I ＋2?C σT T J J '，就可得到更有效的效果估计，RE

β?＝??

? ??Ω'??? ??Ω'∑∑=--=-N i i i N i i i Y X X X 111

11??，且RE β?是一致的，并在一致估计类中是有效的。 下面完成2C σ和2u σ的估计。 由)(2it V E ＝2C σ＋2u σ＝2V σ，t i ,?

设β??是β的Pooled OLS 估计，即β??＝??

? ??'??? ??'∑∑=-=N

i i i N i i i Y X X X 11

1，由条件知，β??是一致的。从而可得it σ?＝it y －it X β??，t i ,?。由大数律，2?V σ＝

∑∑==N

i T

t it V NT

112??1

?→?

P

2V σ。为保证有限样本时的精度，修正为（减去K 个自由度）2?V σ＝?→?P

2V σ，不会影响渐近性。

又由)(is it V V E ＝2

C

σ，∴)(1

11

is it T t T

t s V V E ∑

∑-=+=＝∑∑-=+=1

11

2

T t T

t s C σ＝

2

2

)1(C T T σ- ∴减去K 个自由度，得到2

C σ的一致估计为：

2?C

σ

＝is

N i T

t s it

T T V V K

N

?

???111

2

)1(∑∑=+=--

并由此得到，2?U σ＝2?V σ－2

?C σ

注：1、2?C σ有可能为负值，可能是it U 中关于t 存在负序列相关性。此意味着RE3

（a ）不成立，需要选择更一般的Ω估计做FGLS 。如Ω

?＝i N

i i V V N

????11

'∑=，i V ??＝i Y －

β

??i X ，但当N 不是充分大的时候，由于Ω?有2

)1(+T T 个被估参数，所以，有i V 限样本的性质很差。而当RE1-3成立时，对任意T 只要估计二个方差参数。

2、当RE3不成立时，则Ω没有随机效果结构，若没有其它信息作为限制，

一般改用Ω

?＝i N

i i V V N

????11'∑=，其中i

V ??是Pooled OLS 估计的残差，再回来联立式的FGLS 方法，这就失去了面板数据的特色。特别地，尽管RE3不成立，但如果{

}it U 服从一个稳定的一阶自回归过程（it U ＝t it V U +-1ρ，i V iid ）那么可以得到Ω＝

)(i i U U E '＋2

C σT

T J J '，)(i i U U E '＝2?U σT

T T T *1111

?????

???

??--ρ

ρ

ρρρρ

O

，则Ω只有ρ、2C σ和2u σ三个未知参数，从而也能得到好的RE

β?（ρ估计采用CO 迭代法，略）。 二、关于检验

关于随机效果的检验，即不可观测的i C 的影响是否存在？检验的命题自然

是，0H ：2C σ＝0.关于0H 的检验，我们可用一阶自回归的AR （1）检验。（0H ：

ρ＝0）,如果误差项it V 关于t 的检验被检验出是AR （1）过程，0≠ρ，0H 不成

立，则随机效果的影响存在。

另一个基于Lagrange 乘子的检验，0H ：2

C σ＝0的方便方法是，统计量：

2

1

12

1111111

???

???

?

???????? ??∑∑∑∑∑∑=-=+==-=+=N i T t T t s is it N i T t T

t s is

it

V V V V ～N （0,1）

这里it

V ?是Pooled OLS β?的残差。

第三节 固定效果方法

一、 关于模型与估计

认为基本模型中it i it it U c X y ++=β，T t ,,1Λ=中不可观测的因素i C ，?i 可以是相关的，则复合误差it V 必与it X 中某个解释变量是相关的。因此随机效果的观点就不合适。于是将i C 单列为一个仅与i 有关的参数，将基本模型按列排与矩阵形式：t T i i i U J c X Y ++=β，其中T J 是T ×1的每个元素为1的向量。 为消除不可观测影响i C 对FE 模型t 求和，并求平均，即

∑=-=T t it i y T y 1

11，∑==T t it i X T X 11，∑==T

t it i U T U 11， 于是有：i i i i U c X y ++=β，∴it y －i y ＝()i it i it U U X X -+-β，

记it y &&＝it y －i y ，it X &&＝it X －i X ，it U &&＝it U －i U ，则it y &&＝it X &&β＋it U &&，

称为去时间平均模型。这又回到联立式的面板数据模型。可用POLS 的条件

)(it it U X E &&&&'＝0和秩)(it it X X E &&&&'＝K 。回到原模型就是：(

)i it i it U U X X E -'-)(＝0. 于是就可推得固定效果模型的假定条件为： 假定：FE1：),|(i i it c X U E ＝0, T t ,,1Λ=

?)|(i it X U E &&＝)|(i

it X U E －)|(i i X U E ＝0 ?),|(,1iT

i it X X U E &&Λ&&&&＝0, ∴POLS 条件成立 ∴it y && on it X &&,T t ,,1Λ=, i=1,…N 。

可得FE β?，具体的，令T Q ＝()T T T T T J J J J I ''--1，则T Q 对称，且秩T Q ＝T －1.满足T Q T J ＝0, i J Y Q ＝i Y &&，T Q i X ＝i X &&，T Q i U ＝i U &&，从而T

Q 乘以模型i i i U X Y +=β，可得i i i U X Y &&&&&&+=β。 假定：FE2：秩)(it it X X E &&&&'＝K ，对N i ,,1Λ=抽样，可得：

FE β?＝??? ??'??? ??'∑∑=--N i i i N i i i Y X X X 111&&&&&&&&＝??

? ??'??? ??'∑∑∑∑==--=N i it it T t N i it it T t Y X X X 111

11&&&&&&&&

假定：FE3：),|(i i i i c X U U E '＝2u σT I ，

?),|(i i it c X U Var ＝2

u σT I ，

（再由FE1成立） ?),|(i i i i c X U U E '＝)(i i U U E '＝2

u σT I 。

此意味着it U 关于t 具有同方差性和序列不相关性。

∴)(2it U E &&＝2)(i it U U E -＝2it EU ＋2i U E －2)(i it U U E

＝2

u

σ＋T u 2σ－2T u 2σ＝??

?

??-T u 112σ

又)(is it U U E &&&&＝(

)i is i it U U U U E --)( ＝)(is it U U E －)(i it U U E －)(i is U U E ＋)(2i U E

＝0－T 2σ－T 2

σ＋T u 2σ＝－T

u 2

σ<0.

∴相关系数ts r ＝)(is it U U Corr &&&&＝

[]

2

1

)()()

cov(is it is it U Var U Var U U ＝－

1

1-T 所以，去时间平均的误差it U 是负相关的，且当T ∞→相关性趋于0.可以证

明，FE β?是N 正态的，且)?(FE AVar β＝2u σ()[]

N X X E i

i /1

-'&&&& 为求得2u σ的一致估计2?u σ，由)(2it U E &&＝2u σ(T

11-

),对t 求和，得： (T-1)2u

σ=

)(2

1it

T

t U

E ∑

=。再对i 求和，得：N(T-1)2u

σ=

)(21

1

it T

t N i U E ∑

∑==

∴2

u σ＝

)

1()

(21

1

-∑

∑==T N U E it T

t N

i 。用it

U ?＝FE it it X Y β?-&&代替it U ，其中FE β?是it Y && on it X &&用Pooled OLS 方法所得。于是，可得到2u σ的一致估计为：

2?u

σ＝[]

K T N SSR --)1(，其中SSR ＝

∑∑==N i T

t it

U

11

2

?

∴)?(FE AVar β＝2?u σ()1

-?

?

????'∑∑it it X X &&&&

二、 关于检验

1、在FE1~3条件成立的前提下，β有Q 个限制的整体性检验，直接用F 统计量的残差形式： F ＝

[]Q

K T N SSR SSR SSR ur ur r --?

-)1( 此外，对潜在的异方差性因素i C ，可粗略地用：i C ?＝FE i i X Y β?&&-，N i ,,1Λ= 如果T 充分大，i

C ?能反映i C 的信息。 2、当FE3不成立时，例如it U 存在序列相关性，F 检验就不再适用。但有渐近方差估计，改用Wald 检验，且渐近方差矩阵为：

)?(FE AVar β＝()()111

??-=-'??

? ??'''∑X X X U U X X X N

i i

i i i &&&&&&&&&&&&。 当然也可以用排除序列相关求得Ω，再用FGLS 的方法，不再详细讨论。

第四节 一阶差分方法

一、 关于模型与估计

对基本模型it i it it U c X y ++=β，T t ,,1Λ=，

关于t 作差分变换，也可消除i C ，得it it it U X y ?+?=?β，T t ,,2Λ=

比较FE 方法，it it it U X y &&&&&&+=β区别仅在于失去了一个T ＝1的样本。

类似于FE 方法。一阶差分方法FP 的假定条件是：

假定：FD1：()it it

U X E ?'?＝0, T t ,,2Λ=。此意味着is X 与it U 对一切的s,t 是不相关成立时，FD1成立；

假定：FD2：秩()it it

T

t X X E ?'?∑=2＝K 假定：FD3：),|(i i i i c X U U E '??＝2e σ1-T I

这里将T t ,,2Λ=按列写成矩阵式：i i i U X Y ?+?=?β，其中误差项的差分i

U ?意味着it U ＝it it e U +-1，是随机行走。这是一种特殊的序列相关。从而由POLS ，

可得FD

β?和)?(FD AVar β＝2e σ()1-?'?X X 具有连续的序列依赖性。它是FE3假定，it U 序列不相关的另一个极端。且由it e ?＝FD

it it X Y β??-?，得2e σ的一致估计为： 2

?e

σ

＝()[]∑∑-=---N i T

t it

e

K T N 12

21

?1，

又当FD3不成立，则稳健的异方差矩阵估计为：

)?(FD

AVar β

＝()

1

-?'?X X ??

? ???'?∑=i i i N i i X e e

X ??1()1

-?'?X X 二、 关于检验

欲检验条件FD3成立，即检验it e 的序列相关性，代替转向检验it e ?的序列相关性：it e

?＝it it error e +-11??ρ，T t ,,3Λ=，N i ,,1Λ=。0H ：1?ρ＝0，接受0H .则FD3成立，拒绝0H ，原方差要采用稳健的异方差矩阵。

注：采用一阶差分法的理由是，它比固定效果方法简便，但当it U 不存在序列相关时，FE 方法更有效。而it U 当服从一个随机行走时，则FD 方法更有效。实

际的情况是，介乎于两者之间。it U ＝it it e U +-11?ρ

有（1,0≠≠ρρ）我们可采用FGLS 的方法提高有效性。

第五节 三种方法RE ，FE ，FD 的比较

一、 固定效果和一阶差分的比较

如果FE β?与FD

β?相差很大，有理由相信怀疑的严格外生性假定不成立。因为

任何内生性问题都会产生it X 与it U 现时的相关性。导致FD 和FE 方法的不一致及不同的概率极限。(t ∞→)此外，如果it U 与is X ，t ≠s 也会引致FD 和FE 估计的不一致。

我们可以采用豪斯曼检验验证二个结果的一致性，来验证严格外生性条件是否成立。但更方便的基于回归的检验方法是：

1、对FD ：t t t t U W X Y ?++?=?γβ，T t ,,2Λ=

其中t W 是t X 的部分，（不包括时间的虚拟变量）。t X ＝()t t X X 21,，t W ＝t

X 2（K2列）。做OLS ，

0H ：γ＝0,

FD1-3成立时，用F 统计量，FD3不成立用Wald 统计量。接受0H 表示严

格外生假定成立，FD

β?是一致的。 2、对FE ：it i it it it U C W X y +++=-δβ1，1,,t T =L 同样，1+it W 是1+it X 的子集，做FE 估计。

0H ：δ＝0,再进行固定效果的检验。接受0H ，表示严格外生性成立，固定

效果估计有一致性。

注：通过了严格外生性假定，可对FD 或FE 模型再用可行的广义最小二乘

估计（FGLS ）方法，Ω＝

i

N

i i

U U N

'∑=??11，其中i

U ?是FD 或FE 估计的残差，可提高估计有效性。

二、 随机效果与固定效果的比较

模型采用随机效果还是固定效果。我们知道，如果不可观测变量i C 与it X 是不相关的，0)cov(=it i X c ，那么随机效果估计就应当有比固定效果估计更小的方差。问题是，i C 不可观测，无法检验。因此，我们需要把随机效果通过适当的变换，以便同固定效果进行比较。

因为随机效果结构是，Ω＝2u σT I ＋2

C σT T J J '。注意到T T J J '＝T ， 所以，Ω＝2u σT I ＋T 2

C

σ()T T T T j j j j ''-1

＝2u σT I ＋T 2C σT ρ＝(2u σ+T 2C σ)(T ρ+T Q η)

其中T ρ＝T I －T Q ＝()T T T

T j j j j ''-1 η＝

2

22

C

u u T σσσ+

定义 T S ＝T P ＋T Q η，那么T S 1-＝T P ＋T Q η

1

。

所以，T

S

2

1-

＝T P ＋

T Q η

1

（即T

S

2

1-

×T

S

2

1-

＝T S 1-）

＝T P ＋()T T P I -η

1

(1T T I P ?

?-?? ＝

[]T T P I λλ

--11

（2

12

2211???

? ??+-=-=C u u

T σσσ

ηλ） 因此，2

1

-Ω

＝(

)

2122-+C

U

T σ

σ[]T T P I λλ

--11

＝

T T u

P I λσ-1

如果λ已知，即2C

σ和2u

σ已知，则2

1-Ω已知。

用T C ＝T T P I λ-乘RE 模型，i i i V X Y +=β两边得：

T C i T i T i V C X C Y +=β，即i i i V X Y ~~~+=β，则：()

i i V V E '~

~＝T C ΩT C ＝2u σT I 且：T C i Y ＝(T T P I λ-)i Y ＝i Y －λi Y ，即it y －λit y ~

T C i X ＝(T T P I λ-)i X =i X －λi X ，即it X －λit X ~

因此有：it y －λi y ~

＝(it X －λi X ~)β+it V －λi V ~

在RE3成立的条件下，用POLS 可得2

C σ和2u σ的一致估计，从而可得λ的一

致估计λ

?。再对it y ~ on it X ~，做POLS ，可得：

RE β?＝1

11~~-==??? ??'∑∑it N i T t it X X ??

? ??'∑∑==it N i T t it y X 11~ 称为拟去时间平均，可以看出，λ?＝1－2

122??11??????

?

??

+u c T σσ ∴当T →∞或22??U C σσ→∞，λ?→1,此时，随机效果模型就回到了固定效果模型。特别是，潜在因素i C 在模型的误差项中占主导地位。2

?C σ>>2?u σ

，即使T 很小，FE 和RE 也没有很大区别。

下面我们证明，当条件RE1-3成立时，则随机效果模型估计就有比固定效果估计更小的方差。

设it X 只包含时间变化的因素，不包含有关于时间常数的因素。那么，

)?var(FE A β=()12

-'i i u X X E N

&&&&σ, )?var(RE

A β=()

1

2

~

~-'i

i u X X E N

σ

其中it X &&＝it X －i X ，it X ~＝it X －λi X

∴()

1

~~-'i

i X X E －()

1-'i

i X X E &&&& ＝()i T T i X P I X E λ-'－()i T T i X P I X E -' ＝(1－λ)()i T i X P X E ' ＝(1－λ)T ()i i X X E '>0

∴1)?var(-RE A β－1)?var(-FE

A β是正定的。 ∴)?var(FE A β－)?var(RE

A β是正定的。命题得证。 为要严格检验RE 和FE 的效果，采用如下的Hausman 检验。设it X 是已包含时间变化的解释变量，共有M 个。0H ：FE β－RE β＝0. Hausman 统计量：

H ＝()()()()()

RE

FE

RE

FE RE FE AVar AVar ββββββ??

????1

--'--。 拒绝0H ，意味着两个估计有显著差异，即认为潜在变量i C 与it X 是相关的。应当采用固定效果的方法。

注：)?var(FE A β和)?var(RE

A β中的未知方差2u σ，要用统一的一致估计2?u σ 另一种基于回归形式的F 统计量方法是：

it

it it it error W X y ++=ξβ&&~~，T t ,,1Λ=，N i ,,1Λ= 其中it y ~和it X ~是似去时间的平均。其中λ用λ?代替，it

W 是it X 中随时间变化的子集。设有M 个。it

W &&是去时间平均。 那么0H ：ξ＝0,得到： F ＝

[]M

M K NT SSR SSR SSR ur ur r --?-～F （M ，NT －K —M ） 接受0H ，意味着RE1-3成立。采用随机效果，拒绝0H ，采用固定效果。

注：有可能出现这样的情况，FE β?与RE

β?相关很大，但它们的方差也相差很大，使得H 统计量很小，导致不能拒绝0H 而采用随机效果模型，而实际上，我们可能犯了第二类错误：it X 与i C 相关，0H 真，但我们不能拒绝0H 。

第六节 一些深入的专题

本节处理一些严格外生性条件不成立时和处理一些具有更多个体特征的面

板数据模型。它们都有广泛的实际应用背景。 一、 模型

在基本模型it i it it U c X y ++=β（T t ,,1Λ=）中，把严格外生假定：

),,|(1i iT i it c X X U E Λ＝0改成),,,|(11i i it it it c X X X U E Λ-＝0（T t ,,1Λ=），即it

U 与it X （T t ,,1Λ=）的过去t,t-1,…1是严格外生的，而与is X ，s>t 可能是序列相关的。我们称it X 是与不可观测因素i C 有序列式条件外生效应。（Sequencially exogenous conentional on the unobserved effect ）

例如：it i it it it U C W Z y +++=δβ，1,,1-=T t Λ。这里it Z 是严格外生的，且it W 是序列式条件外生的。因此有),,,|(11i i it it it it c W W W Z U E Λ-＝0. 特别，it W ＝it i 11r C +++-ψρξit it y Z ，

则it W 是满足序列式条件外生的条件，所以当1ρ≠0,严格外生性条件就不成立。 可以证明，当1ρ≠0，由于不可观测因素i C 存在，采用FE 和FD 变换得到的

估计FE ?β和FD β?是有偏不一致的，但随着T →∞，FE ?β有一致性，而FD

β?却不行。一般地的有it y ＝it i U C +++it it W Z δγ，满足is Z 与it U 就是不相关的，对一切s 和t ，但it U 与is W 仅仅当s ≤t 时是不相关的。充分条件是，),,|(11i it it it it W W W Z U E Λ-＝0.这种即有严格外生，又有序列式外生面板模型。典型例子是it W 是相关的，

称为现时相关的面板数据模型：隐含了一个重要的与时间相关的解释变量。

it W 中某些变量存在测量误差，以及it y 与it W 中某个或某些存在同时性，是一致的。同样可以证明，现时相关性和不可观测因素i C 的存在，导致FE 和FD 变换得到的估计是有偏不一致的。

如同解决内生性问题一样，我们可以通过引入工具变量消除非严格外生性。但寻求工具变量并不是一件容易的事。这也失去了面板数据模型的意义。事实上，面板数据可用自身的数据的时间差异，在不同假定条件下，选择不同时间的数据作为其工具变量，然后再采用Pooled 2SLS 方法，可等到模型的一致估计，或用GMM 方法进一步提高有效性。详细的讨论参见伍德里奇的书第11章，或其它

有关面板数据分析的书籍，(如《Econometric Analysis of Panel Data 》, Badi H. Baltagi)。这里仅给出一般的说明。

首先，用FD 或FE 变换消除不可观测因素i C 的影响。如FD 变换得：

it y ?＝it u ?+?+?it it W Z δγ

＝it u ?+?βit X

T t ,,2Λ=，N i ,,1Λ=

其次，在不同的假设条件下，选择不同的工具变量。例如，在it X 满足序列式外生条件下，将T t ,,1Λ=， it y ?＝it u ?+?βit X 写成矩阵紧凑式：

i Y ?＝i U ?+?βi X

选取工具变量矩阵为：i Z ＝??

???

???

??-0000

00

000102

01iT i i X X X Λ

M O M M M Λ

Λ，其中0it X =()it i i X X X Λ21,。也可以选择it X ?的滞后项1-?it X 作为工具变量等等。

最后，选择Pooled 2SLS 或GMM 方法，统计检验则需要一些更细致的假设条件。又在FE 和FD 变换中，常采用FE 的变换，理由是，它对各种非严格外生性条件都适用，并且几乎不加条件可以照搬原来的检验方法。

在基本模型中，it y ＝it i u C ++βit X ，还可以加入更多的特征，例如，扩展基本模型为：it y ＝it it i u X c +++βit g ，T t ,,1Λ=。称为随机趋势模型，也称随机增长模型，其中i g 被认为是不同个体随时间增长率。

扩大严格外生性条件为：),,,,|(11i i i it it it g c X X X u E Λ-＝0,作差分变换，消除

i C ，得it y ?＝it it u X ?+?+βit g ，T t ,,2Λ= ∴),,|(2iT i i it X X g u E ??Λ＝0

于是，我们可用FE 或FD 方法（当T ≥3）得到一致估计β?，特别当it

U 存在序列相关性时，采用FD 方法，即二阶差分：it y 2?＝it 2it 2u X ?+?β更稳妥。

一般地具有更多个体特征面板数据模型为：

it y ＝it it it u X Z ++βi a ，T t ,,1Λ=。其中it Z （t 固定）是1×J 的。i a 是J ×1的，称为不可观测的异质性向量。特别当it Z ＝1就是基本模型，当it Z ＝()t ,1就是随机趋势模型。引入更多时间常数的不可观测的个体特征后，我们除了关注β，当然也关注i a ，但当T 很小时，我们无法得到i a 好的估计（因为无法得到i 的样本）。转而考虑估计i a ＝i Ea 。 具体做法是：

1. 将it y ＝it it it u X Z ++βi a ，T t ,,1Λ=按T t ,,1Λ=排成列，得紧凑式为：

i Y ＝i i i u X Z ++βi a 。这里i Z 是T ×J 的，i X 是T ×K 的。

2. 定义投影矩阵i M ＝()'

'--i i i i T Z Z Z Z I 1，则i M i Z ＝0,用i M 乘方程两边，

得：i M i Y ＝i M i X β＋i M i U ，记成i Y &&＝i i u X &&&&+β。又在秩()X X E &&&&'＝K 假定下，做OLS ，得FE

β?是β的一致估计。 3. 又假定()i i i i i a X Z U U E |'＝2u σT I ，又知秩i M ＝tr i M =T －J 。因此，

()∑=T

t it

U E 1

2

&&＝()i

i

U U E &&&&'＝??

?

?????? ?

?'i i i

i i X Z U M U E E | ＝??

????????

????? ??'i i i i X Z M U U E tr E | ＝()[]{}i i i i i M X Z U U trE E |＝（T －J ）2u σ。

再用it

U ?&&＝it y &&－FE β?X it &&，代替it U &&，可得2u σ的一致估计。再考虑无偏性，得到2

u

σ的无偏一致估计为：2?u

σ

＝[]∑∑==---N i T

t it U K J T N 11

21

?)(&&＝[]K J T N SSR --)(/。

4. Θi a ＝()()βi i i i i X Y Z Z Z -''-1－()i i i i U Z Z Z ''-1

由()i i Z U E |＝0

∴a ＝i Ea ＝()()βi i i i i X Y Z Z Z E -''-1

∴a

?＝()

()

FE

i i i i

i

N

i X Y Z Z Z N

β?11

1

-''-=∑ 记：i s

?＝()(

)

FE

i i i i i X Y Z Z Z β?1

-''-； C ?＝()

i i i

i

N

i X Z Z Z N

''-=∑1

1

1

A

?＝i

N

i i

X X N

&&&&∑='1

1； i U ?＝()FE i i X Y β?&&&&-

可

以证明，

()a a

N -?的渐近方差为：

()[]()[]

''--'---=-∑i i i N i i i i

U X A C a S U X A C a S

N ??????????1

11

1。 注：有更有效的同时给出β和i a 的非线性工具变量估计方法。 二、豪斯曼—泰勒模型

（一）提出问题

有时我们关注的是那些可观测的有关时间常数的解释变量，而不是时间变化的解释变量。然而，我们又认为某些解释变量又与不可观测因素i C 是相关的。因此，前述的随机效果方法结果是不一致的。而固定效果或一阶差分方法又消除了我们所需要的时间常数的解释变量。所以，这三种方法都不适用。但是，如果时间常数的解释变量与i C 是不相关的，而时间变化的解释变量与i C 可能是相关的，那么我们就可把基本模型扩展成：

it y ＝it it i u X Z +++i c βγ，T t ,,1Λ=。

其中i Z 是时间常数的解释变量，满足条件：

),,,,|(21i iT i i i it c X X X Z u E Λ＝0。于是，我们可以按前述的方法按FE 变

换消除γi Z 和i C ，并获得一致估计FE

β?。 如何估计γ？若再加上假定条件)(i i c Z E '＝0, ∴())(i i i U c Z E &&+'＝0， ∴γ)(i i Z Z E '＝()[]

βX Y Z E i i -'，又假定)(i i Z Z E '非奇异。