第五章面板数据模型
面板数据模型
面板数据模型面板数据模型是指在经济学和社会科学领域中，用于分析面板数据的统计模型。
面板数据是指在一定时间内对同一组体（如个人、家庭、企业等）进行多次观测的数据集合。
面板数据模型的主要目的是研究个体特征和时间变化对观测变量的影响。
面板数据模型可以分为固定效应模型和随机效应模型两种。
固定效应模型假设个体固定特征对观测变量有影响，而随机效应模型则认为这些个体固定特征与观测变量之间存在随机关系。
在面板数据模型中，通常会使用一些常见的统计方法，如最小二乘法（OLS）和固定效应模型（FE）。
最小二乘法是一种常见的回归分析方法，用于估计模型中的参数。
固定效应模型则通过引入个体固定效应来控制个体特征对观测变量的影响。
面板数据模型的优势在于可以同时考虑个体特征和时间变化对观测变量的影响，从而提供更准确的分析结果。
此外，面板数据模型还可以解决传统的截面数据和时间序列数据模型所存在的一些问题，如异质性和序列相关性等。
为了使用面板数据模型进行分析，需要满足一些基本的假设，如面板数据的一致性、个体固定效应的异质性、个体特征与观测变量之间的线性关系等。
同时，还需要对数据进行一些预处理，如去除异常值、缺失值处理等。
在实际应用中，面板数据模型被广泛应用于经济学、金融学、社会学等领域的研究中。
例如，可以使用面板数据模型来研究个体收入与教育水平、劳动力市场参预率之间的关系，或者分析企业绩效与市场环境、管理策略的关系等。
总之，面板数据模型是一种用于分析面板数据的统计模型，通过考虑个体特征和时间变化对观测变量的影响，提供了一种更准确的分析方法。
在实际应用中，面板数据模型可以匡助研究人员深入理解个体和时间的交互作用，从而得出更可靠的结论。
面板数据模型
面板数据模型面板数据模型是一种用于描述和管理数据的结构化模型，通常在数据可视化和报表工具中使用。
它是一种将数据组织起来以便于分析和展示的方法，能够帮助用户更好地理解数据之间的关系和趋势。
1. 面板数据模型的基本概念面板数据模型由多个方面组成，其中包括：•数据表：数据表是面板数据模型的基本组成单元，用于存储具体的数据记录。
每个数据表由多行和多列组成，其中每行代表一个数据记录，每列代表一个数据字段。
•关系：在面板数据模型中，不同数据表之间可以存在各种关系，如一对一、一对多、多对多等。
这些关系描述了数据表之间的连接方式，有助于进行跨表查询和分析。
•维度和度量：在面板数据模型中，数据字段通常被分为维度和度量两类。
维度字段用于描述数据的特征和属性，而度量字段则用于表示数据的数值信息。
维度字段通常用于分组和筛选数据，而度量字段则用于进行统计和计算。
2. 面板数据模型的设计原则设计一个有效的面板数据模型需要遵循一些基本原则，包括：•清晰简洁：面板数据模型应该保持清晰简洁，避免过多的冗余数据和复杂的关系结构，以提高数据的可理解性和可维护性。
•灵活性：面板数据模型应该具有一定的灵活性，能够适应不同的业务需求和数据变化，同时还要保持数据的一致性和稳定性。
•性能优化：在设计面板数据模型时，需要考虑到数据的规模和性能要求，避免数据表过大或关系过于复杂，以确保数据查询和分析的效率。
3. 面板数据模型的应用场景面板数据模型广泛应用于各种数据分析和报表展示场景，包括：•市场分析：通过面板数据模型可以分析市场的趋势和竞争情况，帮助企业制定市场策略和产品定位。
•销售分析：通过面板数据模型可以分析销售数据和客户行为，预测销售趋势和制定销售计划。
•运营监控：通过面板数据模型可以监控业务的关键指标和运营情况，及时发现问题并采取措施解决。
总的来说，面板数据模型是一种重要的数据管理和分析工具，能够帮助用户更好地理解和利用数据，为决策提供支持和参考。
面板数据模型
面板数据模型面板数据模型是一种用于分析和预测数据的统计模型。
它广泛应用于经济学、金融学、市场营销和社会科学等领域，用于研究变量之间的关系和影响因素。
面板数据模型可以有效地处理时间序列和横截面数据的问题，具有很高的灵便性和准确性。
面板数据模型的基本假设是存在个体间的异质性，并且个体间的异质性是固定的。
这意味着个体之间的差异不随时间而变化。
面板数据模型可以分为固定效应模型和随机效应模型两种。
固定效应模型假设个体间的差异是固定的，不随时间变化。
该模型可以通过引入个体固定效应来控制个体间的差异。
个体固定效应可以捕捉到个体特有的影响因素，如个体的天赋能力、个体的经验等。
固定效应模型的估计方法包括最小二乘法和差分法。
随机效应模型假设个体间的差异是随机的，可以用一个随机项来表示。
该模型可以通过引入个体随机效应来控制个体间的差异。
个体随机效应可以捕捉到个体间的随机波动。
随机效应模型的估计方法包括广义最小二乘法和随机效应模型估计法。
面板数据模型的优点在于可以利用个体间和时间间的差异来进行分析，从而控制了个体间和时间间的混淆因素。
面板数据模型可以提供更准确和稳健的估计结果，增强了研究的可信度和可解释性。
面板数据模型的应用非常广泛。
在经济学中，面板数据模型可以用于研究经济增长、收入分配、劳动力市场等问题。
在金融学中，面板数据模型可以用于研究股票市场、利率市场等问题。
在市场营销中，面板数据模型可以用于研究消费者行为、市场竞争等问题。
在社会科学中，面板数据模型可以用于研究教育、健康、犯罪等问题。
总之，面板数据模型是一种强大的分析工具，可以匡助研究人员更好地理解和预测数据。
面板数据模型的应用范围广泛，可以应用于各种领域的研究。
通过合理选择模型和估计方法，可以得到准确和稳健的结果，为决策提供有力支持。
面板数据模型
面板数据模型面板数据模型是一种用于分析和预测数据的统计模型。
它是基于面板数据（也称为纵向数据或者长期数据）的特点而建立的，这种数据包括了多个观测单元在不同时间点上的多个观测变量。
面板数据模型的应用非常广泛，包括经济学、社会学、医学等领域。
面板数据模型的基本假设是观测单元之间存在个体固定效应和时间固定效应。
个体固定效应是指观测单元的特定特征对其观测变量的影响，而时间固定效应是指观测时间对观测变量的影响。
基于这些假设，面板数据模型可以用来估计个体固定效应和时间固定效应，并控制它们对观测变量的影响。
面板数据模型的常见形式包括固定效应模型和随机效应模型。
固定效应模型假设个体固定效应是确定的，而随机效应模型假设个体固定效应是随机的。
这两种模型可以通过估计方法进行参数估计，如最小二乘法、广义最小二乘法等。
在面板数据模型中，还可以引入其他变量作为解释变量，用来解释观测变量的变化。
这些变量可以是个体特征、时间特征或者其他相关变量。
通过引入这些变量，可以进一步分析观测变量的影响因素，并进行预测和政策评估。
面板数据模型的优势在于可以控制个体固定效应和时间固定效应，从而减少了估计结果的偏误。
此外，面板数据模型还可以提供更多的信息，如个体间的差异、时间趋势等。
因此，它在实证研究中具有重要的应用价值。
举例来说，假设我们想研究教育对个体收入的影响。
我们可以采集多个个体在不同时间点上的教育水平和收入数据，构建一个面板数据集。
然后，我们可以使用面板数据模型来估计教育对收入的影响，并控制其他可能的影响因素。
通过这种方式，我们可以得出教育对收入的影响是否显著，并进行进一步的分析和解释。
总之，面板数据模型是一种强大的统计工具，可以用来分析和预测面板数据。
它可以控制个体固定效应和时间固定效应，提供更准确的估计结果，并匡助我们理解观测变量的变化和影响因素。
在实际应用中，我们可以根据具体的研究问题和数据特点选择适当的面板数据模型，并进行参数估计和统计判断。
面板数据模型
面板数据模型面板数据模型（Panel Data Model）是一种经济学和统计学中常用的数据分析方法，它允许研究人员在时间和个体维度上分析数据。
该模型结合了截面数据（Cross-sectional Data）和时间序列数据（Time Series Data），能够捕捉到个体间的异质性和时间的动态变化。
面板数据模型的基本假设是个体间存在固定效应（Fixed Effects）和时间效应（Time Effects），即个体特定的不变因素和时间特定的不变因素会对观测数据产生影响。
通过控制这些效应，面板数据模型可以更准确地估计变量之间的关系。
面板数据模型的一般形式可以表示为：Yit = α + βXit + εit其中，Yit表示第i个个体在第t个时间点的观测值，α是截距项，β是自变量Xit的系数，εit是误差项。
面板数据模型可以通过固定效应模型（Fixed Effects Model）和随机效应模型（Random Effects Model）来估计参数。
固定效应模型假设个体间的差异是固定的，即个体特定的不变因素对观测数据产生影响。
该模型通过引入个体固定效应来控制个体间的差异，估计其他变量对因变量的影响。
随机效应模型假设个体间的差异是随机的，即个体特定的不变因素对观测数据不产生影响。
该模型通过引入个体随机效应来控制个体间的差异，估计其他变量对因变量的影响。
面板数据模型的估计方法包括最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）、固定效应估计法（Fixed Effects Estimation）和随机效应估计法（Random Effects Estimation）。
最小二乘法是一种常用的估计方法，但在面板数据模型中存在一致性问题。
固定效应估计法通过个体间的差异来估计参数，可以解决一致性问题。
随机效应估计法则通过个体间和时间间的差异来估计参数，可以更全面地捕捉到数据的变化。
面板数据模型在经济学和社会科学研究中具有广泛的应用。
面板数据模型
面板数据模型面板数据模型是一种用于分析和预测数据的统计模型。
它通过收集和整理来自不同来源的数据，将其组织为一个面板或者称为面板数据集，然后通过对这个数据集进行分析和建模，来揭示数据背后的规律和关系。
面板数据模型的基本特点是它可以同时考虑个体（cross-sectional）和时间（time-series）的变化。
在面板数据模型中，每个个体都有多个观测值，这些观测值可以是按时间顺序排列的，也可以是在不同时间点上的交叉观测。
通过对这些观测值进行统计分析，我们可以更好地理解个体之间的差异和变化趋势。
面板数据模型的应用非常广泛，特别是在经济学、金融学和社会科学等领域。
它可以用于分析个体之间的相互作用、评估政策效果、预测未来趋势等。
下面将介绍面板数据模型的基本原理和常见的方法。
一、面板数据模型的基本原理面板数据模型的基本原理是建立一个统计模型，通过对面板数据集进行拟合来揭示数据的规律和关系。
面板数据模型通常包括两个部分：固定效应模型和随机效应模型。
1. 固定效应模型固定效应模型假设个体之间的差异是固定的，不随时间变化。
它通过引入个体固定效应来控制个体特征对结果变量的影响。
固定效应模型可以用以下方程表示：Yit = α + βXit + γi + εit其中，Yit是个体i在时间t上的观测值，Xit是个体i在时间t上的解释变量，α是截距，β是回归系数，γi是个体i的固定效应，εit是误差项。
2. 随机效应模型随机效应模型假设个体之间的差异是随机的，可以随时间变化。
它通过引入个体随机效应来控制个体特征对结果变量的影响。
随机效应模型可以用以下方程表示：Yit = α + βXit + γi + εit其中，γi是个体i的随机效应，它服从一个均值为0的正态分布。
其他符号的含义与固定效应模型相同。
二、面板数据模型的常见方法面板数据模型有许多常见的方法，下面介绍几种常用的方法。
1. 固定效应模型的估计固定效应模型的估计通常使用最小二乘法。
面板数据模型
面板数据模型1. 简介面板数据模型是一种用于展示和管理数据的可视化工具。
它提供了一个简单直观的界面，帮助用户快速理解数据并进行分析。
面板数据模型可以用于各种领域和应用，包括数据报表、数据监控、数据仪表盘等。
2. 核心概念2.1 数据源面板数据模型的核心概念之一是数据源。
数据源是指面板中使用的数据的来源。
数据源可以是各种类型的数据，包括数据库、API、文件等。
面板数据模型支持多种数据源，并提供了相应的接口和插件，方便用户连接和管理数据源。
2.2 面板面板是数据模型的可视化表示。
每个面板通常包含一个或多个图表，用于展示数据。
面板可以自由组合和布局，用户可以根据需要添加、删除或调整面板的位置和大小。
面板还可以设置不同的样式和布局参数，以满足用户的个性化需求。
2.3 数据变量数据变量是指在面板中用于表示数据的可编辑参数。
用户可以通过数据变量来选择不同的数据，调整数据的显示范围，以及设置其他与数据相关的属性。
数据变量可以是数字、字符串、日期等不同类型的数据。
用户可以根据自己的需求自定义数据变量，并在面板中使用。
3. 数据操作面板数据模型提供了一系列数据操作功能，帮助用户对数据进行处理和分析。
下面介绍几个常用的数据操作功能：3.1 数据过滤数据过滤是指根据特定条件筛选数据。
用户可以通过设置过滤条件，只显示满足条件的数据。
过滤条件可以是简单的比较操作，也可以是复杂的逻辑表达式。
面板数据模型提供了灵活的过滤功能，支持多种过滤条件的设置。
3.2 数据聚合数据聚合是指将多条数据合并为一条数据。
用户可以选择不同的聚合方式，如求和、求平均值、计数等，对数据进行聚合操作。
聚合操作可以帮助用户更好地理解和分析数据，提取出数据中的关键信息。
3.3 数据转换数据转换是指对数据进行格式化和转换操作。
用户可以通过设置转换规则，对数据进行格式化、类型转换、单位转换等操作。
数据转换可以使数据更容易理解和使用，同时也可以为后续的计算和分析提供方便。
第五章面板数据模型
Chaper5 面板数据模型§1。
基本概念介绍 在联立方程模型中，我们已接触到面板数据模型，它只是作为一种特殊的联立式来讨论的。
不同时间和不同个体仅是一种混合的普通样本，采用POLS 方法处理。
面板数据中不同时间段和不同个体的二元特征没有考虑。
而这些特征往往包含有明确的经济信息。
本章以存在不可观测效应（Unobserved effect ）的现代观点重新阐释面板数据模型。
不可观测效应的含义是，从不同时间抽取的样本数据中，存在一个相对时间不变的不可观测的因素，称为异质性。
例如，样本个体选择家庭，认知能力、动机、遗传等；样本个体选择企业，管理水平，创新能力等。
可以认为它们是相对时间不变的且不可观测。
如何处理这些对结果产生影响的潜在因素？除了前述的代理变量和多指标工具变量法外，合理应用面板数据的特征就是本章讨论的问题。
此外，面板数据作为截面数据和时间序列数据的混合，能反映模型的动态结构，故也可作为动态分析的内容加以讨论。
深入的分析面板数据是学习时间序列分析之后，本章只是一个初步。
面板数据有广泛的来源，有大量的应用背景，并针对不同的问题设计有各种不同的模型。
合理运用面板数据和模型，能给我们带来更多有意义的统计分析结果。
本章也是伍书认为下了功夫的部分。
请看例：例1：职业培训的评价欲评价培训的效果，（或实施某一政策的效果，等等。
）一个标准的评价模型是：11it it it i it y Z prog c u θγδ=++++这里t 特设为二期，1,2t =。
t θ表示随时间变化的截距项，it Z 是可观察的影响因素Y 的随机变量，itprog是被关注的虚拟变量，表示参加第二期培训为1否则为0；i c 为个人是否选择接受培训的选择，它是不可观测的，是一个与个人内在因素相关的且与t 无关的潜在因素。
又为了消除政策因素外其它因素的影响，在时间段2中将Y 分成处理组A 和控制组B 两部分。
在1t =无人处在处理组，在2t =，部分人处在控制组部分人处在处理组。
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Chaper5 面板数据模型在联立方程模型中，我们已接触到面板数据模型，它仅是作为一种特殊的联立模式来讨论的。
不同时间，到不同个体不加区别，仅是一种普通样本，采用POLS 方法处理。
不同时间段和不同个体的特征没有考虑，而这些特征往往有明确的经济背景。
本章以存在不可观测效应（Unobserved effect ）的现代观点重新阐释面板数据模型。
不可观测效应的含义是，从不同时间抽取的样本数据中，存在一个相对时间不变的不可观测的因素，称为异质性。
例如，样本个体选择家庭而言，认知、动机、遗传等；样本个数选择企业而言，管理水平，创新能力等。
如何处理这些潜在因素？除了前述的代理变量和多指标工具变量法外，合理应用面板数据的特征就是本章讨论的问题。
此外，面板数据作为截面数据和时间序列数据动态混合，能反映模型的动态结构，故也可作为分析的内容加以讨论。
深入的分析面板数据是学习时间分析之后，本章只是一个初步。
合理运用面板数据，能给我们带来很多有意义的统计信息和模型。
请看例： 例1：职业培训的评价:欲评价培训的效果，（或实施某一政策的效果），一个标准的评价模型是：it i it it t it U C prog Z y ++++=1δγθ这里t 为二期，t=1,2; t θ表示随时间变化的项，it Z 是可观察的影响因素Y 的随机变量；it prog 是虚拟变量，参加第二期培训为1,其它为0；i C 为个人是否选择接受培训的选择，它是不可观测的，是一个与个人相关的与t 无关的潜在因素。
又为了消除政策因素外的其它影响，又在每个时间段中将Y 分成控制组B 和对照组A 两部分。
在t=1,无人处在控制组，在t=2，部分人处在控制组部分人处在对照组。
并再设置一个虚拟变量2d ，表示如t=2，处在控制组为1, 其余为为0。
模型构成为：it i it it t t it U C prog Z d y +++++=12δγβθ，则参数1δ就反映了政策因素对Y 的贡献。
检验：0H ：1δ＝0.接受0H 说明培训效果不是很显著。
例2：R ＆D 的分布滞后模型it i it it it it t t it U C RD RD RD Z d patents ++++++++=--551102δδδγβθΛ这里it RD 是厂商i 在t 期用于R ＆D 的投入，滞后过去的投入对现在的影响。
it patents 是专利收入，i C 是不可观测的企业i 内在的与时间段无关的因素；则1δ，2δ，3δ，4δ，5δ反映的就是技术研究投入对企业的贡献。
面板数据有广泛的来源，有大量的应用背景，并针对不同的问题设计的各种不同的模型。
先回忆联立方程模型中的PD 模型的假设条件：t t t U X y +=β，T t ,,1Λ= 假定：Pols1: 0)(='t t U X E ，T t ,,1Λ=; Pols2:k X X E t t Tt ='∑=)(1，T t ,,1Λ=Pols3:2'2'22'.()(),().()0t t t t t t t s s a E u X X E X X u t b E u u z z σσ==∀=注意，Pols1并没有要求s X 与t U 不相关，t s ≠；Pols2仅仅是排除t X ，T t ,,1Λ=的完全共线性，以保证β可识别。
于是可行一致的Pols 估计⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∑∑∑∑==-==N i Tt it it N i T t it it y X X X 11111ˆβ＝()()Y X X X ''-1，在假定Pols3下()[]N X X E A ii /)(ˆvar 12-'=σβ，所以()12)(ˆˆvar -'=X X A σβ，K NT u Ni Tt it -=∑∑==/ˆˆ1122σ，又当t X （1×K ）向量有某些解释变量同t U 相关，令t Z （1×L 向量，L ≥K ）是工具变量，且满足工具变量的假定条件，那么P2SLS 估计为：1）t X on t Z ，得t X ˆ，T t ,,1Λ=； 2）t y on tX ˆ，得P2sls βˆ估计为： ()[]()[]Y Z Z Z Z X ZX Z Z Z X '''''=--11ˆβ下面在上述PD 模型的基础上，扩展各种特色的PD 模型和估计检验方法。
第一节 不可观测效应模型和严格外生性假定设不可观测效应模型（UEM ）为：it i it it U c X y ++=β，T t ,,1Λ=。
这里，i c 作为不可观测的与时间无关的个体特有的潜在变量（latent variable ）也称为不可观测的差异性（unobserved heterogenity ）。
它是面板数据基本模型的特色。
由于i c 是一个不可观测的个体特有的随机变量，关键是要看i c 与解释变量it X 是否相关：若认为i c 与it X 不相关，则作为随机效果处理，将i c 与it U 合并it V ＝i c ＋it U ；若认为i c 与it X 相关，则作为固定效果处理。
面板数据现代观点的另一个重要特点是，时间不是给定的，即可观测的itX 可无限抽样。
从而存在当前结果it y 对未来原因t s X is ≥,的反馈（feedback ），导致it X 与is X 之间复杂相关关系，为消除这种复杂性，引入严格外生性假定：对T t ,,1Λ=，有),,,|(21i it i i it c X X X y E Λ＝),|(i it it c X y E ＝i it c X +β 含义是，一旦it X 和i c 给定，那么对t s ≠，is X 对it y 没有边际影响（直观理解是，it y 取与如前的it X 相关，而与其它的时间s 无关）。
由于i c 不可观测，一个更严格的外生性假定：),,|(21iT i i it X X X y E Λ＝)|(it it X y E ＝βit XΘ),,|(21iT i i it X X X y E Λ＝βit X ＋),,|(21iT i i i X X X c E Λ∴如果()i iT i i i c E X X X c E ≠),,|(21Λ，即i c 与某一it X 相关，则更严格的外生假定就不成立。
∴UEM 模型在严格外生假定下，实际应用中能被用误差项it U 表述成：),,,|(21i it i i it c X X X U E Λ＝0, T t ,,1Λ= （1）于是，推出),(it is U X E '＝0, T t s ,,1,Λ=∀ （2）注：（1）意味着i c 和it X ，t ∀与it U 都是不相关的，而（1）,（2）i c 与某itX相关没有要求i c 与it X t ∀是相关的，但不影响估计的一致性，会影响检验。
一般，在UEM 下，我们总假定更强的（1）成立。
于是，UEM 可以改写成：it i it it V c X y ++=β，T t ,,1Λ=it V 称为复合误差。
如果 ),(it isV X E '＝0, （3） 那么我们就可以采用Pooled OLS 方法，得到POLS βˆ。
这当然不是本章的意思。
因为复合误差it V 有许多信息没有提取出来。
用“粗”的POLS 方法显然能得到β的一致估计。
但在有限样本时，估计很差，而且统计推断需要用稳健的方法矩阵估计和采用稳健的检验量形式。
这样，面板数据就没有提供任何其它帮助。
又当it X 中如果包含某项与i c 含有it y 的滞后项1-it y ，由于1-it y 与i c 相关，从而条件（3）就不成立，Pooled OLS 估计就不再是一致的，就不能用了。
对于面板数据的基本模型，在更强的假定条件下，可采用不同的统计方法，能取得更好的估计和推断效果。
最基本的有随机效果（RE ）、固定效果（FE ）和一阶差分（FD ）三种方法。
第二节 随机效果方法一、关于模型与估计对模型it it it V X y +=β；it V ＝i c ＋it U ；T t ,,1Λ=， 假定RE1：（a ）),|(i i it c X U E =0, T t ,,1Λ=（b ）)|(i i X c E =0=)(i c E ,i X '=()it i i X X X ,,21Λ,且i X 中包含有截距项，如设it X ＝1.所以无妨设 )(i C E ＝0,不失一般性。
条件（b ）意味着i c 是与t 无关的个体特征。
从而,0)(='i i c X E ∴,0)(='it itV X E 将it it it V X y +=β接到T t ,,1Λ=写成紧凑的矩阵式：i Y ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛iT i y y M 1＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛iT i X X M 1β＋⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛iT i V V M 1＝i X β＋i V ，i V ＝i c T J ＋i U又设Ω＝,0)(='i t V V E假定RE2：秩)(1i i X X E -Ω'＝k, Ω＝)(i t V V E ' 进一步，对复合误差的方差和协方差有如下信息： （1）)(2it U E ＝2u σ，T t ,,1Λ= （与个体无关） （2）)(is it U U E ＝0, s t ≠∀ （与时间不相关） 从而，)(2it V E ＝)(2i C E ＋2)(it i U c E ＋)(2it U E ，由RE1.a )(it i U C E =0，又记)(2i C E ＝2C σ，则)(2it V E ＝2C σ＋2u σ。
同样，对于s t ≠∀，)(is it V V E ＝)(it i U C E +)(is i U C +＝2C σ因此，有Ω＝)(i t V V E '＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++222222UC U CU C σσσσσσO＝2u σT I ＋2C σTT J J '，称为随机效果结构。
其中，1100T I ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭L M OM K，111T T J ⨯⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M又把（1）,（2）用统一的条件期望的形式表达成如下 假定：RE3. （a ）),|(i i i i c X U U E '=2u σT I ,（b ）)|(2i i X C E =2C σ,注：假定RE3,条件比（1）（2）更强。
1、在假定RE1-3下，模型满足联立式GLS 方法的一切条件，如果我们知道2C σ和2u σ的估计，那么可得Ωˆ＝2ˆu σT I ＋2ˆC σT T J J '，就可得到更有效的效果估计，REβˆ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω'⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω'∑∑=--=-N i i i N i i i Y X X X 11111ˆˆ，且RE βˆ是一致的，并在一致估计类中是有效的。