七年级数学下册第五章 5.3.2命题定理证明第1课时真命题与假命题作业课件新版新人教版
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人教版数学七年级下册5.3.2-1《命题、定理、证明1》教案2
人教版数学七年级下册５.３.２-1《命题、定理、证明１》教案2一. 教材分析《命题、定理、证明1》是人教版数学七年级下册第五章第三节的一部分，这部分内容是学生学习数学证明的基础。
通过这部分的学习，学生将理解命题与定理的概念，学会如何阅读和理解数学证明，并初步掌握证明的方法。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，能够理解和运用基本的数学概念和运算。
但是，对于数学证明这一概念，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和实践活动来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标1.了解命题和定理的概念，能够区分它们。
2.学会阅读和理解数学证明，能够初步进行简单的证明。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
四. 教学重难点1.命题与定理的概念。
2.数学证明的方法和步骤。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过具体的例子和实践活动，引导学生理解和掌握命题、定理和证明的概念和方法。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关例题和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的数学问题，引出命题、定理和证明的概念。
2.呈现（15分钟）讲解命题和定理的概念，通过具体的例子让学生理解它们的区别。
然后讲解数学证明的方法和步骤，引导学生学会阅读和理解数学证明。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些简单的证明问题，教师巡回指导。
4.巩固（5分钟）对学生的解答进行点评，指出其中的错误和不足，引导学生正确理解和掌握证明的方法。
5.拓展（5分钟）给出一些思考题，让学生进一步深入理解和掌握命题、定理和证明的知识。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调命题、定理和证明的概念和方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）将本节课的主要内容进行板书，方便学生复习和记忆。
教学过程每个环节所用的时间：导入5分钟，呈现15分钟，操练15分钟，巩固5分钟，拓展5分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
人教版数学七年级下册 5.3.2 命题、定理、证明 课件 (共53张PPT)
巩固练习
练习2 举出学过的2-3个真命题．
巩固练习
练习2 举出学过的2-3个真命题． 例如：“两点确定一条直线” “对顶角相等”
“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”
“内错角相等，两直线平行”等都是真命题．
巩固练习
练习2 举出学过的2-3个真命题． “两点确定一条直线” “经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”
基本事实
如“两点确定一条直线”、“经过直线外一点有且只 有一条直线与这条直线平行”等．
定理
“对顶角相等”
探究对顶角性质
推理过程如下：
因为∠2与∠3互补， ∠4与∠3互补（邻补角定义），
所以∠2=∠4 （同角的补角相等）．
定理
“内错角相等， 两直线平行”
推理得出结论.
因为∠2=∠3，而∠3=∠1， 所以∠1=∠2，即同位角相 等，从而a∥b．
命题、定理、证明
初一年级 数学
新知引入
问题：判断图中的线段a与b哪一条长？
线段a比线段b长．
b
线段b比线段a长．
线段a与线段b一样长．
a
新知引入
问题：判断图中的线段a与b哪一条长？
线段a比线段b长． ×
b
a 线段b比线段a长． ×
线段a与线段b一样长． √
命题的概念
请同学们读出下列语句． （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边加同一个数，结果仍是等式．
命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中 的一条，那么它也垂直于另一条．
画出图形
b
c
七年级下册第5章5.3.2命题、定理、证明(1)
【选做1】
3.如图，已知A,B,C在一条直线上
请从三个论断：①AD∥BE，②∠2=∠2，③∠A=∠E，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题.
条件：__________
结论：__________（填序号）
【选做2】
4.能说明“锐角α，锐角β的和小于90°”是假命题的例证图是（）
A.
B.
C.
D. D
考查知识：举反例
设计意图：把今天所学知识
应用在图中，既起到了复习
的效果，又能提高学生的看
图能力.
题目来源：【高效课堂宝典
训练期末必考题 P12 T4】
改编
完成时长：3分钟
能力创新
阅读下列问题后作出相应的
解答
“同位角相等，两直线平行”
和“两直线平行，同位角相等”这
两个命题的题设和结论在命题中
的位置恰好对调，我们把其中一个
逆命题：在角
的内部距离相等的
点在这个角的平分
线上.
题设：在角的
内部到角两边的距
离相等的点.
考查知识：逆命题的改编
设计意图：通过阅读来激发
学生的思考能力，通过改编
原题句子的形式来学习和
掌握逆命题.
题目来源：原创
完成时长：3分钟。
人教版数学初一下册第五章 相交线与平行线 5.3.2：命题、定理、证明(1)课件
如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0； （4）同旁内角互补；
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
（5）对顶角相等．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
16
知识点一：命题
学以致用
2、改写成“如果……那么……”的形式。并指出下列各命题 的题设和结论，
①、内错角相等； ②、两条平行线被第三直线所截，同位角相等； ③、同角的余角相等； ④、同平行于一直线的两直线平行； ⑤、直角三角形的两个锐角互余； ⑥、等角的补角相等； ⑦、正数与负数的和为0。
①如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除。 ②如果两个角互补，那么它们是邻补角。
③相等的角是对顶角．
1
2
1 2
20
知识点二：真命题和假命题
归纳总结
判断一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举 反例等方法。
判断一个命题是假命题的方法：
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子， 说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
,那么..."的形式,会区分命题的题设和结论。 2.知道真命题和假命题的概念，会通过举反例判 断一个命题是假命题.
重点难点 重点:命题的概念以及真命题和假命题的概念.
难点:区分命题的题设和结论.
3
知识点一：命题
新知探究
刚刚我们复习了平行线的性质与判定，这些语句都对某 一件事情作出判断，如：同位角相等，两条直线平行．
（2）题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”；
（3）题设是“两个角是邻补角”，结论是“这两个角互补”.
13
知识点一：命题
互动探究
先独立完成导学案互动探究2，再同桌相互交流， 最后小组交流；
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
（5）对顶角相等．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
16
知识点一：命题
学以致用
2、改写成“如果……那么……”的形式。并指出下列各命题 的题设和结论，
①、内错角相等； ②、两条平行线被第三直线所截，同位角相等； ③、同角的余角相等； ④、同平行于一直线的两直线平行； ⑤、直角三角形的两个锐角互余； ⑥、等角的补角相等； ⑦、正数与负数的和为0。
①如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除。 ②如果两个角互补，那么它们是邻补角。
③相等的角是对顶角．
1
2
1 2
20
知识点二：真命题和假命题
归纳总结
判断一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举 反例等方法。
判断一个命题是假命题的方法：
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子， 说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
,那么..."的形式,会区分命题的题设和结论。 2.知道真命题和假命题的概念，会通过举反例判 断一个命题是假命题.
重点难点 重点:命题的概念以及真命题和假命题的概念.
难点:区分命题的题设和结论.
3
知识点一：命题
新知探究
刚刚我们复习了平行线的性质与判定，这些语句都对某 一件事情作出判断，如：同位角相等，两条直线平行．
（2）题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”；
（3）题设是“两个角是邻补角”，结论是“这两个角互补”.
13
知识点一：命题
互动探究
先独立完成导学案互动探究2，再同桌相互交流， 最后小组交流；
七年级数学下册课件：5.3.2命题、定理、证明(共12张PPT)
A. 能被5整除的数，它的末位数字是0
B.矩形两条对角线互相垂直
C.锐角的补角不是锐角
D.一个数的平方等于它本身，这条直线的两条直线平行” 的题设是： 在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线 ，
结论是： 这两条直线平行 。
2.把“等角的补角相等”改写成“如果‥‥‥那么‥‥‥” 如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等 的式： 。 3.根据下列命题，画出图形，并写出“已知”、“求证” （不必证明）。 (1)如果两条直线被一条直线所截，截得的同位角相等， 那么这两条直线被另外一条直线截得的同位角也相等。
例：指出下列命题的题设与结论： 对顶角相等。 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
练：将下列命题写成”如果…，那么…。” 的形式 (1)同角的余角相等； (2)相等的角是直角； (3)同位角相等； (4)同位角相等，两直线平行。
命题的分类： 真命题:如果题设成立，那么结论一定成立。这样 的命题叫做真命题。 假命题:如果命题中题设成立，不能保证结论一定 成立，这种错误的命题叫做假命题。
定理 ：
正确性是通过推理证实的，这样得 到的真命题叫做定理 。
真命题分类：
公理：是人们在实践活动中总结出来的 真命题； 定理：是通过证明得到的真命题。
当堂训练
1.下列四个语句中是命题的是（ C ） A.连结A，B两点 B. 作线段b，使它等于线段a
C.0是最小的自然数
D. 直角都相等吗？
2.下列命题中是真命题的是（ C）
试判断下列句子是否正确．
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；(√ )
（2）两直线平行，同位角相等；
（3）同旁内角相等，两直线平行；
(√ )
（4）平行四边形的对角线相等；
5.3.2 命题、定理、证明
证明：∵OD 是∠AOC 的平分线（已知）， ∴∠1 = 1 ∠AOC（角平分线的定义）.
2
同理：∠2 = 1 ∠BOC.
∴∠1
+∠2
2 =
12（∠AOC
+∠BOC），
∵点 A、O、B 在同一条直线上，
∴∠AOC +∠BOC = 180°（平角的定义），
∴∠1 +∠2 = 90°，
∴OD⊥OE（垂直的定义）.
误区 对命题的定义及构成理解不透彻而出错 判断下列语句是否是命题. 如果是，请写出它
的题设和结论，并判断真假. （1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）
画一个 60°的角.
错 解 （1）（2）（3）不是命题.
正 解 （1）是命题.这个命题的题设：两条直线 被第三条直线所截；结论是：内错角相等.这个命 题是假命题.
思考
上面练习题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误 的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补×；
√ （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； √ （3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；×
（5）对顶角相等．√
命题的真假
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫做真命题．
条公路两次转弯后，和原来的方
向相同. 如果第一次的拐角∠A 是 135°，第二次
的拐角∠B 是多少度？为什么？
B
A
B
A
解：第二次的拐角是 135°.因为一条公路两 次转弯后和原来的方向相同，说明两次转弯前后 的路平行，两次拐的角为内错角，根据两直线平 行，内错角相等.
5. 如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管 道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连通管道的 角度为 120°，那么，为了使管道对接，另一侧 应以什么角度铺设纵向连通管道？为什么？
2
同理：∠2 = 1 ∠BOC.
∴∠1
+∠2
2 =
12（∠AOC
+∠BOC），
∵点 A、O、B 在同一条直线上，
∴∠AOC +∠BOC = 180°（平角的定义），
∴∠1 +∠2 = 90°，
∴OD⊥OE（垂直的定义）.
误区 对命题的定义及构成理解不透彻而出错 判断下列语句是否是命题. 如果是，请写出它
的题设和结论，并判断真假. （1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）
画一个 60°的角.
错 解 （1）（2）（3）不是命题.
正 解 （1）是命题.这个命题的题设：两条直线 被第三条直线所截；结论是：内错角相等.这个命 题是假命题.
思考
上面练习题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误 的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补×；
√ （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； √ （3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；×
（5）对顶角相等．√
命题的真假
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫做真命题．
条公路两次转弯后，和原来的方
向相同. 如果第一次的拐角∠A 是 135°，第二次
的拐角∠B 是多少度？为什么？
B
A
B
A
解：第二次的拐角是 135°.因为一条公路两 次转弯后和原来的方向相同，说明两次转弯前后 的路平行，两次拐的角为内错角，根据两直线平 行，内错角相等.
5. 如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管 道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连通管道的 角度为 120°，那么，为了使管道对接，另一侧 应以什么角度铺设纵向连通管道？为什么？
七年级数学人教版下册习题课件第五章5.3.2 命题、定理、证明
∵AD⊥BC(已知)， ∴∠BDA＝90°(___垂__直__的__定__义______)， ∴∠BGF＝90°(__等__量__代__换____)， ∴FG⊥BC(__垂__直__的__定__义____).
④如果a＝b，那么a2＝b2； 第五章 相交线与平行线 ②对于任意有理数a，|a|＞－a； ∴∠2＝∠3(_______________)， ∴∠B＋∠C＝180°(__________). 15．(练习2变式)分别指出下列命题的题设和结论， 4．命题“邻补角相等”的题设是__________________， 4．命题“邻补角相等”的题设是__________________， ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ④是定理．其中正确的说法有( ) B．两直线平行，内错角互补 16．(习题13变式)如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC， (4)题设：两个角互补，结论：一个为锐角，一个为钝角，是假命题． 并判断是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例说明． 交AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，∠DBF＝∠F，求证：EC∥DF. ∴∠BDA＝90°(_________________)， ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c. (3)题设：ac＝bc，结论：a＝b，是假命题． 5．把命题“同旁内角互补”写成“如果……那么……”的形式 ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
10．在下面的括号内，填上推理的根据：
又∵∠1＝B∠．3(已对知)顶， 角相等
7．下列各命题中，属于假命题的是( )
1③5．经(过练一习点C2变有．式且不)只分有别是一指条对出直下顶线列平命角行题于不的已题相知设直和等线结；论，
(1)如图①，已知AB∥CD，BE∥CF，求证：∠B＋∠C＝180°.
④是定理．D其．中作正确∠的说A法O有B( 的) 平分线
④如果a＝b，那么a2＝b2； 第五章 相交线与平行线 ②对于任意有理数a，|a|＞－a； ∴∠2＝∠3(_______________)， ∴∠B＋∠C＝180°(__________). 15．(练习2变式)分别指出下列命题的题设和结论， 4．命题“邻补角相等”的题设是__________________， 4．命题“邻补角相等”的题设是__________________， ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ④是定理．其中正确的说法有( ) B．两直线平行，内错角互补 16．(习题13变式)如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC， (4)题设：两个角互补，结论：一个为锐角，一个为钝角，是假命题． 并判断是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例说明． 交AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，∠DBF＝∠F，求证：EC∥DF. ∴∠BDA＝90°(_________________)， ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c. (3)题设：ac＝bc，结论：a＝b，是假命题． 5．把命题“同旁内角互补”写成“如果……那么……”的形式 ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
10．在下面的括号内，填上推理的根据：
又∵∠1＝B∠．3(已对知)顶， 角相等
7．下列各命题中，属于假命题的是( )
1③5．经(过练一习点C2变有．式且不)只分有别是一指条对出直下顶线列平命角行题于不的已题相知设直和等线结；论，
(1)如图①，已知AB∥CD，BE∥CF，求证：∠B＋∠C＝180°.
④是定理．D其．中作正确∠的说A法O有B( 的) 平分线
5.3.2_命题、定理、证明(公开课)
例2：把下列命题写成“如果„„那么„„”的形 式。并指出它的题设和结论。 1、对顶角相等； 2、内错角相等； 3、两直线被第三直线所截，同位角相等； 4、同平行于一直线的两直线平行； 5、 直角三角形的两个锐角互余； 6、等角的补角相等； 7、正数与负数的和为0。
有些命题如果题设成立，那么结论一定 成立；而有些命题题设成立时，结论不 一定成立。
∴∠2=∠1=90º（等量代换）．
∴ a⊥c（垂直的定义）．
问题3 请同学们判断下列两个命题的真假，并思 考如何判断命题的真假．
命题2 相等的角是对顶角．
（3）我们知道假命题是在条件成立的前提下，结 论不一定成立，你能否利用图形举例说明当两个角 相等时它们不一定是对顶角的关系.
练习1 填空 已知：如图1，∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：EG∥FH． 证明：∵∠1=∠2（已知） ∠AEF=∠1 （ 对顶角相等 ）； ∴∠AEF=∠2 （ 等量代换 ）． ∴AB∥CD （同位角相等，两直线平行）． ∴∠BEF=∠CFE （两直线平行，内错角相等 ）． ∵∠3=∠4（已知）； ∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3． 即∠GEF=∠HFE （ 等式性质 ）． ∴EG∥FH （ 内错角相等，两直线平行 ）．
命题： 相等的角是对顶角． （1）判断这个命题的真假． （2）这个命题题设和结论分别是什么？ 题设：两个角相等； 结论：这两个角互为对顶角．
例3：将下列的命题写成“如果…..， 那么.….. ”的形式，并判断它的真假。
1）等角的余角相等； 2）内错角相等，两直线平行； 3）有理数一定是自然数； 4）两条直线平行，同位角相等；
问题3 请同学们判断下列两个命题的真假，并思考 如何判断命题的真假． 命题1： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平 行线中的一条，那么它也垂直于另一条． （1）命题1是真命题还是假命题？ （2）你能将命题1所叙述的内容 用图形语言来表达吗？
人教版七年级下册数学作业课件 第五章 相交线与平行线 命题定理证明
5.3.2 命题、定理、证明
知识点一 命题的定义与结构 1．下列语句是命题的是 A．延长线段 AB 到 C B．用量角器画∠AOB＝90° C．两点之间线段最短 D．任何数的平方都不小于 0 吗
(C)
2．下列四个选项中，不是命题的是 A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果 a＝b，a＝c，那么 b＝c
(2)判断此命题是真命题还是假命题． 解：“相等的角是直角”是假命题．
知识点三 定理与证明
7．下列说法错误的是
(C)
A．命题不一定是定理，但定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样
得到的真命题就是定理
8．下列命题中，假命题有
①若 a2＝4，则 a＝2；
②若 a＜b，则 a2＜b2；
③若 a＞b，b＞c，则 a＞c；
④若 a2＝b2，则|a|＝|b|.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
(B) D．4 个
9．已知三条不同的直线 a，b，c 在同一平面内，下列 四个命题： ①如果 a∥b，a⊥c，那么 b⊥c； ②如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c； ③如果 b⊥a，c⊥a，那么 b⊥c； ④如果 b⊥a，c⊥a， 那么 b∥c.其中是真命题的有 ①②④ (填序号)．
∴∠1＝
1 2
∠AMN，
∠2＝
1 2
∠DNM.
∴∠1＝∠2.
∴MP∥NQ.
(B)
3．命题“两直线平行，内错角相等”的题设 是 两直线平行 ，结论是 内错角相等 ．
知识点二 真命题与假命题
4．下列命题中，真命题的个数是
知识点一 命题的定义与结构 1．下列语句是命题的是 A．延长线段 AB 到 C B．用量角器画∠AOB＝90° C．两点之间线段最短 D．任何数的平方都不小于 0 吗
(C)
2．下列四个选项中，不是命题的是 A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果 a＝b，a＝c，那么 b＝c
(2)判断此命题是真命题还是假命题． 解：“相等的角是直角”是假命题．
知识点三 定理与证明
7．下列说法错误的是
(C)
A．命题不一定是定理，但定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样
得到的真命题就是定理
8．下列命题中，假命题有
①若 a2＝4，则 a＝2；
②若 a＜b，则 a2＜b2；
③若 a＞b，b＞c，则 a＞c；
④若 a2＝b2，则|a|＝|b|.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
(B) D．4 个
9．已知三条不同的直线 a，b，c 在同一平面内，下列 四个命题： ①如果 a∥b，a⊥c，那么 b⊥c； ②如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c； ③如果 b⊥a，c⊥a，那么 b⊥c； ④如果 b⊥a，c⊥a， 那么 b∥c.其中是真命题的有 ①②④ (填序号)．
∴∠1＝
1 2
∠AMN，
∠2＝
1 2
∠DNM.
∴∠1＝∠2.
∴MP∥NQ.
(B)
3．命题“两直线平行，内错角相等”的题设 是 两直线平行 ，结论是 内错角相等 ．
知识点二 真命题与假命题
4．下列命题中，真命题的个数是
人教版数学七年级下5.3.2《命题、定理、证明(2)》课件(19张PPT)
吕县令问李老汉：“你怎知是张明三的偷？了你的玉米?”
“因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家， 还发现我地里的玉米被人捌了，我知道张三家没有种玉米。
所以我家玉米肯定是张三捌的。”
根据李老汉的证明，
这种从已知条件出发（列出理由），推断出 你能断定玉米是张
结论的证明方法，叫综合法
三偷的吗？ 你觉得有疑点吗？
练习
如果用反证法，也 可以这样证明：
证明： 假定：a不垂直于c 则∠2≠90° 那么∠1≠∠2 则：b与c不平行 这与已知条件b∥c 相矛盾 所以假设是错误的
a 一定垂直于c
归纳
• 证明一个命题是真命题的方法有:
1、从已知条件出发一步步证明的方法——综合法。
2、先假定结论的反面成立，再推出矛盾的方法——反证法。
• 如下图中所示： • 因为：∠A与∠B是对顶角 • 所以：∠A=∠B，
B A
这个证明，条件是 不充分的，且没有 依据，所以是无效
的。
这个证明条件是充分 的，推理的依据是已 知的定理，所以是有
效、正确的。
这个证明的条件是不 真实的，不是已知的， 所以证明是无效的、
不正确的。
归纳:
• 正确的数学推理， 必须建立在这样的基础上： 真实充分的已知条件下。 用定理、公理或定义作为得出判断的依据。
综合法是最常用的证明方法。
用综合法证明时， 1、所列的条件必须是已知真实的、充分的； 2、推理的依据必须可靠。 证明才是有效的。
证明的形式： “因为……（理由/条件）根据……（定理/定义）
所以……（结论）”
下列证明可是有效可靠的吗？
• 因为：∠A=∠B， • 所以：∠A与∠B是对顶角
• 因为：∠A与∠B是对顶角 • 所以：∠A=∠B
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解：∵AB∥CD，∴∠CDA＝∠A＝30° (两直线平行，内错角相等)．
易错点：写命题时，遗漏命题的前提导致错误 10．(2017·泗阳县校级期末)已知：三条不同的直线a，b，c在同一平 面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b.请你用①②③④所给出的其 中 两 个 事 项 作 为 条 件 ， 其 中 一 个 事 项 作 为 结 论 ( 用 “ 如 果 …… ， 那 么……”的形式写出命题，例如：如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b)． (1)写出一个真命题，并证明它的正确性； (2)写出一个假命题，并举出反例．
知识点2：真命题、假命题 6．下列命题中，正确命题的个数是( A ) ①若∠1与∠2是内错角，∠2与∠3是邻补角，则∠1与∠3是同旁内 角；②内错角的平分线一定平行；③有公共顶点且相等的角是对顶 角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．下列命题中是假命题的是( D )
A．直角的补角是直角 B．钝角的补角是锐角
16．(导学号09124025)看图完成下列各题． (1)如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB的理 由； (2)若把(1)中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题 是否为真命题？试说明理由； (3)若把(1)中的题设“∠1＝∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
13．(2017·鼓楼区校级期末)如图，B，A，E三点在同一直线上， (1)AD∥BC，(2)∠B＝∠C，(3)AD平分∠EAC.
请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并 证明．
已知：____________________ 求证：____________________
解：命题：已知：AD∥BC，∠B＝∠C， 求证：AD平分∠EAC. 证明：∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC. 又∵∠B＝∠C，∴∠EAD＝∠DAC. 即AD平分∠EAC.
解：(1)三条不同的直线a，b，c在同一平面内，如果a⊥c，b⊥c，那 么a∥b.
理由：如图， ∵a⊥c，b⊥c，∴∠1＝90°，∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴a∥b. (2)如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b. 反例：见上图，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
11．有下列语句：①画线段AB＝2 cm；②两条直线相交，有几个交 点？③内错角相等；④直角都相等；⑤若a2＝b2，则a＝b.其中是命题 的有( B )
3．“两条直线相交，只有一个交点”的题设是( D ) A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交
4．命题“两条直线平行，内错角相等”的题设是 _____两__条__直__线__平__行_______，结论是____内__错__角__相__等_______．
5．把“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”改写成 “如果……，那么……”的形式是 在_同__一_平__面__内__，__如_果__两__条__直__线_都__垂__直__于__同_一__条__直__线__，_那__么__这__两__条_直__线__平__行__．
14．完成下列证明过程，如图，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1＝∠2， 求证：BE∥CF.
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD(已知)， ∴____∠__A_B__C____＝___∠__D__C_B____＝90°(____垂__直__的__定__义_____)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴____∠__E__B_C_____＝____∠__F_C__B_____(等式的性质)， ∴BE∥CF(____内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行______)．
(3) 真 命 题 ． 理 由 ： 同 (2) 可 得 CD∥FG ， ∴ ∠ 2 ＝ ∠ 3.∵DE∥BC ， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.
17．(导学号09124026)阅读以下两题后作出相应的解答： (1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”， 这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对调，我们把其中一命 题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两 边的距离相等”的逆命题，并指出逆命题的题设和结论； (2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字表述．
已知：过直线AB上一点O任作射线OC，OM，ON分别平分∠AOC， ∠BOC，则OM⊥ON.
解：(1)逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． 题设：一个点到角两边的距离相等， 结论：该点在这个角的平分线上． (2)如图所示．邻补角的角平分线互相垂直．
第五章 相交线与平行线
5．3 平行线的性质
5．3.2 命题、定理、证明 第1课时 真命题与假命题
知识点1：命题的定义和结构 1．下列语句中，不是命题的是( A．如果a＞b，那么b＜a B．同位角相等 C．垂线段最短 D．反向延长射线OA
D)
2．下列语句中，是命题的是( B ) ①两直线平行，同旁内角相等；②π不是有理数； ③同角的余角相等；④明天会下雨吗？⑤延长线段AB. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解 ： (1)∵DE∥BC ， ∴ ∠ 1 ＝ ∠ 2. 又 ∵ ∠ 1 ＝ ∠ 3 ， ∴ ∠ 2 ＝ ∠ 3 ， ∴ CD∥FG.∵CD⊥AB ， ∴ ∠ CDB ＝ 90° ， ∴ ∠ BFG ＝ 90° ， ∴FG⊥AB.
(2)真命题，理由：∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDF＝∠GFB＝90°， ∴CD∥FG，∴∠2＝∠3.又∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DE∥BC.
C．垂线段
C)
A．两个锐角之和为钝角
B．两个锐角之和为锐角
C．钝角大于它的补角
D．锐角小于它的余角
9．(1)如图，请在AB∥CD，∠A＝30°，∠CDA＝30°三项中选择 两个作为条件，一个作为结论，写一个真命题：
___如__果__A_B__∥__C_D_且__∠__A__＝__3_0_°__，__那__么__∠__C_D__A_＝__3_0_°__(_答__案__不__唯__一__)__； (2)请说明你写的命题是真命题的理由．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．(导学号09124024)如图，有以下几种推理： ①若∠1＋∠2＝180°，则l1∥l2； ②若∠3＝∠4，则∠1＋∠2＝180°； ③若∠1＝∠2，则∠3＝∠4； ④若∠3＋∠5＝180°，则∠1＋∠2＝180°. 其中推理不成立的是( C ) A．①② B．③④ C．③ D．④
15．指出下列命题的题设和结论，并说明命题的真假． (1)互补的角是邻补角； (2)两直线平行，同位角相等； (3)邻补角的平分线互相垂直．
解：(1)题设：两个角互补；结论：这两个角是邻补角；假命题． (2)题设：两条直线平行；结论：同位角相等；真命题． (3)题设：两条射线分别平分邻补角；结论：这两条平分线互相垂直； 真命题．
易错点：写命题时，遗漏命题的前提导致错误 10．(2017·泗阳县校级期末)已知：三条不同的直线a，b，c在同一平 面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b.请你用①②③④所给出的其 中 两 个 事 项 作 为 条 件 ， 其 中 一 个 事 项 作 为 结 论 ( 用 “ 如 果 …… ， 那 么……”的形式写出命题，例如：如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b)． (1)写出一个真命题，并证明它的正确性； (2)写出一个假命题，并举出反例．
知识点2：真命题、假命题 6．下列命题中，正确命题的个数是( A ) ①若∠1与∠2是内错角，∠2与∠3是邻补角，则∠1与∠3是同旁内 角；②内错角的平分线一定平行；③有公共顶点且相等的角是对顶 角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．下列命题中是假命题的是( D )
A．直角的补角是直角 B．钝角的补角是锐角
16．(导学号09124025)看图完成下列各题． (1)如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB的理 由； (2)若把(1)中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题 是否为真命题？试说明理由； (3)若把(1)中的题设“∠1＝∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
13．(2017·鼓楼区校级期末)如图，B，A，E三点在同一直线上， (1)AD∥BC，(2)∠B＝∠C，(3)AD平分∠EAC.
请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并 证明．
已知：____________________ 求证：____________________
解：命题：已知：AD∥BC，∠B＝∠C， 求证：AD平分∠EAC. 证明：∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC. 又∵∠B＝∠C，∴∠EAD＝∠DAC. 即AD平分∠EAC.
解：(1)三条不同的直线a，b，c在同一平面内，如果a⊥c，b⊥c，那 么a∥b.
理由：如图， ∵a⊥c，b⊥c，∴∠1＝90°，∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴a∥b. (2)如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b. 反例：见上图，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
11．有下列语句：①画线段AB＝2 cm；②两条直线相交，有几个交 点？③内错角相等；④直角都相等；⑤若a2＝b2，则a＝b.其中是命题 的有( B )
3．“两条直线相交，只有一个交点”的题设是( D ) A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交
4．命题“两条直线平行，内错角相等”的题设是 _____两__条__直__线__平__行_______，结论是____内__错__角__相__等_______．
5．把“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”改写成 “如果……，那么……”的形式是 在_同__一_平__面__内__，__如_果__两__条__直__线_都__垂__直__于__同_一__条__直__线__，_那__么__这__两__条_直__线__平__行__．
14．完成下列证明过程，如图，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1＝∠2， 求证：BE∥CF.
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD(已知)， ∴____∠__A_B__C____＝___∠__D__C_B____＝90°(____垂__直__的__定__义_____)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴____∠__E__B_C_____＝____∠__F_C__B_____(等式的性质)， ∴BE∥CF(____内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行______)．
(3) 真 命 题 ． 理 由 ： 同 (2) 可 得 CD∥FG ， ∴ ∠ 2 ＝ ∠ 3.∵DE∥BC ， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.
17．(导学号09124026)阅读以下两题后作出相应的解答： (1)“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，同位角相等”， 这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对调，我们把其中一命 题叫做另一个命题的逆命题，请你写出命题“角平分线上的点到角两 边的距离相等”的逆命题，并指出逆命题的题设和结论； (2)根据以下语句作出图形，并写出该命题的文字表述．
已知：过直线AB上一点O任作射线OC，OM，ON分别平分∠AOC， ∠BOC，则OM⊥ON.
解：(1)逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． 题设：一个点到角两边的距离相等， 结论：该点在这个角的平分线上． (2)如图所示．邻补角的角平分线互相垂直．
第五章 相交线与平行线
5．3 平行线的性质
5．3.2 命题、定理、证明 第1课时 真命题与假命题
知识点1：命题的定义和结构 1．下列语句中，不是命题的是( A．如果a＞b，那么b＜a B．同位角相等 C．垂线段最短 D．反向延长射线OA
D)
2．下列语句中，是命题的是( B ) ①两直线平行，同旁内角相等；②π不是有理数； ③同角的余角相等；④明天会下雨吗？⑤延长线段AB. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解 ： (1)∵DE∥BC ， ∴ ∠ 1 ＝ ∠ 2. 又 ∵ ∠ 1 ＝ ∠ 3 ， ∴ ∠ 2 ＝ ∠ 3 ， ∴ CD∥FG.∵CD⊥AB ， ∴ ∠ CDB ＝ 90° ， ∴ ∠ BFG ＝ 90° ， ∴FG⊥AB.
(2)真命题，理由：∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDF＝∠GFB＝90°， ∴CD∥FG，∴∠2＝∠3.又∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DE∥BC.
C．垂线段
C)
A．两个锐角之和为钝角
B．两个锐角之和为锐角
C．钝角大于它的补角
D．锐角小于它的余角
9．(1)如图，请在AB∥CD，∠A＝30°，∠CDA＝30°三项中选择 两个作为条件，一个作为结论，写一个真命题：
___如__果__A_B__∥__C_D_且__∠__A__＝__3_0_°__，__那__么__∠__C_D__A_＝__3_0_°__(_答__案__不__唯__一__)__； (2)请说明你写的命题是真命题的理由．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．(导学号09124024)如图，有以下几种推理： ①若∠1＋∠2＝180°，则l1∥l2； ②若∠3＝∠4，则∠1＋∠2＝180°； ③若∠1＝∠2，则∠3＝∠4； ④若∠3＋∠5＝180°，则∠1＋∠2＝180°. 其中推理不成立的是( C ) A．①② B．③④ C．③ D．④
15．指出下列命题的题设和结论，并说明命题的真假． (1)互补的角是邻补角； (2)两直线平行，同位角相等； (3)邻补角的平分线互相垂直．
解：(1)题设：两个角互补；结论：这两个角是邻补角；假命题． (2)题设：两条直线平行；结论：同位角相等；真命题． (3)题设：两条射线分别平分邻补角；结论：这两条平分线互相垂直； 真命题．