压缩映像原理翻译部分1
压缩映像原理翻译部分
部分1.文摘结果主题和概括。
压缩映像原理是一种研究非线性程最有用的工具，比如代数程，积分或微分程。
原则是一个不动点定理，证明了完备度量空间的压缩映像本身有一个独特的固定 点通过反复图像的映射下任意起始点的空间获得极限的定义。
因此，这是一个建设性的不动点定理并且可以实现定点的数值计算。
从古代数学（即计算古代数字平根的古代案）以来，迭代格式一直被使用并且在牛顿法求解多项式或代数程组和皮卡德的迭代过程求解初值和边值非线性常微分程的问题变得特别实用(见,[58],[59])。
在完整的赋线性空间中，这个原理首先被巴拿赫5证明在收缩映射（在巴拿赫的多结果请看[60]）。
同时，豪斯多夫为完备度量空间的收缩映射（来自Caccioppoli 17， [75]）提供了总体框架原则，介绍了一个抽象的度量空间的概念。
它出现在各种文本实际分析(前一个注释,[56])在这些记录中，我们用不同的形式开发压缩映像原理并且提供不同数学文献中的多应用程序。
我们的目的是向读者介绍一些关于已经发现有用的原则在不同区域的分析。
我们会讨论这些分析：牛顿法的收敛；如确定分形是固定的点集值压缩迭代函数系统；积极使用希尔伯特的度量矩阵的门阶-弗罗贝尼乌斯定理和这个无限维空间的拓展(定理Krein-Rutman)； 常微分程的存在性和唯一性定理的基本理论（Picard-Lindel 定理）和各种相关的结果；Abel-Liouville 类型的积分程理论的应用程序；隐函数定理；变分不等式的基本存在和唯一性定理；非对称二次形式的Lax-Milgram 类型结果；Cauchy-Kowalevsky 基本存在性定理的偏微分程的分析条件。
这些记录已经收集了几年,最近，被用来作为研讨会中VIGRE 项目的一个部门基础部分。
我们在这里要感那些参加了研讨会的本科学生,给了我们有价值的反馈。
2．完备度量空间在本节中,我们短暂回顾大多数本科生数学课程中一些非常基本的概念。
压缩映像定理 数分
压缩映像定理数分
压缩映像定理（Compression Mapping Theorem）在数学中，特别是泛函分析和度量空间理论中具有重要意义。
该定理又称Banach不动点定理，它揭示了压缩映射在完备距离空间中的性质。
压缩映像定理的表述如下：
设（X，P）是一个完备的距离空间，T是（X，P）到其自身的一个压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点。
这里，完备的距离空间指的是一个具有完备性质的度量空间，即其中的所有基本列都是收敛列。
压缩映射是指映射T将空间X映射到其自身，并且满足T（X）⊆X。
压缩映像定理在数学分析中有很多应用，例如零点存在性定理、三大中值定理等。
这些定理中的映射都可以看作是压缩映射的特殊情况。
在实际应用中，压缩映像定理也有广泛的应用，如在解方程、微分方程、最优化问题等领域。
此外，压缩映像定理在数字图像和视频压缩中也发挥着重要作用。
通过将图像或视频信号压缩到其极限，可以实现更高的压缩比和更好的质量。
总之，压缩映像定理是数学中一个重要的定理，它在理论研究和实际应用中都有着广泛的意义。
压缩映射原理1
数学与计算机建模部分度量空间的广义原理论文信息论文历史：论文出版于2011.5.16论文修订版出版于2011.11.1论文发表于2011.11.1关键字：定点定理部分度量空间一般收缩映射摘要在这篇论文中，我们证明了部分度量空间的一般压缩映射的不动点定理,代表定理是归纳由d .IlićV.Pavlović,和Rakocević近期提出的固定点定理得出来的。
下面一个例子说明了我们的结果是扩展定理。
2011爱思唯尔有限公司保留所有权利1.介绍与初步了解部分度量空间的概念是由马修斯引入的(见[1、2])。
部分度量空间来源于度量空间，对于所有x,y，通过把定义度量平等的d(x,x)= 0替换成定义度量不平等的d((x,x)≤d(x,y)。
这一概念有一个广泛的应用，不仅在数学的许多分支,而且在计算机领域和语义。
最近,许多作者都从度量空间的类到部分度量空间的类(见[3-16]和定理引用)集中注意力在局部度量空间和它的拓扑性质,和广义度量空间的不动点定理。
这项工作的目的是为了证明一些局部度量空间的广义收缩映射中不动点结果。
给出定理中归纳出来的最近的不动点定理由于Ilićet al。
(见[7])。
给一个例子表明,给出的结果是真实的概括。
我们首先需要回想一些定义：定义1.1(见例如[7,1])。
让X是一个非空的集合。
映射p:×××→[0,∞)是X部分度量指标，如果下列条件满足:(P1)当且仅当p(x,x)= p(y,y)= p(x,y),x = y，(P2)p(x,x)≤p(x,y),(P3)p(x,y)= p(y、x),（P4)p(x,z)≤p(x,y)+ p(y,z)−p(y,y),对于任何x,y,z∈x。
两个(X,p)部分度量空间(总之PMS)。
让(X,p)是部分度量空间，并且函数dp、dm :×××→[0,∞)被给出dp(x,y)= 2 p(x,y)−−p(x,x)−−p(y,y)和Dm(x,y)= max { p(x,y)−p(x,x)、p(x,y)−p(y,y)}是有名的在X上的度量。
压缩映射原理及其应用
压缩映射原理及其应用
1 压缩映射原理
压缩映射原理是一种著名的算法，它使用一组非负整数实现从源
集合到长度更短的目标集合的映射。
它基于一个分段数学原理，也称
为累加比总和，被广泛用于图像处理和黑白分割、遥感图像研究中。
它可以将灰度图像或数字序列按照预定义的百分比比例压缩，比如20%、30%或50%等。
2 压缩映射的基本原理
压缩映射的基本原理是从图像源的最大灰度值开始，依次减去一
定的百分比值，比如15%，25%，50% ......等来进行层次分割，并只
保存最大层次分割灰度值，然后将所有灰度值都映射到对应的最大层
次分割灰度值上，以便减少灰度级数，从而减少图像像素的量化。
3 压缩映射的应用
压缩映射的应用非常广泛，它不仅可以用于图像压缩，还可以用
于数字图像处理，如图像滤波、图像锐化、图像去噪等。
另外，压缩
映射原理也可以用于遥感图像的分割，对遥感图像中的地物进行CT值
定位，减少分类误差，提高分类精度，进而提高遥感图像处理的应用
效果。
4 结论
压缩映射是一种有效的数字图像处理算法，主要用于图像压缩、图像滤波、图像锐化以及遥感图像分割等。
它可以有效地减少灰度级别，降低图像质量，提高处理速度，增强遥感图像处理的应用效果。
压缩映射原理
压缩映射原理
压缩映射原理，也被称为Banach压缩映射原理或Contraction Mapping Principle，是实分析中的一个重要定理。
它提供了解
决完备度公理的一种方法，可以证明某个映射存在唯一的不动点，并且这个不动点可以通过迭代方法逼近。
压缩映射原理的内容可概括为：如果在完备度量空间（如实数空间或某个完备的欧几里得空间）中有一映射，它将该空间中的元素映射为自身，且满足一定的收缩性质，即映射的Lipschitz常数小于1，那么这个映射存在唯一的不动点，即存
在一个元素被映射为自身。
具体来说，设X是一个完备度量空间，也就是有一个距离函
数d(x,y)满足完备性公理，而f是X上的一个压缩映射。
即存
在一个常数L（0<L<1），使得对于空间X中的任意x和y，
都有d(f(x),f(y))≤Ld(x,y)。
那么根据压缩映射原理，f在X中存在唯一的不动点，即存在一个x0使得f(x0)=x0。
更进一步地，对于给定的初始猜测值x1，可以通过迭代的方
式逼近x0。
即依次计算x2=f(x1),x3=f(x2),...，则序列{xk}收敛
于x0，且收敛速度很快。
这是因为L<1，每次迭代xk+1和xk 之间的距离都会缩小L倍，使得误差快速收敛。
压缩映射原理在数值计算和实际应用中有着广泛的应用。
例如，在非线性方程求解、微分方程数值解法、优化等问题中，可以利用压缩映射原理结合迭代方法，找到问题的解。
该原理也被应用于非线性动力系统的稳定性分析，通过分析压缩映射的性
质，可以判断系统是否收敛于特定的不动点。
因此，压缩映射原理在数学和工程领域中有着重要的作用。
叙述并证明压缩映射原理
叙述并证明压缩映射原理压缩映射原理，也被称为Banach原则或固定点定理，是函数分析中的一个重要定理。
该原理在数学领域中有广泛的应用，尤其在拓扑学、微积分学和动力系统领域中。
压缩映射原理简要地说，对于一个完备度量空间上的收缩映射，其将这个度量空间中的每一个元素映射到自身的一个更接近的点。
具体地说，设(X, d)是一个完备度量空间，f:X-->X是一个映射，如果存在一个常数k(0<k<1)，使得对于任意的x, y∈X，都有d(f(x), f(y))≤kd(x, y)，那么f称为一个压缩映射。
压缩映射原理指出，对于这样的压缩映射f，存在唯一的X中的点x_0，使得f(x_0)=x_0。
为了证明压缩映射原理，我们首先需要证明收缩映射的连续性。
对于任意的x_1和x_2∈X，我们有：d(f(x_1), f(x_2))≤kd(x_1, x_2)另一方面，由于度量空间X是完备的，所以对于一个Cauchy序列{x_n}在X中收敛于x，即lim_{n→∞d(x_n,x)}=0。
我们可以通过数学归纳法证明{x_n}是一个Cauchy序列。
首先，由于k<1，我们有：d(x_{n+1},x_n)≤kd(x_n,x_{n-1})≤k^2d(x_{n-1},x_{n-2})≤...≤k^n(x_1,x_0)由于k<1，所以k^n趋近于0，所以d(x_{n+1},x_n)也趋近于0。
因此，{x_n}是一个Cauchy序列，且由完备性可知其收敛于一些x∈X。
现在，我们定义一个函数序列{f_n}，其中f_1=f，f_2=f∘f，...，f_{n+1}=f∘f_n，...。
由于f是一个压缩映射，所以有：d(f_{n+1}(x),f_n(x))=d(f(f_n(x)),f_n(x))≤kd(f_n(x),x)≤k^n d(f(x),x)由此可得：d(f_{n+1}(x),f_n(x))≤k^nd(f(x),x)因此，我们得到了函数序列{f_n(x)}的一致收敛性。
banach压缩映像原理
banach压缩映像原理Banach压缩映像原理是数学中的一个重要定理，它在函数空间中寻找某个唯一的不动点，并且通过不断迭代逼近这个不动点。
这个原理常常用于证明某些方程或者问题存在唯一解，具有广泛的应用价值。
在数学中，函数空间是由一些满足特定条件的函数构成的集合。
Banach压缩映像原理主要适用于完备的函数空间，即满足柯西序列收敛的空间。
它的核心思想是通过构造一个压缩映像，即一个将函数映射到自身并且保持距离缩小的映射，利用这个映射不断逼近不动点。
具体来说，假设我们要解决一个方程f(x) = x，其中f是一个函数，x是未知量。
根据Banach压缩映像原理，我们可以找到一个压缩映像T，使得对于任意的x1和x2，有距离d(T(x1), T(x2)) < k * d(x1, x2)，其中k是一个小于1的常数。
然后，我们可以通过迭代逼近的方式，从一个初始的近似解x0开始，不断应用压缩映像T，即x_n = T(x_{n-1})，直到满足收敛条件为止。
通过Banach压缩映像原理，我们可以证明这个迭代过程收敛，并且收敛到唯一的不动点，即f(x) = x的解。
这是因为压缩映像的性质保证了距离的不断缩小，从而确保了迭代序列的收敛性。
而唯一性则是由于函数空间的完备性，确保了收敛序列的极限存在且唯一。
Banach压缩映像原理在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在微分方程的求解中，可以将微分方程转化为一个不动点问题，然后利用压缩映像原理求解。
此外，在优化问题、概率论、经济学等领域，Banach压缩映像原理也被广泛应用于求解问题的唯一解或最优解。
总结起来，Banach压缩映像原理是数学中一个重要的定理，它通过构造一个压缩映像来寻找函数空间中的不动点，并且通过迭代逼近的方式求解方程或问题的解。
它的应用广泛，并且在数学和应用领域中都有重要的意义。
通过掌握和理解Banach压缩映像原理，我们可以更好地解决各种数学和实际问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。
紧距离空间的压缩映像原理
紧距离空间的压缩映像原理紧距离空间的压缩映像原理在传统的图像压缩中，基于离散余弦变换（DCT）或小波变换（WT）等技术实现。
这些方法在一般情况下可以达到很好的压缩效果，但是对于一些特殊应用场景，如超分辨率重构、快速图像传输等领域，这些传统方法的效果并不尽如人意。
近年来，随着深度学习技术的发展，一些新的压缩方法如基于卷积神经网络（CNN）的图像压缩方法出现。
其中，紧距离空间的压缩映像原理（J-IMAGE）就是一种重要的方法。
J-IMAGE是一种基于局部协同稀疏编码（LSC）理论的CRC（compressive representative code）框架，其主要思想是在空间域上构建一组局部协同的子图，然后将这些子图压缩成低维稀疏向量。
一般的图像压缩方法通常是将整幅图像拆分成许多小块（patch），然后对每一块进行独立的处理，然后在拼接的时候，由于每一块之间存在一定的重叠，所以会出现边缘效应（blocking artifact），导致图像失真。
而J-IMAGE是将图像分成若干个无重合的子块，每个子块都包含一些基本设计初始信息（标准化的图像块），然后通过紧距离空间子图，使得每个子块之间的信息可以彼此协同，从而获得更高的压缩效率。
紧距离空间子图是一种用于解决局部高维数据相应问题的最近邻构建方法。
具体来说，首先需要从原始数据集中随机选取一个子集（J-INDEX），然后对于每一个数据点，寻找其在J-INDEX中的最近邻点，然后这些最近邻点就被构建成了一个子图。
这个子图可以对于原始数据点进行降维，从而获得更高的压缩效果。
J-IMAGE的压缩过程可以分为三个步骤：预处理、编码和解码。
预处理阶段将原始数据映射到紧距离空间子图中，然后通过DWT（Discrete Wavelet Transform）降低空间分辨率，获得局部稀疏性。
编码阶段将局部稀疏数据表示为CRC形式。
解码阶段，从CRC重建压缩的图像数据。
J-IMAGE方法的优势在于其在压缩时利用了图像的局部纹理信息，使得其在压缩比例逐渐升高的时候，失真程度逐渐降低，而不是像传统方法那样直线上升。
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部分1.文摘结果主题和概括。
压缩映像原理是一种研究非线性方程最有用的工具，比如代数方程，积分或微分方程。
原则是一个不动点定理，证明了完备度量空间的压缩映像本身有一个独特的固定 点通过反复图像的映射下任意起始点的空间获得极限的定义。
因此，这是一个建设性的不动点定理并且可以实现定点的数值计算。
从古代数学（即计算古代数字平方根的古代方案）以来，迭代格式一直被使用并且在牛顿法求解多项式或代数方程组和皮卡德的迭代过程求解初值和边值非线性常微分方程的问题变得特别实用(见,[58],[59])。
在完整的赋范线性空间中，这个原理首先被巴拿赫5证明在收缩映射（在巴拿赫的许多结果请看[60]）。
同时，豪斯多夫为完备度量空间的收缩映射（来自Caccioppoli 17， [75]）提供了总体框架原则，介绍了一个抽象的度量空间的概念。
它出现在各种文本实际分析(前一个注释,[56]) 在这些记录中，我们用不同的形式开发压缩映像原理并且提供不同数学文献中的许多应用程序。
我们的目的是向读者介绍一些关于已经发现有用的原则在不同区域的分析。
我们会讨论这些分析：牛顿法的收敛；如何确定分形是固定的点集值压缩迭代函数系统；积极使用希尔伯特的度量矩阵的门阶-弗罗贝尼乌斯定理和这个无限维空间的拓展(定理Krein-Rutman)；常微分方程的存在性和唯一性定理的基本理论（Picard-Lindel 定理）和各种相关的结果；Abel-Liouville 类型的积分方程理论的应用程序；隐函数定理；变分不等式的基本存在和唯一性定理；非对称二次形式的Lax-Milgram 类型结果；Cauchy-Kowalevsky 基本存在性定理的偏微分方程的分析条件。
这些记录已经收集了几年,最近，被用来作为研讨会中VIGRE 项目的一个部门基础部分。
我们在这里要感谢那些参加了研讨会的本科学生,给了我们有价值的反馈。
2．完备度量空间在本节中,我们短暂回顾大多数本科生数学课程中一些非常基本的概念。
我们将假定这些是必要的知识,这里是相关基本文本,例如。
[15],[32],[62]。
2.1 度量空间。
给定一个数组M,一个度量关于M(也称为M 是一个函数距离)。
),0[d +∞=→⨯+RM M ：满足M y x x y d y x ∈∀=,),,(),(dy x if onlu and if y x d =⋅⋅⋅=,,0),( (2.1),,,),,(),(),(M z y x z y d z x d y x d ∈∀+≤(最后一个要求是称为三角不等式)。
我们叫这一对(M,d)为度量空间（我们经常使用M 表示） 一个数组}x {n 1n ∞= 在M 中收敛于M ∉x 的前提是0),(n lim=∞→x d xn这里我们可以写成.x.as.n or.x nlin x xn n∞→→=，我们叫数组}x {n 1n ∞=在M 中是一个柯西数组，前提是对任意0∍>，存在)(nn 0∍=≥∀≤∍m ,n )(d xx mn，，n一个度量空间M 是完整的,当且仅当每一个柯西序列在M 收敛于一个点。
度量空间形成一个useful-in-analysis 的拓扑空间。
我们需要讨论的一些概念在研究这些空间的同时。
然而,我们可以在度量空间的环境里这样做而不是一般的环境。
下面的概念通常是在一个高级微积分或分析的基础课程。
我们将简单地列出这些概念和参考在相应文本(例如。
[32]或[72])的正式定义。
我们考虑一个固定的度量空间(M,d)。
•开放和封闭的子集M; •有界和全有界集M;•极限值(聚点)的一个子集M;•M 的一个子集(注意关闭关闭开放的球不是 一定是封闭球); •一组直径集合;•一组被密集的概念集合;•一个点到另外一个集合之间的距离（或两个集合） 假设(M,d)是一个度量空间并且M M∈1. 如果我们限制d 在M 1X M 1,M 1将是一个度量空间的“相同”指标m 。
我们重要注意的是如果M 是完整和M1X M 是一个封闭的子集, 然后M1也是完整的度量空间(任何柯西序列在M1将M 的柯西序列,因此将收敛于某些点在M 中，如果在M 中逼近M1必须在M1中现在M)。
概念的紧密性是关键。
一个度量空间对于任何簇{A G ∈α：a}相关M 的开集合，有一个有限的自子集A A⊂0。
（用M 的任意一个覆盖面来描述这种情况）。
我们可以“分析性的”分析紧密性如下。
对任何在M 中的{x n}和点M ∈y ；对于任何的正整数k>0,我们说y 是{xn}的一个聚点，存在k n ≥并且xn）（∍∈,y B 。
因此在任何的开发球中，在每个数组M 都存在一个聚点时，我们的M 是紧密的。
在本章的剩余部分,我们简要列表和描述一些有用的度量空间的例子。
2.2．赋范矢量空间. 如果M 是一个真实的或复杂的向量空间矢量 (标量)。
一个映射在下列条件下被叫做模：如果M 是一个向量空间并且||||⋅是一个M 里的模，（M ，||||⋅）是一个赋范矢量空间。
我们不应模糊地说M 是一个赋范矢量空间。
M 是一个向量空间并且||||⋅是一个M 里的模， M 就变成了一个度量空间通过我们定义一个度量空间d ：赋范矢量空间,是一个完备度量空间,在度量d 的指标上面,叫做巴拿赫空间。
因此,一个封闭的巴拿赫空间的子集可能总是被视为完备度量空间,因此,一个封闭的子空间的巴拿赫空间也是一个巴拿赫空间。
我们暂时一下现在的讨论再一起讨论一个小的关于巴拿赫空间的目录,以供将来参考。
我们应当考虑唯一真正的巴拿赫空间,类似的定义复杂的类似物。
在所有情况下,验证这些空间赋范线性空间是非常简单的,完整性的验证,另一方面通常是更加困难。
的许多例子将稍后讨论的设置完成度量空间的子集或巴拿赫空间的子空间。
巴拿赫空间的例子例2.1 （R ，||⋅）是一个简单的巴拿赫空间例子。
例2.2以下是许多我们可以使用的定理：例2.3 我们使用坐标态加法和标量乘法运算,向量空间,可配备标准的某些子空间,尊重他们是完整的。
(1) 当1<p<∞时(2) 另外完整。
例 2.4令H是一个复杂的向量空间。
H上的内积是一个映射满足：（1）对任意的是一个线性映射。
（2）如果H是一实数的向量空间，并且内积是一个实值函数，。
（3）并且当且仅当x=0，就定义|| ）将是一个赋范矢量空间。
（H，||如果H是完整的,我们称H为希尔伯特空间。
我们注意到 (真正的)是希尔伯特空间。
连续函数的空间进一步的例子分析的重要空间。
下面是一个关于上述空间简短的讨论。
例 2.5定义我们注意到对于，我们定义并且对于对于常用点态定义f+g和以及上面被证明的定理，由此可见是一个赋范矢量空间。
这个空间完全遵照的完整性，遵循定理。
(请看[15]) 另一个常用定理是这相当于上面定义的规范；基于如下的不等式等价规范给我们严密的想法和一个可能，在一个给定的相同的想法应用，使用等效的规范，使得计算和验证容易或给我们更透明的结论。
例2.6让成为一个开集Rn，K同上；定义令由于连续函数的序列的一致性是连续的，它遵循的空间是一个banach空间。
假如如上并且是一个开集满足我们令因此，是一个banach空间。
例2.7 令是Rn中的开集。
令是一个多指标。
（非负整数）.我们令令然后F是一阶偏导数。
给出了当，定义令然后，对可微函数的族使用进一步的收敛结果，跟随这个空间是一个banach空间。
空间是用类似方式定义在的方式定义的空间和如果是有界的那么它是巴拿赫空间。
2.3 完备性在这一节中，我们将简要讨论完成的概念在一个度量空间和赋范向量空间中完成。
定理2.8 如果（M，d）是一个度量空间，则存在一个完备度量空间和一个映射就像我们给出一个简短的证明。
我们让C成为一系列在M中的柯西序列。
我们观察到，如果{Xn}和{Yn}是M中的要素。
是一个柯西序列。
如下的三角不等式。
我们定义该映射是一个伪度量（缺乏唯一的条件）从度量的定义）。
关系R定义在C中的关系或等价的，是一个等价关系在C上。
在空间C/R上，所有等价类集合在C中，应记为M.如果我们表示R {xn}，所有这类是R−等于{xn}，我们可以定义这定义了一个度量我们下一个连接到M。
有一个自然的映射M到C，由（序列，所有的条目都是相同的元素）。
我们显然有从而映射（我们称之为H）是的等距形象M是密集的，如下容易从上面的解释。
备注 2.9我们观察到（M，d）是“独特的本质”。
if（M1，D1）和（M2，D2）是映射H1，H2在M中的完备性，然后存在一个映射就像上面的定理，其证明是相似的以前的结果（定理2.8）的证明，回顾一个规范定义了一个度量我们定义（使用该定理的符号）。
对于一个给定的柯西序列也很清楚，通过定义加法，设置为一个向量空间自然的标量乘法。
定理 2.10 如果是一个赋范向量空间，则存在（本质上独特的）完整的赋范向量空间（巴拿赫空间）和（这是一个等距同构）就像在中是密集的。
2.4 勒贝格空间在这一节中，我们将简要讨论勒贝格空间用连续函数的域是Rn空间中产生，如果我们定义f的支撑是闭集每当supp（f）是一个紧凑的（即封闭有界）集合并且被为的定义在Rn上具有紧支撑的定义连续k−值函数集表示时，我们说f具有紧密支撑。
（一般情况下，如果是一个开放的集合）我们首先需要对定义黎曼积分。
要做到这一点，没有在这个过程中，我们假设读者是熟悉的用这个概念来定义封闭的矩形框。
是固定的真实数字（对于每一个盒子）。
我们观察到，如果并且B1和B2这样的盒子，每个包含是一个盒包含这让我们来定义黎曼积分f在Rn上。
其中B是包含任何封闭的盒子。
映射是一个线性映射（线性函数）从到K，另外满足（1）假如f在Rn中是非负的，那么（2）如果是C0序列的非负函数是单调降低（逐点）为零，即，那么定义2.11对于，我们定义这是很容易证明，是一种规范称为C0的L1范数-（RN）。
我们现在的写生过程完成赋范向量空间有限在这样一种方式，我们可以把向量函数Rn上完成。
定义 2.12子集被称为一组测量零的对于任何存在着一系列的框，如，当我们说一个属性持有“几乎无处不在”如果点集在它持有量为零。
在一个非常完备的讨论中，可以发现以下定理的证明和L1−完备性[ 37，7章]。
定义2.13一个序列在赋范向量空间称为一个快速的柯西序列，如果收敛。
定理2.14 如果{fn}是快速柯西序列，然后{fn }收敛点在Rn。
定义2.15 Rn上的勒贝格可积函数f：•f是K值函数定义在Rn ，•有快速柯西序列收敛于f .在Rn。
定理 2.16 如果f是一个勒贝格可积函数，{fn} 和{ gn}是快速柯西序列收敛f，然后这样的结果，我们可以定义其中{fn}是任何快速的柯西序列收敛在Rn。
由此产生的映射在所有定义在空间上的勒贝格可积函数是在这个空间上的线性泛函也满足定理2.17映射在，即满足规范的所有条件，除了，并不意味着f是上的零。