2020届福建省泉州市2017级高三第一次质量检测数学(理)试卷及答案
福建泉州新世纪中学2017届高三普通高中毕业班质量检查数学(理)试题(精编含解析)
2017年普通高中毕业班质量检查数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|1216}x A x =<?，{|}B x x a =<，若A B A ?，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4a >B. 4a ³C. 0a ³D. 0a > 【答案】A 【解析】由题意可知：{}|04A x x =<?，结合集合B 和题意可得实数a 的取值范围是 4a > . 本题选择A 选项.2.已知复数z 满足(1)2i zi +?-，则复数z 的共轭复数为A. 1322i -B. 1322i + C. 13i + D. 13i -【答案】B 【解析】∵(1+i )⋅z =2−i ,∴(1−i )(1+i )⋅z =(1−i )(2−i )，∴2z =1−3i ,∴z =12−32i . 则复数z 的共轭复数为12+32i .故选：B.3.已知随机变量x 服从正态分布2(2,)N s ，若(02)=0.3P x＃，则(4)=P x ³A. 0.2B. 0.3C. 0.6D. 0.8【答案】A 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布()22,N s ，∴P (ξ⩽2)=P (ξ>2)=0.5，∵P (0⩽ξ⩽2)=0.3,∴P (2<ξ<4)=0.3， ∴P (ξ>4)=P (ξ>2)−P (2<ξ<4)=0.2. 故选：A.4.若双曲线22131x ym m+=--的渐近线方程为12y x=?，则m的值为A. 1-B. 13C. 113D. 1-或13【答案】B 【解析】根据题意,双曲线的方程为：221 31x ym m+=--，则分2种情况讨论：、当双曲线的焦点在x轴上,则有3010mmì->ïí-<ïî，解可得m<1，此时渐近线的方程为yx，=12，解可得：m= 13，②、当双曲线的焦点在y轴上,则有3010mmì-<ïí->ïî，解可得m>3，此时渐近线的方程为y x，=12，解可得：m=−1，不合题意，舍去；综合可得：m=13；故选：B.5.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为 2，则输出S的值为A. 64B. 84C. 340D. 1364【答案】B 【解析】执行该程序框图，第一次循环，2,4x S ==；第二次循环，4,41620x S ==+=；第三次循环，8,206484x S ==+=，8464> 结束循环，输出84S = ，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*1·2n n n a a n N +=?，则2016S =（ ） A. 10083?23- B. 201621- C. 200923- D. 200823- 【答案】A 【解析】∵数列{a n }满足a 1=1,a n +1⋅a n =2n (n ∈N ∗)， ∴a 2⋅a 1=2,解得a 2=2.当n ⩾2时,12121222nn n n n n n na a a a a a +++++=?，∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2. 则()()()100810081008201613201524201622121S 3232121a a a a a a --=+++++++=+=?--. 本题选择A 选项.7.已知()42340123423(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，则2a =A. 24B. 56C. 80D. 216【答案】A 【解析】【详解】∵()()()()()423401234232222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，两边求导可得：8(2x −3)3=a 1+2a 2(x −2)+3a 3(x −2)2+4a 4(x −2)3， 再一次求导可得：48(2x −3)2=2a 2+6a 3(x −2)+12a 4(x −2)2， 令x =2,则a 2=24. 故选：A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.8.在区域()0,|{11x x y x y x y 禳³镲镲W =+?睚镲-?镲铪中，若满足0ax y +>的区域面积占W 面积的13，则实数a 的值是（ ） A.23 B. 12 C. 12- D. 23- 【答案】C 【解析】如图所示，绘制不等式所表示的可行域，12112ABCS=创=， 则满足0ax y +>的区域面积13OAD S =，据此可得：21,33D 骣琪琪桫，代入直线方程可得：12a =-. 本题选择C 选项.点睛：线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．9.在四面体ABCD中，若AB CD =2AC BD ==，AD BC =AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A. 13-B. 14-C. 14D. 13【答案】D 【解析】如图所示，该四面体为长方体的 四个顶点，设 长方体的 长宽高分别为,,a b c ，则：2222223{45a b a c b c +=+=+=，解得：1{a b c ===，问题等价于求解线段AB 与线段''C D 夹角的余弦值，结合边长和余弦定理可得：直线AB与CD所成角的余弦值为1。
福建省泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查 理科数学(含答案)
福建省泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查理科数学一、单项选择题:本题共10小题，每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合2{0,1,2},{|20}M N x x x ==∈+-≤Z ,则M∩N =A.{- 1,0,1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {-2,- 1,0,1} 2.已知x,y ∈R ,若x+yi 与31i i +-互为共轭复数,则x +y = A.0 B.3 C.-1 D.43.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格:则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是A.1.4,1.4B.1.4,1.5C.1.4,1.6D.1.62,1.64.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知245,16a s =-=-，则6S =A.-14B.-12C.-17D.12 5. (x +3)(x - 2)5的展开式中，4x 的系数为A.10B.38C.70D.2406.已知函数()()()0.3030.341(),2,0.2,log 22x x f x a f b f c f -====,则a,b,c 的大小关系为 A.c <b<a B.b< a< c C.b<c< a D.c<a<b7.松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称。
在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的x =5，y =2，则输出的n 值为A.4B.5C.6D.7 8.若x ∈[0,1]时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为A. [2ln2 - 2,1] .[2,2]B e e -- C.[2-e,1] D.[-1,1]9.已知函数f(x) = asin2x - bcos2x,ab≠0.当x ∈R 时,()()3f x f π≤,则下列结论错误的是 .3A a b = .()012B f π= 2.()()515C f f ππ-=- 42.()()155D f f ππ-=- 10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2 ×10,4×5三种,其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4×5为20的最佳分解.当p×q(p≤q 且p,q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，定义函数f(n) =q-p,则数列*{(5)})(n f n N ∈的前2020项的和为A. 101051+ 100051.4B - 101051.2C - 1010.51D -二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查(理科数学)2020市4月质检解答题参考答案
理科数学试题答案及评分参考
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置。
13．2
14． 4 3
15． ( 3 , 0) ， 27
4
4
16． ( 2 7 , 2] 7
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考
4
4
思路探求 2：由题目已知条件∠DAC 2∠ACB ，可将所要的角转化到 △ACD 中，利用正弦定理求
市质检数学（理科）参考解答与评分标准 第 2页 共 12页
出 AC ，再将 AC 用 Rt△ABC 中边角来表示，最后再由等量代换求解即可得.
（2）解法二
设∠ACB= ， AB x ，
则∠DAC 2 ， DC 3x .......................................................................7 分
4sin θ cos θ sin θ
解得 cos θ 3 即 cos∠ACB= 3 .....................................................................12 分
又∠DAC 2∠ACB= π ，∠ADC= π ，
3
3
所以 △ADC 为等边三角形，所以 AD 2 .......................................................................4 分
在 △ABD 中，由余弦定理得， BD2 AB2 AD2 2AB AD cos∠BAD ，
2017年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学含答案
2017年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z 为复数z 的共轭复数，且()11i z i -=+，则z 为（ ） A ．i - B ． i C ．1i - D ．1i +2.已知集合11|<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭，则()R A C B = （ ） A ． ∅ B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-3. 若实数,x y 满足约束条件1222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则22z x y =+的最小值是（ ）AB ．45C ．1D ． 44.已知向量,a b满足()1,0a a b a a b =-=-= ，则2b a -= （ ） A ． 2 B．．5. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和且22n n S a =-，则54S S -的值为（ ） A ． 8 B ．10 C. 16 D ．32 6.已知函数()2sin cos 222x x f x ϕϕπϕ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且对于任意的x R ∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.则 （ ）A ．()()f x f x π=+B ．()2f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()3f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()6f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7. 函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．8.关于x 的方程ln 10x x kx -+=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ B ．(]1,1e - C. 11,1e e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．()1,+∞9.机器人AlphaGo （阿法狗）在下围棋时，令人称道的算法策略是：每一手棋都能保证在接下来的十几步后，局面依然是满意的.这种策略给了我们启示：每一步相对完美的决策，对最后的胜利都会产生积极的影响.下面的算法是寻找“1210,,,a a a ”中“比较大的数t ”，现输入正整数“42，61，80，12，79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为1210,,,a a a ，其中最大的数记为T ，则T t -= （ ）A ．0B ． 1 C. 2 D ．310.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）A ．圆弧B ．抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分 11.已知抛物线E 的焦点为F ，准线为l 过F 的直线m 与E 交于,A B 两点，,CD 分别为,A B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，若m 与l 不平行，则CMD ∆是（ ）A ．等腰三角形且为锐角三角形B ．等腰三角形且为钝角三角形 C.等腰直角三角形 D ．非等腰的直角三角形 12. 数列{}n a 满足12sin122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A ． 5050 B ．5100 C.9800 D ．9850第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.某厂在生产甲产品的过程中，产量x （吨）与生产能耗y （吨）的对应数据如下表：根据最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.65yx a =+．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 吨．14. ()()4121x x -+的展开式中，3x 的系数为 ．15.已知l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，l 与圆()222x c y a-+=（其中222c a b =+）相交于,A B 两点，若AB a =，则C 的离心率为 ．16.如图，一张4A 纸的长、宽分别为,2a ．,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得1234,,,P P P P 四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ；③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为25a π三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos sin A C A C B -+= ．（1）证明：,,a b c 成等比数列；（2）若角B 的平分线BD 交AC 于点D ，且6,2BAD BCD b S S ∆∆==，求BD ．18.如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．（1）请在图中作出平面α，使得DE α⊂，且//BF α，并说明理由； （2）求直线EF 和平面BCE 所成角的正弦值．19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.（1）求,,a b c 的值；（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ； （3）某评估机构以指标M （()()E M D ξξ=，其中()D ξ表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，BC =，其周长为6+，若点T 在线段AO 上，且2AT TO =．（1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若,M N 是射线OC 上不同两点，1OM ON = ，过点M 的直线与E 交于,P Q ，直线QN 与E 交于另一点R ．证明：MPR ∆是等腰三角形． 21. 已知函数()()ln 11,f x mx x x m R =+++∈．（1）若直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点，求l 的方程； （2）当0x ≥时，()xf x e ≤，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()124f x x x =++-． （1）解关于x 的不等式()9f x <；（2）若直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．试卷答案一、选择题1-5: ABBAD 6-10: CDADD 11、12：AB二、填空题16. ①②③④ 三、解答题17.解法一:（1）因为()2cos cos cos sin A C A C B -+= ，所以()2cos cos cos cos sin sin sin A C A C A C B --= ，化简可得2sin sin sin A C B =，由正弦定理得，2b ac =，故,,a b c 成等比数列.（2）由题意2BAD BCD S S ∆∆=，得11sin 2sin 22BA BD ABD BC BD CBD ∠=⨯∠ ， 又因为BD 是角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，即sin sin ABD CBD ∠=∠， 化简得，2BA BC =，即2c a =.由（1）知，2ac b =，解得a c == 再由2BAD BCD S S ∆∆=得，11222AD h CD h ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（h 为ABC ∆中AC 边上的高）， 即2AD CD =，又因为6AC =，所以4,2AD CD ==. 【注】利用角平分线定理得到4,2AD CD ==同样得分，在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos2b c a A bc +-===在ABD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD AD AB AD AB A =+-，即(22242428BD =+-⨯⨯=，求得BD =解法二：（1）同解法一.（2）同解法一，4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==， 在BCD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD CD BC CD BC C =+- ，即(22222228BD =+-⨯⨯=，求得BD =解法三： （1）同解法一.（2）同解法二，4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222543cos 2724a cb B ac +-===， 由于2cos 12sin2BB =-，从而可得sin 2B =， 在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==，求得sin C = 在BCD ∆中由正弦定理可得，sin sin CD BD CBD C =∠，即sin sin CD CBD CBD==∠ . 【注】若求得sin A 的值后，在BDA ∆中应用正弦定理求得BD 的，请类比得分. 解法四： （1）同解法一.（2）同解法一，4,2AD CD ==.在BCD ∆中由余弦定理得，(2222214cos 224BD BD BDC BD BD +--∠==⨯⨯，在BDA ∆中由余弦定理得，(2222456cos 248BD BD BDA BDBD+--∠==⨯⨯，因为BDA BDC π∠+∠=，所以有cos cos 0BDC BDA ∠+∠=，故221456048BD BD BD BD--+=，整理得，2384BD =，即BD =18.解：（1）如图，取BC 中点P ，连接,PD PE ，则平面PDE 即为所求的平面α. 显然，以下只需证明//BF 平面α； ∵2,//BC AD AD BC =， ∴//AD BP 且AD BP =， ∴四边形ABPD 为平行四边形， ∴//AB DP .又AB ⊄平面PDE ，PD ⊂平面PDE ， ∴//AB 平面PDE .∵AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， ∴//AF DE .又AF ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴//AF 平面PDE ，又AF ⊂平面,ABF AB ⊂平面,ABF AB AF A ⋂=， ∴平面//ABF 平面PDE . 又BF ⊂平面ABF ，∴//BF 平面PDE ，即//BF 平面α.（2）过点A 作AG AD ⊥并交BC 于G ， ∵AF ⊥平面ABCD ，∴,AF AG AF AD ⊥⊥，即,,AG AD AF 两两垂直，以A 为原点，以,,AG AD AF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.在等腰梯形ABCD 中，∵060,24ABG BC AD ∠===，∴1,BG AG ==则))1,0,BC-.∵44AF DE ==，∴()()0,2,1,0,0,4E F ，∴()()0,4,0,BC BE ==.设平面BCE 的法向量(),,n x y z =，由00n BC n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得4030y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取x =BCE的一个法向量)n =.设直线EF 和平面BCE 所成角为θ，又∵()0,2,3EF =-，∴sin cos ,n EF θ===，故直线EF 和平面BCE所成角的正弦值为26. 19.解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[)20,40的频率为0.005200.1⨯=， 故抽取的学生答卷数为：6600.1=， 又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2， 所以600.212b =⨯=，又2460b a b +++=，得30a b +=， 所以18a =.180.0156020c ==⨯.（2）“不合格”与“合格”的人数比例为24：36=2：3， 因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人. 所以ξ有20，15，10，5，0共5种可能的取值.ξ的分布列为：()()()431226646444410101018320,15,1014217C C C C C P P P C C C ξξξ=========，()()134644441010415,035210C C C P P C C ξξ======. ξ的分布列为：所以()20151050121421735210E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可得()()()()()()2222218341201215121012512012161421735210D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以()()120.750.716E M D ξξ===>，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案. 20.解法一：（1）以O 为坐标原点，以BC的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得,B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由6AB AC BC ++=+6AB AC +=， 因为故6AB AC BC +=>，所以点A 的轨迹是以,B C 为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以A 的轨迹方程为()2221399x y x +=≠±. 设()()00,,,A x y T x y ，依题意13OT OA =，所以()()001,,3x y x y =，即0033x x y y =⎧⎨=⎩，代入A 的轨迹方程222199x y +=得，()()22323199x y +=，所以点T 的轨迹E 的方程为()22211x y x +=≠±.（2）设()()()()()1122331,0,,0,1,,,,,,M m N m Q x y P x y R x y m ⎛⎫≠⎪⎝⎭. 由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为11QM y k x m =-，所以直线QM 为()11y y x m x m=--， 与2221x y +=联立得，()()()22222211111122120mmx x m x x mx x m x +---+--=，由韦达定理2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222222111*********111122121112x x x mx m x x m m x x x x m mx x m m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===+-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以23x x =或10x =， 当23x x =时，PR x ⊥轴， 当10x =时，由()()2112212112m x x x mmx -+=+-，得2221mx m =+，同理3222122111m m x x m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，PR x ⊥轴.因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形. 解法二：（1）以O 为坐标原点，以BC的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得,22B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 在x轴上取12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为点T 在线段AO 上，且2AT TO =， 所以12//,//FT AB F T AC ，则()1212116233FT F T AB AC F F +=+=⨯=>= 故T 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点）， 所以点T 的轨迹E 的方程为()22211x y x +=≠±.（2）设()()()1,0,,0,1,M m N n m n m ⎛⎫≠=⎪⎝⎭，()()()112233,,,,,Q x y P x y R x y ， 由题意得，直线QM 斜率不为0，且()01,2,3i y i ≠=，故设直线QM 的方程为：x t y m =+ ，其中11x mt y -=， 与椭圆方程2221x y +=联立得，()2222210t y mty m +++-=，由韦达定理可知，212212m y y t -=+ ，其中()22221211122112222x m x mx m y t y y --+++=+=，因为()11,Q x y 满足椭圆方程，故有221121x y +=，所以22121122mx m t y -++=. 设直线RN 的方程为：x sy n =+，其中11x ns y -=， 同理222113221121,22nx n n y y s s y -+-=+=+ ， 故()()()()()()222222212222231321122211222m m s m s y y y t n y y y n t t s --+++====---+++ 222121212211211221111212nx n m m x y m m mx m mx my -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=-=--+-+ ， 所以23y y =-，即PR x ⊥轴，因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形.21.解：（1）因为直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点， 所以曲线()y f x =必恒过定点，由()()ln 11f x mx x x '=+++，令()ln 10x x +=，得0x =， 故得曲线()y f x =恒过的定点为()0,1.因为()()ln 111x f x m x x ⎛⎫'=+++ ⎪+⎝⎭，所以切线l 的斜率()01k f '==， 故切线l 的方程为1y x =+，即10x y -+=.（2）令()()()[)ln 11,0,xxg x e f x e x mx x x =-=--+-∈+∞，()()[)1ln 1,0,1x xg x e m x mx x '=--+-∈+∞+. 令()()[)1ln 1,0,1xx h x e m x mx x =--+-∈+∞+， ()()[)()211,0,,01211xh x e m x h m x x ⎡⎤''=-+∈+∞=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦. ① 当0m ≤时，因为()0h x '>，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，故()()()00h x g x h '=≥=， 因为当[)0,x ∈+∞时，()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，故()()00g x g ≥=. 从而，当0x ≥时，()xe f x ≥恒成立.② 当102m <≤时， 因为()h x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()0120h x h m ''≥=-≥， 故与①同理，可得当0x ≥时，()xe f x ≥恒成立.③ 当12m >时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<. 取410x m =->，因为()()()22111111111xh x e m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤'=-+≥+-+⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()1111141440164284h m m m '-≥-->⨯-->， 前述说明在()0,41m -内，存在唯一的()00,41x m ∈-，使得()00h x '=，且当[]00,x x ∈时，()0h x '≤，即()h x 在[]00,x 上单调递减，所以当[]00,x x ∈时，()()()00h x g x h '=≤=， 所以()g x 在[]00,x 上单调递减，此时存在00x x =>，使得()()000g x g <=，不符合题设要求. 综上①②③所述，得m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.说明：③也可以按以下方式解答： 当12m >时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<，当x →+∞时，()211,011xe m x x ⎡⎤→+∞-+→⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，所以()h x '→+∞， 故存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<， 下同前述③的解答.22.解一：（1）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=， 由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()24cos 0*ρρθ-=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入(*)得， 2240x y x +-=， 即C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）将直线l 的参数方程代入()2224x y -+=得，()22cos sin 20t t ϕϕ++-=，()24cos sin 80ϕϕ∆=++>，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ， 则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-，所以12PQ t t =-==因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈， 所以当3,sin 214πϕϕ==-时，PQ 取得最小值【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】 解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ， 当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小. 此时()223212CM=-+=，PQ ===所以PQ 的最小值为解法三： （1）同解法一（2）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，cos sin 4d πϕϕϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,ϕπ∈， 所以当34ϕπ=时，d又PQ == 所以当34ϕπ=时，PQ 取得最小值23.解：（1）()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩.①当1x ≤-时，由不等式339x -+<，解得2x >-. 此时原不等式的解集是：{|21x x -<≤-.②当12x -<<时，由不等式59x -+<，解得4x >-. 此时原不等式的解集是：{}|12x x -<<.③当2x ≥时，由不等式339x -<，解得4x <， 此时原不等式的解集是：{}|24x x ≤<. 综上可得原不等式的解集为()2,4-.（2）由（1）可得，函数()f x 的图像是如下图所示的折线图. 因为()()()min 16,23f f x f -===，故当36m <≤时，直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形， 即m 的范围是(]3,6. 【注：范围正确，不倒扣】 且当6m =时，()()max 1316362S =+-=.。
福建省泉州市2020届高三数学毕业班第一次质量检查试题 理
福建省泉州市2020届高三数学毕业班第一次质量检查试题 理一、单项选择题:本题共10小题，每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合2{0,1,2},{|20}M N x x x ==∈+-≤Z ,则M∩N = A.{- 1,0,1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {-2,- 1,0,1}2.已知x,y ∈R ,若x+yi 与31ii+-互为共轭复数,则x +y = A.0B.3C.-1D.43.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格:则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是 A.1.4,1.4B.1.4,1.5C.1.4,1.6D.1.62,1.64.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知245,16a s =-=-，则6S = A.-14B.-12C.-17D.125. (x +3)(x - 2)5的展开式中，4x 的系数为 A.10B.38C.70D.2406.已知函数()()()0.3030.341(),2,0.2,log 22x x f x a f b f c f -====,则a,b,c 的大小关系为 A.c <b<a B.b< a< c C.b<c< a D.c<a<b7.松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称。
在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的x =5，y =2，则输出的n 值为A.4B.5C.6D.78.若x ∈[0,1]时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为 A. [2ln2 - 2,1].[2,2]B e e --C.[2-e,1]D.[-1,1]9.已知函数f(x) = asin2x - bcos2x,ab≠0.当x ∈R 时,()()3f x f π≤,则下列结论错误的是.3A a b =.()012B f π=2.()()515C f f ππ-=-42.()()155D f f ππ-=- 10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2 ×10,4×5三种,其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4×5为20的最佳分解.当p×q(p≤q 且p,q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，定义函数f(n) =q-p,则数列*{(5)})(nf n N ∈的前2020项的和为A. 101051+100051.4B -101051.2C -1010.51D -二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
福建省泉州市普通高中2017年教学质量随机监测数学理试卷含答案
泉州市普通高中2017年教学质量随机监测试卷数 学 理(选修2—2）注意事项:1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1。
已知2i i(ia b +=+其中,a b ∈R ， i 为虚数单位），则b a +的值为A ．1-B ．1C ．2D ．32。
给出一个命题P ：若,,,a b c d ∈R 11a b c d +=+=，，,且1ac bd +>,则,,,a b c d 中至少有一个小于零.在用反证法证明P 时，应该假设A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于或等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数3。
“三段论”是演绎推理的一般形式。
现给出一段推理：①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形。
那么，这段推理中的小前提是A ．①B ．②C ．③D ．无法确定4。
欧拉(Leonhard Euler ,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的一种表示复数的方法ie cos isin θθθ=+(i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，并建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在高等数学的复变函数理论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此方法可知，在复平面内复数2ie 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5。
⎰-2024dx x 等于A ．π2B ．πC ．2πD ．4π6.已知函数()f x 21cos 4x x =+，'()f x 是()f x 的导函数，则'()f x 的图象大致是7.求由抛物线22y x =与直线2,0x y ==所围成的平面图形的面积时，将区间[]0,2等分成n 个小区间，则第i 个区间为 A ．1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,i i n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()()2221,i i n n --⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()212,i i nn -⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.曲线21x y x =-在其上的点11（，）处的切线方程为A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-=D ．450x y --=9.用数学归纳法证明2(1)(2)(32)(21),()n n n n n n *++++++--∈=N 时，若记)23()2()1()(-++++++=n n n n n f ,则)()1(k f k f -+等于A ．13-kB ．13+kC ．k 8D ．k 910。
2020届泉州市高三毕业班线上质量检测理科数学试题(带答案解析)
绝密★启用前2020届泉州市高三毕业班线上质量检测理科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．集合}230A x x x =-<，2{}0|B x x =-≥，则()A B =R I ð( ) A ．{|02}x x <≤ B ．{} 2|0x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{}|03x x <<2．设复数()2112i z i+=-，则z =( )A ．5B ．25C D ．433．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度() / mg ml 的变化情况，其中点i A 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达峰(最高浓度)时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位:h )，点i A 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值()1,2,3i =. 记i V 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记i T 为服用第i 种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则123,,V V V 中最小的，123,,T T T 中最大的分别是( )○…………外…………线…………○……○…………内…………线…………○……A ．23,V TB ．22,V TC ．13,V TD ．12,V T4．已知{}n a 是公差为3的等差数列.若124,,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和10S =( ) A ．165B ．138C ．60D ．305．若()()()()()()523450123452111111x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则4a =( )A ．10B ．10-C ．80D ．80-6．已知函数()f x 满足()()2 f x f x +=-，且当1x >时，()3f x x =，则()f x 的图象在()()0, 0f 处的切线方程为( ) A ．128y x =+ B ．128y x =-+ C ．128y x =- D ．128y x =--7．已知函数2,0()32,0xx b x f x b x ⎧++>=⎨+≤⎩，若()f x 在实数集上为增函数，则常数b 满足（ ） A ．0b <B ．0b >C ．01b ≤≤D ．1b >8．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )…………装…………○……学校:___________姓名：___________班级：____…………装…………○……A ．32 B ．3 C ．23D ．439．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式:设ABC V 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin sin 5C c A =，且()()40,a b c a b c +---+=则利用“三斜求积”公式可得ABC V 的面积S =( ) A ．2B ．2C ．4 D10．已知双曲线：()22221,0x y a b a b-=>，点P 的坐标为()1,2-，斜率为18-的直线与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点，直线AP 交双曲线于另一点C ，直线BP 交双曲线于另一点D .当直线CD 的斜率为18-时，此双曲线的离心率为（ ）A B ．32C D ．52二、多选题11．如图，一个水轮的半径为6m ，水轮轴心O 距离水面的高度为3m ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点P )开始计时，记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数，则下列结论正确的是( )…线…………○………线…………○……A．()39f=B．()()71f=C．若()6f t≥，则[]212,512N()t k k k∈++∈D．不论t为何值，()()()4?8f t f t f t++++是定值12．已知()f x是定义在R上的奇函数，()()11f x f x+=-.若()11f=，则( )A．()f x是周期函数B．当n为偶数时，()0f n=C．()()()()222122336616f f f f+++⋅⋅⋅+=D．()()()()()22222233 (4242881)1f f f n f n n n++++++=++第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明三、填空题13．已知向量(1,1),a=(2,1)b=r，若()()a b a bλ-⊥+r rr r，则实数λ的值为________.14．已知数列{}n a的各项均为正数，且2*116N()nn nnaa a na++=+∈，则4725a aa a+=+__________.15．已知()2:20C y px p=>的准线l与x轴交于点A，点,B P在C上，ABFV是面积为2的等腰直角三角形，则C的方程为__________；PFPA的最小值为__________.16．已知三棱锥P ABC-中，平面PAB⊥平面30ABC PAB∠=︒,，…………○…………装………订…………○……学校:___________姓名：_________考号：___________…………○…………装………订…………○……6,10AB PA CA CB ==+=.设直线PC 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为__________. 四、解答题17．如图，已知在平面四边形ABCD 中，,CAB a ABC ACB βγ∠=∠=∠=,，且()()2cos sina sin sin cosa cos γβγβ+=--.（1）证明:2CA CB AB +=；（2）若21CA CB DA DC ===,，求四边形ABCD 的面积的取值范围.18．如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4,D 是AC 的中点，E 在11A C 边上，113EC A E =.（1）证明:平面1BC D ⊥平面11ACC A ；（2）若F 是侧面11ABB A 内的动点，且//EF 平面1BC D .①在答题卡中作出点F 的轨迹，并说明轨迹的形状(不需要说明理由)； ②求二面角1C BD F --的余弦值的最大值.19．设椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点.（1）若2AF FB =u u u r u u u r，求l 的方程；（2）设过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点P ，若M 是PAB △的外心，证明:ABMF为定值.20．某游戏棋盘上标有第0,1,2,,100⋅⋅⋅站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明:11119)3(183n n n n P P P P n +-+=+≤≤；（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平. 21．已知函数()xaxf x x lnx e =-+. （1）当1a ≥-时，讨论()f x 的极值点个数； （2）若0x >时，()f x e ≤-，求a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为4,,x t y kt =-⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1y x k=，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线C .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 的极坐标方程； （2）已知点,A B 在C 上，4AOB π∠=，求AOB V 的面积的最大值.23．已知关于x 的不等式2321x x a x -+-≥-的解集为R . （1）求a 的最大值m ；（2）在（1）的条件下，若1p >，且22pq p q m --=-，求p q +的最小值.参考答案1．B 【解析】 【分析】利用集合的交、补运算即可求解. 【详解】}{}{(3)003A x x x x x =-<=<<，}{2B x x =≥，}{2R B x x =<ð，则(){}{}{}03202R A B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<ð， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的交、补运算，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算以及复数模的求法即可求解. 【详解】复数()2124212125i i iz i i +-+===--，5z == 则复数z， 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】根据图像，依据题意逐个判断得出答案. 【详解】①设(),i i i A x y ，则ii iy V x =，即直线i OA 的斜率，由图可知，直线2OA 的斜率最小，即2V 最小；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应132,,A A A 在首次降到峰值一半时对应点，不妨记为132,,B B B ，由图可知2A 到2B 经历的时间最长，所以123,,T T T 中最大的是2T . 故选：B. 【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力以及转化与化归的思想，考查了图中量的几何意义，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】利用等比中项以及等差数列的通项公式求出13a =，再利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由124,,a a a 成等比数列得2214a a a =即()()211139a a a +=+解得13a =，101109101034531652S a d ⨯=+⨯=⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项以及等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】由()()5521211x x +=+-⎡⎤⎣⎦，利用二项式展开式的通项即可求解. 【详解】()()5521211x x +=+-⎡⎤⎣⎦，通项()()515211rrrr T C x -+=+-⎡⎤⎣⎦，故当1r =时，()()()511411+15=211801T C x x -+-=-+⎡⎤⎣⎦，所以480a =-.故选：D 【点睛】本题考查了二项式的展开式，熟记展开式是解题的关键，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】根据题意可得()f x 关于直线1x =对称，从而可得()()028f f ==，且()'012k f ==-，利用点斜式即可求解. 【详解】依题意由()()2 f x f x +=-，可得()()1 1f x f x +=-， 所以()f x 关于直线1x =对称， 所以()()028f f ==，当1x >时，()3f x x =，则21x -<所以()()()332226128f x f x x x x x =-=-=-+-+， 所以()231212f x x x '=-+-()'012k f ==-，故切线为：128y x =-+， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的对称性以及导数的几何意义，求出函数的导函数以及切点，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R 上递增，则有0221b b b -≤⎧⎨+≥+⎩，解得不等式，即可求出结果． 【详解】因为()f x 在实数集上为增函数，所以001221b b b b -≤⎧⇒≤≤⎨+≥+⎩，故选C. 【点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果． 8．A 【解析】 【分析】根据三视图得出几何体的直观图，然后再利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -的边长为3，,M N 分别为AB ，1DD 的三等分点，且11BM D N ==.三棱锥1N B MB -即为所求三棱锥，11313322V ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，同时考查了椎体的体积公式，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得5ac =，代入()()40,a b c a b c +---+=可得2226a c b +-=，再由三斜求体即可解答. 【详解】因为2sin sin 5C c A =，由正弦定理得25c c a =，5ac =，又因为()2240a c b --+=，所以222246a c b ac +-=-=，代入2S ===. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理以及新定义，需熟记定理的内容，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】利用点差法可表示出,M N y y ，由平行关系易知,,P M N 三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入,M N y y 整理可得到,a b 关系，利用双曲线222c a b =+得到关于,a c 的齐次方程，进而求得离心率. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点(),M M M x y22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+2218M M x b a y =⋅=- 228M M b y x a∴=-⋅…①设()33,C x y ，()44,D x y ，线段CD 的中点(),N N N x y同理可得：228N N b y x a=-⋅…②AB CD k k =Q //AB CD ∴，易知,,P M N 三点共线2211N M M N y y x x --∴=++，将①②代入得：2222882211M N M N b b x x a a x x -⋅--⋅-=++即()22410M N b x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ ∴()222244a b c a ==-，即2245c a =e ∴==故选：C 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到点差法的应用；关键是能够利用三点共线得到斜率相等，从而构造出关于,a c 的齐次方程，解齐次方程求得离心率；需要注意的是，在处理弦中点问题时，常采用点差法来得到弦的斜率和中点坐标之间的关系. 11．BD 【解析】 【分析】以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，从而点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐一判断选项即可求解.【详解】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得OP 在()t s 内所转过的角度为t ，则66POx t ππ∠=-.则点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数()6sin 366f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；()36sin 3326f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，选项A 错误；()16sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()776sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()()17f f =，选项B 正确；由()6f t ≥得，1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭解得[]()212,612t k k k N ∈++∈，选项C 错误；由()()()37486sin()36sin 36sin 3666666f t f t f t t t t ππππππ⎛⎫⎛⎫++++=-+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开整理得()()()489f t f t f t ++++=为定值，选项D 正确；故答案为：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的应用、解三角不等式，两角和与差的正弦公式，属于基础题. 12．ABD 【解析】 【分析】根据函数为奇函数以及()()11f x f x +=-，结合周期定义即可判断A ；由函数的周期为4 即可判断B ；根据题意可得()()111f f -=-=-，结合B 项以及函数的周期为4即可求解；由函数的周期为4以及当n 为偶数时，()0f n =即可求解. 【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又()()11f x f x +=-， 所以()()()2f x f x f x +=-=-.所以()()()42f x f x f x +=-+=，可得函数()f x 的周期为4，选项A 正确；()()()2200f f f -=-=-=，即()()()220f f f -==，又因为函数周期为4，所以当n 为偶数时，()0f n =，选项B 正确； 因为()()111f f -=-=-，周期4T=，所以()()()()22222122336613517f f f f +++⋅⋅⋅+=-+=，所以选项C 是错的；()()()()()()222222221223342421357941f f f n f n n +++⋅⋅⋅+++=-+-++⋅⋅⋅++()()()22222215397(41)41n n ⎡⎤=+-+-+⋅⋅⋅--++⎣⎦()()1235794141n n =+++++⋅⋅⋅+-++⎡⎤⎣⎦()()223411212448812n n n n n n ++=+⨯=++=++所以选项D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，属于中档题. 13．85【解析】 【分析】利用向量垂直的性质列方程求解即可. 【详解】()()a b a b λ-⊥+r r r r Q , ()()0a b a b λ∴-⋅+=r rr r ,23(1)50λλ+--=,解得85λ=， 故答案为：85【点睛】本题主要考查了向量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题. 14．9 【解析】 【分析】根据递推关系式可得()()11320n n n n a a a a ++-+=，从而可得{}n a 是首项为10a >，公比为3的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由2116n n n na a a a ++=+可得：221160n n n n a a a a ++--=，即()()11320n n n n a a a a ++-+=， 因为0n a >，所以13n n a a +=，所以{}n a 是首项为10a >，公比为3的等比数列， 所以222472525259a a a q a q q a a a a ++===++. 故答案为：9 【点睛】本题考查了递推关系式研究函数的性质，等比数列的通项公式，属于基础题. 15．24y x =2【解析】 【分析】 根据题意可得到122p p ⋅⋅=，故可求出C 的方程；设(0P x ，焦点()1,0F ，()1,0A -，利用抛物线的定义以及勾股定理可得01,PF x PA =+=，从而PF PA=≥即可求解.【详解】由已知可得AFP ∠为直角，故122p p ⋅⋅=，解得2p =， 所以C 的方程为24y x=；由对称性，不妨设(0P x ，因为抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，()1,0A -，01,PF x PA =+==PF PA==≥，当且仅当01x =时取等号，PF PA取最小值2.故答案为：24y x =；【点睛】本题考查了抛物线的定义以及抛物线的标准方程，需熟记抛物线的定义以及几何性质，属于中档题. 16．34【解析】 【分析】利用余弦定理求出PAB △是直角三角形，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，易得PD =，连接CD ，可得PD ⊥平面ABC，进而可得tan PD CD θ==CD y =，CA x =，即10CB x =-，由180CDA CDB ∠+∠=︒，利用余弦定理可得：()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，化简配方即可求解. 【详解】由已知易得PAB △是直角三角形， 过点P 作PD AB ⊥，垂足为D，易得93,22PD AD BD ===， 连接CD ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理，可得PD ⊥平面ABC ， 所以PCD θ∠=，tan PD CD θ=CD 取最小值时，tan θ最大. 设CD y =，CA x =，则10CB x =-.因为180CDA CDB ∠+∠=︒，所以cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，即()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，所以y =，可得当152x =时，y取得最小值，最小值为即CD 的最小值所以tan θ34=. 故答案为：34【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题.17．（1）证明见解析；（2）⎦⎝. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=，然后再利用两角和的正弦公式的逆应用可得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=，从而可得sin sin 2sin βαγ+=，再利用正弦定理即可求解.（2）由（1）可得ABC ∆为是等边三角形，设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈，利用三角形的面积公式可得21sin 4ABCD S AC ϕ=，在ADC V 中，由余弦定理求出AC ，然后利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由cos (sin sin )sin (2cos cos )γαβγαβ+=--得 cos sin cos sin 2sin sin cos sin cos γαγβγγαγβ+=--.整理得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=， 即得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=. 因为在ABC V 中，αβγπ++=，所以()()()sin sin sin ,sin sin αγπβββγα+=-=+=， 所以sin sin 2sin βαγ+=. 由正弦定理得2CA CB AB +=.（2）因为CA CB =，2CA CB AB +=， 所以CA CB AB ==,ABC V 为是等边三角形. 设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈， 则ABCD ACD ABC S S S =+△△ 211sin sin 6022DA DC AC ϕ=⋅⋅+ﾟ21sin 4AC ϕ= 在ADC V 中，由余弦定理得22252cos cos 4AC DA DC DA DC ADC ϕ=+-⋅∠=-.15sin cos 44ABCD S ϕϕ⎫=-⎪⎝⎭()1sin 4ϕϕ=1sin 23πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为0ϕπ<<，所以2333πππϕ-<-<，所以sin 13πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，得11sin 232πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭.1sin 23πϕ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭.因此，四边形ABCD 面积的取值范围为⎦⎝. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，则点F 的轨迹就是线段MN . 【解析】【分析】（1）证出1AA BD ⊥，BD AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定定理即可证出面面垂直.（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，可得点F 的轨迹；②以DA 、DB 所在的直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面1DBC 的一个法向量以及平面DBF 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）在正三棱柱1ABC ABC -中，因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， 所以1AA BD ⊥.在等边ABC V 中，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1AA AC A =I ,所以BD ⊥平面11ACC A .又BD ⊂平面1BC D ，所以平面1BC D ⊥平面11ACC A .（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，则点F 的轨迹就是线段MN . ②由图可知当点F 与点N 重合时，二面角1C BD F --的余弦值取到最大值. 以DA 、DB 所在的直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系D xyz -.则()0,0,0D，(0,B ，()12,0,4C -，()()N F，()0,DB =u u u r，()12,0,4DC =-u u u u r，()DF =u u u r设平面1DBC 的一个法向量为()111,,m x y z =u r.由10,0,DB m DC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v得1110,240,x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩令12x =，解得11z =.所以()2,0,1m =u r.设平面DBF 的一个法向量为()222,,n x y z =r由0,0,DB n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v得12220,40,x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令24x =，解得21z =-. 所以()4,0,1n =-r.因此cos ,85m nm n m n ⋅===⋅v vv v v v . 故二面角1C BD F --的余弦值得最大值为85. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，空间向量法求面面角，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题. 19．（1）)1y x =-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入椭圆方程消x ，根据韦达定理求出两根之和、两根之积，由2AF FB =u u u r u u u r，可得122y y =-，两根之和、两根之积即可求解. （2）由（1）得AB 的中点坐标为2243,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，利用弦长公式求出AB ，根据题意可得AB 的垂直平分线方程22343434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，求出点M 的坐标，进而求出MF ，进而可求解. 【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=得()2234690t y ty ++-=，设()()1112,,,A x y B y y ，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+ 若2AF FB =u u u r u u u r，则122y y =-，解得t = 所以，l的方程为)1y x =-（2）由（1）得AB 的中点坐标为2243,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以()212221213434t AB y y t t +=-==++ 因为M 是PAB △的外心，所以M 是线段AB 的垂直平分线与AP 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线为22343434ty t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭令0y =，得2134x t =+，即21,034M t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 所以，22213413434t MF t t +=-=++ ()22221211234433334t AB t t MFt ++===++，所以AB MF 为定值. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.20．（1）分布列见解析，4；（2）证明见解析；（3）不公平.【解析】【分析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3456,、、、根据独立重复实验的概率计算公式求出概率即可.（2）当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P ；由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -，从而112133n n n P P P +-=+，同时加上13n P 即可证出.（3）由（2）可得9998972133P P P =+，由1009813P P =，概率不相等，即可得出结论. 【详解】 （1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3456,、、、 ()()2213282143,4327339P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2323212115,6339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()842134564279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）依题意，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P ；由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -. 所以，112133n n n P P P +-=+. 同时加上13n P 得()1111211119833333n n n n n n n P P P P P P P n +--⎛⎫+=++=+≤≤ ⎪⎝⎭； （3）依照（2）的分析，棋子落到第99站的概率为,9998972133P P P =+， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有1009813P P =. 所以10099P P <，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 21．（1）一个极值点；（2）1e a e -≤-.【解析】【分析】（1）求出()()1x x e x a x f x e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=，令()x e g x a x =+，求出()g x '，利用导数判断()g x 的单调性，从而判断函数()f x 的单调性，从而由极点的定义即可求解.（2）等式可化为()ln x x x e a e x --≤恒成立，令()()ln x x x h x e e x =--，只需()min a h x ≤，利用导数求()min h x 即可.【详解】（1）()()()11'1x x x e x a x a f x x ex e ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎝⎭ 令()xe g x a x=+ 则()()21'x e x g x x-=，当01x <<，()'0g x <，当0,'()0x g x >>， 所以()g x 在()0,1递减在(1,)+∞递增，所以()()min 1g x g a e ==+因为1a ≥-所以0a e +>，()0g x >恒成立，则当()'0f x >时，()01,'0x f x <<<时，1x >所以()f x 在()0,1递增，(1,)+∞递减，所以1x =是()f x 唯一极值点，所以()f x 只有一个极值点（2）因为0x >，不等式可化为()ln x x x e a e x --≤恒成立， 令()()ln x x x h x e e x =--，只需()min a h x ≤ 因为()()()21ln 1x x x x e e x h x ---+'=，令()l 1x nx x e ϕ=--+，则()11'1x x x xϕ-=-= 当()()()0,10,1,0,'(),'x x x x ϕϕ∈>∈+∞<，所以()x ϕ在()0,1递增，(1,)+∞递减. 有()()221130,120,0e e e e e ϕϕϕ⎛⎫=--<=->= ⎪⎝⎭. 所以()x ϕ在()0,1存在唯一零点0x ，在(1,)+∞存在唯一零点x e =，当00x x <<时，()()0,'0x h x ϕ<<，当01x x <<时，()()0,'0x h x ϕ>>，当1x e <<时，()()0,'0x h x ϕ><，当()(),'0,'0x e x h x ϕ><>，所以()h x 在()00,x 和()1,e 上为减函数在()0,1x 和(,)e +∞上为增函数，所以()min h x 是()0h x 与()h e 较小者，()1e h e e -=-，因为()000ln 10x x x e ϕ=--+=，所以010x e x e +-=，所以()()00001000ln x x e x x e e h x e e x x ---==-=- 综上，()1min e h x e -=-，所以1e a e -≤-.所以，满足题意的a 的取值范围是1e a e -≤-.【点睛】本题考查了导数在研究函数极值中的应用，在研究函数最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属于难题.22．（1）4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）；（2）2+.【解析】【分析】（1）将直线1l 化为普通方程，与直线2l 联立消去k ，得C 的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.（2）设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，根据三角形的面积公式可得1sin cos 244AOB S OA OB ππθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭V u u u v u u u v ，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由4x t y kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()4y k x =-， 设(),P x y ，由题意得()4,1.y k x y x k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去k 得C 的普通方程2240(0)x y x y +-=≠.把222x y p +=，cos x ρθ=代入上式，24cos 0ρρθ-=，可得C 的坐标方程为4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）.（2）由题意可设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，121sin cos 2444AOB S OA OB p p ππθθ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭V u u u v u u u v ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()4k k Z πθπ=-∈时， AOB V的面积取得最大值，其最大值为2+.【点睛】本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题.23．（1）4；（2）7.【解析】【分析】（1）当1x =时，解得a R ∈；当1x ≠时，分离参数可得2321x x a x -+-≤-，令()2321x x g x x -+-=-，只需()min a g x ≤，根据绝对值的几何意义求出()min g x 即可；（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=，从而()()123p q p q +=-+-+，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）当1x =时，20a ≥⋅恒成立，此时a R ∈.当1x ≠时，原不等式可等价转化为2321x x a x -+-≤-.令()2321x x g x x -+-=-，则原不等式恒成立，只需()min a g x ≤.因为()23244411x x x g x x x -+--=≥=--， 当且仅当23x ≤或2x ≥时，“=”号成立， 所以()min 4g x =，即4a ≤.综上知，a 的最大值4m =.（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=.因为10p ->，所以()20q ->，()()12337p q p q +=-+-+≥=.当且仅当12p q -=-，即3,4p q ==时“=”成立，所以p q +的最小值为7.【点睛】本题考查了含参数的绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于基础题.。
2020年1月福建省高2020届高2017级高三泉州市单科质检理科数学试题答题全析解答题部分
保密★启用前泉州市2020届高中毕业班单科质量检查理科数学2020．1注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是正方形，⊥PA 平面ABCD ，AE PD ⊥．（1）证明：AE ⊥平面PCD ；（2）若AP AB =，求二面角D PC B --的余弦值．【命题意图】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥．·········································································································1分又底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．·····································································2分又PA AD A = ，所以CD ⊥平面PAD ．······································································3分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥．···········································································4分又因为AE PD ⊥，CD PD D = ，,CD PD ⊂平面PCD ，·············································5分所以AE ⊥平面PCD ．·······························································································6分（2）因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD ⊥，分别以AB 、AD 、AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示）．······································································7分设1PA AB ==，则A 0,0,0（），B 1,0,0（），C 1,1,0（），D 0,1,0（），(0,0,1)P ，11(0,,)22E ，1,0,1PB =- （），1,1,1PC =- （），11(0,,22AE = ．··························································8分由（1）得11(0,,)22AE = 为平面PCD 的一个法向量．·······················································9分设平面PBC 的一个法向量为111()m x ,y ,z =．由0,0,PB m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111110,0,x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令11x =，解得11z =，10y =．所以(1,0,1)m =．·····································································································10分因此112cos ,2m AEm AE m AE⋅===⋅．·······························································11分由图可知二面角B PC D --的大小为钝角．故二面角B PC D --的余弦值为12-．·········································································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································6分（2）过点B 作BF 垂直于PC 于点F ，连接DF 、BD ．因为PB PD =，BC CD =，PC PC =，所以PBC PDC △≌△．······························································································7分因此易得090DFC BFC ∠=∠=，BF DF =．································································8分所以BFD ∠为二面角B PC D --的平面角．···································································9分设1PA AB ==，则BD =3BF DF ==．·························································10分在BDF △中，由余弦定理，得222222)133cos 2263BF DF BDBFD BF DF+-+-∠==-⋅．故二面角B PC D --的余弦值为12-．·········································································12分18．（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知0n a >，2634n n n S a a =+-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）．································1分因为2634n n n S a a =+-①，所以当2≥n 时，2111634n n n S a a ---=+-②，由①-②得2211633n n n n n a a a a a --=+--，······································································2分所以()()1130n n n n a a a a --+--=．················································································3分又0n a >，所以13n n a a --=．······················································································4分因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列．···································································5分故()43131n a n n =+-=+．························································································6分（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++，········································9分所以()33333392()2477103134434n nT n n n n n =+-+-+⋅⋅⋅+-=++++．····························12分19．（12分）ABC △中，60B =︒，2AB =，ABC △的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 边上的点（不包括端点），且120EDF ∠=︒，求DEF △面积的最小值．【命题意图】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为60B =︒，2AB =，所以1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅⋅△13222BC =⨯⨯32BC =，·············································2分又ABC S =△，所以4BC =．···················································································3分由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅·······················································4分221242242=+-⨯⨯⨯12=，·························································································5分所以AC =········································································································6分（2）设BDE θ∠=，[]0,60θ∈︒︒，则60CDF θ∠=︒-．在BDE △中，由正弦定理，得sin sin BD DEBED B=∠，·························································7分即2sin(60)32θ=︒+，所以3sin(60)DE θ=︒+；···························································8分在CDF △中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得30C =︒，即21sin(90)2DF θ=︒-，所以1cos DF θ=；·····································9分所以1sin 2DEF S DE DF EDF =⋅⋅⋅∠△34sin(60)cos θθ=︒+⋅=········································································10分=，············································································11分当15θ=︒时，sin(260)1θ+︒=，min ()6DEF S ==-△故DEF △面积的最小值为6-．············································································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································6分（2）设CDF θ∠=，[]0,60θ∈︒︒，则60BDE θ∠=︒-．在CDF △中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD C=∠，························································7分由（1）可得30C =︒，即21sin(30)2DFθ=︒+，所以()1sin 30DF θ=︒+；···························8分在BDE △中，由正弦定理，得sin sin BD DEBED B=∠，即2sin(120)32θ=︒-，所以sin(120)DE θ=︒-；·························································9分所以1sin 2DEF S DE DF EDF =⋅⋅⋅∠△()334sin 30sin(120)θθ=⋅︒+⋅︒-13312222=⎝⎭⎝⎭ (10)分=······················································································11分当45θ=︒时，sin 21θ=，min ()6DEF S ==-△故DEF △面积的最小值为6-．············································································12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，点32A 在E 上．（1）求E 的方程；（2）斜率不为0的直线l 经过点1(,0)2B ，且与E 交于Q P ,两点，试问：是否存在定点C ，使得QCB PCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标；若不存在，请说明理由．【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为椭圆E的离心率12e a ==，所以2234a b =①，··································1分点)23,3(A 在椭圆上，所以143322=+ba ②，·······························································2分由①②解得42=a ，32=b ．························································································3分故E 的方程为13422=+y x ．··························································································4分（2）假设存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠．由对称性可知，点C 必在x 轴上，故可设(,0)C m ．··························································5分因为PCB QCB ∠=∠，所以直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，因此0PC QC k k +=．·············6分设直线l 的方程为：21+=ty x ，),(11y x P ，),(22y x Q ．由221,2143x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得04512)1612(22=-++ty y t ，···············································7分2222(12)4(1216)(45)144180(1216)0t t t t ∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t ∈R ，122121216t y y t +=-+，122451216y y t =-+，····································································8分因为0=+QC PC k k ，所以02211=-+-mx y m x y ，所以0)()(1221=-+-m x y m x y ，即0)21()21(1221=-++-+m ty y m ty y ．·························9分整理得121212()()02ty y m y y +-+=，所以0161212)21()161245(222=+-⨯-++-⨯t t m t t ，即01612)12)(21(902=+--+-t t m t ．·················10分所以0)21(1290=-+m t t ，即0)]21(1290[=-+t m ，对t ∈R 恒成立，即0)1296(=-t m 对t ∈R 恒成立，所以8=m ．·····························································11分所以存在定点)0,8(C ，使得QCB PCB ∠=∠．·······························································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································4分（2）若点C 存在，当直线PQ 垂直x 轴时，点C 必在x 轴上，如果直线PQ 不垂直x 轴，由对称性可知，点C 也必在x 轴上．···········································5分假设存在点)0,(m C ，使得QCB PCB ∠=∠，即直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，所以0=+QC PC k k ．····································································································6分设直线l 的方程为)21(-=x k y ，),(11y x P ，),(22y x Q ．由221(2143y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得0124)34(2222=-+-+k x k x k ，··········································7分22222(4)4(43)(12)1801440k k k k ∆=--⨯+-=+>，所以k ∈R ，2122443k x x k +=+，34122221+-=k k x x ，··············································································8分因为0=+QC PC k k ，所以02211=-+-m x y m x y ，所以0)()(1221=-+-m x y m x y ，················9分即122111()()()022k x x m k x x m --+--=．整理得0]))(21(2[2121=+++-m x x m x x k ，··································································10分所以0]34421(34242[2222=++⨯+-+-m k k m k k k ，整理得0342432=+-⨯k m k ，对任意的k ∈R 恒成立，····························································11分所以8=m ，故存在x 轴上的定点)0,8(C ，使得QCB PCB ∠=∠．····································12分21．（12分）已知函数()2()1e xf x x ax =++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()2()1e 1xg x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养．【试题解析】。
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2020届福建省泉州市2017级高三第一次质量检测
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、单项选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.
1.已知集合2{0,1,2},{|20}M N x x x ==∈+-≤Z ,则M∩N =
A.{- 1,0,1}
B. {0,1}
C. {0,1,2}
D. {-2,- 1,0,1}
2.已知x,y ∈R ,若x+yi 与31i i +-互为共轭复数,则x +y = A.0 B.3 C.-1 D.4
3.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用,汇总得到如下表格:
则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是
A.1.4,1.4
B.1.4,1.5
C.1.4,1.6
D.1.62,1.6
4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知245,16a s =-=-,则6S =
A.-14
B.-12
C.-17
D.12
5. (x +3)(x - 2)5的展开式中,4x 的系数为
A.10
B.38
C.70
D.240
6.已知函数()()
()0.3030.341(),2,0.2,log 22x x f x a f b f c f -====,则a,b,c 的大小关系为 A.c <b<a B.b< a< c C.b<c< a D.c<a<b
7.松、竹、梅经冬不衰,因此有“岁寒三友”之称。
在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载,宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹,恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题,设计下面的程序框图,若输入的x =5,y =2,则输出的n 值为
A.4
B.5
C.6
D.7
8.若x ∈[0,1]时,|2|0x e x a --≥,则a 的取值范围为
A. [2ln2 - 2,1] .[2,2]B e e -- C.[2-e,1] D.[-1,1]
9.已知函数f(x) = asin2x - bcos2x,ab≠0.当x ∈R 时,()()3
f x f π≤,则下列结论错误的是
.3A a b =
.()012B f π= 2.()()515C f f ππ-=- 42.()()155
D f f ππ-=- 10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2 ×10,4×5三种,其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称4×5为20的最佳分解.当p×q(p≤q 且p,q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时,定义函数f(n) =q-p,则数列*{(5)})(n f n N ∈的前2020项的和为
A. 101051+ 100051.4B - 101051.2C - 1010.51D -。