第二章鸽巢原理
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第二章鸽巢原理习题课
综合（i）和（ii），即知题设结论成立.
2.4 利用分割区间来构造“鸽巢“
例 一个孩子每天至少看一个小时电视，共看7周，每周看电视从不 超过11小时，证明：在此期间存在连续若干天这个孩子恰好看电视 20个 小时。（设这个孩子每看电视时间为整数个小时） 证明 设这个孩子7周内每天看电视的时间分别为a1,a2,…,a49小时， 现在构造出数列{an}的前n项和的数列 s1=a1， s2=a1+a2，……， s49=a1+a2+…+a49 ， 则有：1≤ s1<s2<s3<…<s49≤11×7=77,而序列s1+20，s2+20，…, s49+20也是一个严格的递增序列， 且有 21 ≤s1+20< s2+20<…< s49+20≤77+20=97 ， 考虑数列
2.1 利用整数分组构造“鸽巢”
例1 试证明从{1，2，„，kn}中选n+1个数，总存在2个数，它们之间最多 相差k-1。 证明： 把{1，2，…，kn}分为n部分{1，2，3，…,k}, {k+1,k+2,…,2k},…,{(n-1)k+1,(n-1)k+2,…,kn},即做n个鸽巢，从中任 选n+1个数，由鸽巢原理，必有2个数选在同一个鸽巢中，所以它们的 差最大为k-1。
推论3：设m1,m2,…mn均为正整数,且满
少有一个数不小于r。
2 鸽巢的构造及其应用
虽然鸽巢原理十分简单明了，但不是所有的问题都一眼就可 以看出什么是鸽子，什么是鸽巢。在应用它的时候却涉及很多 技巧，这是利用鸽巢原理解题的魅力所在。常用的构造鸽巢的 方法有：利用整数分组、余数分类，划分集合，分割区间、分 割图形，利用染色等。下面给出几类常用的构造鸽巢的方法。
组合数学第二章鸽巢原理
令m,n互素, 0 a m-1, 0 b n-1, 则方程组 x a mod m x b mod n
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
鸽巢原理
分析：把红色，黑色，黄色，蓝色视为4个鸽巢,摸出的球数视为分放的物体，由鸽巢原理（二）可 知， k=3-1=2,n=4,m=1 (kn+m)=2×4+1=9(个) 答：至少要摸出9个
给下列每个格子涂上红色或者蓝色，观察每一列，你有什么发现，至少有几列的 涂法是相同的？
每列的涂法共有8中，把这巢原理（一）可知，至少有两列涂法相同。 9÷8=1......1 1+1=2 答：至少有两列的涂法相同。
鸽巢原理
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）也叫抽屉原理：把（n+1）个物体放在n个 鸟巢中，一定有一个鸽巢中至少放进了2两个物体。
1.把5个苹果放进4个篮子里，不管怎么放，总有一个篮子至少放进（）苹果。
鸽巢原理（二）
• 把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。
解决问题
盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色， 至少要摸出几个球？
分析：把红色和蓝色视为2个鸽巢，摸出的球数视为分放的物体，有鸽巢原理（一）可知道， 分放的物体比鸽巢多1，才能符合要求。 2+1=3 答：至少摸出3个球才可以一定有两个同色的。
解决问题
有红色，黄色，蓝色，黑色、的小球各6个，装在一个不透明的 袋子里，为了保证摸出的小球有3个颜色相同，至少摸出几个？
图书馆里有甲、乙、丙、丁、四类图书，规定每名同学最少借一 本书，最多可以借2本，至少有多少名同学借书，才能保证有两 人所借的图书类别相同？
分析：借书情况有甲、乙、丙、丁、甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁等共 10种情况，把这10种情况视为鸽巢，借书人数视为分发的物体，由鸽巢原理 （一）可知，
给下列每个格子涂上红色或者蓝色，观察每一列，你有什么发现，至少有几列的 涂法是相同的？
每列的涂法共有8中，把这巢原理（一）可知，至少有两列涂法相同。 9÷8=1......1 1+1=2 答：至少有两列的涂法相同。
鸽巢原理
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）也叫抽屉原理：把（n+1）个物体放在n个 鸟巢中，一定有一个鸽巢中至少放进了2两个物体。
1.把5个苹果放进4个篮子里，不管怎么放，总有一个篮子至少放进（）苹果。
鸽巢原理（二）
• 把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。
解决问题
盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色， 至少要摸出几个球？
分析：把红色和蓝色视为2个鸽巢，摸出的球数视为分放的物体，有鸽巢原理（一）可知道， 分放的物体比鸽巢多1，才能符合要求。 2+1=3 答：至少摸出3个球才可以一定有两个同色的。
解决问题
有红色，黄色，蓝色，黑色、的小球各6个，装在一个不透明的 袋子里，为了保证摸出的小球有3个颜色相同，至少摸出几个？
图书馆里有甲、乙、丙、丁、四类图书，规定每名同学最少借一 本书，最多可以借2本，至少有多少名同学借书，才能保证有两 人所借的图书类别相同？
分析：借书情况有甲、乙、丙、丁、甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁等共 10种情况，把这10种情况视为鸽巢，借书人数视为分发的物体，由鸽巢原理 （一）可知，
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密码学中的应用
密码学是研究如何保护信息安全的一门科学，而鸽巢原理在密码学中也 有一定的应用。例如，在分析某些加密算法的安全性时，可以利用鸽巢 原理来证明某些攻击方法的有效性或无效性。
05
鸽巢问题原理拓展与延伸
广义鸽巢原理
原理表述
如果n个物体放入m个容器，且n>m，则至少有一 个容器包含两个或两个以上的物体。
掌握鸽巢原理的证明方法是学习该原理的关键。 建议学习者多阅读相关教材或论文，了解不同证 明方法的思路和应用场景。
多做练习题
通过大量的练习题可以加深对鸽巢原理的理解和 掌握。建议学习者多做一些难度适中的练习题， 逐步提高自己的解题能力。
未来研究方向展望
拓展应用领域
随着计算机科学和信息技术的发展，鸽巢原理的应用领域也在不断拓展。未来可以进一步探索鸽巢原理在人工智能、 大数据等领域的应用。
鸽巢问题原理ppt课件
目录
• 鸽巢问题原理概述 • 鸽巢问题原理基本概念 • 鸽巢问题原理证明方法 • 鸽巢问题原理应用举例 • 鸽巢问题原理拓展与延伸 • 总结与回顾
01
鸽巢问题原理概述
定义与背景
鸽巢原理定义
如果 n 个鸽子要放进 m 个鸽巢，且 n > m，则至少有一个鸽巢里有多于一 个鸽子。
重要性
理论价值
鸽巢原理是数学中的基本 原理之一，对于理解更高 级的数学概念和证明具有 重要意义。
实际应用
在计算机科学、工程等领 域中，鸽巢原理为解决复 杂问题提供了有效的思路 和方法。
拓展思维
通过学习鸽巢原理，可以 培养逻辑思维和抽象思维 能力，提高分析问题和解 决问题的能力。
02
鸽巢问题原理基本概念
第二章 鸽笼原理
§是正整数，i=1,2,…,n, 且 q≥q1+q2 + … +qn-n+1。 如把q个物体放n个盒子中，则必存在i 使得第 i 个 盒子中至少有qi个物体。 推论1 推论 把n(r-1)+1个物体放入n个盒子中，则至少 有一个盒子至少有r物体。
例１ 367人中至少有２人的生日相同。 相当于把367个球放入365个盒子中。有鸽笼原理 可知 例２ 10双手套中任取11只，其中至少有两只是完 整配对的。 例３ 把5个顶点入到边长的为2的正方形中，则至 2 少存在两个顶点它们间的距离小于或等于 。 把2×2的正方形分割成四个1×1的小正方形，把5 个顶点放入这四个小正方形中，则至少有两个顶 点在同一个小正方形中。它们之间的距离必小于 或等于小正方形的对角线的长度
第二章 鸽巢原理
§2.1 鸽笼原理的简单形式
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原 理，也叫抽屉原理, 即 有n个鸽子，飞进 个鸽笼时， 个鸽子，飞进m(n>m)个鸽笼时，至少有一个 个鸽笼时 笼内有两只或两只以上的鸽子。 笼内有两只或两只以上的鸽子。 定理 2.1.1 如果把n+1件物体放入n个盒子中去，则至少 有一个盒子放有两个或更多的物体。
例5 一棋手为参加比赛要进行77天的训练，如他每天至少下一盘棋， 且每周至多下12盘棋，则必存在相连续的若干天，在这段时间中他恰 好下21盘棋。 设ai表示他前i天下棋的总数，则 1≤a1 <a2 <… <a77 ≤11×12 把他们分别加上21得： 22≤a1+21 <a2 +21<… <a77+21 ≤11×12+21=153 a1，a2，…,a77,a1+21,…,a77+21,共有154个数且这些数介于1—153 之间,有鸽笼原理可知，至少存在两个相等的数。 有以上的分析可知，这两个数分别位于a1—a77(ai)和a1+21— a77+21(aj)之间。则aj=ai+21。即aj-ai=21.则有i+1—j天的时间共下了 21盘棋
3.2 鸽巢原理
广义鸽 如果N个物体放入k个盒子，那么至少有一个盒子 巢原理 包含了至少 ������/������ 个物体。
例.在100个人中至少有 ������������������/������������ =9个人生在同一个月。
3.2.2
广义鸽巢原理
例.如果有5个可能的成绩A、B、C、D、F，那么在一 个班里至少要多少个学生才能保证至少6个学生得到
有150个正整数都小于149，根据鸽巢原理至少有2个整数相等。
由于所有的������������ 不相等，所有的������������ +24 也不相等，所以对某个i>j, 有������������ =������������ +24,∴在第j+1到第i小时之间恰有24场比赛。
服务器
������������ ������������ … ������������������
10条线
������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ 每台连 接到所有10个服务器
������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ 每台连接到所有10个服务器 如果������������ —������������������ 中有1台不在组里，那么必定有 ������������������ — ������������������ 中的1台在组里，所以������������������ — ������������������ 的每台都连接 到10台服务器，才可满足题意。 证明至少60条连线：假设连线少于60，则某服务器至多连接
例.在100个人中至少有 ������������������/������������ =9个人生在同一个月。
3.2.2
广义鸽巢原理
例.如果有5个可能的成绩A、B、C、D、F，那么在一 个班里至少要多少个学生才能保证至少6个学生得到
有150个正整数都小于149，根据鸽巢原理至少有2个整数相等。
由于所有的������������ 不相等，所有的������������ +24 也不相等，所以对某个i>j, 有������������ =������������ +24,∴在第j+1到第i小时之间恰有24场比赛。
服务器
������������ ������������ … ������������������
10条线
������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ 每台连 接到所有10个服务器
������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ 每台连接到所有10个服务器 如果������������ —������������������ 中有1台不在组里，那么必定有 ������������������ — ������������������ 中的1台在组里，所以������������������ — ������������������ 的每台都连接 到10台服务器，才可满足题意。 证明至少60条连线：假设连线少于60，则某服务器至多连接
计算机组合数学—第二章鸽巢原理和Ramsey定理 PPT实用课件
定理2.1.1 若把n+1个物体放入n个盒子中， 则至少有一个盒子中有2个或更多的物体
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明 如果每个盒子中至多有一 个物体，那么n个盒子中至多有 n个物体，而我们共有n+1个物 体，矛盾。 故定理成立。
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
• 本例实际上是知道n个盒子，而找 n+1个物体的问题。
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.3对任意给定的52个整数， 证明：其中必存在两个整数，要么 两者的和能被100整除，要么两者 的差能被100整除。
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
分析：
1、已知52个整数，
根据定理2.1.1，这52个整数，必有两个整数 除以100的余数落入上面51组中的同一组中，
若是{0}或{50}则说明它们的和及差都能被100 整除；
若是剩下的49组的话，因为一组有两个余数 ，余数相同则它们的差能被100整除，余数不 同则它们的和能被100整除。
例2.1.4 一名象棋大师有11周时间准备 一场锦标赛，她决定每天至少下一盘 棋，为了不能太累一周中下棋的次数 不能多于12盘。证明她一定在此期 间的连续若干天中恰好下棋21盘。
这说明从第i+1天到第j天这连续j-i天中， 4、解题途径：构造下棋盘数的部分
她刚好下了21盘棋。 物品总数为(q1+q2+…+qn – n+1)相矛盾。
第二章 鸽巢原理和R章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.5 将一个矩形分成4行19列的网格，每 个单元格涂1种颜色，有3种颜色可以选择， 证明：无论怎样涂色，其中必有一个由单元 格构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一 种颜色。
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明 如果每个盒子中至多有一 个物体，那么n个盒子中至多有 n个物体，而我们共有n+1个物 体，矛盾。 故定理成立。
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
• 本例实际上是知道n个盒子，而找 n+1个物体的问题。
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.3对任意给定的52个整数， 证明：其中必存在两个整数，要么 两者的和能被100整除，要么两者 的差能被100整除。
2021年5月27日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
分析：
1、已知52个整数，
根据定理2.1.1，这52个整数，必有两个整数 除以100的余数落入上面51组中的同一组中，
若是{0}或{50}则说明它们的和及差都能被100 整除；
若是剩下的49组的话，因为一组有两个余数 ，余数相同则它们的差能被100整除，余数不 同则它们的和能被100整除。
例2.1.4 一名象棋大师有11周时间准备 一场锦标赛，她决定每天至少下一盘 棋，为了不能太累一周中下棋的次数 不能多于12盘。证明她一定在此期 间的连续若干天中恰好下棋21盘。
这说明从第i+1天到第j天这连续j-i天中， 4、解题途径：构造下棋盘数的部分
她刚好下了21盘棋。 物品总数为(q1+q2+…+qn – n+1)相矛盾。
第二章 鸽巢原理和R章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.5 将一个矩形分成4行19列的网格，每 个单元格涂1种颜色，有3种颜色可以选择， 证明：无论怎样涂色，其中必有一个由单元 格构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一 种颜色。
第二章、鸽巢原理和Ramsey定理
组合数学讲义(内部资料，严禁商用) 第二章 鸽巢原理和Ramsey 定理 2008-2009学年第二学期第二章 鸽巢原理和Ramsey 定理一、鸽巢原理鸽巢原理是组合数学中的一个重要而又基本的原理，它可以用来解决很多日常生活和科学技术上的趣题，并且常能得到一些令人惊异的结果。
这个原理有各种称呼，最常用的名称是鸽巢原理、Dirichlet 抽屉原理和鞋盒原理。
1、问题的引入1) 366个人中必然有至少两个人生日相同。
2) 抽屉里散放着10双手套，从中任意抽取11只，其中至少有两只是成双的。
3) 某次会议有n 位代表参加，每位代表认识其他代表中某些人，则至少有两个人认识的人数是一样的。
4) 任给5个不同的整数，其中至少有3个数的和被3除尽。
这些例子的道理都很简单，以第一个例子为例，一年365天，366个人至少有一天是某两个人的生日。
最后一例子也有类似的道理，5个数中至少有3个同为奇数或同为偶数，无论哪种情况，它们的和都能被3除尽。
2、鸽巢原理的简单形式定理1、如果把1+n 只鸽子放入n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。
证明：反证法。
假设每个鸽巢里至多包含一只鸽子，则n 个鸽巢里鸽子的总数小于等于n ，这与已知矛盾。
注：此原理不能用来寻找究竟是那个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。
即此原理只能用来断定这种鸽巢的存在，并未指出怎样构造这种安排或怎样寻找出现这种现象的场合，除非检查所有的可能情况。
此原理的应用：例1、 已知每个人的头发根数都小于20万，对20万人以上的城市就可以断定，至少有两个人头发根数相等。
例2、在边长为1的正三角形中任意放5个点，证明至少有两个点之间的距离不大于21。
证明：构造鸽巢原理如图1,将5个点放在4个边长为21的小正三角形内，根据鸽巢原理，组合数学讲义(涉外学院数学本科用) 2008-2009学年第二学期 制作人 陈勇 必有一个小三角形内至少有两个点，这两个点的距离就小于或等于21。
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第二章 鸽巢原理
一、鸽巢原理的简单形式 二、鸽巢原理的加强形式 三、Ramsey问题与Ramsey数 四、Ramsey数的推广
2.1 鸽巢原理的简单形式
定理2.1.1: 如果把n +1个物品放入n个盒子中， : 那么至少 有一个盒子中有两个或更多的物品。 例1. 13个人中必有两人的属相相同。 例2. 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两 点，它们之间的距离不超过
注: :
定理2.4.5: :
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例2.任意
个实数
组成的序列中，
必有一个长为n +1的递增子序列， 或必有一个长为 n +1的递降子序列。 例3. 将1到16这16个正整数任意分成三部分， 其中必 有一部分中的一个元素是该部分某两个元素之差 （三个元素不一定互不相同）。
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问题与Ramsey数 2.3 Ramsey问题与 问题与 数
命题2.3.1: 对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 : 边着色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形。 命题2.3.2: 对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 : 边着色，都至少存在两个同色三角形。
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问题与Ramsey数 2.3 Ramsey问题与 问题与 数
命题2.3.3: 对10个顶点的完全图K10任意进行红、蓝两色 : 边着色，都或者有一个红色K4，或者有一个蓝色K3。 命题2.3.4: 对9个顶点的完全图K9任意进行红、蓝两色 : 边着色，都或者有一个红色K4，或者有一个蓝色K3。
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定义: 对于任意给定的两个正整数a和b， : 如果存在最小 正整数r(a,b)，使得当 对KN任意进行红、
则称 蓝两色边着色，KN中均有红色Ka或蓝色Kb， 为Ramsey数。 性质：
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定理2.3.1: 对任意的正整数 :
有
若
都是偶数， 上面不等式严格成立。 有
定理2.3.2: 对任意的正整数 :
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2.4 Ramsey数的推广 数的推广
定义: 对于任意给定的正整数 : 正整数 使得当 n色边着色， N中或出现c1红色 K 或出现c2红色 ……，或出现cn红色 为广义Ramsey数。 则称 如果存在最小
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2.4 Ramsey数的推广 数的推广
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推论2.2.2: 设 :
是n个整数， 而且
则
中至少有一个数不小于r。
推论2.2.3: 若将m个物品放入n个盒子中， : 则至少有 一个盒子中有不少于 个物品。
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例1： 设有大小两只圆盘，每个都划分成大小相等的200 的小扇形，在大盘上任选100个小扇形漆成黑色， 其余的100个小扇形漆成白色， 而将小盘上的200个 小扇形任意漆成黑色或白色， 现将大小两只圆盘的 中心重合， 转动小盘使小盘上的每个小扇形含在大盘 上的小扇形之内。 证明：有一个位置使小盘上至少有 100个小扇形同大盘上相应的小扇形同色。
定理2.4.1: 对任意的正整数 : 有
定理2.4.2: 对任意的正整数 :
有
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定理2.4.3: 设 : 划分，即
是集合 且
的任一
则存在某一个i, Si中有三个数x,y,z(不一
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定理2.4.4:( :(Ramsey定理) 定理) :( 定理 设 是正整数，且 使得当
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例6： 中国余数定理）设m,n为两个互素的正整数， （中国余数定理） a,b是满足 的整数。 证明：
存在正整数x,使得x除以m的余数为a，除以n的余数 为b，即存在p, q，使得
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2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1: 设 : 都是正整数，如果把 个物品放入n个盒子，那么或者 第1个盒子中至少有q1个物品， 或者第2个盒子中至少 有q2个物品， ……, 或者第n个盒子中至少有qn个物品. 推论2.2.1: 若将n(r-1)+1个物品放入n个盒子中， : 则至少有一个盒子中有r个物品。
则必存在最小的正整数
时，设S是一集合且|S|=m， 将S的 所有t元子集任意分放到n个盒子里，那么要么有S中的 q1个元素，它的所有t元子集全在第一个盒子里； 要么 有S中的q2个元素， 它的所有t元子集全在第二个盒子里； 它的所有t元子集全在第 ……； 要么有S中的qn个元素， n个盒子里。
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例3： 从1到200的所有整数中任取101个， 则这101个整数 中至少有一对数，其中的一个一定能被另一个整除。 例4. 给定m个整数 使得 例5. 一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至 少下一盘棋，一周中下棋的次数不能多于12次， 证明：在此期间的连续一些天中他正好下棋21次。 证明：必存在整数k, l
一、鸽巢原理的简单形式 二、鸽巢原理的加强形式 三、Ramsey问题与Ramsey数 四、Ramsey数的推广
2.1 鸽巢原理的简单形式
定理2.1.1: 如果把n +1个物品放入n个盒子中， : 那么至少 有一个盒子中有两个或更多的物品。 例1. 13个人中必有两人的属相相同。 例2. 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两 点，它们之间的距离不超过
注: :
定理2.4.5: :
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例2.任意
个实数
组成的序列中，
必有一个长为n +1的递增子序列， 或必有一个长为 n +1的递降子序列。 例3. 将1到16这16个正整数任意分成三部分， 其中必 有一部分中的一个元素是该部分某两个元素之差 （三个元素不一定互不相同）。
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问题与Ramsey数 2.3 Ramsey问题与 问题与 数
命题2.3.1: 对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 : 边着色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形。 命题2.3.2: 对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 : 边着色，都至少存在两个同色三角形。
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问题与Ramsey数 2.3 Ramsey问题与 问题与 数
命题2.3.3: 对10个顶点的完全图K10任意进行红、蓝两色 : 边着色，都或者有一个红色K4，或者有一个蓝色K3。 命题2.3.4: 对9个顶点的完全图K9任意进行红、蓝两色 : 边着色，都或者有一个红色K4，或者有一个蓝色K3。
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定义: 对于任意给定的两个正整数a和b， : 如果存在最小 正整数r(a,b)，使得当 对KN任意进行红、
则称 蓝两色边着色，KN中均有红色Ka或蓝色Kb， 为Ramsey数。 性质：
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定理2.3.1: 对任意的正整数 :
有
若
都是偶数， 上面不等式严格成立。 有
定理2.3.2: 对任意的正整数 :
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2.4 Ramsey数的推广 数的推广
定义: 对于任意给定的正整数 : 正整数 使得当 n色边着色， N中或出现c1红色 K 或出现c2红色 ……，或出现cn红色 为广义Ramsey数。 则称 如果存在最小
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2.4 Ramsey数的推广 数的推广
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推论2.2.2: 设 :
是n个整数， 而且
则
中至少有一个数不小于r。
推论2.2.3: 若将m个物品放入n个盒子中， : 则至少有 一个盒子中有不少于 个物品。
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例1： 设有大小两只圆盘，每个都划分成大小相等的200 的小扇形，在大盘上任选100个小扇形漆成黑色， 其余的100个小扇形漆成白色， 而将小盘上的200个 小扇形任意漆成黑色或白色， 现将大小两只圆盘的 中心重合， 转动小盘使小盘上的每个小扇形含在大盘 上的小扇形之内。 证明：有一个位置使小盘上至少有 100个小扇形同大盘上相应的小扇形同色。
定理2.4.1: 对任意的正整数 : 有
定理2.4.2: 对任意的正整数 :
有
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定理2.4.3: 设 : 划分，即
是集合 且
的任一
则存在某一个i, Si中有三个数x,y,z(不一
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定理2.4.4:( :(Ramsey定理) 定理) :( 定理 设 是正整数，且 使得当
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例6： 中国余数定理）设m,n为两个互素的正整数， （中国余数定理） a,b是满足 的整数。 证明：
存在正整数x,使得x除以m的余数为a，除以n的余数 为b，即存在p, q，使得
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2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1: 设 : 都是正整数，如果把 个物品放入n个盒子，那么或者 第1个盒子中至少有q1个物品， 或者第2个盒子中至少 有q2个物品， ……, 或者第n个盒子中至少有qn个物品. 推论2.2.1: 若将n(r-1)+1个物品放入n个盒子中， : 则至少有一个盒子中有r个物品。
则必存在最小的正整数
时，设S是一集合且|S|=m， 将S的 所有t元子集任意分放到n个盒子里，那么要么有S中的 q1个元素，它的所有t元子集全在第一个盒子里； 要么 有S中的q2个元素， 它的所有t元子集全在第二个盒子里； 它的所有t元子集全在第 ……； 要么有S中的qn个元素， n个盒子里。
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例3： 从1到200的所有整数中任取101个， 则这101个整数 中至少有一对数，其中的一个一定能被另一个整除。 例4. 给定m个整数 使得 例5. 一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至 少下一盘棋，一周中下棋的次数不能多于12次， 证明：在此期间的连续一些天中他正好下棋21次。 证明：必存在整数k, l